九年级数学《二次函数》专题复习一
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：2572m m x （）-±-=- 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，152-），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（55-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E （3，3），易得OE 的解析式为：y=x ，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535；P3+5152-35，1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.9．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4）， 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学总复习《二次函数图像与一元二次方程的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数图像与一元二次方程的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝12，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．若二次函数y＝ax2﹣4ax＋c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax＋c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝5，x2＝1C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝1，x2＝﹣53．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−4,m)，(−3,n)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且−4<x1<−3，x2>0则下列结论一定正确的是（）A．m+n>0B．m−n<0C．m⋅n<0D．m n>04．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a ＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个5．设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D 的左侧）．若点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=﹣43．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③D．②④6．已知二次函数y=x2−2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(3,0)，则关于x 的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根是（）A．x1=−1，x2=3B．x1=1C．x1=−1，x2=1D．x1=37．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c0.020.010.020.04D．1或28．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（-1，0）则①二次函数的最大值为a+b+c；②a-b+c<0；③b2-4ac<0；④当y>0时，-1<x<3其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，可知方程ax2+bx+c=0的所有解的积为（）A．－4B．4C．5D．－510．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜311．二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象过点(3，0)，方程ax2−2ax+c=0的解为（）A．x1=−3，x2=−1B．x1=−1C．x1=1，x2=3D．x1=−312．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①4ac<b2，②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3③3a−c>0，④当y>0时，x的取值范围是−1≤x≤3.A．①②B．①②③C．①③④D．②④二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣m＝0有两个相等的实数根，则m=．14．已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法：①当)(x−m=0时，x1=2，x2=3；②当m>0时，2＜x1＜x2＜3；③m>−14；④二次函数y=(x−x1x2)−m的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有.15．如图所示为抛物线y=ax2−2ax+3，则一元二次方程ax2−2ax+3=0两根为.16．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t 为实数）在﹣2＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是.17．如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是．18．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②m+n＝3；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x≤4时，有y2＜y1，其中正确的是三、综合题(共6题；共75分)19．已知抛物线y=﹣2x2+4x+c.（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根.20．已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有求出实数根；若没有请说明理由．21．在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面53米的P点处发球，球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题．（1）求抛物线的解析式（不要求些出自变量的取值范围）；（2）羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？（3）乙运动员在球场上M（m，0）处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．22．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？23．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程y=ax2+bx+c的两个根；（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）若抛物线与直线y=2x−2相交于A(1,0)，B(2,2)两点，写出抛物线在直线下方时x 的取值范围．24．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 13．【答案】5 14．【答案】①③ 15．【答案】x 1=−1 16．【答案】﹣1≤t ＜2417．【答案】有两个同号不等实数根 18．【答案】①②④19．【答案】（1）解：∵抛物线与x 轴有两个交点∴b 2﹣4ac ＞0 即16+8c ＞0 解得c ＞﹣2（2）解：由y=﹣2x 2+4x+c 得抛物线的对称轴为直线x=1 ∵抛物线经过点（﹣1，0）∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0） ∴方程﹣2x 2+4x+c=0的根为x 1=﹣1，x 2=3.20．【答案】（1）解：∵抛物线经过P （-3，m ）和Q （1，m ）∴抛物线的对称轴为直线x=−3+12=-1∴-b 2×2=−1 ∴b=4；（2）解：方程有实数解．对于方程2x 2+4x+1=0 ∵Δ=42-4×2×1=8＞0∴关于x 的一元二次方程2x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；∴x=−4±√82×2=−2±√22∴x 1=−1+√22，x 2=−1−√22．21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣5）2+3，由题意，得 53＝a （0﹣5）2+3；a ＝﹣ 475．∴抛物线的解析式为：y ＝﹣ 475 （x ﹣5）2+3（2）解：当y ＝0时，﹣ 475（x ﹣5）2+3＝0解得：x 1＝﹣ 52 （舍去），x 2＝ 252即ON ＝ 252∵OC ＝6∴CN ＝ 252 ﹣6＝ 132 ＞6∴此次发球会出界 （3）解：由题意，得 2.5＝﹣ 475（m ﹣5）2+3；解得：m 1＝5+ 5√64 ，m 2＝5﹣ 5√64（舍去）∵m ＞6∴6＜m ＜5+ 5√64． ∴m 的取值范围是6＜m ＜5+ 5√6422．【答案】（1）解：根据题意得W =(x −20)(−2x +80) =−2x 2+120x −1600 =−2(x −30)2+200∴当x =30时，每天的利润最大，最大利润为200元． （2）令−2(x −30)2+200=150，解得：x =35或x =25 ∵这种产品的销售价不高于每千克28元 ∴x =25．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．23．【答案】（1）解：∵函数图象与x轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)∴方程的两个根为x1=1（2）解：∵二次函数的顶点坐标为(2，2)∴若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k<2（3）解：∵抛物线与直线y=2x−2相交于A(1，0)，B(2，2)两点由图象可知，抛物线在直线下方时x的取值范围为：x<1或x>2．24．【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）∴x＝﹣1，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c＝0①把x＝0，y＝3代入y＝﹣x2+bx+c得：c＝3把c＝3代入①，解得b＝2则二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解：令二次函数解析式中的y＝0得：﹣x2+2x+3＝0可化为：（x﹣3）（x+1）＝0解得：x1＝3，x2＝﹣1由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值当x＝﹣1时，y＝0当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4故当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围0≤y≤4．。
九年级数学二次函数应用题专题复习
二次函数应用题专题复习含答案例1、实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y毫克/百毫升与时间x时的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后包括1.5小时y与x可近似地用反比例函数y=k＞0刻画如图所示．1根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少②当x=5时,y=45,求k的值．2按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路．参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7：00能否驾车去上班请说明理由．例2、2016•葫芦岛某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y本与每本纪念册的售价x元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时,销售量为36本；当销售单价为24元时,销售量为32本．1请直接写出y与x的函数关系式；2当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元3设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1元/台与采购数量x1台满足y1=﹣20x1+15000＜x1≤20,x1为整数；冰箱的采购单价y2元/台与采购数量x2台满足y2=﹣10x2+13000＜x2≤20,x2为整数．1经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案2该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完．在1的条件下,问采购空调多少台时总利润最大并求最大利润．例4、九年级3班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天1≤x≤90,且x为整数的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y单位：元/件,每天的销售量为p单位：件,每天的销售利润为w单位：元．时间x天 1 30 60 90 每天销售量p件198 140 80 201求出w与x的函数关系式；2问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大并求出最大利润；3该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元请直接写出结果．例5、2016•绥化自主学习,请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0,解得：x1=0,x2=5,则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为0,0和5,0．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象如图所示,由图象可知：当x＜0,或x＞5时函数图象位于x轴上方,此时y＞0,即x2﹣5x＞0,所以,一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0,或x＞5．通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题：1上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的和．只填序号①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想2一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．3用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．例6、2016•黄石科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间分钟,纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=,10：00之后来的游客较少可忽略不计．1请写出图中曲线对应的函数解析式；2为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟对应练习：1．一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h米和运行时间t秒的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y单位：万元与销售量x 单位：辆之间分别满足：y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x 轴上,高CH=1cm,BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为A．y=x+32B．y=x+32C．y=x﹣32 D．y=x﹣325．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h米和飞行时间t秒满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=x＞0,若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶拱桥洞的最高点离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为_________米．10．如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣x﹣62+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．11．某种商品每件进价为20元,调查表明：在某段时间内若以每件x元20≤x≤30,且x为整数出售,可卖出30﹣x件．若使利润最大,每件的售价应为_________元．12．在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为0,1、4,2、2,6．如果Px,y是△ABC围成的区域含边界上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标是_________．13．如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y米关于水平距离x米的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米．14．某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w元与降价x元的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件用含x的代数式表示．15．某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件．1若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少2如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元16．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y千克与销售价x元/千克之间的函数关系如图所示：1求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2求每天的销售利润W元与销售价x元/千克之间的函数关系式．当销售价为多少时,每天的销售利润最大最大利润是多少3该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少17．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=x﹣602+m部分图象如图所示,当x=40时,两组材料的温度相同．1分别求y A、y B关于x的函数关系式；2当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少3在0＜x＜40的什么时刻,两组材料温差最大18．某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销．据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本．1求出每天的销售利润y元与销售单价x元之间的函数关系式；2求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少3如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内每天的总成本=每件的成本×每天的销售量19．某种商品每天的销售利润y元与销售单价x元之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．1销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大最大利润为多少元2销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元参考答案与点评例1、实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y毫克/百毫升与时间x时的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后包括1.5小时y与x可近似地用反比例函数y=k＞0刻画如图所示．1根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少②当x=5时,y=45,求k的值．2按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路．参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7：00能否驾车去上班请说明理由．考点：二次函数的应用；反比例函数的应用分析：1①利用y=﹣200x2+400x=﹣200x﹣12+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；2求出x=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班．解答：解：1①y=﹣200x2+400x=﹣200x﹣12+200,∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200毫克/百毫升；②∵当x=5时,y=45,y=k＞0,∴k=xy=45×5=225；2不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00,一共有11小时,∴将x=11代入y=,则y=＞20,∴第二天早上7：00不能驾车去上班．例2、2016•葫芦岛某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y本与每本纪念册的售价x元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时,销售量为36本；当销售单价为24元时,销售量为32本．1请直接写出y与x的函数关系式；2当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元3设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少分析1设y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；2根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案；3根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案．解答解：1设y=kx+b,把22,36与24,32代入得：,解得：,则y=﹣2x+80；2设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是x元,根据题意得：x﹣20y=150,则x﹣20﹣2x+80=150,整理得：x2﹣60x+875=0,x﹣25x﹣35=0,解得：x1=25,x2=35不合题意舍去,答：每本纪念册的销售单价是25元；3由题意可得：w=x﹣20﹣2x+80=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2x﹣302+200,此时当x=30时,w最大,又∵售价不低于20元且不高于28元,∴x＜30时,y随x的增大而增大,即当x=28时,w最大=﹣228﹣302+200=192元,答：该纪念册销售单价定为28元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元．点评此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识,正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1元/台与采购数量x1台满足y1=﹣20x1+15000＜x1≤20,x1为整数；冰箱的采购单价y2元/台与采购数量x2台满足y2=﹣10x2+13000＜x2≤20,x2为整数．1经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案2该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完．在1的条件下,问采购空调多少台时总利润最大并求最大利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网分析：1设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为20﹣x台,然后根据数量和单价列出不等式组,求解得到x的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案；2设总利润为W元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．解答：解：1设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为20﹣x台,由题意得,,解不等式①得,x≥11,解不等式②得,x≤15,所以,不等式组的解集是11≤x≤15,∵x为正整数,∴x可取的值为11、12、13、14、15,所以,该商家共有5种进货方案；2设总利润为W元,y2=﹣10x2+1300=﹣1020﹣x+1300=10x+1100,则W=1760﹣y1x1+1700﹣y2x2,=1760x﹣﹣20x+1500x+1700﹣10x﹣110020﹣x,=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000,=30x2﹣540x+12000,=30x﹣92+9570,当x＞9时,W随x的增大而增大,∵11≤x≤15,∴当x=15时,W最大值=3015﹣92+9570=10650元,答：采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元．点评：本题考查了二次函数的应用,一元一次不等式组的应用,1关键在于确定出两个不等关系,2难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．例4、九年级3班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天1≤x≤90,且x为整数的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y单位：元/件,每天的销售量为p单位：件,每天的销售利润为w单位：元．时间x天 1 30 60 90 每天销售量p件198 140 80 201求出w与x的函数关系式；2问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大并求出最大利润；3该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元请直接写出结果．分析1当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50＜x≤90时,y=90．再结合给定表格,设每天的销售量p 与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；2根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论；3令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论．解答解：1当1≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+bk、b为常数且k≠0,∵y=kx+b经过点0,40、50,90,∴,解得：,∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时,y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+nm、n为常数,且m≠0,∵p=mx+n过点60,80、30,140,∴,解得：,∴p=﹣2x+2000≤x≤90,且x为整数,当1≤x≤50时,w=y﹣30•p=x+40﹣30﹣2x+200=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时,w=90﹣30﹣2x+200=﹣120x+12000．综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．2当1≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2x﹣452+6050,∵a=﹣2＜0且1≤x≤50,∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元．当50＜x≤90时,w=﹣120x+12000,∵k=﹣120＜0,w随x增大而减小,∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元．∵6050＞6000,∴当x=45时,w最大,最大值为6050元．即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元．3当1≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,解得：30≤x≤50,50﹣30+1=21天；当50＜x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,解得：50＜x≤53,∵x为整数,∴50＜x≤53,53﹣50=3天．综上可知：21+3=24天,故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元．点评本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式,解题的关键：1根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；2利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；3得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题,难度不大,但较繁琐,解决该题型题目时,根据给定数量关系,找出函数关系式是关键．例5、2016•绥化自主学习,请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0,解得：x1=0,x2=5,则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为0,0和5,0．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象如图所示,由图象可知：当x＜0,或x＞5时函数图象位于x轴上方,此时y＞0,即x2﹣5x＞0,所以,一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0,或x＞5．通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题：1上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的①和③．只填序号①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想2一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为0＜x＜5．3用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．分析1根据题意容易得出结论；2由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方,此时y＜0,即x2﹣5x＜0,即可得出结果；3设x2﹣2x﹣3=0,解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标,画出二次函数y=x2﹣,2x﹣3的大致图象,由图象可知：当x＜﹣1,或x＞5时函数图象位于x轴上方,此时y＞0,即x2﹣5=2x﹣3＞0,即可得出结果．解答解：1上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①,③；2由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方,此时y＜0,即x2﹣5x＜0,∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．3设x2﹣2x﹣3=0,解得：x1=3,x2=﹣1,∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为3,0和﹣1,0．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示,由图象可知：当x＜﹣1,或x＞3时函数图象位于x轴上方,此时y＞0,即x2﹣2x﹣3＞0,∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1,或x＞3．点评本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．例6、2016•黄石科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间分钟,纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=,10：00之后来的游客较少可忽略不计．1请写出图中曲线对应的函数解析式；2为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟分析1构建待定系数法即可解决问题．2先求出馆内人数等于684人时的时间,再求出直到馆内人数减少到624人时的时间,即可解决问题．解答解1由图象可知,300=a×302,解得a=,n=700,b×30﹣902+700=300,解得b=﹣,∴y=,2由题意﹣x﹣902+700=684,解得x=78,∴=15,∴15+30+90﹣78=57分钟所以,馆外游客最多等待57分钟．点评本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型．反馈练习参考答案与试题解析一．选择题共8小题1．一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h米和运行时间t秒的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是A．1米B．3米C．5米D．6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5t2﹣2t+1=﹣5t﹣12+6,故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y单位：万元与销售量x 单位：辆之间分别满足：y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式,进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆,则在乙地销售15﹣x量,根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+215﹣x=﹣x2+8x+30,∴最大利润为：==46万元,故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意,x=7时和x=14时y值相等,因此得到关于a,b的关系式,代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时,y=49a+7b；当x=14时,y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=﹣21a,根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下,当x=﹣=10.5时,y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x 轴上,高CH=1cm,BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为A．y=x+32B．y=x+32C．y=x﹣32D．y=x﹣32考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为1,1,由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为﹣3,0,于是得到右边抛物线的顶点C 的坐标为3,0,然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm,BD=2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为1,1,∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为﹣3,0,∴右边抛物线的顶点C的坐标为3,0,设右边抛物线的解析式为y=ax﹣32,把D1,1代入得1=a×1﹣32,解得a=,故右边抛物线的解析式为y=x﹣32．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为A．2s B．4s C．6s D．8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是：,∵＜0∴当t=4s时,h最大为40m,故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后,距离地面的高度h米和飞行时间t秒满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是A．2米B．5米C．6米D．14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5t2﹣4t﹣14=﹣5t2﹣4t+4+20﹣14=﹣5t﹣22+6,﹣5＜0,则抛物线的开口向下,有最大值,当t=2时,h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度hm与飞行时间ts的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为A．3s B．4s C．5s D．6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸,那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆,∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=x＞0,若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去．。
九年级数学《二次函数-复习课》课件
• (1,0) H0 B
x
（2）y=-x²+2x+2（2＜x≤4）
•
G
1某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以
水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标
系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－2x2＋8x(单位
：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(
)
A．8米 B．6米 C．4米 D．1米
2．[2014·安徽怀远五中期
⑦当若ax2抛+b物x+线c>顶kx点+d为时D，点x，取连值接范B围D。，设BD函数yy2=kx+d,
⑧求⊿BCD的面积。
•(-3,0)
A
•(1,0)
0B x
• • D
C (0,- 23–)
⑨线段BD上有一点E，横坐标为x0，过E点向 X轴作垂线交抛物线于F点，,当点E运动到什 y 么位置时，线段EF的长度最大，最大是多少？
（2）根据图像得， 若y ﹥ 1, 则x的取值范围-----------
y 4 A(1,4)
若x ﹤ 1，则y的取值范围-----------
B
o1
x
（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均 在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3请比较y1、 y2、y3的大小
y
A
0
1、 二次函数的图象如图所示，
则在下列各不等式中成立的
个数是____________
y
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
x ④2a+b=0
-1 0 1
⑤Δ=b-4ac > 0
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。
九年级数学二次函数单元复习课件
开
口 y=a(x+h) 2 向
y=a (x+h2) +k 上
a<0
开
y轴(直 线x=0)
口
向 下
直线x=-h
顶点坐标
( 0,0 ) ( 0,k ) ( -h,0 ) (- h,k )
y=ax 2+bx+c
直线 ( , )
x=
例2：已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
中考链接：
3. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为
直线x= 3 ,满足y＜0的x的取值范围是1＜X＜5 .
中考链接：
4. 根据图1中的抛物线， 当x ＜2 时，y随x的增大而增大， 当x ＞2 时，y随x的增大而减小， 当x ＝2 时，y有最大值。y
2 0 图1
x 6
练习：
6.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成， 矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x 轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛 物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。 （1）求抛物线的解析式；y 1 x2 6
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
例5、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。
【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题1：二次函数 附参考答案解析
专题1 二次函数题型一 二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x ＝1； ②它的顶点坐标为(1，4)；③它与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)； ④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①对称轴为x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，∴①正确；②y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∴y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a ＝－1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个． 【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．变式跟进1．小张同学说出了二次函数的两个条件： (1)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大； (2)函数图象经过点(－2，4)．则符合条件的二次函数表达式可以是( D ) A ．y ＝－(x －1)2－5 B ．y ＝2(x －1)2－14 C ．y ＝－(x ＋1)2＋5D ．y ＝－(x －2)2＋202．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标． (1)y ＝4x 2＋24x ＋35； (2)y ＝－3x 2＋6x ＋2； (3)y ＝x 2－x ＋3； (4)y ＝2x 2＋12x ＋18. 解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)， 解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72，故它与x 轴交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0；(2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)， 解方程－3x 2＋6x ＋2＝0， 得x 1＝1＋153，x 2＝1－153， 故它与x 轴的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋153，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153，0； (3)∵y ＝x 2－x ＋3，∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114，解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点； (4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)， 当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0，∴x 1＝x 2＝－3， ∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2＋1【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．变式跟进3．将抛物线y ＝2x 2＋4x －5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C ) A ．y ＝2(x ＋1)2－7 B ．y ＝2(x ＋1)2－6 C ．y ＝2(x ＋3)2－6D ．y ＝2(x －1)2－6题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__m ＜1__． 【解析】 ∵二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.【点悟】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．变式跟进4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝1，x 2＝3 C ．x 1＝－1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝3【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．图1 第5题答图【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝－32，∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，∴C 点坐标为(－3，0)，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是－4＜x ＜－3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论： ①abc ＞0； ②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜8a ； ④13＜a ＜23； ⑤b ＞c .其中含所有正确结论的选项是( D )图2A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解析】 ①∵函数开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ×(－1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，∴－2＜－3a ＜－1，∴23＞a ＞13，故④正确；⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．【点悟】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．变式跟进6．[2016·孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论： ①a －b ＋c >0； ②3a ＋b ＝0； ③b 2＝4a (c －n )； ④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( C )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴4ac －b 24a＝n ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．题型五 二次函数的实际应用例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22， ∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900. 当x ＞100时，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．变式跟进7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10 m 时，求t 的值；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (m)，求m 的取值范围． 解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝15(m)， ∴此时足球离地面的高度为15 m ； (2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 s 时，足球距离地面的高度为10 m ；(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝202－20m ＞0，解得m ＜20， ∴m 的取值范围是0≤m ＜20.题型六 二次函数的综合题例 6 [2017·浙江月考]如图4，抛物线C 1：y ＝－3x 2＋23x 的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B . (1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k 的值．图4 例6答图解：(1)∵y ＝－3x 2＋23x ＝－3(x －1)2＋3， ∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点， ∵将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍， ∴变换后的抛物线经过原点O ，(2，23)和(4，0)三点．设变换后抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ，将(2，23)和(4，0)代入， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝23，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝23， ∴变换后抛物线的表达式为y ＝－32x 2＋23x ； (2)∵抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点，将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，则抛物线C 2过原点O ，(k ，3k )，(2k ，0)三点，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－3kx 2＋23x ；(3)∵y ＝－3kx 2＋23x ＝－3k(x －k )2＋3k ，∴O ，A ，C 三点共线，且顶点C 为(k ，3k )．如答图，∵S △PAC ＝S △ABC ，k ＞1，∴BP ∥AC ， 过点P 作PD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥AO 于E .由题意知△ABO 是边长为2的正三角形，四边形CEBP 是矩形， ∴OE ＝1，CE ＝BP ＝2k －1，∵∠PBD ＝60°， ∴BD ＝k －12，PD ＝32(2k －1)，∴P ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋32，32（2k －1）， ∴32(2k －1)＝－3k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋322＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32，解得k ＝92.变式跟进8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．图5(1)求OE 的长；(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的表达式；(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .解：(1)∵CE ＝CB ＝5，CO ＝AB ＝4， ∴在Rt △COE 中，OE ＝CE 2－CO 2＝52－42＝3；(2)设AD ＝m ，则DE ＝BD ＝4－m ， ∵OE ＝3，∴AE ＝5－3＝2，在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即m 2＋22＝(4－m )2，解得m ＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－5，∵C (－4，0)，O (0，0)，∴设过O ，D ，C 三点的抛物线为y ＝ax (x ＋4)， ∴－5＝－32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋4，解得a ＝43，∴抛物线表达式为y ＝43x (x ＋4)＝43x 2＋163x ；(3)∵CP ＝2t ，∴BP ＝5－2t ， 由折叠的性质，得BD ＝DE ＝52，在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝DQ ，BD ＝ED ，∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ (HL )，∴BP ＝EQ ，∴5－2t ＝t ，∴t ＝53.过关训练1．已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是( C )图1A ．根据图象可得该函数y 有最小值B ．当x ＝－2时，函数y 的值小于0C ．根据图象可得a ＞0，b ＜0D ．当x ＜－1时，函数值y 随着x 的增大而减小【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y 有最小值，此选项正确；B.当x ＝－2时，图象在x 轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x ＝－1，a ＞0，则b ＞0，此选项错误；D.当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，此选项正确．2．抛物线y ＝(x ＋2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移方法中正确的是( B ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【解析】 ∵函数y ＝x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，得y ＝(x ＋2)2；然后y 轴向下平移1个单位长度，得y＝(x＋2)2－1，故选B.3．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )A B C D4．如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是( D )图2A．abc＞0 B．2a－b＝0C．4a＋2b＋c＜0 D．9a＋3b＋c＝0【解析】∵抛物线的开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0；∵对称轴为x＝1，∴－b2a＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；当x＝2时，4a＋2b＋c＞0；当x＝3时，9a＋3b＋c＝0.5．已知二次函数y＝3x2＋36x＋81.(1)写出它的顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；(3)求出图象与x轴的交点坐标；(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；(5)当x取何值时，y＜0.解：(1)∵y＝3x2＋36x＋81＝3(x＋6)2－27，∴顶点坐标为(－6，－27)；(2)∵抛物线的对称轴为x＝－6，且抛物线的开口向上，∴当x＞－6时，y随x的增大而增大；(3)当3x2＋36x＋81＝0时，得x1＝－3，x2＝－9，∴该函数图象与x轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)， ∴当x ＝－6时，y 有最小值，最小值为－27；(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上， ∴当－9＜x ＜－3时，y ＜0.6．已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)． (1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．解：(1)由顶点A (－1，4)，可设二次函数关系式为y ＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)． ∵二次函数的图象过点B (2，－5)， ∴－5＝a (2＋1)2＋4，解得a ＝－1. ∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4； (2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3， ∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．图3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标． 解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3. ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)；(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0； (3)∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4.设P (x ，y )，则S △PAB ＝12AB ·|y |＝2|y |＝10，∴|y |＝5，∴y ＝±5.①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4， 此时P 点坐标为(－2，5)或(4，5)；②当y ＝－5时，x 2－2x －3＝－5，方程无解． 综上所述，P 点坐标为(－2，5)或(4，5)．8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)已知墙的最大可用长度为8 m ， ①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20 m 2，请直接写出x 的取值范围．图4解：(1)S ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)； (2)①S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36， 由24－4x ≤8，24－4x ＞0，解得4≤x ＜6， 当x ＝4时，花圃有最大面积为32；②令－4x 2＋24x ＝20时，解得x 1＝1，x 2＝5， ∵墙的最大可用长度为8，即24－4x ≤8， ∴x ≥4，∴4≤x ≤5.9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元； (2)若设后来该小商品每件降价x 元，该经营者一天可获利润y 元．①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？ 解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)； (2)①设该商品每件降价x 元，依题意，得(100－80－x )(100＋10x )＝2 090， 即x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9. 答：每件商品应降价1元或9元； ②根据题意得y ＝(100－80－x )(100＋10x ) ＝－10x 2＋100x ＋2 000，当x ＝－b2a ＝5时，y 最大＝2 250元，答：该经营者所获最大利润为2 250元．10．[2016·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A (0，5)，与x 轴交于点E ，B .图6(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2＋9， 把A (0，5)代入得4a ＋9＝5，解得a ＝－1， ∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5； (2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)， 设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n ，把A (0，5)，B (5，0)代入，得m ＝－1，n ＝5， ∴y ＝－x ＋5，设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则D (x ，－x ＋5)，PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x ，∵AC ＝4， ∴四边形APCD 的面积＝12AC ·PD ＝12×4×(－x 2＋5x )＝－2x 2＋10x ，当x ＝－102×（－2）＝52时，四边形APCD 的面积最大，最大面积为252.11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于c (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．(1)求出二次函数的表达式；图7(2)连结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 解：(1)把B (3，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3； (2)存在．理由如下：如答图①，作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ，垂足为点E .则PO ＝PC ， ∵△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ， ∴OP ′＝OP ，CP ′＝CP ，∴OP ′＝OP ＝CP ′＝CP ， ∴四边形POP ′C 为菱形，∵C 点坐标为(0，－3)， ∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，∴点P 的纵坐标为－32， 把y ＝－32代入y ＝x 2－2x －3，得x 2－2x －3＝－32，解得x ＝2±102， ∵点P 在直线BC 下方的抛物线上， ∴x ＝2＋102，∴满足条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2＋102，－32；第11题答图① 第11题答图②(3)如答图②，作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，BC 的表达式为y ＝x －3，设E (m ，m －3)，P (m ，m 2－2m －3)．则PE ＝m －3－(m 2－2m －3)＝－m 2＋3m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋94，S △BCP ＝S △BEP ＋S △CEP＝12PE ·FB ＋12EP ·OF ＝12EP ·OB ＝12×3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋94 ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋278，∵－32＜0，∴当m ＝32时，S 最大＝278，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－154；∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，又∵S 四边形ACPB ＝S △ABC ＋S △PBC ，S △ABC ＝12×4×3＝6＝定值，∴当△PBC的面积最大时，四边形ACPB的面积最大，最大面积为6＋278＝758.。
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复习一：二次函数 1．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是( ).
A B C D 2．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是( ).
A B C D
3．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【 】
A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是
A B C D 5．在反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝m x2＋m x的图象大致是下图中的 A B C D 6．下列各图中有可能是函数,图象的是
8．函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 9．已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） 10．二次函数2yaxbxc的图像如图所示，反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的图像大致是
11．如果反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致为 xyO
O x
y
O y x A O y x B O y x D O y x C
(A) (B) (C) (D) 12．已知反比例函数y＝的图象如右图所示，则二次函数y＝的图象大致为 14．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能为 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x 的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是【 】
O O O O O y y y y y x x x x x －1 1 A． B． C． D．
x x
x
x x O O O O O y y y y y x x x x x －1 1 A． B． C． D． 15．如图6，函数y=ax2-a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
16．函数y＝ax－2 (a≠0)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 17．函数y=bx＋1(b≠0)与y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是
18.某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图： （1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
A B C A. B. C. D. x x x x y y y y x(元/千度)y(元/千度)500300
200
O
19.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？
20.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
y x 0 4 000 8 000
20 40 A B
C （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围． 21. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）． 设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行） （1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？ （2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（ （3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
○1 ○2 ○3 22、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
（参考公式：二次函数2yaxbxc（0a），当2bxa时，244acbya最大(小)值) 23、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
24、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
26、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，
且65x时，55y；75x时，45y． （1）求一次函数ykxb的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
27、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为
12)8(812xz， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每
件获得利润最大？并求最大利润为多少？ )
28、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 出厂价 成本价 排污处理费 甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨） 乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费20000元
价 目 品
种 （1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为1y元和2y元，分别求1y和2y 与x的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
29. 2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 型 号 金 额 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备
投资金额x（万元） x 5 x 2 4
补贴金额y（万元） y1=kx(k≠0) 2 y2=ax2+bx(a≠0) 2.4 3.2
（1）分别求出1y和2y的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
30. 2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克. （1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式； （2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？ （3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月