定积分的概念(课堂PPT)

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探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y
y=f (x)
b
b
S=S1-S2=af(x)dx-ag(x)dx
S1
b
=y = a
fg((xx))dx
b
S2 =
g(x)dx
a
O aa
bx
13
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx = k a f ( x )dx
bx
特 别 地 ， 当 a = b 时 ， 有 b f ( x ) d x = 0 。 a
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定积分的几何意义：
当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方，
积 分 a b f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 y y=-f (x)
上述曲边梯形面积的负值。
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
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三: 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx =a f ( x )dx c f ( x )dx
y y=f (x)
Oa
Ｃ bx
b f ( x )dx =
n
S =lim n i=1
f (xi)Dx
Oa
{xi xi xi+1
Dx
bx
5
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
x x 分小 割矩 --形 -近面 似积 代和 替S = ---i= n -1 求f和(i-)-D --x --= 取i= 极n 1f限(得i)到b 解- na 决.
b a
f
(x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴
所围成的曲边梯形的面积为
S = b f ( x ) d x ； a
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间
[a, b]内运动的距离s为
g
S=
1
v(t)dt=
1(-t22)dt=5
0
0
3
O
1
t
1 2 3 j n- 1
9
nnn n n
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
是一个确定的常数
n
2
.当
i =1
f
(x
)Dx
i
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
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性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
b f ( x ) d x = c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
y y=f(x)
b f b ( x f ) ( d x x ) d = x c = f c ( x f ) ( d x x b ) d f x ( x b ) f d b x ( x f = ) ( d x c x ) 。 d f x ( 。 x ) d x b f ( x ) d x 。
v
v = v(t)
s = b v ( t ) d t 。 a
Oa
t b8
根 据 定 积 分 的 定 义 右 边 图 形 的 面 积 为 y
S=
1
f(x)dx=
1x2dx=1
0
0
3
f(x)=x2
v D S1 D S2
2
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g
g
D
g
S3
gD
S4
v(t )
=
- t2
+
2
S=1 3
D Sj
O
1
x
g D S n 根据定积分的定义左边图形的面积为
a a a a a c c a c
Oa
c
bx
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每个小区间宽度⊿x = b - a
n
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (xi )Dx i=1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
b a
f
(x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y= f(x)
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
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定积分的定义：即
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
x 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作
b f ( x ) d x ， 即 b f ( x ) d x = l n f i ( i ) D x
aa
0 i = 1
即 abf(x)dx=lni m i= n1b- naf(xi)
6
定积分的定义：即
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b]有关，而与区间 a,b 的分法及 x
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d= xaf(t)d= taf(u)du
4．规定：abf(x)dx=-baf(x)dx
a
f (x)dx=0
a
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(2)定积分的几何意义：
当 f ( x ) 0 时 ， 积 分 b f ( x ) d 在 几 何 x 上 表 示 由 y = f ( x ) 、 a
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b f ( x ) d x = c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
Oa
定积分的概念
1
引例曲边梯形的面积
exit 2
定积分的定义
exit 3
定积分的几何意义
exit 4
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a ,x 1 ,x 1 ,x 2 , L x i - 1 ,x i,L ,x n - 1 ,b ,
b
S=a[-f(x)]dx
b
S=a[-f(x)]dx
=-
b
f
(x)dx．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x == - a S f ( x ) d x c f ( x
b f ( x ) d x == -c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
y=f (x)