本科数学毕业论文 浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用
Vandermonde行列式及其应用
i 然后， 将此 n+1 阶行列式第一行乘-a （ i=1， 2， …， n ） 加到第 i+1 行得
D=
例 2 计算 n 阶行列式 仿上做法有 Vn-1 （x2， …x） （x3-x） x4-x） （xn-x） （x3， … n = 2（ 2 … 2 Vn-2 x） n 再递推下去， 直到 V1=1 故 V（ x2， …x） （x2-x） x3-x） （xn-x） （x3-x） n x1， n = 1（ 1 … 1· 2 （xn-x） （xn-xn-1 ） · 1= （xi-x） （x4-x） 2 … 2 … j 由以上的计算易得 定理 1n 阶 Vandermonde 行列式 V（ x2， …x） n x1， n = （1 ） 解 此行列式貌似 Vandermonde 行列式， 只 x2， …， xn 为元素的第二行， 而又多了 是缺少以 x1， x2n， …， xnn 为元素的第 n 行， 可利用升阶法将 以 x1n， Dn 变为 n+1 阶 Vandermonde 行列式 Dn=
科
技
论
坛
Van（佳木斯大学理学院， 黑龙江 佳木斯 154007 ）
摘 要 ：介绍了 Vandermonde 行列式及其在计算行列式等方面的应用。 关键词 ：行列式； Vandermonde 行列式； 多项式； 微积分
行列式最早出现在 16 世纪关于线性方程组 的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远 不如此， 它在消元论、 矩阵论等诸多问题中都有广 泛的应用， 它是高等代数中的一个重点和难点， 是 矩阵、 向量空间和线性变换的基础。 线性方程组、 在行列式理论中， Vandermonde 行列式以其独特 的性质令人瞩目， 它构造独特、 形式优美、 应用广 泛， 因而成为一个著名的行列式。 这里主要介绍了 Vandermonde 行列式的定义、计算方法及其在各 个领域内的应用。 1 Vandermonde 行列式的定义
范特蒙德矩阵行列式
范特蒙德矩阵行列式范特蒙德矩阵行列式矩阵理论作为现代数学的重要分支，在科学领域和应用领域中有着广泛的应用。
而矩阵行列式是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍范特蒙德矩阵行列式（Vandermonde determinant），并探讨其相关性质和应用。
一、范特蒙德矩阵行列式的定义范特蒙德矩阵行列式，又称范德蒙行列式，是由范特蒙德（Vandermonde）于1772年引入的。
它的定义如下：对于正整数n和n个实数a1, a2,…, an，范特蒙德矩阵V是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素是ai的j−1次方，即：$$V = \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{pmatrix}$$范特蒙德矩阵行列式（Vandermonde determinant）是矩阵V的行列式，记作：$$\prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i)$$二、范特蒙德矩阵行列式的性质范特蒙德矩阵行列式具有以下性质：1. 对任意正整数n和n个实数a1, a2,..., an，范特蒙德矩阵行列式的绝对值等于$\prod_{i<j}(ai - aj)$，即范德蒙定理。
2. 范特蒙德矩阵行列式的值只与a1, a2,…, an的大小关系有关，而与它们的顺序无关。
3. 当a1, a2,..., an等距时，即存在正整数k和h，使得ai=a1+(i−1)k（i=1,2,…,n），则Vandermonde determinant等于$\prod_{i<j}(j-i)$，即n个不同的有理数的秩次数。
范德蒙行列式及其应用
目录摘要及关键词 (1)一、范德蒙行列式 (1)(一)范德蒙行列式定义 (1)(二)范德蒙行列式的推广 (4)二、范德蒙行列式的相关应用 (8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语 (22)四、参考文献 (23)范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。
本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。
关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元x,2x n x的n阶行列式1122221211112111n n nn n n nx x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做 的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形 例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解 由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解 由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解 例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解 将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解 将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解 定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明 证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行． 例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解 由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式． （2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明 令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明 设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。
范德蒙行列式的相关应用
范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n nnn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn n nx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111nnnn nn n n nnn nx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113nn nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111nn n nnnn n nzx x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010010010001n n n n n n nn nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得：11111111222211111111n n n n n n nnnnx x y y x x y y D x xy y------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s xx x x k n ==+++==-∑，计算行列式 01112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n iii i i nxxxxx D xxx-=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n nn nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()nn n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
论行列式计算机中vandermonde行列式的应用
论行列式计算机中vandermonde行列式的应用行列式计算机中vandermonde行列式在许多领域都具有重要的应用价值，尤其是在多项式拟合、回归分析、线性系统解法等方面发挥了重要作用。
本文主要讨论vandermonde行列式在行列式计算机中的应用，及其优点及局限性。
一、Vandermonde行列式的基本概念Vandermonde行列式是一种特殊的行列式，它可以由一组数据进行构成，表示一个n×n的行列式，它是由n个不同的数构成，如a1,a2,...an，以及对应的幂数构成，即X1,X2,...,Xn，其行列式形式为：a1^X1 a2^X2 ... an^Xna1^(X1-1) a2^(X2-1) ... an^(Xn-1)....a1^0 a2^0 ... an^0二、Vandermonde行列式在行列式计算机中的应用1.Vandermonde行列式在多项式拟合中的应用在多项式拟合中，Vandermonde行列式可以用来拟合一组数据，可以解决最小二乘问题，以获得一个最优的多项式拟合曲线。
因此，我们可以利用Vandermonde行列式来求解该问题，并随时追踪数据变化，以评估建模的效果。
2.Vandermonde行列式在线性系统求解中的应用Vandermonde行列式也可以用于求解线性系统，即方程组。
Vandermonde行列式可以用来表示方程组，并可以以减小解决线性系统的复杂度。
通过将线性系统表示为Vandermonde行列式，可以方便快捷地解决线性系统，而无需明确矩阵的形式。
三、Vandermonde行列式的优点及局限性1.优点a) vandermonde行列式可以有效地解决多项式拟合及线性系统求解的问题，可以更简单快捷地求解这些问题。
b)列式计算机中的vandermonde行列式可以帮助分析复杂的数据。
2.局限性a) vandermonde行列式只适用于固定长度的一组数据，如果数据太多或太少，则无法使用。
范德蒙行列式的应用
范德蒙行列式的应用班级:应数一班姓名:刘成学号:1250411014摘要:行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.范德蒙对行列式的发展起了至关重要的作用.事到如今,范德蒙行列式已得到了极大的发展和扩充.在行列式、因式分解等领域都有极大的作用。
关键词：范德蒙德行列式应用发展正文：导言:行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.范德蒙对行列式的发展起了至关重要的作用.事到如今,范德蒙行列式已得到了极大的发展和扩充.在行列式、因式分解等领域都有极大的作用。
要想应用范德蒙行列式，我们必须知道范德蒙行列式究竟是什么，熟悉他的性质，才能将其灵活的应用。
首先，让我们看看范德蒙行列式的定义和性质。
定义：形如叫作范德蒙行列式。
其值为:∏<<-n)(《jiijaa用递推法可以证明＝11111131112313313331322122123212211312...0.............0...0...01...111------------------n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ＝)(....()(........)(...)()( (12))13231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ------------＝（ａ２－ａ１）（ａ３－ａ１）….（ａｎ－ａ１）2232232................1 (11)---n nn n n a a a a a a −→−−→−推递＝）（《i jn0a -a∏<<j i 明白了范德蒙行列式的定义,接下来可以看看他的性质. 性质: 1. 若将范德蒙行列式旋转(不论是顺时针还是逆时针都一样)可得性质:2. 若将范德蒙行列式下面，我们可以看看范德蒙行列式的应用。
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。
它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。
范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。
证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。
当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。
范德蒙行列式的应用
范德蒙行列式的应用摘要：本文根据范德蒙行列式的特点，归纳总结了范德蒙行列式在代数、微积分中的应用. 关键词：范德蒙行列式；代数；微积分1 前言范德蒙行列式在行列式中占有比较重要的地位，其运用也可谓广泛.范德蒙行列式在代数、微积分、几何中都有应用.本文只讨论其在代数、微积分中的应用.在之前我们先给出文中要用到的一些基本知识点：① 行列式的展开定理[1]：若存在一个n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =其中，第i 行（或第j 列）的元素除ij a 外都是零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积：ij ij D a A =.② 泰勒公式[2]：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x =+- 即()200000000''()()()()'()()()()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n =+-+-++-+-③ 皮亚诺余式的马克劳林展开式[2]：''()'2(0)(0)()(0)(0)()2!!n nn f f f x f f x x x x n =+++++④ 克莱姆法则[1]：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=当它的行列式0D ≠时，有且仅有一个解1212,,,n n D D Dx x x D D D=== ，此处j D 是把行列式D 的第j 列的元素换以方程组的常数项12,,,n b b b 而得到的n 阶行列式.2 范德蒙行列式的定义及其证明[1]2.1 范德蒙行列式的定义122221211112111nn n n n n na a a D a a a a a a ---=这个行列式叫做一个n 阶范德蒙行列式（V andermonde ）行列式，其值1()n i j n i j D a a ≥>≥=-∏.2.2 范德蒙行列式的证明证明：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以1a ，得213212213311-222221331111110- - -0(-) (-)()0()()()n n n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=----由前言①行列式的展开定理，213212213311-2222213311 - --(-) (-) ()()()()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a ---=---提出每一行的公因子后，得23222213112322223111()()() nn n n n n n na a a D a a a a a a a a a a a a ---=---最后的因子是一个1n -阶的范德蒙行列式，我们用1n D -代表它：213111()()()n n n D a a a a a a D -=---同样得1324222()()()n n n D a a a a a a D --=---此处2n D -是一个2n -阶的范德蒙行列式.如此继续下去，最后得2131132211()()()(-)()()()n n n n n i j n i j D a a a a a a a a a a a a a a -≥>≥=---⋅--=-∏ 3 范德蒙行列式在代数方面的应用3.1 利用范德蒙求解n 阶行列式 例1[3] 计算(1)()1111n n na a a n D a a a n --=--解：由行列式的性质得111(()())()!j i nj i n nk D a j a i i j k ≤<≤≤<≤==---∏=-∏=∏例2[3] 计算111112221n n n n n n na x x a x x D a x x ---=解：按第一列展开得1nk k k D a A ==∑，其中k A 为元素k a 的代数余子式，在k A 的第i 行提出公因子(,1,2,,)i x i k i n ≠= ,即 222211221133331232132221121221212111111(1),(1),,1111(1)1n n n n n n nnn n nnn nn n n n n n n n x x x x x x x x A x x x A x x x x x x x x x x x A x x x x x ----++----+----=-=-=-即得范德蒙行列式11111,1(1)(1)()()nnk n kk ki k i i j i i i kj i nA x x x x x x +---==≠≤<≤=----∏∏∏，所以1111(1)()(/())n nn i i j i i i i i j i nD x x x a x f x +==≤<≤=--∑∏∏其中12()()()()n f x x x x x x x =---例3[4] 计算1n +阶行列式1-22111111111122122222222122111111111n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b --------++++++++=解：从第i 行提取公因子(1,2,,1)n i a i n =+ ，就可以得到转置的1n +阶范德蒙行列式1-22111111111112211222222221211221111111111111n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b D a a a a b a b a b a b ---------+-----++++++++=于是111[]njni i i j i n i jb b D a a a =≤<≤+=-∏∏ 例4[4] 计算行列式2111111212222221111n n n n n n nn x x x x x x x x x x D x x x x x -----=- 解：从第i 行提出(1,2,,)1ii x i n x =- ,然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3列， ,第-1n 列加到第n 列，就得到范德蒙行列式 即21221111111112122122222222121221221111111111111n n n n n n n n n n n n n nn n nnnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x ---------------=⋅⋅=------于是11()1nii j i j i nix D x x x =≤<≤=-∏∏-例5[5] 计算n 阶行列式123222212322221231231111nnn n n n n nn n n nnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=解:考虑1n +阶行列式123222221231222221231111112312311111nn n n n n n n nn n n n n nnn n nnnx x x x x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x +----------=它是关于1n +个变元12,,,,n x x x x 的范德蒙行列式，由范德蒙行列式知111()()nn k j i k i j nV x x x x +=≤<≤=--∏∏若将1n V +按最后一列展开，则111,12,1,11,1n n n n n n n n n V A xA x A x A -++++++=++++ 要计算的行列式其实就是1n V +中元素1n x -的余子式,1n n M +，即,1n n n D M +=而21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M ++++=-=-就是111()()nn k j i k i j nV x x x x +=≤<≤=--∏∏的系数，所以,111()nn n n k j i k i j nD M x x x +=≤<≤==-∑∏3.2 利用范德蒙行列式证明向量组线性相关、无关的问题 例[6]1 判断向量组232312232334(1,,,), (1,,,)(1,,,), (1,,,)a a ab b bc c cd d d αααα====是线性相关还是线性无关.其中,,,a b c d 各不相同. 解：考虑相应的齐次线性方程组：112233440x x x x αααα+++=即1234123422221234333312340000x x x x ax bx cx dx a x b x c x d x a x b x c x d x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 此方程的系数行列式是范德蒙行列式222233331111 (-)(-)(-)(-)(-)(-)a b c d D a b c d a b c d b a c a d a c b d b d c ==因为,,,a b c d 各不相同，所以0D ≠.根据④克莱姆法则可知，方程组只有零解.从而1234,,,αααα线性无关.例[7]2 设12,,,m λλλ 是方阵A 的m 个特征值，12,,,m p p p 依次是与之对应的特征向量.如果12,,,m λλλ 各不相等，则12,,,m p p p 线性无关.证明：设有常数12,,,m x x x 使11220m m x p x p x p +++= .则1122()0m m A x p x p x p +++= ，即1112220m m m x p x p x p λλλ+++= ，类推之，有1112220.(1,2,,1)k k km m m x p x p x p k m λλλ+++==-把上列各式合写成矩阵形式，得1111221122111(,,,)(0,0,,0).1m m m m m m m x p x p x p λλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当i λ各不相等时该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有1122(,,,)(0,0,,0)m m x p x p x p = ， 即0(1,2,,)j j x p j m == . 但0j p ≠，故0(1,2,,)j x j m == .所以向量组12,,,m p p p 线性无关.3.3 用线性方程组范德蒙行列式来解决有关多项式的根的问题例[8] 设01,,,n x x x 两两互异，函数()f x 在i x x =处的值为()i i f x y = (0,1,,)i n = .证明：存在唯一的n 次多项式()n p x ，使()n i i p x y = (0,1,,)i n =. 证明：令2012()n n n p x a a x a x a x =++++ ，由题设，有01000,01111,01,nn nn n nn n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这是以01,,,n a a a 为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式的转置，200021110211 ()1nn j i i j nn n n n x x x x x x D x x x x x ≤<≤==-∏.由于()i j x x i j ≠≠,故0D ≠,从而方程组有唯一解,即存在唯一的多项式()n p x ,使()n i i p x y = (0,1,,)i n =. 注 作为特例,我们不难知道:若n 次多项式2012()n n n p x c c x c x c x =++++ 对1n +个不同的x 值都是零,则()0n p x ≡.4 范德蒙行列式在微积分中的应用例[9]1 确定常数,,,a b c d ，使得()cos cos 2cos3cos 4f x a x b x c x d x =+++,当0x →时为最高阶的无穷小,并给出其等价表达式.解:对()f x 的各项利用②泰勒公式,即由ln x 的泰勒展开式246(2)ln 1(1)24!6!(2)!n n x x x x x n =-+-++- 有24624666(2)(2)(2)()[1()][1()]2!4!6!2!4!6!x x x x x x f x a o x b o x =-+-++-+-+24624666(3)(3)(3)(4)(4)(4)[1()][1()]2!4!6!2!4!6!x x x x x x c o x d o x +-+-++-+-+22221(234)2a b c d a b c d x =+++-+++44441(234)4!a b c d x ++++666661(234)()6!a b c d x o x -++++ 当0x →时,若()f x 最高阶无穷小在6阶以上,则有方程组2224446660234023402340a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩其系数行列式2223334441 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4D =为范德蒙行列式,由于0D ≠,故以,,,a b c d 为未知数的方程组只有零解: 0a b c d ==== 从而()0f x ≡.这显然不合题意,故以下考虑()f x 当0x →时最高阶无穷小为6阶的情形. 令222444023402340a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩等价于222444234234b c d a b c d a b c d a ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩此以,,b c d 为未知数的线性方程,其系数行列式为范德蒙行列式22214441 1 1 2 3 4 02 3 4D =≠方程组有唯一一组依赖于a 的整数解:922,,77b ac ad a =-==-，从而()f x 在0x =的邻域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式76666192()(234)()6!77f x a a a a x o x =--+⋅-⋅+ 667()2ax o x =+ 例[10]2 设()f x 至少有k 阶导数,且对某个实数a 有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞== (1)试证:()lim ()0,1,2,,i x x f x i k α→∞== ，其中(0)()f x 表示()f x .证明：由条件(1),要证明()lim ()0i x x f x α→∞=,只要将()()i f x 写成与()f x 与()()k f x 的线性组合即可.利用泰勒公式,21(1)()()()()()()()2!(1)!!k k k k m m m m f x m f x mf x f x f x f k k ξ--'''+=+++++- (2)其中,1,2,,m x x m m k ξ<<+= 这是关于(1)(),(),(),,()k f x f x f x f x -''' 的线性方程组,其系数行列式为212k-1221111 11 1 1 12!(k-1)!1 2 2 2 221 2 12!(1)! 1 3 3 1!2!(1)!12!(1)!k k k D k k k k k ---==-- 12131k k k k k --后一个行列式为范德蒙行列式,其值为1!2!(1)!k - ,故D=1!.于是可从方程组(2)把(1)(),(),(),,()k f x f x f x f x -''' 写成() (m=1,2,,k)f x m + 与()() (m=1,2,,k)k m f ξ 的线性组合.我们只要证明()lim ()lim ()0k m x x x f x m x f ααξ→∞→∞+== (m =1,2,,k 即可. 事实上,设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()lim lim ()0i i i x x x x x x x ft t f t t f t t t ααααα→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,)i k= 在此式中分另令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==,则得()lim ()lim ()0k m x x x f x m x f ααξ→∞→∞+== (1,2,,)m k =. 注:类似的方法可证如下命题[11]设函数f 在(,)a +∞上有直到n 阶导数,且有()lim (),lim ()n x x f x A f x B →∞→∞==.求证:()lim ()0,1,2,,k x f x k n →∞== .例[12]3 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数,且'()(0)0,(0)0,,(0)0n f f f ≠≠≠ ,若121,,,n p p p + 为一组两两互异的实数,证明:存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+ ，使得当0h →时,11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件,可得()i f p h (1,2,,1)i n =+ 在0x =处常有③皮亚诺余项的马克劳林展开式:()110()(0)()!k k nk n k p h f p h f o h k ==+∑， (1)()220()(0)()!k k nk n k p h f p h f o h k ==+∑， (2)()110()(0)()!k k nk n n n k p h f p h f o h k ++==+∑， (1)n + 121(1)(2)(1)n n λλλ+⨯+⨯+++⨯ ，得()()11111111()(0)1(0)(0)()!n n nn k k k ni i i i i i i k i f p h f f p f h o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑. 当0h →时,若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小,则1211122112221122111122111,0,0,0.n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ 这是以121,,,n λλλ+ 为未知数的线性方程组,其系数行列式121222121111211 1 1()0n n j i i j n n n nn p p p D p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏,故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+ ，使当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶无穷小. 5 结束语全文分为五个部分.第一部分是前言.先介绍了本文将要用到的一些相关知识.如行列式的展开定理；泰勒公式；皮亚诺余式的马克劳林展开式.第二部分范德蒙行列式的定义及其证明.主要介绍了什么叫做范德蒙行列式，以及对范德蒙行列式做了证明.第三部分范德蒙行列式在代数方面的应用.这也是我所写的主要类容.它又分别包含了利用范德蒙求解n阶行列式；利用范德蒙行列式证明向量组线性相关、无关的问题；线性方程组范德蒙行列式来解决有关多项式的根的问题这三个方面.第四部分为范德蒙行列式在微积分中的应用.主要就泰勒公式与范德蒙行列式的合用，范德蒙行列式与泰勒公式的特殊形式皮亚诺余项的马克劳林展开式的合用做了一定的阐述.第五部分为结束语与致谢，主要就是对本文的写作的回顾、感慨以及对帮助我老师的谢谢.参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社.[3]晏林.范德蒙行列式的应用[C].云南:文山师范高等专科学校学报,第13卷,第2期,2001年11月.[4]冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].济南:山东轻工业学院学报,2006年第2期第14卷.[5]陈治中.线性代数与解析几何辅导[M].清化大学北京交通大学出版社.[6]吴声钟.线性代数内容、方法与练习[M]电子工业出版社.[7]同济大学数学教研组编.工程数学线性代数（第三版）[M]. 高等教育出版社.[8]易大义,陈道琦.数值分析引论[M].杭州:浙江大学出版社,1998,17-18.[9]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社,2001.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.[11]吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社,2002,360-361.[12]章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学,2003,19(5):117-119.Application of Vandermonde DeterminantAbstract: This article according to the Vander Mongolia determinant thecharacteristic, summaried the Vander Mongolia determinant in thealgebra, the fluxionary calculus application.Key word: Vander Mongolia determinant; Algebra; Fluxionary calculus11。
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分类号： O151.22 单位代码： 106 密 级： 一般 学 号：
本科毕业论文（设计） 题 目：浅析Vandermonde行列式的 相关性质及其应用 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 指导教师： 职 称： 答辩日期： 二〇一〇年五月八日 浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用 摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。 关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde Vandermonde determinant of the nature and application of relevant Abstract: Within the study of advanced-math,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations，Vector spaces，Matrix，Linear transformation.There was a series regulations and skills in calculation of determinant.And Vandermonde determinant was an important determinant.Firstly,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches.Finally,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice. Key words：Determinant; Vandermonde determinant; Vandermonde 1 引言 在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用]1[。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用]2[。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中]3[。 本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。 2 预备知识 为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。 2.1 定义1 行列式是由2n个元素（数）ij(ji,=1,2,…,n)排成n行n列并写成 (1) 的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记nnpppaaa2121为,式中nppp,,,21是1,2,…,n的一个
排列。 ②每项nnpppaaa2121应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(nppp,,,21)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项312312排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以312312应带正号；而
332112中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。
2.2 行列式的性质]4[ 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。 性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k
乘这个行列式。 性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。 性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。 性质8 设行列式D的第i行元素都可以表示成
D11121112212....................niiiiinin
nnnn
aaabcbcbcaaa,
那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行元素是12,,...iiinbbb，D2的第i行元素是12,,...iiinccc，而D1与D2的其他各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。 性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。 2.3 行列式计算中的几种基本方法]5[ 2.3.1 三角形法 就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n级行列式 ............................nxaaaaxaaDaaxaaaax
. 分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第n,,3,2列（行）都加到第一列（行）（或第121n，，，列（行）加到第n列(行)），则第1（或n）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解 1(1)...(1)...(1)...[(1)]()...............(1)...nnxnaaaxnaaaxnaxaxaDxnaxaxnaaxxa
2.3.2 加边法或升级法 例2 计算n级行列式
123...........................n
n
abbbbabbDbbabbbba
(,1,2,...,)ibain 分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素bbb,,,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素. 解
121...000nnbbbabbDbabbba升级12
1100100100nbbbababab
1121n
n
bbbbbababababab
1211[1]()()()nniibabababab
2.3.3 递推法或数学归纳法 例3 计算n级行列式 210001210001200.0002100012nD
分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第n行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解
1211211000021000120012(1)(1)20002100012nnnnDDDD
按第行展开
直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得 12112(1)2(1)1.nnnDDDDnnn 3 行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式 定义2 我们把型如
nV121111211...1..................nnnnnaaaaaa=1()ijjinaa
的行列式叫做Vandermonde行列式，其中1()ijjinaa表示12,,...iiinaaa这n个数