第四节IRn的基和向量关于基的坐标

5 1 1 1 x1 + x2 + x3 = 5 3 = x10 + x2 1 + x31 也即 0 + x2 + x3 = 3 5 0 0 1 0+0+ x = 5 3 1＝2, x2 ＝－ x3＝5，因此向量 ， α在这组基下的坐标为（2 ， －2 ，5） 在这组基下的坐标为（ 在这组基下的坐标为 ）
定义1 数域F上的线性空间 上的线性空间(Linear space)V是一个非空集 定义 数域 上的线性空间 是一个非空集 它带有两个运算：加法（ ， ∈ 为 中的元素 中的元素， 合，它带有两个运算：加法（a，b∈V为V中的元素，则a 记作a＋ ）和数乘（ ∈ 为一个数 为一个数， ∈ 为 中一个 加b记作 ＋b）和数乘（λ∈F为一个数，a∈V为V中一个 记作 元素， 的乘积记为λa）， 元素，则λ与a的乘积记为 ），且V对这两种运算封闭 与 的乘积记为 ），且 对这两种运算封闭 即运算结果仍在V中 并满足如下八条运算规则： （即运算结果仍在 中）并满足如下八条运算规则： 1）a＋b＝b＋a；(加法的交换律 加法的交换律) ） ＋ ＝ ＋ ； 加法的交换律 2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(加法的结合律 加法的结合律) ） ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ； 加法的结合律 3）存在 中元素 使得 ＋θ＝a，其中 称为 的零元素。 中元素θ使得 称为V的零元素 ）存在V中元素 使得a＋ ＝ ，其中θ称为 的零元素。 4）对V中任意元素 都存在元素 使得 ＋b＝θ，其中 称为 中任意元素a都存在元素 使得a＋ ＝ ，其中b称为 称为a ） 中任意元素 都存在元素b使得 的负元素，记为b＝－ ＝－a。因此a＋ － ＝ 。 的负元素，记为 ＝－ 。因此 ＋(－a)＝θ。 5）1a＝a； ） ＝ ； 6）s(ta)＝(st)a；(结合律 结合律) ） ＝ ； 结合律 7）(s＋t)a＝sa＋ta；(分配律 分配律) ） ＋ ＝ ＋ ； 分配律 8）s(a＋b)＝sa＋sb。(分配律 分配律) ） ＋ ＝ ＋ 。 分配律 其中a， ， 为 中任意元素 中任意元素， ， 为 中的任意数 中的任意数。 其中 ，b，c为V中任意元素，s，t为F中的任意数。 为实(复 数域时 数域时， 为实(复 线性空间 线性空间。 当F为实 复)数域时，称V为实 复)线性空间。 为实 为实
− 1 3
1 . 3
正交矩阵 定义5 阶方阵 称为正交矩阵是指A满足 阶方阵A称为正交矩阵是指 满足ATA＝E。 定义 n阶方阵 称为正交矩阵是指 满足 ＝ 。 定理4 阶正交矩阵的充分必要条件是A的列 定理 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是 的列 为 阶正交矩阵的充分必要条件是 向量为IRn的一组标准正交基 向量为 的一组标准正交基 皆为n阶正交矩阵 性质 设A，B皆为 阶正交矩阵，则 ， 皆为 阶正交矩阵， 1）detA＝1或－1。 ） ＝ 或 。 2）A－1＝AT。 ） － ＝ 。 3）AT也是正交矩阵 ） 也是正交矩阵 4）AB也是正交矩阵。 也是正交矩阵。 ） 也是正交矩阵
这样我们从线性无关的向量组a1，a2，…，an出 这样我们从线性无关的向量组 ， ， ， 出 得到标准正交向量组e1， ， 发，得到标准正交向量组 ，e2，……，en， ， ， (显然，向量组 ，e2，……，en与向量组 ， 显然， 与向量组a1， 显然 向量组e1， ， ， 与向量组 a2，…，an等价 。此过程我们称为 等价)。 ， ， 等价 此过程我们称为Schmidt正交 正交 化过程。 化过程。 例3 已知B： ， ， 是 的一组基， 已知 ：a1，a2，a3-是IR 3的一组基，其 的一组基 中 a1＝(1, −1, 0)，a2＝(1, 0, 1)， ＝ ， ＝ ， a3＝(1, -−1, 1)。 ＝ − 。 试用Schmidt正交化方法，由B构造 3的一组 正交化方法， 构造IR 的一组 试用 正交化方法 构造 标准正交基。 标准正交基。
当然，对于同一向量 ，若选定的基不同， 当然，对于同一向量β，若选定的基不同，则向量 β的坐标一般而言也是不同的。 的坐标一般而言也是不同的。 的坐标一般而言也是不同的 例如 e1＝(1, 0, 0)′, e2 ＝(0, 1, 0)′, e3＝(0, 0, 1)′是IR3 ＝ ＝ 是 的一组基 我们通常称之为IR3的自然基 的自然基） （我们通常称之为IR3的自然基） 定义2 设向量组A 定义 设向量组 ：α 1 , α 2, -…, α n和向量组 和向量组 B：β1，β 2，…，β n分别为 n的两组基，则 分别为IR 的两组基 的两组基， ： ， ， ， 分别为 向量组B： ， 可由向量组A 向量组 ：β1，β 2，…，β n可由向量组 ： ， ， 可由向量组 α 1 , α 2, -…, α n线性表示，即存在n 2个常数 线性表示，即存在 个常数 线性表示 c i j（i，j＝1，2，…，n）使得 （，＝ ， ， ， ）
1 1 0 0 1 0 1 1 1 ＝1≠ 0
因此这三个向量线性无关，所以它们构成 因此这三个向量线性无关， IR3的一组基。要求向量 在这组基下的坐 的一组基。要求向量α在这组基下的坐 实际上就是求解关于x 标，实际上就是求解关于 1, x 2, x 3的 方程组α＝ 方程组 ＝ x 1 α 1＋ x 2 α 2 ＋x 3 α 3。 即
1， (a i , a j ) = 0， 若 i = j， 若i ≠ j， i, j = 1, 2, L n
则称a 则称 1，a2，…，a n是IR n的一组标准正交基 ，
施密特（ 施密特（Schmidt）正交化 ） 给定向量组a1， ， ， 线性无关 线性无关， 给定向量组 ，a2，…，an线性无关， 则我们可以按照下述步骤将其标准正交化
验证α 例1 验证 1 ＝(1，0，0)′, ， ， α 2＝(1，1，0)′, α 3＝(1，1，1)′为IR3 ， ， ， ， 为 的一组基并求向量α＝ ， ， 在这组基 的一组基并求向量 ＝(5，3，5)′在这组基 下的坐标。 下的坐标。 显然，向量组α 解 显然，向量组 1 ，α 2，α 3 组成的矩 阵的行列式为
第四节 IRn的基 的基 和向量关于基的坐 标
定义1 中的向量组A 定义 设IR n 中的向量组 ：α 1 , α 2, …, α n 线性无关， 是 中任一向量， 线性无关，β是IR n中任一向量， 线性相关（ 则β,α 1 , α 2, …, α n线性相关（因为这 维向量， ），于 是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于 ＋ 个 维向量 向量个数大于向量维数）， 是根据第三章第二节定理2知道向量 可以用α 知道向量β可以用 是根据第三章第二节定理 知道向量 可以用 1 , α 2, …, α n唯一线性表示 β＝k1α 1 + k2 α 2 + … + k n α n 。 ＝ 我们称向量组A： 我们称向量组 ：α 1 , α 2, …, α n为空间 IR n的一组基 的一组基(basis), 把数 1, k2, …, kn称为 把数k 向量β在基 在基α 向量 在基 1 , α 2, …, α n下的坐标 (coordinate)，记为 A＝（ 1, k2, …, kn）。 ，记为β ＝（k
定义2 向量a的长度或模 的长度或模（ 定义 向量 的长度或模（length，modulus） ， ） 定义为
| a |= (a, a) .
一般地，称长度等于 的向量为单位向量 一般地，称长度等于1的向量为单位向量 定理1 （柯西－施瓦兹不等式，Cauchy-Schwarz 定理 柯西－施瓦兹不等式， 不等式） 不等式） 向量的内积满足 定义3 规定向量a和 之间的夹角 定义 规定向量 和b之间的夹角 为
1 1, 2
b3＝a3－(a3，e1)e1－(a3，e2)e2 ＝ － ， － ，
= (1 − 1 1) − (1 − 1 0) − 2 1 32 1 1 = − 1 − 1 2 3 3 1 . 3
1 b3 e3 = = − | b3 | 3
①令b1＝a1 ③作b2＝a2－(a2，e1)e1 ⑤令b3＝a3－(a3，e1)e1－(a3，e2)e2 …… 第2n－1步： 令bn＝an－(an， e1)e1－ (an，e2)e2－……－(an，en1)en－1 ②令e1＝b1/|b1| ④令e2＝b2/|b2| ⑥令e3＝b3/|b3| …… 第2n步： en＝en/|en|
解 取b1＝a1＝(1, −1, 0)，则 ＝ ＝ ，
b1 1 (1 − 1 0) e1 = = | b1 | 2
b2＝a2－(a2，e1)e1 ＝ － ，
= (1 0 1) − 1 (1 − 1 0 ) = 1 2 2
e2 = b2 = 1 | b2 | 6 1 6 2 , 6
B = (β1 β2 L βn ) = (α1 α2 = (α1 α2 L αn )C = AC c11 c12 c 21 c 22 L αn ) L cn1 cn 2 L c1n L c 2n L L cnn
我们称矩阵C为从基 我们称矩阵 为从基A ：α 1 , α 2, -…, α n 为从基 到基B： ， 的过渡矩阵。 到基 ：β1，β 2，…，β n的过渡矩阵。 ， ， 的过渡矩阵 定理1 定理 过渡矩阵是可逆矩阵 定理2 设向量 在两组基 ：α 1 , α 2, -…, α n 在两组基A 定理 设向量α在两组基 和B：β1，β 2，…，β n下的坐标分别为 x ＝ ： ， ， ， 下的坐标分别为 [x1, x2, …, x n]′ 和 y ＝[y1,y2,…,yn]′.从基 到 从基A到 从基 的过渡矩阵为C， 基B的过渡矩阵为 ，即B＝AC，则 的过渡矩阵为 ＝ ， Cy＝x 或 y＝C－1x 。 ＝ －
β 1 = c 11 α 1 β = c α 12 1 2 β n = c 1n α 1
+ c 21 α 2 + L + c n 1 α n + c 22 α 2 + L + c n 2 α n LLLL + c 2 n α 2 + L + c nn α n