九年级数学 第一章检测题
北师大版九年级上册数学第一章检测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第一章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A. 平行四边形B. 正方形C. 等腰梯形D. 矩形3.已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为（）A. 6cm2B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm24.如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C，D两点分别落在C′，D ′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是( )A. 65°B. 55°C. 50°D. 25°5.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A. 1.6B. 2.5C. 3D. 3.46.如图，四边形ABCD是矩形，F是AD上一点，E是CB延长线上一点，且四边形AECF是等腰梯形，下列结论中不一定正确的是（）A. AE=FCB. AD=BCC. BE=AFD. ∠E=∠CFD7.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC8.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形9.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC=BD时，它是正方形C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=900时，它是矩形10.如图，正方形CEFH的边长为m，点D在射线CH上移动，以CD为边作正方形CDAB，连接AE、AH、HE，在D点移动的过程中，三角形AHE的面积（）A. 无法确定B.C.D.11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF ．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）.A. 2B. 4C. 6D. 812.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点与点B关于AE对称，与AE交于点F，连接，，FC。
初三数学第一章检测试题
1 / 4初三数学第一章检测试题（满分100分，测试时间为60分钟）温馨提示：亲爱的同学们，经过你们的勤奋自学、刻苦钻研，这个暑假里应该有了丰硕的收获。
请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！祝你有好成绩！ 一、选择题（共8题，每题3分，合计24分） 1、若等腰三角形的底角为72°，则顶角为（ ）A ．108°B ．72°C ．54°D ．36°2、等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm3、如图，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ． 6cm4、下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．等腰梯形 5、如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是 (0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是（ ）A ．（3，7）B ．（5，3）C ．（7，3）D ．（8，2） 6、已知菱形的两条对角线长分别为10、24，则它的周长等于( )A ．34B ．240C ．52D ．120 7、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分；B ．对角线相等；C ．对角线互相垂直；D ．对角线平分对角。
8、顺次连结等腰梯形ABCD 各边的中点，所得的四边形一定是（ ）A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形第3题图ABCDECBA第5题图2 / 4二、填空题（共10题，每题4分，合计40分）9、如图，是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）10、已知□ABCD 中，∠A 比∠B 小20°，那么∠C 的度数是________．11、如图，点E 、F 分别是□ABCD 对角线BD 上的两点，要使△ADE ≌△CBF ，需添加一个条件 （只需添加一个即可） 12、用两个全等的不等边三角形最多．．能拼成__________个不同的平行四边形.13、写出等腰梯形的两个性质 ， 。
苏教版数学九年级上,第一章 测试题
九年级第一章，测试题看一看，选一选（每小题6分，共30分）1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则它的形状是( )A.直角三角形B等腰三角形 c.等腰直角三角形 D.等边三角形2.(2011 ·济宁）如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( )A. 15cmB. 16 cmC.17 cmD. 16 cm或17 cm3.(2011.铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C.等腰三角形的对称轴是底边上的高D.等腰三角形是轴对称图形4.(2010.南通）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个5..(2011，梧州）如图1-1-1，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE≅△BCDB.△BGC≅△AFCC.△DCG≅△ECFD.△ADB≅△CEA二、想一想，填一填（每小题6分，共30分）6. 若等腰三角形的顶角等于40°，则一个底角的度数为;若等腰三角形的一个底角等于40°，则它的顶角度数为．7.已知等腰△ABC的周长为20，若设腰长为x，'则x的取值范围是8.(2011.河南）如图1-1-2，在△ABC.中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为9.如果等腰三角形的周长是27 cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3 cm，则这个等腰三角形的底边长为。
10.如图1-1-3，在△ABC中，∠BCA=90°，BD=BC，AE=AC，则∠ECD的度数是三、试一试，答一答（每小题10分，共40分）11．如图1-1-4,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE.12.如图1-1-5，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．13.已知：如图1-l-6，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AD交BC于E,AD=AB，∠CAD-.30°，m 求∠BCD、∠DBC的度数。
北师大版九年级数学下册第一章测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册第一章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为( )A. 5sin AB. 5cos AC.D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.3.正方形网格中，如图放置，则的值为（）A. B. C. D. 24.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A. B. 3 C. D.6.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.7.先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. 5cosαB.C. 5sinαD.8.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30，看这栋高楼底部C的俯角为60，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A. 40mB. 80mC. 120mD. 160m9.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A. B. C. D.10.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为，则树OA的高度为（）A. 米B. 25 米C. 25 米D. 25 米11.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A. B. C. D.12.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共16分）13.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________ m．14.tan30°=________．15.如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是________米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）16.计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°=________．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是________．18.用科学计算器计算：8+sin56°≈________ ．（精确到0.01）19.某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为 ________m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数）20.在△ABC中，sinA= ，AB=8，BC=6，则AC=________．三、解答题（共4题；共20分）21.如图所示,在△ABC中,AB=1,AC= ,sin B= ,求BC的长.22.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）23.“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）24.如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．四、综合题（共4题；共40分）25.重庆大坪时代天街已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，时代天街从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图．已知自动扶梯AC的坡度为i=1：2.4，AC=13m，BE是二楼楼顶，EF∥MN，B是EF上处在自动扶梯顶端C正上方的一点，且BC⊥EF，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为42°．（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）（1）求二楼的层高BC约为多少米；（2）为了吸引顾客，开发商想在P处放置一个高10m的《疯狂动物城》的装饰雕像，并要求雕像最高点与二楼顶层要留出2m距离好放置灯具，请问这个雕像能放得下吗？如果不能，请说明理由．26.共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）27.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）28.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．（1）当PA=45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）答案一、单选题1. C2. A3.A4.D5.D6.B7. B8.D9.A 10.C 11. A 12.D二、填空题13.135 14.15.12 16.1 17.18.9.44 19.189 20.三、解答题21.解:过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=1,sin B= ,∴AD=AB·sinB=1× =,DB= = = ,CD= = = .∴BC=CD+BD= + = .22.解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE=x，由题意得，EF=BE﹣CD=56﹣27=29m，AF=AE+EF=（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF=36°52′，AF=（x+29）m，则CF= ≈ = x+ ，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=x+56，则BD=AB=x+56，∵CF=BD，∴x+56= x+ ，解得：x=52，答：该铁塔的高AE为52米．23.解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，在Rt△ADC中，tan36°= ，∴AD= ，在Rt△BCD中，tan∠B= ，BD= ，∴+ =20，解得x=8.179≈8.2m．答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．24.解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6× =2 ，∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED= ，∴CE= =4+ ≈5.7（米），答：拉线CE的长约为5.7米四、综合题25.（1）解：如图所示：延长BC交MN于H ∵BC⊥EF，EF∥MN，∴BH⊥MN，∵i=1：2.4=5：12=CH：AH，∴设CH=5k，则AH=12k在Rt△ACH中，由勾股定理AC= =13k，∵AC=13m，∴k=1，∴CH=5m，AH=12m，设BC=x，在Rt△ACH中，tan∠BAH= ，∴tan42°= ，x≈5.8 m，答：二楼层高约为5.8 m；（2）解：由题得，大厅层高为BH=BC+CH=5.8+5=10.8（m），而10+2=12m＞10.8m，∴雕像放不下．26.（1）解：∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，∴AD= （cm），即车架档AD的长是75cm（2）解：作EF⊥AB于点F，如图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm27.（1）解：在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE= DC=2米（2）解：过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC= = = = 米，BD= BF= x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2= +16，解得：x=4+4 ，则AB=（6+4 ）米．28.（1）解：当PA=45cm时，连结PO．∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC= =27cm（2）解：当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO= AO=12，∴DE=DO•sin60°=6 ，EO= DO=6，∴FC=DE=6 ，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．在Rt△PDF 中，∵∠PDF=30°，∴PF=DF•tan30°=42× =14 ，∴PC=PF+FC=14+6 =20 ≈34.68＞27，∴点P在直线PC上的位置上升了。
数学初三第一章练习题
数学初三第一章练习题数学是一门重要的学科，也是学生们学习中常常遇到的科目之一。
在初三的数学课程中，第一章通常是关于集合的学习。
为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，以下是一些初三数学第一章练习题，供同学们参考练习。
1. 请将下列各组数按照要求写出：a) 自然数小于10的集合；b) 偶数的集合；c) 能被3整除的自然数的集合；2. 下列命题中哪些是正确的？a) 自然数是整数的子集；b) 整数是有理数的子集；c) 正数是整数的子集；3. 将下列集合表示成列举法：a) 集合A包含在集合B中；b) 集合C与集合D相等；c) 集合E是集合F的真子集；4. 给定集合A = {4, 5, 6, 7}，B = {6, 7, 8, 9}，求下列集合运算的结果：a) A ∪ B；b) A ∩ B；c) A - B；d) B - A；5. 已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，C = {5, 6, 7, 8, 9}，求下列命题的真假：a) 3 ∈ A；b) A ⊂ B；c) B ∩ C ≠ ∅；d) A - (B ∪ C) = ∅；6. 有一个集合U，U中有10个元素，集合A包含其中的4个元素，集合B包含其中的3个元素，集合C包含其中的5个元素，问：a) A ∪ B ∪ C 中包含多少个元素？b) A ∩ B ∩ C 中包含多少个元素？c) (A ∪ B) ∩ C 中包含多少个元素？7. 用绘图的方法解下列问题：a) 在平面直角坐标系中，将集合A = {(x, y) | x + y = 5}表示出来；b) 将集合B = {(x, y) | x - y ≤ 2}表示出来；以上是一些关于初三数学第一章集合的练习题。
同学们可以根据自己的情况选择适合的时间和方式进行练习，提高自己对集合相关概念的理解和运用能力。
希望同学们通过这些练习题，能够更好地掌握初三数学第一章的知识点，为后续学习打下良好的基础。
数学九年级上册第一章检测题(BS)
数学九年级上册第一章检测题(BS)(时间：120分钟 满分：120分)分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．(坪山区期末)菱形、矩形、正方形都具有的性质是 ( D )A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分2．(吉安县期末)菱形的一个内角是60°，边长是5 cm ，则这个菱形的较短的对角线长是 ( B ) A.52cm B ．5 cm C ．5 3 cm D ．10 3 cm3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为 ( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．(南昌期末)用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，当这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是( A) A．90° B．60° C．45° D．30°5．(莲湖区期中)如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为 ( D) A．10° B．15°C．30° D．22.5°6．★如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，延长BF交CD于点H.若AB＝6，则CH＝ ( D) A．6－ 2 B．12－4 3C．3 2 D．12－6 2二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．(天心区期末)著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规．如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若AB＝10 cm，则画出的圆的半径为__5__cm__．8．(百色期末)已知正方形ABCD的周长是20 cm，则这个正方形的面积是__25__cm2.9．(明水县期中)如图，四边形ABCD是矩形，则只需补充条件__AB＝AD__(用字母表示，只添加一个条件)就可以判定四边形ABCD是正方形．10．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，在四边形ABCD中，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝__8__．11．(东平县期末)如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为__菱形__．12．★如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上，要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为__5或52或45__．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，又∵E ，F 为CD ，AD 的中点，∴DF ＝12AD ，DE ＝12DC ， ∴DF ＝DE.又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)．14．(丹东期末)如图，AD 是△ABC 的中线，AE ∥BC ，且AE ＝12BC ，连接DE ，CE.(1)求证：AB ＝DE ；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形？并说明理由．(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ＝12BC ， ∵AE ＝12BC ，∴AE ＝BD ， ∵AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB ＝DE.(2)解：当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形ADCE 是矩形．理由：∵AE ＝12BC ，BD ＝CD ＝12BC ，∴AE ＝CD ， ∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB ＝DE ，∴当AB ＝AC 时，AC ＝DE ，∴四边形ADCE 是矩形．15．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F点左侧)，BE ∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5.∴点E在OA的延长线上，∴AE＝2.16．(东湖区期末)请用无刻度的直尺作图：(1)在图①中，已知点E是正方形ABCD边AB的中点，分别画出BC，CD，DA的中点F，G，H；(2)图②是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞DE)，以AE 为边画一个菱形．解：(1)如图①，点F，G，H即为所求．(2)如图②，四边形AECF即为所画的菱形．延长AE交CD于点N，连接AC交BD于点O，连接NO并延长交AB于点M，连接CM交BD于点F，四边形AECF即为所求．17．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE ＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．解：设正方形的边长为x.∵AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝2x，∴AE＝2x，CB＝x，∴S菱形AEFC＝AE·CB＝2x·x＝2x2＝92，解得x＝±3，依题意舍去x＝－3，即正方形的边长为3.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(河西区期中)如图，菱形花坛ABCD 的一边长AB 为20 m ， ∠ABC ＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC 和BD.(1)求AC 和BD 的长；(2)求菱形花坛ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ABD ＝12∠ABC ＝30°， ∴AO ＝12AB ＝10 m ，BO ＝AB 2－AO 2＝10 3 m ， ∴AC ＝20 m ，BD ＝20 3 m.(2)菱形花坛ABCD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．19．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D.∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)解：当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形．理由：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∴四边形AEOF 是正方形．20．(金水区月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知OB ＝8.(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)求四边形AEFD 的面积．(1)证明：∵DF ∥AE ，EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．∵四边形ABOC 是正方形，∴OB ＝OC ＝AB ＝AC ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°.∵点D ，E 是OB ，OC 的中点，∴CE ＝BD ，在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°，CE ＝BD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴AE ＝AD ，∴四边形AEFD 是菱形．(2)解：连接DE.∵S△ABD＝12AB·BD＝12×8×4＝16，S△ODE＝12OD·OE＝12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC－2S△ABD－S△ODE＝64－2×16－8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(大余县期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C 运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知，得BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16－t，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16－t，解得t＝8，∴当t为8时，四边形ABQP是矩形．(2)当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．解：四边形AQCP为菱形．理由：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16－6＝10，AP＝16－6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝AB2＋BQ2＝82＋62＝10，∴AQ＝CQ，∴平行四边形AQCP为菱形，即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．22．(德州期末)以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和△ADE，连接EB，FD，交点为G.(1)当四边形ABCD为正方形时(如图①)，EB和FD的数量关系是__EB＝FD__；(2)当四边形ABCD为矩形时(如图②)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图③中求出∠EGD的度数．解：(2)EB＝FD.证明：∵△AFB为等边三角形，∴AF＝AB，∠FAB＝60°.∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠FAB＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠FAD＝∠BAE，∴△FAD≌△BAE，∴EB＝FD.(3)不变．同(2)易证△FAD≌△BAE，∴∠AEB＝∠ADF，设∠AEB＝x°，则∠ADF＝x°，∴∠BED＝(60－x)°，∠EDF＝(60＋x)°，∴∠EGD＝180°－∠BED－∠EDF＝180°－(60－x)°－(60＋x)°＝60°.六、(本大题共12分)23．(吉安市期末)阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O.(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是__正方形____；(2)当图③中的∠BCD ＝120°时，∠AEB ′＝__80__°；(3)当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有多少个(包含四边形ABCD)．请说明理由．解：(3)当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个．理由：根据题意，得BE ＝B ′E ，BC ＝B ′C ，∠B ＝∠CB ′E ＝90°， CD ＝CD ′，FD ＝FD ′，∠D ＝∠CD ′F ＝90°，∴四边形EBCB ′、四边形FDCD ′是“完美筝形”；∵四边形ABCD 是“完美筝形”，∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°，∴CD ′＝CB ′，∠CD ′O ＝∠CB ′O ＝90°，∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，∴D ′E ＝B ′F ，∠AEB ′＝∠CB ′E ＝90°，∠AFD ′＝∠CD ′F ＝90°，在△OED ′和△OFB ′中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OD ′E ＝∠OB ′F ，∠EOD ′＝∠FOB ′，D ′E ＝B ′F ，∴△OED′≌△OFB′(AAS)，∴OD′＝OB′，OE＝OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”，∵包含四边形ABCD，∴对应图③中的“完美筝形”有5个．。
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)章节检测(含答案)
第一章 直角三角形的边角 章节检测一、选择题（共7小题；共28分）1. 把 Rt △ABC 的三边都扩大 10 倍，关于锐角 A 的正弦值，甲同学认为扩大 10 倍，乙同学认为不变，丙同学认为缩小到原来的 110．你认为正确的应是 ( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 都不正确2. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，sin A =513，则 tan B 的值为 ( )A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1253. 计算 2cos30∘−tan45∘−(1−tan60∘)2 的结果是 ( )A. 23−2B. 0C. 23D. 24. 如图所示，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于点 D ．若 BD:CD =3:2，则 tan B 的值为( )A. 32 B. 23C. 66D. 635. 如图所示，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A ，B ，O 都在格点上，则 ∠AOB 的余弦值是 ( )A. 31010B. 12C. 13D. 10106. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 △ABC 按如图所示方式折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 tan ∠CBE 的值是 ( )A. 247B. 73C. 724D. 137. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB =AD =6,AB ⊥BC,AD ⊥DC,∠BAD =60∘，点 M,N 分别在边 AB,AD 上．若 AM:MB =AN:ND =1:2，则 tan ∠MCN 的值为 ( )A. 3313B. 2511C.239D. 5−2二、填空题（共5小题；共20分）8. 点 M (tan60∘,−cos60∘) 关于 x 轴的对称点 Mʹ 的坐标是 ．9. 在 △ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos (90∘−A )=32，sin (90∘−B )=32，则 △ABC —定是三角形．10. 在 △ABC 中，∠C =90∘，AB =8，cos A =34，则 BC = ．11. 如图所示，在菱形 ABCD 中，DE ⊥AB 于点 E ．已知 cos A =35，BE =4，则 tan ∠DBE =．12. 如图所示，已知一次函数 y =kx +b 的图象经过 A (−2,−1)，B (1,3) 两点，并且交 x 轴于点 C ，交 y 轴于点 D ，则 ∠A +∠B 的正切值是 ．三、解答题（共6小题；共72分）13. 如图所示，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45∘ 方向、距离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60∘ 方向的 B 处．（1）从A处到B处的航行过程中，渔船与小岛M之间的最小距离是多少?（结果用根号表示）（2）若渔船以20海里/时的速度从B处沿BM方向行驶，求渔船从B处到达小岛M的航行时间．（结果精确到0.1小时）（参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45）14. 如图所示，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42∘方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55∘方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；（结果精确到0.1）（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin55∘≈0.819,cos55∘≈0.574,tan55∘≈1.428,tan42∘≈0.900,tan35∘≈0.700, tan48∘≈1.111，）15. 如图所示，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=．sin2A2+sin2B2=．sin2A3+sin2B3=．（2）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90∘，都有sin2A＋sin2B=．（3）如图丁所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．，求sin B的值．（4）已知∠A+∠B=90∘，且sin A=51316. 如图所示，湖中的小岛上有一座标志性建筑物，其底部为A．某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30∘方向上；然后沿岸边直行4千米到达C处，再次测得A在C的北偏西45∘方向上（其中点A,B,C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．17. 一副直角三角板按如图所示方式放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90，∠E=30∘，∠A=45∘．若AC=122，求CD的长．18. 如图甲所示，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直于l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=，正方形ABCD的边长=．（2）如图乙所示，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AEʹDʹ，旋转角为α(0∘<α<90∘)，点Dʹ在直线l3上，以ADʹ为边，在EʹDʹ左侧作菱形ADʹCʹBʹ，使点Bʹ,Cʹ分别落在直线l2,l4上．①写出∠BʹADʹ与α的函数关系，并给出证明；②若α=30∘，求菱形ADʹCʹBʹ的边长．答案第一部分1. B2. D3. B4. D5. A6. C7. A【解析】∵AB=AD=6，AM:MB=AN:ND=1:2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC．∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60∘在Rt△ABC与Rt△ADC中，AB＝ADAC＝AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC（ HL）∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30∘，MC=NC，∴BC=12AC，∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=23，在Rt△BMC中，CM=BM2+BC2=42+(23)2=27．∵AN=AM，∠MAN=60∘，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=27−x，∴MN2−NE2=MC2−EC2，即4−x2=(27)2−(27−x)2，解得x=77，∴EC=27−77=1377，∴ME=MN2−NE2=3217，∴tan∠MCN=MEEC =3313．第二部分9. 直角10. 2711. 212. 1第三部分13. （1）过点M作MD⊥AB于点D．∵∠AME=45∘，∴∠AMD=∠MAD=45∘，∵AM=180海里，∴MD=AM⋅cos45∘=902（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里．（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60∘，∴∠DMB=30∘，∵MD=902海里，∴MB=MDcos30∘=606，∴606÷20=36=3×2.45=7.35≈7.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．14. （1）过C作AB的垂线，设垂足为D．根据题意可得：∠1=∠2=42∘，∠3=∠4=55∘，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42∘=ADCD，则AD=x⋅tan42∘，在Rt△BCD中，tan55∘=BDCD，则BD=x⋅tan55∘，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x⋅tan42∘+x⋅tan55∘=80，解得x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．（2）在Rt△BCD中，cos55∘=CDBC，∴BC=CDcos55∘≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．15. （1）1；1；1（2）1（3）证明：∵sin A=ac ，sin B=bc，a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=a2+b2c2=c2c2=1．（4）sin B=121316. 过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45∘，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60∘，由tan∠ABD=ADBD ，即tan60∘=xBD，所以BD=xtan60∘=33x，又BC=4，即BD+CD=4，所以33x+x=4解得x=6−23 .答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6−23）千米．17. 过点B作BM⊥FD于点M．在△ACB中，∠ACB=90∘,∠A=45∘,AC=122，∴BC=AC=122 .∵AB∥CF，∴BM=BC×sin45∘=122×2=12 .2CM=BM=12，在△EFD中，∠F=90∘，∠E=30∘，∴∠EDF=60∘，∴MD=BM÷tan60∘=43，∴CD=CM−MD=12−43 .18. （1）1；10【解析】由题意可得：∠1+∠3=90∘,∠1+∠2=90∘，∴∠2=∠3，在△AED和△DGC中，∠AEF＝∠DGC∠3＝∠2AD＝CD∴△AED≌△DGC（AAS），∴AE=GD=1，∵DE=1+2=3，∴正方形ABCD的边长=12+32=10（2）①∠BʹADʹ=90∘−α．理由：过点B'作B'M垂直于l1于点M，在Rt△AE'D'和Rt△B'MA中，B'M＝AE'AB′＝AD'，∴Rt△AE'D'≌Rt△B'MA（HL）∴∠D'AE'+∠B'AM=90∘，∠B'AD'+α=90∘，∴∠B'AD'=90∘−α②221．3过点E'作ON垂直于l1分别交l1,l3于点O，N，若 α=30∘，则 ∠E 'D 'N =60∘，AE '=1，故 E 'O =12，EʹN =53，EʹDʹ=533由勾股定理可知菱形的边长为：253+1=843=2213.。
北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套
北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套第一章测试卷（1）一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin∠ACD 等于( ) A.53B.23C.253D.524．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A ．CD ＝b sin 33°＋a B ．CD ＝b cos33°＋a C ．CD ＝b tan33°＋aD ．CD ＝btan33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A ．2B.255C.55D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2B. 6C ．2 2D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( ) A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(tan30°，cos60°)，则k ＝________．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB ＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m 的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子，当他沿山坡前进50 m 时，他又看见一个标注海拔70 m 的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5 m ，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB 的长约为__________ (结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 52°≈0.79，tan52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________. 三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 020)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos60°·sin 45°－（tan60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BCCD＝32，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题) 答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的， ∴tan 52°＝ABBE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形， ∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又AB ＝0.3 m ， ∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m. 19．2420.23 点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2. 22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33. ∴CP ＝33x n mile.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mile.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15. 解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2 n mile. ∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA .(第26题)由已知得AP ＝39 m ，在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(m)． 答：此时汽车与点H 的距离为36 m. (2)由题意，隔音板位置应从P 到Q ，在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝1533＝153(m)；在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m 长．第一章测试卷(2)一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．63．在锐角三角形ABC 中，若⎝⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 等于( )A ．60°B ．45°C ．75°D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为( )A ．35B ．34C ．105 D ．1(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．436．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 两点之间距离的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组7．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( )A ．34B ．43C ．35D ．458．如图所示，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD 为100 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点之间的距离是( ) A ．200 m B ．200 3 m C ．220 3 m D ．100(3＋1)m(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°sin 60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为5033，则∠A＝_________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 m，cos∠BAC＝34，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h的速度航行，当航行1 h后，甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B 处追上．则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h. 三、解答题(19题12分，20题10分，21，22每题14分，23题16分，共66分) 19．计算：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF 是平行四边形．(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22 m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1 m)．(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1 m)(参考数据：sin 68°≈0.927 2，cos 68°≈0.374 6，tan 68°≈2.475 1，sin 50°≈0.766 0，cos 50°≈0.642 8，tan 50°≈1.191 8)答案一、1．A2．A 点拨：由tan B ＝AC BC 知AC ＝BC tan B ＝23×32＝3.3．C 点拨：由题意，得sin A －32＝0，22－cos B ＝0.所以sin A ＝32，cos B ＝22.所以∠A ＝60°，∠B ＝45°，所以∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°. 4．B 5．C6．C 点拨：对于①，可由AB ＝BC ·tan ∠ACB 求出AB 的长；对于②，由BC ＝ABtan ∠ACB，BD ＝AB tan ∠ADB ，BD －BC ＝CD ，可求出AB 的长；对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DEEF ＝BDAB ，可求出AB 的长；对于④，无法求得AB 的长，故有①②③共3组，故选C . 7．A8．D 点拨：由题意可知，∠A ＝30°，∠B ＝45°，tan A ＝CD AD ，tan B ＝CDDB ，又CD ＝100 m ，因此AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝100tan 30°＋100tan 45°＝1003＋100＝100(3＋1)(m)． 9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF ·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D .10．D 点拨：依题意知：D 1E 1＝12，B 2C 2＝33，B 3E 4＝36，B 3C 3＝13，A 3C 3＝23，sin ∠A 3C 3x＝sin(30°＋45°)＝sin 75°＝2＋64，∴A 3到x 轴的距离3＋16. 二、11．1 点拨：cos 245°＋tan 30°sin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝1.12．60 点拨：∵BC ＝10，∴S △ABC ＝BC ·AC 2＝10·AC 2＝5033，则AC ＝1033，∴tan A ＝BC AC ＝101033＝3，∴∠A ＝60°.13．43 14．1215．13 点拨：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x .∴tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．7 m 点拨：由cos ∠BAC ＝AC AB ＝34，知3AB ＝34，∴AB ＝4 m.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7(m)． 17．2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝222＝ 2.18．(10＋103) 点拨：如图，由题意可知，∠DOB ＝30°，∠AOD ＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD ＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故 ∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则∠AOC ＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA ＝102n mile ，∠OAB ＝∠AOC ＝45°，∴OC ＝AC ＝OA ·sin 45°＝102×22＝10(n mile)．在Rt △OBC 中， ∠BOC ＝∠AOD ＋∠BOD －∠AOC ＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC ＝ OC ·tan 60°＝10 3 n mile ，∴AB ＝AC ＋BC ＝(10＋103)n mile.∵OC ＝10 n mile ，∠B ＝30°，∴OB ＝2OC ＝2×10＝20(n mile)，乙船从O 到B 所用时间为20÷10＝2(h )．∵甲船从O 到A 所用时间为1 h ，∴甲船从A 到B 所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追赶乙船的速度为(10＋103)n mile/h.三、19．解：(1)原式＝3×32－2×22＋2＝32－1＋2 ＝52.(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－（3－2）2 ＝－2－3＋2－(2－3) ＝－2.20．解：由b 2＝c 2－a 2，得a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0， ∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，c ＝5k ，则b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k . ∴sin B ＝b c ＝45， ∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE . ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5. ∵DF ＝14， ∴CE ＝14. ∴EH ＝9.∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.22．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝(300－1003)(m)．故该河段的宽度为(300－1003)m.23．解：(1)如图，作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin 68°＝22 sin 68°≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.(2)如图，作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.则∠FAG＝50°，FG＝BE.∵AG＝FGtan 50°≈20.41.191 8≈17.12(m)，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8.24(m)，∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9 m，即BF至少是8.9 m.。
(北师大版)初中数学九年级上册第一章综合测试01含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；故答案为：B ． 4.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ⊥∴，AB BC CD AD ===， 90AOB ∠=︒∴，又32AB BC CD AD +++=∵．8AB =∴，在Rt AOB △中，OE 是斜边上的中线，142OE AB ==∴． 故答案为：B ． 5.【答案】B【解析】如图，过点E 作HF AB ⊥，AM CD ∵∥，DCE EAM ∠=∠∴，CDE EMA ∠=∠，AME CDE △∽△∴，::1:2AM DC EH EF ==∴，1FH AD ==，13EH =∴，23EF =.∴阴影部分的面积1111112343ABCD AME CDE M BC S S S S =−−−=−−−=△△△正方形. 故答案为：B . 6.【答案】B【解析】如图，在AD 上取点k ，使2AK =，连接EK ，在AEK △和ADE △中，EAK DAE ∠=∠，AEK ADE △∽△∴，12EK AE ED AD ==∴，即12EK ED =，12EF ED EF EK +=+∴，当F 、E 、K三点共线时，21EF ED FK +== ()1222()EF ED EF ED +=+=最小∴，故答案为：B 。
北师大版初中数学九下第一章综合测试试题试卷含答案
第一章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.若 的余角为°60，则tan 的值是（ ）A .12 B .2 C D .3 2.ABC △在正方形网格中的位置如下图所示，则cos B 的值为（ ）A B C .12D .2 3.在ABC Rt△中，将各边都扩大两倍，则锐角A 的正弦值（ ）A .扩大两倍B .缩小为原来的一半C .不变D .不能确定4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2:，则顶角的度数为（ ） A .60°B .90°C .120°D .150°5.在ABC Rt△中，°90C A B C ，，，所对的边分别为a b c ，，，且°45A a b ，，则c 等于（ ）A .B .4C .D .6.如下图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ，点A B C D O ，，，，在同一平面内），已知AB a AD b BCO x ，，，则点A 到OC 的距离等于（ ）A .sin sin a x b xB .cos cos a x b xC .sin cos a x b xD .cos sin a x b x7.如下图，某河坝的横断面为四边形ABCD AD BC AB CD ，∥，，坝顶宽10BC 米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i ，则坝底宽AD 的长度为（ ）A .26米B .28米C .30米D .46米8.如下图，在ABC △中，°904ACB AC BC ，，将ABC △折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕.若3AE ，则sin BFD 的值为（ ）A .13B .3C .4D .359.如下图，在ABC Rt△中，°903ACB BC AC AB ，，的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ，垂足为E ，连接AD ，则sin CAD 的值为（ ）A .14B .4C .13 D .15 10.如下图，在ABC △中，10tan 2AB AC A BE AC ，，于点E ，若点D 是线段BE 上的一个动点，则5CD BD的最小值是（ ）A .B .C .D .10二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.在ABC △中，若21sinA tan 02B，则C 的度数是________.12.如下图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使顶点C 落在C 处，若36AB DE ，，则sin C DE ________.13.如图，已知ABC Rt△中，°90BAC ，斜边BC 上的高4AD ，4cos 5B，则AC ________.14.如下图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知乙楼的高CD 是45m ，则甲楼的高AB 是________m .（结果保留根号）15.如下图，在东西方向的海岸线上有A B ，两个港口，甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，同时乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，2h 后两船在点P 处相遇，则乙货船的速度为________.16.在ABC △中，AD 是ABC △的高，若AB ，tan 2B 且2BD CD ，则BC ________. 三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（10分）（1）计算：°2°sin60sin 30cos45tan 60tan 45cos30；（2）已知°°075 ＜＜，且 °sin 152 1014cos 3.14tan 3的值.18.（11分）如下图，ABC △的顶点A C ，的坐标分别是 04，， 30，，且°°9030ACB ABC ，，试求点B 的坐标.19.（12分）如下图，在ABC Rt△中，°90C D ，为BC 上一点，51AB BD ，，3tan 4B.（1）求AD 的长；（2）求sin 的值.20.（12分）如下图，山顶有一塔AB ，塔高33m .计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF .从与E 点相距80m 的C 处测得A B ，的仰角分别为27°，22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.（参考数据：°°tan220.40tan270.51 ，）21.（13分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如下图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如下图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳篷CD . 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角最大（°77.44ADC ）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角最小（°30.56BDC ）.窗户AB 的高度为2m . 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m .参考数据：°°°°sin30.560.51cos30.560.86tan30.560.59sin77.440.98 ，，，，°°cos77.440.22tan77.44 4.49 ，）22.（14分）如下图1是小红家的阳台上放置的一个晒衣架，下图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB CD ，相交于点O B D ，，两点位于地面.经测量：136cm 51cm 34cm AB CD OA OC OE OF ，，.现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF 成一条线段，32cm EF .图1图2（1）求证：AC BD ∥；（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF 的余弦值；（3）小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到122cm ，问挂在晒衣架后是否会拖落在地面？请通过计算说明理由.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】若 的余角为°60，则°30，所以°tan tan 303a .故选D . 2.【答案】B【解析】如下图，连接DE ，易知DE BC ，且点D E ，都在格点上，在BED Rt△中，EB，所以cos 5BD B EB.故选B .3.【答案】C4.【答案】A【解析】因为等腰三角形的底边与底边上的高的比是2，所以底角为°60，所以顶角的度数为°60.故选A . 5.【答案】A【解析】在ABC Rt△中，°°9045C A ，，所以a b.因为a b，所以a b，所以sin 2a c AA . 6.【答案】D【解析】如下图，过点A 作AE OC 于点E ，交BC 于点M AF OB ，于点F .∵四边形ABCD 是矩形，°°9090ABC AEC AMB CME EAB BCO x ∴，∵，，∴.易知四边形AFOE 为矩形，AE FO FBA EAB x ∴∥，∴.cos sin AB a AD b FO FB BO a x b x ∵，，∴.故选D .7.【答案】D【解析】过点B 作BE AD 于点E ，过点C 作CF AD 于点F .由题意得1121.5BE i BE AE，米，所以18AE 米.因为AD BC AB CD ∥，，所以18DF AE 米，10EF BC 米，所以18101846AD AE EF DF （米）.故选D . 8.【答案】A【解析】°°90445ACB AC BC A B ∵，，∴，由折叠可得3AEF DEF DE AE △≌△，，EDF A EDF B ，∴.又CDE EDF B BFD CDE BFD ∵，∴.在CDE Rt△中，11sin sin 3CE CE AC AE CDE BFD DE，∴的值为13.故选A . 9.【答案】A【解析】设 0AD x x ＞，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以BD x ，所以3CD x .在ACD Rt△中，由222AC CD AD ，得 2223x x ，解得4x ，所以431CD ，所以1sin 4CD CAD AD .故选A . 10.【答案】B【解析】如下图，过点D 作DH AB 于点H ，过点C 作CM AB 于点M .°90BE AC AEB ∵，∴，tan 2BEA AE∴.设 0AE a a ＞，则2BE a ，根据勾股定理，得221004a a a ，∴，2BE a ∴.同理，可得CM BEsin 555DH AE DBH DH BD CD BD CD DH BD AB∵，∴，∴，又CD DH CM ∵≥，55CD BD CD BD ∴≥的最小值为.故选B .二、11.【答案】90°【解析】由题意，得°°11sin 0tan 0sin tan 306022A B A B A B，∴，，， °°°°180306090C ∴.12.【答案】2【解析】因为36CD AB DE ，，所以12CD DE，易得°30CED ，所以°60CDE ，由折叠可知C DE CDE ，所以°60C DE，所以sin 2C DE . 13.【答案】5【解析】因为°°9090CAD BAD B BAD ，，所以CAD B ，所以4cos cos 5CAD B ，即445AD AC AC ，所以5AC . 14.【答案】【解析】由题意，得°45BDA AB AD ，∴.在ADC Rt△中，°3045CAD CD ，，°tan tan303CD CAD AD∴，即453AD AB AD ，故甲楼的高AB是m . 15.【答案】【解析】过点P 作PC AB 于点C .∵甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，°30428PAC AP ∴，（海里），142PC AP ∴海里.∵乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，°°45sin 45PCPBC PB∴，∴海里.∴乙货船的速度为2 （海里/时）. 16.【答案】3或1【解析】因为tan AD B BD，所以设 0AD x ＞，则2BD x .因为222AB AD BD，所以2222x ，解得1x 或1x （舍去），即2BD .又因为2BD CD ，所以1CD .当点D 在线段BC 上时，如下图1，则3BC BD CD ；当点D 在线段BC 的延长线上时，如下图2，则1BC BD CD .图1图2三、17.【答案】（1）2sin 60sin 30cos45tan 60tan 45cos30211211142142.（2）°°075 ∵＜＜，且°sin 15°°°156045 ∴，∴.114cos 3.14tan 3411323 .18.【答案】如下图，过点B 作BG x 轴于点G .435OA OC AC ∵，，∴.°°°9030tan30ACACB ABC BC∵，，∴°°9090BCG ACO ACO CAO ∵，，BCG CAO ∴，34sin cos 55BG CG BCG BCG BC BC∴，，BG CG ∴，∴点B 的坐标是 3 . 19.【答案】（1）在ABC Rt△中，3tan 4AC B BC ， 设 30AC x x ＞，则4BC x ，2222225345AC BC AB AB x x ∵，，∴，解得1x （舍去）或1x ，34AC BC ∴，. 13BD CD ∵，∴，AD ∴.（2）如下图，过点D 作DE AB 于点E ，则°90BED . 在BDE Rt△中，3tan 4DE B BE，设 30DE y y ＞，则4BE y ， 2222221341DE BE BD BD y y ∵，，∴，解得15y （舍去）或15y，3sin 510DE DE a AD∴.20.【答案】如下图，延长AB 交CD 于点H ，则AH CD . 在ACH Rt△中，°tan 27AHACH ACH CH，， °tan27AH CH ∴.在BCH Rt△中，°tan 22BHBCH BCH CH， °tan22BH CH ∴.33AB AH BH AB ∵，，°°tan 27tan2233CH CH ∴，300CH ∴.°tan27153AH CH ∴.在ADH Rt△中，°tan 45AHD D HD，， 153HD AH ∴.3001538050323EF CD CE FD CH HD CE FD ∴. 故隧道EF 的长度约为323m .21.【答案】在BCD Rt△中，°°9030.56tan BCBCD BDC BDC CD，，， °tan tan30.56BC CD BDC CD ∴.在ACD Rt△中，°°9077.44tan ACACD ADC ADC CD，，， °tan tan77.44AC CD ADC CD ∴.2AC BC AB AB ∵，，初中数学 九年级下册 6 / 6 °°tan77.44tan30.562CD CD ∴，4.490.592CD ∴，解得0.5CD .答：遮阳篷CD 的长约为0.5m .22.【答案】（1）OA OC AB CD OB OD ∵，，∴，°°1118018022OAC OCA AOC OBD ODB BOD ∴，， 又AOC BOD OAC OBD AC BD ∵，∴，∴∥.（2）如下图，过点O 作OM EF 于点M .34cm 32cm 16cm OE OF EF EM ∵，，∴，168cos 3417EM OEF OE ∴. （3）小红的连衣裙会拖落在地面.理由如下：如图，过点A 作AH BD 于点H .OE OF OB OD ∵，，°°1118018022OEF OFE BOD OBD ODB BOD ∴，， OEF OBD ∴，即OEM ABH ， 由（2）知88cos cos 1717OEF ABH，∴，即817BH AB ， 8813664cm 1717BH AB ∴，由勾股定理可得 120cm AH . 122120∵＞，∴小红的连衣裙会拖落在地面.。
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九年级数学 第一章检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．(2015·玉林)计算：cos245°＋sin245°＝( B )
A.12 B．1 C.14 D.32
2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的
1
3
，则锐角A的正弦值( A )
A．不变 B．缩小为原来的13 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
2
3
，则cosB的值等于( C )
A.12 B.22 C.23 D．1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( B )
A．10tan50° B．10sin40° C．10sin50° D.10cos50°
5．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝
2
2
，则α等于( B )
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．已知锐角α满足等式3cos2α－8cosα＋4＝0，则cosα的值为( A )
A.23 B．2 C．2或23 D．以上都不对
7．(2015·淄博)若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则α的范围是( B )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD∶AD＝1∶4，则tan
∠BCD的值是( C )
A.14 B.13 C.12 D．2
错误! 错误!,第9题图) 错误!
,第10题图)
9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米
的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的
高度为( C )(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米 C．45米 D．50米
10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为
突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角
三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，
AB＝6，则AC的长度是( D )
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A．3 B．33 C．5 D．36
二、细心填一填(每小题3分，共24分)
11．计算：tan245°－1＝__0__．
12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．
13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，
则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，
tan35°≈0.70)
,第13题图) ,第14题图)
,第15题图) ,第16题图)
14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sinα＝__32__．
15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，
开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船
继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”)
16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的
电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点
C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到
0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±33__．
18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液
体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．
三、耐心做一做(共66分)
19．(8分)计算：
(1)2sin30°－tan60°＋tan45°； (2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°
＋4sin230°.
解：(1)2－3 (2)2
20．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．
解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝53
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21．(8分)已知锐角α使关于x的一元二次方程x2－2sinα·x＋3sinα－34＝0有两个
相等的实数根，求α的度数．
解：由题意得b2－4ac＝(2sinα)2－4(3sinα－34)＝0，即4sin2α－43sinα＋3＝0，
解得sinα＝
3
2
.∵α为锐角，∴α＝60°
22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高
楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多
少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3
≈1.73)
解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CDtan60°＝363＝123≈20.76.
在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6
米
23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的
西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且
位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB
紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．
(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)
(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精
确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB
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＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)
(2)5.20×16000＝83200(元)
24．(11分)(2015·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意
图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN
表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠
DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数
据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°
≈1.73)
解：
如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt△BFH中，BF＝
FH
sin60°
≈
420.87≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQ
tan60°
.在
Rt△ADQ中，AQ＝DQtan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴
DQtan60°＋DQ
tan80°
＝43，解得
DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝DQsin80°≈56.9990.98≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC
的长分别为58.2 cm，90.3 cm
25．(12分)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，
点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝
3
5
，求AB的长．
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解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD (2)设AP＝x，∴由折叠知
BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得AMBP＝APBQ，∴BQ＝x2.由
△AMP∽△
CQD得
APCD＝AM
CQ
，∴CQ＝2，∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x
2
＋2，MD＝AD－AM＝
x
2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝35，DF＝DC＝2x，∴2xx2＋1＝35，变形得3x2
－10x＋3
＝0，解得x1＝3，x2＝
1
3
(不合题意，舍去)，∴AB＝2x＝6