南京市名师课堂孙居国《数列中典型问题解题策略》
2020版高考数学二轮复习第2部分专题2数列解密高考2数列问题重在“归”——化归教案文
解密高考② 数列问题重在“归”——化归——————[思维导图]————————————[技法指津]——————化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分母题突破：2019年长沙检测(1)看到求{a n }的通项公式，想到求首项a 1和公差d ，利用S 9＝－a 5，a 3＝4，建立a 1和d 的方程组即可．(2)看到求n 的取值范围，想到建立关于n 的不等式，利用S n ≥a n 建立n 的不等式即可．[规范解答·评分标准](1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－2，············································4分所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋10. ··················6分(2)由条件S 9＝－a 5，得9a 5＝－a 5，即a 5＝0，····················7分因为a 1＞0，所以d ＜0，并且有a 5＝a 1＋4d ＝0，所以有a 1＝－4d ，··8分由S n ≥a n 得na 1＋n n －2d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n－10)d ，因为d ＜0，所以有n 2－9n ≤2n －10，即n 2－11n ＋10≤0，······10分解得1≤n ≤10，···········································11分所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}.···················12分[构建模板·两点注意] 等差、等比数列基本量的计算模型1．分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项，为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．2．注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．, 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1＝3，a 1，a 4，a 13成等比数列，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 4＝16，S 6＝36.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求和T n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n .[解] (1)公差d 不为0的等差数列{a n }满足a 1＝3，a 1，a 4，a 13成等比数列，可得a 24＝a 1a 13，即(3＋3d )2＝3(3＋12d )，解得d ＝2，即a n ＝2n ＋1.等差数列{b n }的公差设为m ，前n 项和为S n ，且S 4＝16，S 6＝36，可得4b 1＋6m ＝16,6b 1＋15m ＝36，解得b 1＝1，m ＝2，则b n ＝2n －1.(2)1a n b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 则T n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.。
高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案
【课题】6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：〔1〕了解数列的有关概念；〔2〕掌握数列的通项〔一般项〕和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前假设干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项〔一般项〕和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不管能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比方我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基此题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是稳固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】．从小到大依次取正整数时，cos，…．的近似值〔四舍五入法〕,,n a ，．()n ∈N下角码中的数为项数，1a 表示第由小至大依次取正整数值时，以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项a【教师教学后记】【课题】6．2 等差数列〔一〕【教学目标】知识目标：〔1〕理解等差数列的定义；〔2〕理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的稳固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】6．3 等比数列〔一〕【教学目标】知识目标：〔1〕理解等比数列的定义；〔2〕理解等比数列通项公式．能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用比照的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a 例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,假设三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：〔1〕了解向量、向量的相等、共线向量等概念；〔2〕掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0λ≠”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作手写时应在字母上面加箭头，记作a．AB的模依次记作AB．模为零的向量叫做，零向量的方向是不确定的．模为AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中〔图7－5〕，O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；〕找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量A D E FAB DOC 相等的向量；〕OC 的负向量；OC 共线的向量．提问巡视指导AC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC 〔abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=22125+=13又512tan =∠CAD ，利用计算器求得即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间【想一想】根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图7-12 讲解说明领会思考求解反复强调62*运用知识强化练习练习1．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空〔向量如下图〕：〔1〕a＋b =_____________ ,〔2〕b＋c =_____________ ,〔3〕a＋b＋c =_____________ ．3．计算：〔1〕AB＋BC＋CD；〔2〕OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导思考参与引导启发学生〔图1－15〕bbaa 〔1〕〔2〕第1题图=OA，b OB，则-=+-+=+=．()=OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=BA〔7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．过 程行为行为 意图间 【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ． 思考 求解70*运用知识 强化练习1．填空：〔1〕AB AD -=_______________，〔2〕BC BA -=______________， 〔3〕OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑引导 分析 思考 参与 分析引导启发学生思考74*动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ 〔7．3〕假设||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．总结思考带领a a a aOAB C过 程行为 行为 意图 间 由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ 〔7．4〕一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 归纳 仔细 分析讲解 关键 词语归纳 理解 记忆 理解 记忆学生 分析 引导 启发 学生 得出 结论78 *稳固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求向量AC 与BD .出强调 含义思考 求解注意图7－16AC ＝a ＋BD ＝b −AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC 〔a ＋b 〕＝OD ＝12BD ＝12〔b −a 〕＝a ＋12b 和−12a +12AO 、OD 可以用向量λa ＋μb 叫做a , b 的一个．如果l ＝λa ＋μ b 向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA ，使OA ＝12〔AB 的模依次记作AB ．a 与向量的模相等并且方向相同时，称向量计算：AB＋BC＋CD；〔OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组〔必做〕；7．1 B 【教师教学后记】【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：〔1〕了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；〔2〕了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点〔一般称为位置向量〕．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为〔x，y〕,则i j，=+OA x y将有序实数对〔x，y〕叫做向量OA的坐标．记作OA=〔x，y〕．例1是关于“向量坐标概念”的知识稳固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识稳固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式〔7.8〕.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的稳固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为〔2，3〕(图7－17)．则图7－172OM=i，3ON=j．由平行四边形法则知23OA OM ON=+=+i j．【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的介绍质疑引导分析了解思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点i +=OM x 22,)x y 〔如图2212(()(i =-==-+AB OB OA x x x y 由此看到，对任一个平面向量， 使得(x ,y )过 程行为行为意图间如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)=OA ．如图7－18〔1〕所示，起点为原点，终点为(,)M x y 的向量的坐标为(,)=OM x y ．如图7－18〔2〕所示，起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 〔7．5〕*稳固知识 典型例题例1 如图7－19所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j 表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．解 因为a ＝OM ＋MA ＝5i ＋3j ，所以 (5,3)=a ． 同理可得 (4,3)=-b ．【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会图7－19过 程行为行为意图间 (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ． 15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为〔－2，3〕，写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标． 3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ． 提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况20*创设情境 兴趣导入 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27*动脑思考 探索新知 【新知识】图7－20【教师教学后记】【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：〔1〕了解平面向量内积的概念及其几何意义.〔2〕了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：〔1〕向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；〔2〕向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：〔1〕当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．〔2〕|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；〔3〕cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；〔4〕“a·b＝0⇔a⊥b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】⋅+⋅，i F jcos30是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即OAOB＝b,由射线OA与OB夹角，记作．两个向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量b的内积180时，a·时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的内积满足下面的运算律：．60，求︒。
线上讲座回顾丨深国交第二场入学考试题解析及2021备考建议
线上讲座回顾丨深国交第二场入学考试题解析及2021备考建议“深国交出题也太贼了吧！”“数学超级难，都是没见过的题，知识点都在高中范围内。
”“选择碰到老师押中的题啦。
”“语法不错，这次的改错题我做得还挺有信心的！”……在7月4号深国交第二场入学考试结束后，点击部分学员的考后感受截然不同，有的同学依然无奈深国交出题的套路，有的同学则是碰到押中题的欢喜。
相信同学们都迫不及待地想知道第二轮入学考的试题解析，莫急，问题不大。
应学生和家长的要求，点击国际教育在7月9号下午15点举行了一场深国交第二场入学考试题解析及2021备考建议的线上讲座。
未来得及进群收听讲座的各位，来看下讲座回顾吧。
数学部分G1年级考点总结主要考点函数：一次函数相关的新定义，二次函数比较大小，复合的取整函数几何：平行四边形比例问题，圆的阴影部分，三角函数与圆的综合性问题，度数转换代数：二元一次方程组，代数式化简，因式分解，根式方程，幂的运算统计与概率：统计量的计算，概率难度分析1、线上作答，无法像线下考试一样，不能事先扫描全卷，也不能先跳过题目再回看检查。
在一定程度上增加了不确定因素，考试压力随之而来。
2、和第一轮考试一样，数学题计算量大、时间紧，有的题目还分为几个小问，这就需要考生对未明确思路的题，或明显费时的题目作出取舍。
3、大多数题目与中考题型不同，没有准备的同学会觉得题型比较生疏。
真题分享点击学员在考完试后，回忆并向我们反馈了考试真题。
就拿这三道题给大家做一个参照吧，来看下孙老师的讲解。
第一道题，来看下孙老师的解答。
在学校里成绩比较好的同学也需要5分钟才能解答出来，这道题很考察学生的发散性思维，讨论的地方也比较多。
数学组组长孙老师建议：以后碰上这类题目，如果两分钟没有思路，直接把它pass掉。
因为深国交所有的题目，并不是都是为我们准备的，战略性的放弃也是一种胜利。
第二道题是送分题；第三道题比较简单，但是计算量偏大。
A1年级考点总结主要考点函数：对数运算，三角函数中的余弦定理，一元二次方程与两角和的正切结合，对数函数与三角函数结合，反三角函数，函数解析式，函数交点；（本部分占题目数量的57%）概率：分类计数原理与分步计数原理；排列组合中的捆绑法和位置分析法；（本部分占题目数量的20%）立体几何：直角三角形旋转所成旋转体体积；（本部分占题目数量的7%）数列：裂项相消（本部分占题目数量的7%）向量：（本部分占题目数量的7%）难度分析1、A1数学跟往年一样，少部分题目很偏。
江苏省西亭高级中学高三数学微专题十五——两个数列的公共项问题 - 教案
两个数列的公共项问题在全国卷、外省高考压轴题或自主招生试题中，常有两个数列的交集问题，除了我们常见的子数列问题（如：等差数列中的等比数列，等比数列中的等差数列）外，还有一些其它的数列的情况，可转化为两个数列的公共项问题，这种类型在江苏省内的高考中还未涉及，本专题中我们将对此进行专门研究．第一节 两个等差数列的公共项问题在我们常见的数列中，有些数列是没有公共项的，如数列{2}n 和数列{2+1}n 就没有公共项，那么数列公共项是什么？怎么样去寻找公共项呢？我们首先从两个最简单、常见的等差数列的公共项开始． 一、数列公共项的定义：将数列{}n a 与{}n b 看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项． 【例1】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．通过列举数列的前几项：{}n a ：3，7，11，15，19，23，27，31，35，… {}n b ：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…数列的公共项不需要在两个数列中项与项数相同，只需要项相同即可．比如本题中的11在两个数列中都是第3项，它是数列的公共项，但是23在两个数列中，一个为第6项，一个为第7项，它也是数列的公共项，由此可见：这两个数列的公共项从小到大排列是11，23，35，…发现该数列是首项为11，公差为12的等差数列，通项公式为121n c n =-．上述方法通过列举、观察，看出两个等差数列的公共项还是一个等差数列，是否具有普遍规律呢？二、两个等差数列公共项的求法：【例1】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【解析】法一：设k m p a b c ==，则4132k m -=+，所以3(1)4m k +=， 因为3，4互质，所以1m +必为4的倍数，即41m p =-， 所以3(41)2121p m c b p p ==-+=-， 即数列{}n c 的通项公式为121n c n =-．【点评】通过定义及分析，本题的本质是找到符合条件k m a b =（其中*,k m ∈N ）的二元不定方程的正整数解问题，可以通过简单的数论知识的推演得到问题的结论．此方法可称为不定方程法．【分析】回到观察数列的公共项的方法中去，我们可以发现，在找到第一个公共项后，寻找第二个公共项的过程值得总结：写出一个数列中的项，看是否在另一个数列中．写出哪个数列中的项？如何判断是不是另一个数列中的项？【解析】法二：由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以111c =．设k m p a b c ==，则4132k m -=+，所以144(1)143363()23k a k k m m +=+-=+=+=++不是数列{}n b 中的项，284(2)1473103()23k a k k m m +=+-=+=+=++不是数列{}n b 中的项，34(3)14113143(4)2k a k k m m +=+-=+=+=++是数列{}n b 中的项．所以，13p k c a ++=，则133412p p k k c c a a ++-=-=⨯=， 所以数列{}n c 是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列{}n c 的通项公式为121n c n =-．【点评】本方法的关键在于寻找下一个公共项，逐个检验公差为4的数列中的后续项是否为另一个数列中的项．此方法可称为周期法．【方法小结（应对策略）】在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．【跟踪训练】1．（北师大版必修3第78页例4）韩信采用下述点兵方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数．【解析】根据士兵报数结果可得：士兵的总数是三个等差数列{32}n +，{53}n +，{74}n +的公共项所组成的数列中的项．记32n a n =+，53n b n =+，74n c n =+，新数列记为{}n d ． 从小到大列举数列{}n c 中的项，并判断是否为数列{}n a 与{}n b 的项， 可得，数列{}n d 的首项为153d =，设k m p n a b c d ===，则325374k m p +=+=+，所以177(1)47475()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；2147(2)474145()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；3217(3)474215()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；4287(4)474285()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；5357(5)474355(7)33()23p c p p m k +=++=++=++=++不是数列{}n a 的项；6427(6)474425()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n a 的项；．．．157(15)4741055(21)33(35)2p c p p m k +=++=++=++=++是两个数列中的项．所以，115n p d c ++=，则1105n n d d +-=， 所以数列{}n d 的通项公式为10552n d n =-．【点评】（1）本题已经拓展为三个数列的公共项问题，可以使用两次数列公共项的方法求解，也可以直接求解．（2）本法过程可简化：777()47475()33()253p q q qc p q p q m k +=++=++=++=++， 要使p q c +同时是两个数列中的项，则73q ，75q均为整数，所以q 的最小值为15，所以151p n c d ++=．（3）本题还可以用不定方程法求解．2．（2011年上海高考文科压轴题）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+．将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N U 中的元素从小到大依次排列，构成数列1c ，2c ，3c ，L ，n c ，L ．（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列1c ，2c ，3c ，L ，40c 中有多少不是数列{}n b 中的项； （3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S ．【分析】将两个等差数列的项组成的集合合并后的新数列，重复的项只可能出现一次，此问题可转化为两个数列公共项的问题求解．【解析】将数列{}n a 和{}n b 的公共项从小到大排列，记为数列{}n d ．设k m a b =，则3627k m +=+，即312k m -=，所以k 为奇数，设21k n =-，则31m n =-， 3(21)663n k d a n n ==-+=+． （1）三个最小的数依次为9，15，21．（2）由数列1c ，2c ，3c ，L ，n c ，L 的构成可知，63m d m =+与169m d m +=+均为数列{}n c 中的项，在m d 和1m d +中还有以下项：656667m m m +++，，，因此，数列{}n c 中的项从第41k +项起，连续的4项中只有第43k +项是数列{}n a 中的偶数项，不是数列{}n b 中的项，所以数列1c ，2c ，3c ，L ，40c 中有10个不是数列{}n b 中的项；（3）由（2）可知，数列{}n c 的前4n 项中，由数列{}n b 中的前3n 项和数列{}n a 中的前n 项偶数项构成，因此，243(967)(1266)=123322n n n n n S n n +++++=+．【点评】本解法避免了求解数列{}n c 的通项公式，利用两个数列公共项形成的新数列，找到新数列的编排规律，是快速解决本题的关键．【拓展研究】两个递增的等差数列的公共项还是等差数列．【定理1】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正数1d 和2d ，且存在正整数m ，n 使得m n a b =，则存在正整数p ，q 使得p q a b =的充要条件是12d d 是有理数． 【证明】充分性：设*12=(,)d ss t d t∈N ，即存在正数d 使12d sd d td ==，， 所以1m t m m a a td a tsd +=+=+，2n s n n b b sd b tsd +=+=+， 所以m t n s a b ++=．充分性成立．必要性：由p q a b =，m n a b =可知，p m q n a a b b -=-，所以12()()p m d q n d -=-， 则12d q nd p m-=-，显然为有理数．必要性成立． 【理解】两个等差数列已有公共项，若还有公共项，两个数列公差之比必须为有理数． 【定理2】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正数sd 和td （其中s ，t 是互质的正整数，0d >），且两个数列存在公共项，将这些公共项从小到大排列，则形成的新数列{}n c 为等差数列，且公差为std ．【证明】设存在正整数m ，n 使得m n a b =，设为p c ，若1p m k n l c a b +++==．所以m k m a a ksd +=+，n l n b b ltd +=+， 所以ks lt =，因为s ，t 是互质的正整数， 所以k qt =（*p ∈N ），因为k ，l 是使1p m k n l c a b +++==成立的最小正整数，所以k qt t ==， 所以1p p m k m c c a a tsd ++-=-=．所以新数列{}n c 为等差数列，且公差为std ．【理解】两个等差数列的公共项构成新的等差数列，且新数列的公差为原来两个数列公差的“最小公倍数”．【推论1】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正整数s 和t ，则它们的公共项从小到大排列成的新等差数列的公差为[]s t ，．【推论2】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为既约分数pq和s t ，则它们的公共项从小到大排列成的新等差数列的公差为[]()p s q t ，，． （说明：[]m n ，为正整数m n ，的最小公倍数，()m n ，为正整数m n ，的最大公约数．） 【定理应用】【例1再看】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】数列的公共项从小到大构成等差数列，公差为[34]=12，，首项为11，因此，通项公式为121n c n =-．【练习】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为3944n a n =+，51166n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】数列的公共项从小到大构成等差数列，公差为[35]15=(46)2，，，首项为3492a b ==，因此，通项公式为1532n c n =-．第二节 与等比数列有关的公共项问题与等差数列相比，等比数列的通项公式更为复杂，涉及指数函数类型的问题，在求解中的难度高于等差数列，但方法却基本相同，我们依然可以沿用上一讲中重点介绍的不定方程法和周期法求解．下面我们结合具体问题进行研究． 一、两个等比数列的公共项求解【例2】已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足243=-n n S a ，数列{}n b 的前n 项的积2223+=⋅nnn n T ．数列{}n a 与{}n b 的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的前n 项的和．【分析】由题意可知两个数列均为等比数列．其公共项可以用不定方程法求解． 【解析】由243=-n n S a 可得132a =，11243n n S a --=-，所以1122()44n n n n n a S S a a --=-=- ，即12n n a a -=（2n ≥），因此-232n n a =⋅． 由2223+=⋅nnn n T 可得1212324b +=⋅=，又22221(1)2(1)11233223n n n n n n n n n n T b T ++-+---⋅===⋅⋅（2n ≥），因此2132n n b +=⋅． 设k m p a b c ==，则2213232k m -+⋅=⋅，所以23k m =+（1m ≥）即可， 所以，232213232n n n c +-+=⋅=⋅．所以，数列{}n c 的前n 项的和为2324(14)8(41)2814n n n +-=-=--． 【点评】本题主要研究两个正项等比数列的公共项问题，寻找二元不定方程的正整数解为解题关键．【拓展】将等比数列转化为等差数列研究对于正项等比数列，我们可以通过取对数，将等比数列转化为等差数列，因此本题还可以这样研究：因为-232n n a =⋅，所以令22log log 32n n A a n ==+-． 因为2132n n b +=⋅，所以令22log log 321n n B b n ==++．经过这样的转化，等比数列{}n a 与{}n b 的公共项可以转化为等差数列{}n A 和{}n B 的公共项问题来研究，研究过程这里就不再赘述．由此，根据上述思路及第一节拓展知识可以得到几个结论，特别强调：【推论3】两个无穷正项数列{}n a 与{}n b 的公比分别为1q 和2q ，且存在正整数m ，n 使得m n a b =，则存在正整数p ，q 使得p q a b =的充要条件是21log q q 是有理数．【方法指导】1、若两个等比数列的各项均为负数，如数列{62}n -⋅和{38}n -⋅的公共项，可以先确定所有的公共项的符号均为负，再转化为两个正项数列{62}n ⋅和{38}n ⋅的公共项问题求解．2、若两个等比数列中的项有正有负，亦可以先确定公共项的符号特点，再根据数列中项的绝对值形成的新数列的公共项问题求解．如数列{62}n -⋅和{3(8)}n ⋅-的公共项问题，数列{6(2)}n ⋅-和{3(8)}n ⋅-的公共项问题等都可以如此处理． 二、等差数列与等比数列的公共项问题不是任意的等差数列和等比数列都有公共项，也不是都有无穷多个公共项．本专题中均涉及无穷数列的问题，其公共项也都是无穷项．对于数列公共项为有限个数的问题，这里不进行探讨．【例3】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】依然可以通过列举的方法探求解题的思路，体现出特殊到一般的思想． 【解析】方法一（周期法）：观察数列的前几项可得，18c =． 设k m p a b c ==，则232k m =+．则1122222(32)643(2)23k k k a m m m ++==⨯=+=+=++不是数列{}n b 中的项，222424(32)1283(42)2k k k a m m m ++==⨯=+=+=++是数列{}n b 中的项，所以，12p k c a ++=，则12224p k p kc a c a ++===， 所以数列{}n c 是等比数列，公比为4，首项为8，即通项公式为212n n c +=．【点评】方法与等差数列中类似，选择利用2n 进行探究的原因是该等比数列的项变化大，可以快速找到下一个公共项．【解析】方法二（不定方程法）：设k m p a b c ==，则232k m =+，所以，考虑使用二项式定理：113(31)233+(1)23(1)2k k k k k k m C t -=--=-+--=+--L ，其中t ∈Z ，所以*(1)23k m t --=+∈N ，故k 为奇数，考虑到2325k m =+≥，所以k 为大于等于3的奇数．所以2122k p p k c a +===，即通项公式为212n n c +=．【点评】考虑到2可以用31-表示，结合二项式定理，可以顺利求解，特别要根据参数的取值范围，确定初始值的取值，否则会出现漏项或者多项的情况．【拓展】由于等比数列与等差数列的公共项问题，与等差数列中的等比子数列、等比数列中的等差子数列问题非常相像，结论也基本相同，另有专题进行研究，本专题中不再深入探讨，仅做以下推论：【推论4】等比数列与等差数列的公共项所构成的新数列，一般仍为等比数列． 三、等比数列与完全多项式型数列的公共项问题完全多项式指可化为相同的多项式的乘积的形式的多项式．如5(23)x +，2(1)x -等． 【例4】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，3n b n =，设集合123{}n A a a a a =L L ，，，，，，123{}n B b b b b =L L ，，，，，，将集合A B U 中的元素由小到大排成的数列记为{}n c ，求{}n c 的前30项的和．【分析】（1）本题是两个数列的合并问题，先考虑两个数列的公共项的情况，再对两个数列的合并过程中项的排列顺序进行讨论研究，找出合并数列的特征；（2）本题也可以仅找出数列合并后由小到大排列的前30项（数据量小），根据公共项的位置逐个判断；（3）由于两个通项公式都非常简单，故公共项问题首先考虑不定方程法求解．【解析】设两个数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大排列为一个新数列{}n t ，方法一（不定方程法）： 设k m p a b t ==，则32k m =，所以，32km =，因此 *3k ∈N ，即3k p =，所以，32pp k t a ==，即数列{}n t 的通项公式为8n n t =．方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，18t =． 设k m p a b t ==，则32k m =．则13312222)k k k a m ++==⨯==不是数列{}n b 中的项，23322424)k k k a m ++==⨯==不是数列{}n b 中的项， 33332828(2)k k k a m m ++==⨯==是数列{}n b 中的项，所以，13p k t a ++=，所以13328p k p kt a t a ++===，则数列{}n t 的通项公式为8n n t =． 由于328n n n n t a b ===，所以不超过48（即122、316）的项中，{}n a 中有12个，{}n b 中有16个，减去4个公共项，则48为数列{}n c 中的第24项，还需要6项， 因为1328096=，14217192=，3208000=，3219261=， 所以这6项依次为333313317181920221，，，，，．所以前30项的和为12133331234(222)(1221)(8888)+++++++-+++L L241421(211)8(18)2265063218+-⎡⎤=-+-=⎣⎦-． 【点评】（1）不定方程法需要对分数指数幂的形式较为熟悉，才能顺利求解；（2）在确定合并的第24项以后的项的过程中，应该根据数据变化的特点，先考虑数列{}n b 中的6项，再进行检验和删减．【练习】已知数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，3n b n =，设集合123{}n A a a a a =L L ，，，，，，123{}n B b b b b =L L ，，，，，，将集合A B U 中的元素由小到大排成的数列记为{}n c ，求数列{}n c 的前221n n ++项的和．【解析】由于328n n n n t a b ===，所以不超过8n （即32n 、3(2)n ）的项中，{}n a 中有3n 个，{}n b 中有2n 个， 减去n 个公共项，则8n 为数列{}n c 中的第3222n n n n n +-=+项，因此，221n n c ++为31n a +与21n b +的较小者．因为3133231212(21)232321n n n n n n n a b +++-=-+=-⨯-⨯-，当1n =时，43a b <，则4221n n c a ++=，此时数列{}n c 的前221n n ++项的和为39． 当2n ≥时，323121232321n n n n n a b ++-=-⨯-⨯-222[(23)23]21[(23)23]210n n n =------>≥，则22121n n n c b +++=， 因此，数列{}n c 的前221n n ++项的和为123121221()()()n n n a a a b b b t t t ++++++++-+++L L L231(21)(211)8(18)22218n n n n ++++-⎡⎤=-+-⎣⎦- 321126(21)(2321)7n n n --⋅-=+⋅++． 所以，数列{}n c 的前221n n ++项的和为321123916(21)(2321) 2.7n n n n n --=⎧⎪⎨⋅-+⋅++⎪⎩， ，，≥第三节 与多项式型数列有关的公共项问题除等差数列、等比数列外，还有不少通项公式不复杂的数列，其公共项的求解在高考、竞赛、自主招生中有出现的可能，其对应不定方程解的求解也较为复杂，会涉及到数论的部分知识，如整除、同余等等．这一节中，我们重点研究多项式型数列的公共项问题．【例5】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为3n a n =，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】考虑到三次方的展开并不复杂，需要整理成的形式为除以3余2的形式，考虑使用同余的相关知识进行求解．【解析】方法一（不定方程法）：设k m p a b c ==，则332k m =+，所以，考虑对k 进行分类，分为32313t t t --，，，其中*t ∈N ， 当32k t =-时，33(32)1(mod3)k t =-≡，不符合题意； 当31k t =-时，33(31)2(mod3)k t =-≡，符合题意； 当3k t =时，33(3)0(mod3)k t =≡，不符合题意；所以，3(31)p k c a p ==-，即通项公式为3(31)n c n =-．【点评】1、本题中对参数k 进行分类时要准确判断范围，不可以用33132t t t ++，，（其中*t ∈N 或者t ∈N ）的形式；2、同余知识的使用和书写要注意规范；【思考】如果符合题意的分类超过一个，怎么办？【分析】周期法在研究公共项问题中常常显得不太简洁，但在用不定方程法研究受阻时，可利用对变化幅度较大的数列进行逐项考察，直到找到满足条件的下一个公共项，再指出其关系，适用于不太熟悉数论知识的学生使用．本题中也使用本法进行尝试．【解析】方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，18c =． 设k m p a b c ==，则332k m =+．则33221(1)331323310(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡不是数列{}n b 中的项，33222(2)61283261281(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡不是数列{}n b 中的项，33223(3)9272732927272(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡是数列{}n b 中的项，所以，13p k c a ++=33k k =+-=，所以为等差数列，公差为3，首项为2，所以数列{}n c 的通项公式为3(31)n c n =-．【点评】利用确定的关系式代入，并找出各项与3的关系，利用同余的知识，可以大幅度的简化思维与书写过程．【练习】证明：数列3{}n n +与{71}n +没有公共项． 【解析】设3n a n n =+，71n b n =+．对n 进行分类，可分为7717273k k k k ±±±，，，，其中t ∈N ， 当7n k =时，3(7)70(mod7)n a k k =+≡不是数列{}n b 中的项，当71n k =+时，3(7+1)(71)112(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当72n k =+时，3(7+2)(72)823(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当73n k =+时，3(7+3)(73)2732(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当73n k =-时，33(73)(73)(3)35(mod7)n a k k =-+-≡--≡不是数列{}n b 中的项，当72n k =-时，33(72)(72)(2)24(mod7)n a k k =-+-≡--≡不是数列{}n b 中的项， 当71n k =-时，33(71)(71)(1)(1)5(mod7)n a k k =-+-≡-+-≡不是数列{}n b 中的项， 因此，数列3{}n n +与{71}n +没有公共项．【点评】本题使用不定方程法证明，使用周期法证明不太合适．【例6】将自然数中既是完全平方数，又能被3整除余1的数由小到大排成，形成新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】本题中的数满足两个条件，再考虑范围问题，本题可以看成是两个数列2{}n 与{32}n -的公共项问题．【解析】设数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n a n =，32n b n =-，它们的公共项由小到大排成的数列就是{}n c ． 方法一（不定方程法）： 设k m p a b c ==，则232k m =-，所以，考虑对k 进行分类，分为32313t t t --，，，其中*t ∈N ， 当32k t =-时，22(32)1(mod3)k t =-≡，是数列{}n b 中的项； 当31k t =-时，22(31)1(mod3)k t =-≡，是数列{}n b 中的项； 当3k t =时，22(3)0(mod3)k t =≡，不是数列{}n b 中的项；所以，数列{}n c 的通项公式为222231()(32)21232(31)2()2n n n t n t c n t n t n -⎧⎧-=-⎪⎪==⎨⎨--=⎪⎪⎩⎩，为奇数，，，，，，为．偶数 方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，1111c a b ===． 设k m p a b c ==，则232k m =-．则22121(1)2132213()23k k a k k k m k m ++=+=++=-++=+-，当3k t =时1k a +不是数列{}n b 中的项， 当31k t =+时1k a +是数列{}n b 中的项， 当32k t =+时1k a +不是数列{}n b 中的项，2221(2)4432443(1)23k k a k k k m k m k ++=+=++=-++=+++-，当3k t =时2k a +不是数列{}n b 中的项， 当31k t =+时2k a +不是数列{}n b 中的项， 当32k t =+时2k a +是数列{}n b 中的项，223(3)6932693(23)2k a k k k m k m k +=+=++=-++=++-，不论k 为何值，一定是数列{}n b 中的项， 所以，3231{}{}n n n c a a --=，，得通项公式为222231()(32)21232(31)2()2n n n t n t c n t n t n -⎧⎧-=-⎪⎪==⎨⎨--=⎪⎪⎩⎩，为奇数，，，，，，为．偶数 【点评】（1）本题即为存在多项符合条件的问题，可利用分段解析式的形式进行表述，找准项与序号的关系．（2）本题中“周期”较为复杂，但仍可进行多次分类，探求了多个可找出下一公共项的类型，找出了“周期”；（3）本题还可以使用数学归纳法研究．【练习】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n a n =，n b =排成的数列是{}n c ，求{}n c 的通项公式．【解析】可对问题进行平方转化，设k m p a b c ==，则2k = 即441k m =+， 方法一（不定方程法）：当4k t =时，44(4)0(mod 4)k t =≡， 当41k t =+时，44(41)1(mod 4)k t =+≡， 当42k t =+时，444(42)20(mod 4)k t =+≡≡， 当41k t =-时，444(41)21(mod 4)k t =-≡≡， 所以，41k t =±，*t ∈N ． 因此，2(21)n c n =+． 方法二（不定方程法）：当2k t =时，44(2)0(mod 4)k t =≡， 当21k t =+时，44(21)1(mod 4)k t =+≡，所以，21k t =+，*t ∈N ．因此，2(21)p c p =+，即2(21)n c n =+．【点评】（1）对于部分无理式的问题，可以利用转化思想进行研究；（2）某些分式形式也可以利用转化思想研究； （3）最终结论需回答转化前原题的提问．综述数列的公共项是数列的交、并运算的基础，本专题中重点介绍了研究两个数列的公共项问题的研究策略和方法：不定方程法和周期法，两种方法特色鲜明，可操作性强．相比较而言，不定方程法的策略是利用数论知识解不定方程，适用于有一定数论基础的学生，它的使用范围比较广泛，可以解决公共项的问题，也可以证明无公共项的问题；周期法的策略是“若n k c a =，寻找符合条件的整数T ，使{}k mT n a c +∈”，缩小了考虑范围，找到数列中项的变化规律，适用于数论基础薄弱的学生，但在使用中，它仅适用于可以找到公共项的问题．因此，需要针对不同问题进行合理的方法选用．。
2019-2020学年度第二学期第9-10周中学教研活动参加人员
说课人：江苏省溧水高级中学 陶艳菊
全市高一物理教师
2020年6月5日
星期五
9：00
南京市教研室（网络教研）
（网络教研）
一、讲座：
内容：“领会新课标 备战新高考”
主讲人：南京外国语学校 蔡才福
二、说课：
内容1、“运动的描述”
说课人：南京师范大学扬子附属中学 王永胜
内容2、“匀变速直线运动规律的研究”
《初中化学一模之后复习建议》溧水区教研室 戴地宝
区初中化学教研员、溧水高淳江宁化学教师、杨剑春名师工作室成员、学业评价项目组成员
2020年5月29日
星期五
13：00
金陵中学溧水分校
初中化学教研员例会暨一模质量分析会
讲座、沙龙
区初中化学教研员、杨剑春名师工作室成员等
中学生物
2020年5月26日
星期二
14：00
⒈示范课展示 课题：《明朝的统治》《独立自主的和平外交》《资本主义的兴起》
执教：倪丽娟（雨花台中学）、杨星（江苏省溧水高级中学附属初级中学）、姚宜辰（第五初级中学）
⒉主题研讨
主题：《关注学情、夯实基础、提升能力——九年级复习策略探究》主讲：刘梦骁（三十九中学）
提醒：请相关人员加入鼓楼、秦淮、溧水、雨花台四区初中历史教师联盟群：
（4）新课标下的高中英语报刊阅读教学 田家炳高级中学 刘伶
全市高二英语教师（网上教研，看视频）
中学物理
2020年6月5日
星期五
9：00
南京市教研室（网络教研）
（网络教研）
一、讲座：
内容：“磁场”的教学策略与教学方法研讨
主讲人：南京外国语学校 姚小琴
高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案
2468
分析
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式
子表示这种关系．
解 （1）数列的前 4 项与其项数的关系如下表：
项数 n
1
2
3
4
项 an
5
10
15
20
关系 5 51 10 5 2 15 53 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为 an 5n ．
（2）数列前 4 项与其项数的关系如下表：
由定义知为等差数列归纳仔细分析讲解关键词语理解记忆学生分析10巩固知识典型例题已知等差数列的首项为12公差为5试写出这个数列的第说明强调引领讲解说明观察思考主动求解运用知识强化练习试写出这个数列的第写出等差数列11852提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握创设情境兴趣导入你能很快地写出例中数列的第101显然依照公式61写出数列的第101是比较麻烦质疑思考从实61学习好资料欢迎下载教师行为学生行为教学意图引导分析参与分析自然动脑思考探索新知设等差数列62知道了等差数列利用公式62可以直接计算出数列的任意一项所以数列的通项公式为12数列的第10110117101488想一想等差数列的通项公式中对不同情况应该分别采用什么样的计算方法
4 1 (1)4
注意 观察 学生 是否 理解 知识 点
强调 思考 含义 求解
教学 过程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
【注意】 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一
反复 强调
的．例如， an (1)n 与 an cos n 都是例 2（3）中数列“−1，
1，−1，1，…．”的通项公式． 【知识巩固】
正整数．
a1 1， a2 2 ， a3 3 ，…，
可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用
数学春季教案 五年级-15 解决问题的策略
第15讲解决问题的策略【教学内容】春季精英版，5年级第15讲“解决问题的策略”。
【教学目标】知识技能在解决简单实际问题的过程中，学会收集有效信息，探索并掌握用列表法，一一列举法，倒推法，假设法，作图法等数学策略解决实际问题，寻找解决问题的有效方法，在解题过程中感受算法的多样化与最优化。
数学思考在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受各种解题策略的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。
问题解决体验与他人合作交流解决问题的过程，并尝试回顾解决问题的过程。
情感态度进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，并获得解决问题的成功体验，提高学习数学的信心。
【教学重难点】教学重点尝试用不同的方法解决数学问题，在尝试中培养学生的思维能力。
教学难点面对具体的实际问题选择恰当的解决问题的策略。
【教学准备】动画多媒体语言课件。
第一课时教学过程：第二课时教学过程：本讲教材答案：教材：例1：用这台天平最多能称出7种不同的质量：1克，2克，3克，5克，6克，7克，8克。
例2：（12+10）×2＝44（元）（44-8）×2=72（元）例3：大船：（47＋1－4×10）÷（6－4）＝4（条）小船：10－4＝6（条）或：小船：（6×10－47－1）÷（6－4）＝6（条）大船：10－6＝4（条）例4：：（196－5×8）÷（5＋8）＝12（分米）12×12+196＝340（平方分米）例5：至少称4次。
拓展问题拓展问题1：拓展问题2：第一层20本，第二层15本，第三层25本。
拓展问题3：（28-2）×2=52（棵）（52+2）×2=108（棵）拓展问题4：35×15=525（元）525-420=105（元）中途下车：105÷（15-8）=15（人）拓展问题5：325-50=275（平方厘米）设宽为x厘米，10×（x+5）+5x=225x=1515+5=20（厘米）15×20=300（平方厘米）拓展问题6：至少称9次。
江苏省2020版高考数学一轮复习第七章数列、推理与证明第38课等比数列课件苏教版
第38课 等比数列
栏 目 导
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
航
链教材 ·夯基固本
回归教材 1. (必修 5P49 习题 1 改编)已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，那么数 列{an}的通项公式为 an＝__9_·_23__n－_2_.
(2) 设 bn＝an＋3，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
【解答】 因为 Sn＝2an－3n，所以 Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减得 an＋1＝2an＋3(*)， 将 bn＝an＋3 及 bn＋1＝an＋1＋3 代入(*)式，得 bn＋1＝2bn，且 b1＝6， 所以数列{bn}是以 6 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 bn＝6×2n－1， 所以 an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．
(2) 判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 【解答】 {bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 理由如下：由题知na＋n＋11＝2nan，即 bn＋1＝2bn， 因为 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(3) 求数列{an}的通项公式． 【解答】 由(2)知ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，则 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2＝aa24＝49，又 q>0，所以 q＝23，所以 an＝9·23n－2.
2. (必修 5P48 例 2 改编)已知－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么 b＝___－__3___， a·c＝____9____.
【解析】由等比数列的性质可得 ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9，且 b 与奇数项 的符号相同，故 b＝－3.
等差数列前n项和的性质及应用
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则数列S m，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n}的公差d>0，则该数列S n一定有最小值，d<0，则该数列S一定有最大值．( )n2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________.(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________.(3)在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S取最大值，则d的取值范围为________.n题型一等差数列前n项和性质的应用例1 等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m 项的和．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[条件探究] 本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，S n最小？[跟踪训练3] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．题型四等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？[跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A nB n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．122．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20D ．153．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 64．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( ) A．36 B．18C．72 D．92．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．93．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列4．已知等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，且(n＋1)S n＝(7n＋23)T n，则使anbn为整数的正整数n的个数是( )A．2 B．3C．4 D．55．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a nS n ＋4的最大值是________.三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0，则该数列S n 一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围为________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．[解] 解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S m＝ma 1＋m m －12d ＝30，S 2m＝2ma 1＋2m 2m －12d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2，所以S 3m ＝3ma 1＋3m3m －12d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m－S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.等差数列前n项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150答案 A解析∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解]设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．即第10个月应付款55.5元．由于{a n}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝60＋60－19×0.52×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺答案 C解析由题意可得，每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.故选C.题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[解]由题意，可知a1＝25，S17＝S9，则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.解法一：S n＝25n＋n n－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.解法二：S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d<0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大，最大值为169.解法四：∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n >1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小．求解等差数列前n项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．[跟踪训练3] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大.题型四 等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[解] 解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k a 1＋a 2k －1＝24，12k a 2＋a2k＝30，2k －1d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k [a 1＋k －1d ]＝24，k a 1＋kd ＝30，2k －1d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4，∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧kd ＝6，2k －1d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴首项为32，公差为32，项数为8.等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n是数列的中间项)，S奇－S偶＝a n，S奇S偶＝nn－1.[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.解(1)等差数列{a n}共有1006个奇数项，1005个偶数项，∴S奇＝1006a1＋a20112，S偶＝1005a2＋a20102.∵a1＋a2011＝a2＋a2010，∴S奇S偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S奇＝13×75＝25，偶数项和S偶＝23×75＝50，又S偶－S奇＝10d，∴d＝50－2510＝2.5.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[解析](1)解法一：a5b5＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n＝(7n＋2)nt，T n＝(n＋3)nt(t≠0)．则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.故a5b5＝65t12t＝6512.(2)由题意，知⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192.S 奇＝162.因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. [答案] (1)6512(2)见解析 [结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？ 答案6516解析 设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)， ∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516.解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理． [跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n. 解 ∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝dn 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，A n B n ＝7n ＋14n ＋27， ∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)，b n＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)．∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，也成立．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12答案 A 解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20 D ．15答案 D解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以S 10＋(S 30－S 20)＝2(S 20－S 10)，所以12＋(S 30－17)＝2×(17－12)，解得S 30＝15.3．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 6答案 BC解析 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又因为a 1>0，S 6＝S 9，所以d <0，二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 图象的对称轴为x ＝6＋92＝152，所以二次函数图象的开口向下，所以二次函数y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，152上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞上单调递减，所以S 5<S 6，故A ，D 错误；在最靠近152的整数n ＝7或n ＝8时，S n 取得最大值，故C 正确；因为S 7＝S 8，所以a 8＝0，故B 正确．故选BC.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意，得S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．解 依题意得，S nn＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因为a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9答案 A解析 由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，则d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，∴{a n }是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．3．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A ，B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．4．已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且(n ＋1)S n＝(7n ＋23)T n ，则使a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析由题意，可得SnTn＝7n＋23n＋1，则anbn＝2a n2b n＝n a1＋a2n－12n b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1＝14n＋162n＝7n＋8 n ＝7＋8n，经验证，知当n＝1,2,4,8时，anbn为整数，即使anbn为整数的正整数n的个数是4，故选C.5．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7答案ABD解析等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则a7>0，a8<0，故d<0.a1＝a7－6d>0，A正确；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9<S6，B正确；因为a6>a7，故C错误；因为a7>0，a8<0，故(S n)max＝S7，D正确．故选ABD.二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.答案－1解析∵a n＝4n－52，∴a1＝32.设等差数列{a n}的公差为d，则d＝a n＋1－a n＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋a n＝32n＋n n－12×4＝2n2－12n.∴a＝2，b＝－12，故ab＝－1.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案2000解析假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1＋1n －12＋20－n ＋120－n 2＝20(n 2－21n ＋210)＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a n S n ＋4的最大值是________.答案 n 17解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 7＝7a 1＋21d ＝28，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12，∴a 1＋a n S n ＋4＝21＋nn ＋5n ＋4，令t ＝n ＋1，则t ≥2且t ∈N ，a 1＋a n S n ＋4＝2tt ＋4t ＋3＝2t ＋12t＋7，由对勾函数的单调性可知，函数y ＝t ＋12t＋7在t ∈(0,23)时单调递减，在t ∈(23，＋∞)时单调递增，当t ＝3或t ＝4时，a 1＋a n S n ＋4取得最大值为17. 三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解 (1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或n ＝4时，前n 项的和取得最小值为－18.10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ②由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)， 当n 为偶数时，T n ＝＝n ； 当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n . 综上所述，T n ＝(－1)n ·n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 解 (1)由已知，得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列． 由{b n }的前9项和为153，可得9b1＋b92＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{b n}的公差d＝b5－b32＝3.∵b3＝b1＋2d，∴b1＝5.∴b n＝3n＋2(n∈N*)．(2)c n＝32n－16n＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1.∵n增大时，T n增大，∴{T n}是递增数列．∴T n≥T1＝1 3 .若T n>k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13>k57，∴k<19，则k max＝18.。
2016-2017学年度第二学期第3-6周中学教研活动.-南京市第一中学
1.《万有引力与航天》深度备课讲座主讲：王道平
2.研究课：太阳与行星间的引力
执教①徐燕执教②唐超
3.讲座：《太阳与行星间的引力》课堂观察报告
主讲：朱丽洁
全市高一物理教师
12041702
2017年3月3日
星期五
9：30
市电教馆（主会场）
讲座1：《勤于研究精心设计有效实施》（主讲教师：六合新篁初中江厚林）
2017年3月14日
星期二
13：30
南京市中华中学
基于课标的深度研课项目活动
1．课题：《3.2一元二次不等式》中华中学开设研究课执教者：严卉；
2．针对课题六所学校主备人阐述课题的教学设计、目标达成分析、课堂观察等；
3．专家点评中华中学宋辉
六所实验学校全体高一、二数学教师（中华中学、十二中、仙林分校、高淳高级中学、扬子中学、雨花台中学）
3、高三二模考试说明（南京市教研室徐志伟）
全市高三语文教师
13011704
2017年3月16日
星期四
14：00
南京市第十三中学
专家讲座：为立言奠基——立言的五大素养与三大支柱课型
主讲人：福建师大潘新和教授
主持人：曹勇军
全市高一、高二语文教师
12011706
2017年3月16日
星期四
13：15
南师附中新城初中本部（黄山路123号，地铁二号线奥体东站）
窗体顶端
2016-2017学年度第二学期第3-6周中学教研活动
学科
编码
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活动内容
参加人员
中学语文
12011704
2017年3月2日
星期四
13：50