单摆、机械振动的能量与合成

二、复摆——物理摆 1、概念 2、运动方程
重力矩
M＝－mgl sin －mgl 2 d 转动定律 －mgl＝J＝J dt 2
3、周期与频率
mgl J
2
d 2 2 ＋ ＝0 2 dt
J T＝2 mgl
4、应用
•测重力加速度 •测转动惯量
mgl J
13－5 简谐运动的能量
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
2、应用旋转矢量法 A y
A2
2
合成振动 是简谐运动
2 1
情况1
3、讨论
A2 sin 2
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2 t 2
合振动 假设
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动 A
A2
2
1 2 1 2 x1 A1 cos 1t＝A0 cos 2 1t
单摆的圆频率
k g m l
2

振动方程
x x0 cost
T＝2 l g
1 1 ＝ T 2 g l
g l

f
周期
频率 3、说明：
mg
•单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力 •单摆的周期与质量无关 •单摆提供了一种测量重力加速度的方法 •单摆可以当作计时器
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 2 cos 2 1 sin 2 1 2 A1 A2 A1 A2
A1 A2 A0， 1 2 0
o
x x1 x2

1
A1
x
x2 A2 cos 2 t＝A0 cos 2 2 t
x x1 x2 A0 cos 2 1t A0 cos 2 2 t
2 1 2 1 2 A0 cos 2 t cos 2 t 2 2
m 2v
dv
k 2x
1
dx
0
x A cost
13－6 简谐运动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
质点——两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x2 A2 cos t 2
合振动
x1 A1 cos t 1
令
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos1 A2 cos 2
一、能量的公式
弹簧振子
x
1 1 2 2 2 E＝ mA ＝ kA v A sint 2 2 1 1 2 动能 Ek mv mA 2 2 sin2 t 2 2
势能 总能量
x A cost
o
A
1 2 1 2 E p kx ＝ kA cos 2 t 2 2
1 1 2 2 2 2 E＝Ek＋E p mA sin t ＋ kA cos 2 t 2 2
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 1 2 1 2 2 mv 0 kx0 kA 2 2 2
•简谐运动方程
d2 x m v 2 k xv 0 dt
A1
1
A2 cos 2
2k
A A1 A2
情况2
A1 sin 1
A1 cos 1
x
(2k 1)
A A1 A2
情况3：一般情况
x A cos t
A
2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 | A1 A2 | A | A1 A2 | tg A1 cos 1 A2 cos 2
x＝A cos cos t A sin sin t ＝A cos t
x x1 x2
1、应用解析法
x x1 x2 ＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
一、单摆——数学摆 1、概念
单摆是一个理想化的振动系统： 它是由一根无弹性的轻绳挂一 个质点构成的。 摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在竖 直平面内来回摆动。
2、运动方程
x mg F mg sin mg mg x l l
13－4 单摆与复摆
实际发生的振动比较复杂；例如 •回复力不一定是弹性力——而是重力，浮力等其它性 质的力； •合外力可能是非线性力——只有在一定的条件下，才 能近似当作线性回复力。 研究问题的一般方法： 根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模 型，使计算简化。 本节讨论两个实际振动问题的近似处理：单摆与复摆。
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动 的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现 象叫拍.
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
2 1
拍的应用：
•用音叉的振动来校准乐器
•测量超声波的频率 •测定无线电波频率以及调制
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的
运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒 1 1 1 mv 2 kx2 kA2 C 2 2 2 两边对时间求导，得
d Ek E p 0 dt


d2 x k x0 2 dt m令 Nhomakorabeak ＝ m
2
d2 x 2 x0 2 dt
1