初中数学竞赛专题辅导代数式的求值
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
小升初时，初中数学竞赛开始流行起来。
学校里的比赛场面异常火爆，参赛者们竞争激烈，甚至出现了成绩大涨，但是也有一种比赛让学生们摸不着头脑，就是解决代数式求值的比赛。
许多学生都认为，解决代数式求值的比赛是最难的，因为代数式求值的计算方式比较复杂，还需要学生们掌握一定的数学常识。
他们很是头疼，参加了几次竞赛，但总是没有解决出一道代数式求值的题目。
这时，在一次竞赛中出现了一个学生，他完美地解决了这道题，使全班学生都被他的表现惊呆了，因为他与其他学生很明显的不同，他的解答正确率极高，他到底是怎么做到的？
原来，这位少年把他的注意力放在微积分和三角学领域，做了大量的训练，他在认真学习的同时，还把这些技能应用到了代数式求值中，他知道微积分和三角学的知识可以帮助他把复杂的计算分解，从而解决问题。
他可以将复杂的求值变为一系列简单的计算步骤，就像积木一样，一步一步搭建起一道题，慢慢解决起来。
然而，这种做法也并非轻而易举，而是要求学生具有数学常识和深厚的数学基础，只有这样才能把繁杂复杂的题目解决出来。
这位少年的表现给这些参赛的学生提供了一个很好的启发，他们也逐渐开始把注意力放在其他数学领域，并加强自身的数学素养，慢慢地，他们也开始取得优异成绩。
经过一段时间的努力，这些学生终于表现出色，他们不仅学会了解决代数式求值的答案，还学会了如何应用微积分和三角学的知识来解决更多复杂的问题，取得丰硕的成果。
可以说，这位少年以及他的同学们，他们通过解决代数式求值而对这个学科产生了更深的理解，实现了从无知到有知的进步，他们的努力让学校的数学水平达到了新的高度，而这位少年的英勇无畏，给了学生们更坚定的信心，让他们更加热爱数学。
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解在初中，数学竞赛越来越受到广大学生的追捧，因为它可以锻炼学生的智力，培养他们的逻辑思维能力，同时也是比较有挑战的课题。
有一次，班级里组织了一场数学竞赛，题目是“代数式求值，全班仅1人会解”，这一题在全班的学生里，只有一位学生能够解决，其它同学都茫然无措。
大家都试图理解这道充满挑战的题目，但却没有一个人能够做出来，这令班上的学生们都很着急，他们心里都在想：“到底是谁能够解决这道难题？”没有人能够给出答案，可是这时候，一位名叫李华的同学站了出来，他说道：“我会解决这道题目。
”这时，大家都惊讶不已，因为他们都不相信有人能够解决这道题。
李华说：“这个题目用代数式求值，其实是比较简单的，我只要花点时间思考，就可以找出解决的办法。
”他继续说道：“首先，我们要明确这个题目的意思，这里的代数式求值是指我们要根据表达式中的符号和数字，来求出其值。
然后，我们可以算出表达式中的结果，最后，把结果与答案进行比较，就可以得出最终结果了。
”听了李华的解释，全班的学生都非常钦佩他，他们都认为他真的有能力去解决这道数学题。
然后，他们都怀着期待的心情等待着李华的答案。
果不其然，李华花了两分钟的时间，就解出了这道代数式求值的题目，大家都纷纷表示赞赏。
李华成功地解出了这道题，他希望自己解出来的答案能帮助其他学生们，让他们了解怎样去求解这样的数学难题，并拓展他们的数学知识。
当天，李华获得了第一名，他的同学也为他欢呼雀跃，大家都感受到，他是真正的数学奇才。
数学竞赛的这一次，让大家明白，只要你对数学有兴趣，有自信，就一定能够解出任何一道题目。
李华通过他的表现，激励了其他的学生，让他们也有勇气去尝试一切数学难题，从而帮助他们更好地提升自己的能力。
数学竞赛，不仅让李华展示了解决困难题目的能力，也让其他学生看到了数学的精彩。
真正的数学天才，就像李华这样，能够用自己的思路去解决问题，这就是数学的精髓，也是数学竞赛存在的价值所在。
北师大版七年级数学上册 代数式求值专题(含竞赛题)
简单带入求值计算题一、与课本衔接基础题选择题1、 已知a-b=-3,c+d=2, 则（b+c) - (a-d) 为（ ）。
A. -1B. -5C. 5D. 12、 已知a 2-2b-1=0. 则多项式2a 2-4b+2的值等于（ ）。
A.1B. 4C.-1D. -43、 当x=-3时，多项式ax 5+bx 3+cx-5的值是7, 那么当x=3时，它的值是（ ）。
A. -3B. -7C. 7D. -17 4、 已知代数式24)35(2dx x cx bx ax x +++, 当x=1时，值为1.那么该代数式当x=一1时的值是（ ）。
A. 1B. -1C. 0D. 2填空题1、若多项式2x 2+3x+7的值为10, 则多项式6x 2+9x-7的值为 。
2、已知a 2+2ab=-8,b 2+2ab=14, 则a 2+4ab+b 2= :a 2-b 2= 。
3、若x+y=7,y+z=8,z+x=9, 则x+y+z = 。
4、已知x 2+x+1=0, 则x 2000+x 1999+x 1998的值为 。
5、当x=1时，代数式px+qx 的值为2003, 则x=-1时，px+qx 。
6、已知当x=-2时，代数式ax 3+bx+1的值为6, 那么当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值是多少 。
7、已知2x+y=10xy, 求代数式yxy x y xy x +-++4224= 。
8、a 2+6a+36=0,则a 3= 。
答案：选择题1、C ；2、B ；3、D ；4、B填空题1、2；2、0,0；3、12；4、0；5、-2001；6、-4；7、27 8、216 a 2+6a=-36 a 2=-6a-36a 3=a •a 2=a(-6a-36)=-6(a2+6a) =-6×36=216二、拔高题（竞赛题）1、已知x-2y=2,求8463---+y x y x 的值2、已知x 1-y 1=3,则y xy x y xy x ---+2232的值3、已知a 4+a 3+a 2+a+1=0,求a 5的值。
初中数学与分式相关的代数式的求值方法
word 1 / 4 初中数学与分式相关的代数式的求值方法 与分式相关的代数式的求值，一直是竞赛和中考的一个热点，这类题解法灵活，技巧性强，现将常见解法归纳总结如下，供同学们参考。 一、巧用分式基本性质 例1 已知3b1a1，则bab2abab3a的值是___________。
解：由3b1a1，知0ab。
∴023332b1a13b1a1abbab2aabbab3abab2abab3a。
二、巧取倒数 例2 若3x1x，则1xxx242的值是
A. 81 B. 101 C. 21 D. 41 解：由3x1x，知0x。 待求式取倒数，有8131x1xx11xx1xx2222224。 ∴811xxx242，故应选A。
例3 若2yxx3，则xy的值为 A. 21 B. 32 C. 31 D. 52 解：将yxx3=2两边取倒数，有21x3yx，即21x3y31。 ∴613121x3yxy21，故应选A。
例4 已知a、b、c为实数，且31baab，41cbbc，51acca，那么cabcababc的值是___________。 解：对已知式分别取倒数，得3abba，4bccb，5caac。
即3b1a1，4c1b1，5a1c1。 以上三式相加，得12c1b1a12，（也可联立解出a1，b1，c1，从而得a、b、c的word 2 / 4 值） ∴6c1b1a1，即6abccabcab。
∴61cabcababc。
三、整体代入 例5 已知3y1x1，求分式yxy2xy2xy3x2的值。
解：由已知条件可得xy3yx，视yx和xy为整体，则有
初中数学代数式求值的方法
初中数学代数式求值的方法一：割补法【例题】如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；解：S阴影部分=S长方形-S三角形ABC-S三角形DEF=1/2×6-12×1/2×6-1/2×6×（6-x）=72-36-18+3x=18+3x；（2）若x=2，求S的值．解：当x=2时，S=18+3×2=24．二：转化法【例题】某公园准备修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽2米．（1）用含a、b的代数式表示修建的十字路的面积．解：根据题意得：（2a+2b-4）平方米；（2）若a=30，b=20，求草坪（阴影部分）的面积．解：当a=30，b=20时，ab-（2a+2b-4）=600-96=504（平方米），则草坪的面积是504平方米．三：直接利用面积公式【例题】如图，小明家的住房结构平面图，（单位：米），装修房子时，他打算将卧室以外的部分都铺上地砖．（1）若铺地砖的价格为80元/平方米，那么购买地砖需要花多少钱？（用代数式表示）；解：卫生间面积=y（4x-x-2x）=xy，厨房面积=x（4y-2y）=2xy，客厅面积=2x4y=8xy，∴铺地砖的面积=xy+2xy+8xy=11xy，∴铺地砖的花费为880xy元；（2）已知房屋的高度为3米，现在想要在客厅和卧室的墙壁上贴上壁纸，那么需要多少平方米的壁纸（门窗所占面积忽略不计）？（用代数式表示）；解：卧室的壁纸=（2y+2y+2x+2x）×3=（12x+12y）平方米，客厅的壁纸=2（2x+4y）×3=（12x+24y）平方米，∴共需要壁纸为12x+12y+12x+24y=（24x+36y）平方米；（3）若x=4，y=5，且每平方米地砖的价格是90元，每平方米壁纸的价格是15元，那么，在这两项装修中，小明共要花费多少钱？（各种小的损耗不计）．解：当x=4，y=5时，地砖需要花费：90×11×4×5=19800（元），壁纸需要花费：（24×4+36×5）×15=4140（元），∴小明共花费19800+4140=23。
代数式条件求值知识点详解-初中数学专项复习
代数式条件求值知识点详解考纲要求:1.了解代数式值的概念.2.会求代数式的值，能根据代数式的值或特征，推断这些代数式反映的一些规律.3.能根据特定的题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值.基础知识回顾:1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．特别地，单独一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值：用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果．应用举例:招数一、直接代入求值:直接将字母的值代入代数式，运算即可.【例1】当，时，的值是( )A．0 B．4 C．-2 D．-4【答案】D考点：代数式求值．【例2】已知点A(a-1，5)与点B(2，b-1)关于x轴对称，则(a+b)2018值为( )A．0 B．-1 C．1 D．(-3)2018【答案】C【解析】已知点A(a-1，5)与点B(2，b-1)关于x轴对称，则x轴不变，y轴互为相反数a-1=2 b-1=-5，a=3 b=-4；(a+b)2018=1故选：C考点：1.代数式求值．2.对称点的特征．招数二、整体代入求值:找出所求式子与已知式子之间的关系.1.倍数关系类.【例3】若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为．【答案】3．考点：代数式求值．2.因式分解类【例4】已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为____．【答案】4【解析】试题分析：因为，所以.考点：1.因式分解；2.求代数式的值.3.互为相反数类【例5】若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣2x+3y的值为．【答案】4．【解析】试题分析：由2x﹣3y﹣1=0可得2x﹣3y=1，所以5﹣2x+3y=5﹣（2x﹣3y）=5﹣1=4．考点：1．代数式求值；2．条件求值；3．整体思想．招数三、规律类：利用代数式提炼图形（数字）变化规律---不完全归纳法.【例6】．将一些相同的圆点按如图示的规律摆放：第1个图形有3个圆点，第2个形有7个圆点，第3个图形有13个圆点，第4个图形有21个圆点，第15个图形有____________个圆点.【答案】241考点：规律型：图形的变化类．方法、规律归纳:1．求代数式的值的一般方法是先用数值代替代数式中的每个字母，然后计算求得结果，对于特殊的代数式，可以先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算；如果给出的是代数式中所含几个字母的关系，不直接给出字母的值，可以对所求代数式进行恒等变形，转化为已知关系表示的形式，再进行计算.2．以图形为载体的数字规律题：根据一系列关系或一组相关图形的变化，总结变化所反映的规律.猜想这种规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.实战演练:1、已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为．【答案】8.考点：整式的运算；整体思想.2.已知x＝＋1，求式子x2－2x＋3的值．【答案】4.【解析】试题分析：x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∵x＝＋1，∴原式＝(＋1－1)2＋2＝()2＋2＝4.3. 已知2y-x=5，那么的值为（）A．10B．40C．80D．210【答案】C4. 已知x=m 时，多项式x 2+2x+n 2的值为﹣1，则x=﹣m 时，该多项式的值为 ．【答案】3.【解析】 试题解析：∵多项式x 2+2x +n 2=（x+1）2+n 2-1，∵（x+1）2≥0，n 2≥0，∴（x+1）2+n 2-1的最小值为-1，此时m=-1，n=0，∴x=-m 时，多项式x 2+2x+n 2的值为m 2-2m+n 2=35.如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的值是（ ） A ． -3 B ． -1 C. 1 D ．3【答案】C.【解析】 试题分析：原式=2224(2)22a a a a a a a a -⋅=+=+- ，当2210a a +-= 时，221a a += .故选C. 考点：代数式求值6. 若a+b ＝﹣5，ab ＝6，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ． 【答案】B【解析】∵a +b ＝﹣5，ab ＝6，∴原式． 故选B ．7.已知实数m 满足满足0132=+-m m ，则代数式21922++m m 的值等于 ． 【答案】9．8.若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-= ．【答案】﹣2020．【解析】试题分析∵2210x x --=，∴221x x =+，322742017x x x -+-=2(21)7(21)42017x x x x +-++-=24214742017x x x x +--+- =2482024x x --=4(21)82024x x +--=4﹣2024=﹣2020，故答案为：﹣2020．9. 观察，猜想，证明．观察下列的等式① ；②；③…（1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；（2）写出含字母n （n 为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程．【答案】(1)见解析；（2），理由见解析【解析】试题解析:（1）猜想:, 验证:右边==左边, （2）第n ﹣1个等式:,证明:右边==左边.考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型． 10. 如图，第(1)个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a 3=12,第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为a4=20,第(3)个多边形由五边形“扩展”而来,边数记为a5=30…依此类推,由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为a n(n≥3),则结果是（）A．B．C．D．【答案】D。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第07章-代数式的运算
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第07章-代数式的
运算
此章介绍了一些重要的代数式的运算方法，包括多项式的加减乘除、平方差公式、完全平方公式、公式的展开与因式分解等。
一、多项式的加减乘除
1.加法和减法：将同类项进行合并，即将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。
2.乘法：首先用分配律将多项式和多项式相乘化为多个单项式之和，然后用乘法原则计算各个单项式的乘积。
3.除法：主要采用长除法的形式，将被除式逐步除以除式。
二、平方差公式
平方差公式是解决具有连续变量的代数式的重要方法之一
根据平方差公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。
三、完全平方公式
完全平方公式是解决具有二次项的代数式的重要方法之一
根据完全平方公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。
四、公式的展开与因式分解
1.公式的展开：利用分配律将复杂的代数式展开为简单的形式。
2.因式分解：将代数式分解成为两个或更多的乘积形式。
常用的因式分解方法有：
（1）公因式法：找到公共因子并提取。
（2）提公式法：根据指定的公式将代数式进行变换。
（3）配方法：根据两个乘积的和或差的公式将代数式进行变换。
（4）分组法：将代数式中的项分成两组，然后利用提取公因子或公式进行变换。
（5）差平方因式法：利用平方差公式进行变换。
（6）和差三角型法：利用三角函数的和差公式进行变换。
求代数式的值知识点详解-初中数学专项复习
求代数式的值
求代数式的值的一般方法是先用数值代替代数式中的每个字母，然后计算求得结果．对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解：
（１）给出代数式中所有字母的值．该类题一般是先化简代数 式，再代入字母的值，然后进行计算．
（２）给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化为可以用已知关系表示的形式，再代入计算 【例】若1136x x +=且01x <<，则221x x
-=_____． 【答案】6536-
【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x -的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】 ∵1136
x x +
=， ∵2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=， ∵01x <<， ∵1x x
<
， ∵1x x -=56-， ∵221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536
-， 故答案为：6536-。
初中数学代数式求值,反复升次和降次是此类题的通用解法
代数式求值是初中数学中常见的问题，其中反复升次和降次是解决此类问题的一种通用方法。
首先，我们需要理解代数式求值的基本概念。
代数式是由数字、字母通过有限次的四则运算得到的数学式子。
求代数式的值就是将字母代入具体的数值，然后进行计算得到结果。
对于一些复杂的代数式，我们可以采用反复升次和降次的方法来简化计算。
具体来说，升次是指将代数式中的某项次数提高，而降次则是将某项的次数降低。
通过升次和降次，我们可以将复杂的代数式转化为更简单的形式，从而更容易地求出其值。
下面是一个具体的例子来说明如何使用反复升次和降次的方法来求代数式的值。
例题：求代数式 (a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 - 1) + 4a^2 的值，其中 a = 2。
分析：首先观察原式，我们可以发现其中包含平方和乘法运算，因此可以考虑使用完全平方公式进行化简。
解：原式 = (a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 - 1) + 4a^2
= (a^2 + 1)^2 - 4a^2 + 4a + 4a^2
= (a^2 + 1)^2 + 4a
= (a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 - 2a)
= (a + 1)^2(a - 1)^2
当 a = 2 时，原式 = (2 + 1)^2(2 - 1)^2 = 9。
初中数学求代数式的值常用的几种技巧
.初中数学求代数式的值常用的几种技巧求代数式的值是初中代数的重要题型,是常考的知识点.对于较简单的问题,可直接代入计算;对于较复杂的问题,需要根据题目的特点,选用适当的方法才能快捷求值.现将代数式求值常用的方法归纳如下,供同学们参考.一、直接代入求值例1当x=10,y=9时,代数式x2-y2的值是.分析:这是一个简单的代数式求值问题,直接代入求值即可.解:当x=10,y=9时,x2-y2=102-92=100-81=19.温馨提示:直接代入是求代数式的值最常用的方法,对于较简单的代数式可采用直接代入法求值.二、先化简,再代入求值分析:直接代入求值比较繁琐,若将代数式先化简再代入,则可化繁为简.解:原式=5x3y-3[-x2y+2x3y-3x2y]=5x3y+3x2y-6x3y+9x2y=-x3y+12x2y.温馨提示:当代数式可以化简时,要先化简再求值,代入时要注意负数和分数的乘方要加上括号,计算时要严格按照运算顺序进行.三、先求字母的值,再代入求值例3已知(x-1)2+y+2=0,求x2y-2x+3y的值.分析:要求代数式的值,必须先求出x、y的值.根据已知式中数的平方与绝对值都是非负数,且它们的和为0,由非负数的性质可求出x、y的值.解:由(x-1)2+y+2=0,得x-1=0,y+2=0,解得x=1,y=-2.所以x2y-2x+3y=12×(-2)-2×1+3×(-2)=-10.温馨提示:当几个非负数的和为0时,则这几个非负数同时为0.四、先变形,再整体代入求值例4若x2+3x=7,则2x2+6x-3=.分析:直接求出x的值比较困难,考虑将x2+3x看作一个整体,把2x2+6x-3转化为用x2+3x的式子表示,整体代入可快捷求值.解:因为2x2+6x-3=2(x2+3x)-3,又x2+3x=7,所以2x2+6x-3=2×7-3=11.温馨提示:注意观察待求式与已知式的关系,把待求式适当变形可转化为用已知条件中的式子表示,然后整体代入,可简化计算.五、取特殊值代入求值温馨提示:特殊值法体现了从一般到特殊的数学思想,是一种最简捷的求值方法,特别适合于解填空题、选择题。
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初中数学竞赛专题辅导代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1，
所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
解因为x+y=m，所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，
所以
求x2+6xy+y2的值．
分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，
即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．
分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以
x2-4x＋4＋|3x-y|=0，
即 (x-2)2+|3x-y|=0．
所以 y x=62=36．
例9 未知数x，y满足
(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
同理
分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
分
利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
练习六
2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．
3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．
5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。