三点估算(PERT)、关键路径(CPM)、蒙特卡洛(软考计算题)

PERT网络分析法

PERT网络分析法(计划评估和审查技术，Program Evaluation and Review Technique)

什么是PERT网络分析?

PERT(Program Evaluation and Review Technique)即计划评审技术，最早是由美国海军在计划和控制北极星导弹的研制时发展起来的。PERT技术使原先估计的、研制北极星潜艇的时间缩短了两年。

简单地说，PERT是利用网络分析制定计划以及对计划予以评价的技术。它能协调整个计划的各道工序，合理安排人力、物力、时间、资金，加速计划的完成。在现代计划的编制和分析手段上，PERT被广泛的使用，是现代化管理的重要手段和方法。

PERT网络是一种类似流程图的箭线图。它描绘出项目包含的各种活动的先后次序，标明每项活动的时间或相关的成本。对于PERT网络，项目管理者必须考虑要做哪些工作，确定时间之间的依赖关系，辨认出潜在的可能出问题的环节，借助PERT还可以方便地比较不同行动方案在进度和成本方面的效果。

构造PERT图，需要明确三个概念：事件、活动和关键路线。

1、事件（Events）表示主要活动结束的那一点；

2、活动（Activities）表示从一个事件到另一个事件之间的过程；

3、关键路线（Critical Path）是PERT网络中花费时间最长的事件和活动的序列。PERT的基本要求[1]

1.完成既定计划所需要的各项任务必须全部以足够清楚的形式表现在由事件与活动构成的网络中。事件代表特定计划在特定时刻完成的进度。活动表示从一个事件进展到下一个事件所必需的时间和资源。应当注意的是,事件和活动的规定必须足够精确,以免在监视计划实施进度时发生困难。

2.事件和活动在网络中须必按照一组逻辑法则排序,以便把重要的关键路线确定出来。这些法则包括后面的事件在其前面的事件全部完成之前不能认为已经完成不允许出现“循环”,就是说,后继事件不可有导回前一事件的活动联系。

3.网络中每项活动可以有三个估计时间。就是说,由最熟悉有关活动的人员估算出完成每项任务所需要的最乐观的、最可能的和最悲观的三个时间。用这三个时间估算值来反映活动的“不确定性”,在研制计划中和非重复性的计划中引用三个时间估算是鉴于许多任务所具有的随机性

质。但是应当指出的是,为了关键路线的计算和报告,这三种时间估算应当简化为一个期望时间犷和一个统计方差σ2,否则就要用单一时间估算法。

4.需要计算关键路线和宽裕时间。关键路线是网络中期望时间最长的活动与事件序列。宽裕时间是完成任一特定路线所要求的总的期望时间与关键路线所要求的总的期望时间之差。这样,对于任一事件来说,宽裕时间就能反映存在于整网络计划中的多余时间的大小。

PERT的计算特点

PERT首先是建立在网络计划基础之上的，其次是工程项目中各个工序的工作时间不肯定，过去通常对这种计划只是估计一个时间，到底完成任务的把握有多大，决策者心中无数，工作处于一种被动状态。在工程实践中，由于人们对事物的认识受到客观条件的制约，通常在PERT 中引入概率计算方法，由于组成网络计划的各项工作可变因素多，不具备一定的时间消耗统计资料，因而不能确定出一个肯定的单一的时间值。

在PERT中，假设各项工作的持续时间服从β分布，近似地用三时估计法估算出三个时间值，即最短、最长和最可能持续时间，再加权平均算出一个期望值作为工作的持续时间。在编制PERT网络计划时，把风险因素引入到PERT中，人们不得不考虑按PERT网络计划在指定的工期下，完成工程任务的可能性有多大，即计划的成功概率，即计划的可靠度，这就必须对工程计划进行风险估计。

在绘制网络图时必须将非肯定型转化为肯定型，把三时估计变为单一时间估计，其计算公式为：

式中：

•ti为i工作的平均持续时间；

•ai为i工作最短持续时间(亦称乐观估计时间)；

•bi为i工作最长持续时间(亦称悲观估计时间)；

•ci为i工作正常持续时间，可由施工定额估算。

其中，ai和bi两种工作的持续时间一般由统计方法进行估算。

三时估算法把非肯定型问题转化为肯定型问题来计算，用概率论的观点分析，其偏差仍不可避免，但趋向总是有明显的参考价值，当然，这并不排斥每个估计都尽可能做到可能精确的程度。为了进行时间的偏差分析(即分布的离散程度)，可用方差估算：

式中：σ2i为i工作的方差。

标准差

网络计划按规定日期完成的概率，可通过下面的公式和查函数表求得。

式中：

•Q为网络计划规定的完工日期或目标时间；

•M为关键线路上各项工作平均持续时间的总和；

•σ为关键线路的标准差；

•λ为概率系数。

PERT网络分析法的工作步骤

开发一个PERT网络要求管理者确定完成项目所需的所有关键活动，按照活动之间的依赖关系排列它们之间的先后次序，以及估计完成每项活动的时间。这些工作可以归纳为5个步骤。

1、确定完成项目必须进行的每一项有意义的活动，完成每项活动都产生事件或结果；

2、确定活动完成的先后次序；

3、绘制活动流程从起点到终点的图形，明确表示出每项活动及其它活动的关系，用圆圈表示事件，用箭线表示活动，结果得到一幅箭线流程图，我们称之为PERT网络；

4、估计和计算每项活动的完成时间；

5、借助包含活动时间估计的网络图，管理者能够制定出包括每项活动开始和结束日期的全部项目的日程计划。在关键路线上没有松弛时间，沿关键路线的任何延迟都直接延迟整个项目的完成期限。

PERT网络分析法的改进[2]

β分布及其性质

β分布是定义在区间(0,1)上的一个连续性随机变量,它的概率密度函数为

,其中p,q为β分布的两个形状参数,B(p,q)是以p,q为参数的贝塔函数.虽然β分布定义在(0,1)区间上,但经过仿射变换Y = a + (b− a)X,可以使β分布定义在任何有限区间(a,b)上。β分布的灵活性极大,它可以用于通常发生的许多形式.例如区间(a,b)上的均匀分布就是参数p=1,q=1的贝塔分布,当参数p与q都趋于无穷时,β分布就趋于退化分布.此时,计划评审技术的时间估计就为准确的时间预计,从而就可以用关键路线法(CPM)去解决有关问题.β分布具有以下性质：

性质1若随机变量X服从(0,1)区间上的参数为p,q的β分布,则，

。

性质2若随机变量X服从(0,1)区间上的参数为p,q的β分布,则随机变量X最有可能的取值为x

0 = p− 1p + q− 2。

定义1随机变量X服从(0,1)区间上的参数为p,q的β分布,若Y = a + (b− a)X,则称Y服从(a,b)区间上的参数为p,q的β分布。

性质3若随机变量Y服从(a,b)区间上的参数为p,q的β分布,则，

。

性质4若随机变量Y服从(a,b)区间上的参数为p,q的β分布,则Y的最可能取值为

。

性质5随机变量Y服从(a,b)区间上的参数为p,q的β分布,则当p>q时,该分布为负偏,当p

性质6若随机变量Y服从(a,b)区间上的参数为p,q的β分布,则当p,q越大时,该分布的峰度越大。

改进后的计划评审技术

计划评审技术中的活动期望时间(ET)公式和活动时间方差公式都是在活动时间被假设为服从参数为p=4,q=4的β分布时得到的,而该假设是基于以下两个前提,一是最可能时间的可能性4倍于乐观时间和悲观时间的可能性,二是最可能时间恰好是乐观时间和悲观时间的平均值.实际

在项目管理实践中,这两个前提都不一定成立,因而活动时间服从参数为p=4,q=4的β分布也是站不住脚的.那么,怎么才能使参数也趋于合理呢?很显然必须从假设的两个前提入手。

第一,估计活动最可能时间时可以根据经验等估计最可能时间的可能性是乐观时间和悲观时间的可能性的倍数.该倍数越大,用于拟合活动时间的β分布的参数p,q也就越大,该倍数越小,用于拟合活动时间的β分布的参数p,q也就越小.看两种极端情况,若活动最可能时间的可能性是乐观时间和悲观时间的可能性的1倍,则可用参数p=1,q=1的β分布拟合活动时间,即用(a,b)区间上的均匀分布拟合活动时间.若活动的最可能时间的可能性无穷倍于乐观时间和悲观时间的可能性,

则可用退化分布(单点分布)拟合活动时间,就是说对活动时间的估计是准确的。

第二,从β分布的性质可以看到,活动最可能时间在y

0取得,而y0不一定是乐观时间和悲观时间的平均值,这样就不必用相等参数的β分布拟合活动时间,只有当最可能时间恰好是乐观时间和悲观时间的平均值时,这时用相等参数的β分布拟合活动时间才是合理的,通过上述两点的分析,可对计划评审技术做如下改进。

(1)不仅估计活动的最可能时间m,而且估计最可能时间的可能性为乐观时间和悲观时间的可能性的倍数的值k。

(2)在前一步的基础上,用合理的参数的β分布去拟合活动时间,方法是:令pq = k2且y

0 = m,即:

(3)

(3)解此方程组,便可得到p,q的值,计算活动时间的期望时间ET和活动时间方差公式σ2如下:

，(4)

增加第一步是为了找到更适合的B分布来拟合活动时间.第二步中方程组的(1)式是基于以下原理得到的,这个原理就是k值越大,用于拟合活动时间的β分布的p、q值越大.方程组的(2)式是由y

0 = m经过变形得到的.第三步中的活动期望时间(ET)和活动时间方差(σ2)的公式是根据上一节的性质3得到的.

方程组实际上构成一个一元二次方程,解此方程组,便得到参数p和q的具体值,不妨设解为p = p0,q = q0,这样就可以用p = p0,q = q0的β分布拟合活动时间.可以看到当k=1,,时,方程组的解为p=1,q=1,即用参数为p=1,q=1的B分布拟合活动时间.当k=4,时,

方程组的解为p=4,q=4.即用参数为p=4,q=4的β分布拟合活动时间.将p=4,q=4代入(4)式得到:

，(5)

可见计划评审技术是改进后的计划评审技术的特例.关于方程组的解是否存在的问题,可由

下列性质得到

性质1上面方程组一定存在非负解,且非负解唯一

证不妨令,显然,有方程(2)式

得:,代入(1)式得到(1 − c)p2 + (2c− 1)p− ck2 = 0,因为该一元二次

方程的判别式,故方程组存在解且存在唯一非负解。

PERT网络技术的作用

1、标识出项目的关键路径，以明确项目活动的重点，便于优化对项目活动的资源分配；

2、当管理者想计划缩短项目完成时间，节省成本时，就要把考虑的重点放在关键路径上；

3、在资源分配发生矛盾时，可适当调动非关键路径上活动的资源去支持关键路径上的活动，以最有效地保证项目的完成进度；

4、采用PERT网络分析法所获结果的质量很大程度上取决于事先对活动事件的预测，若能对各项活动的先后次序和完成时间都能有较为准确的预测，则通过PERT网络的分析法可大大缩短项目完成的时间。

PERT网络分析法的优点和局限性

（一）时间网络分析法的优点

1.是一种有效的事前控制方法。

2.通过对进行时间网络分析可以使各级主管人员熟悉整个工作过程并明确自己负责的项目在整个工作过程中的位置和作用，增强全局观念和对计划的接受程度。

3.通过时间网络分析使主管人员更加明确其工作重点，将注意力集中在可能需要采取纠正措施的关键问题上，使控制工作更加富有有效。

4.是一种计划优化方法。

（二）时间网络分析法的局限性

时间网络分析法并不适用于所有的计划和控制项目，其应用领域具有较严格的限制。适用PERT法的项目必须同时具备以下条件：

1、事前能够对项目的工作过程进行较准确的描述；

2、整个工作过程有条件划分为相对独立的各个活动；

3、能够在事前较准确地估计各个活动所需时间、资源。

PERT网络分析法的案例分析

PERT的案例一：办公楼的施工过程

下面举一个例子来说明。假定你要负责一座办公楼的施工过程，你必须决定建这座办公楼需要多长时间。下表概括了主要事件和你对完成每项活动所需时间的估计。

建筑办公楼的PERT网络

完成这栋办公楼将需要50周的时间，这个时间是通过追踪网络的关键路线计算出来的。该网络的关键路线为：A-B-C-D-G-H-J-K，沿此路线的任何事件完成时间的延迟，都将延迟整个项目的完成时间。

PERT的案例二：工程机械类新产品开发过程[3]

1.工程机械类新产品开发流程

在对工程机械类新产品进行关键路径的分析时，必须清楚了解其新产品开发的具体流程路线。本文以一种大型路面养护设备——路面铣刨机的开发流程为例进行讨论。应用并行工程方法，确定铣刨机产品的开发流程，见下图。

铣刨机开发流程

注：□——表示某一流程；

—→ ——表示流程的运行方向(运动流)；

---→ ——表示流程相互之间的信息反馈(信息流)。

具体流程步骤如下：

A ——前期的市场前景调研，包括：用户的需求、市场的前景预测及接受程度、目前相关产品的市场饱有量、可替代品的状态等；

B——技术的可行性调研，包括：现有技术水平能否满足用户的需求、目前市场相关产品的技术水平、新技术的先进性水平等；

C——成立跨部门的新产品研发小组，人员包括：机械专家、液压专家、电气专家、工业设计专家、采购人员、外协人员、财务人员、标准化人员、制造装配人员、法律专家、知识产权专家、用户等；

D——拟定产品开发技术方案，确定产品开发项目任务书。包括：确定产品的功能和主要技术参数、成本预算、技术方案的确定即发动机、主要的液压元器件、电气控制元器件、产品的外观及主体结构的确定等；

E——新产品试制工厂进行原材料备料及相关工装的制作；

F——采购部门对订货周期较长的液压元器件、电气控制元器件等关键件进行采购订货。包括：发动机、分动箱、液压泵、液压马达、液压阀、减速机、电控元件等进口件）；

G——产品各个功能部件的结构细化设计。包括（机架部分、液压部分、电控部分、工作装置部分、发动机部分、行走传动部分、机罩及覆盖件部分、其他辅助部分等；

H——产品试制施工图及相关技术文件的完成。包括：图纸的标准化和工艺审核、产品的PLM录入，产品的标准件明细表、外购件明细表、外协件明细表输出，产品在ERP中BOM的录入，产品标准文件、产品试验大纲及其他相关的技术文件；

I——外协件和内协件的加工制作及相关零部件的工艺文件的编制。包括：车架、工作装置等结构件的加工制作，进行必要的工装设计，编写材料定额和工时定额、工艺质量计划等工艺文件；

J——采购部门对订货周期较短的非关键件以及标准件进行定购；

K——新产品的试制、装配和调试。包括：整机的装配、各个功能部件的装配、试制过程中错误设计的改正、调试整机及其各个功能部件的正常运转和运动、编写装配工艺、制定工时定额、完成试制总结报告等；L——工业性考核和试验。考核整机的工作性能是否满足设计要求和用户的需求、考核各个功能部件的运转和运动情况；

M——设计修改。针对试制、装配和调试过程中和工业性考核期间出现的技术问题、设计问题、加工问题、装配问题、调试问题进行系统的修改；

N——确认新产品开发成功，转入小批量生产。

2.应用PERT方法对流程时间的预测

在网络计划中最基本的参数是流程或工序的时间。一般来讲，流程时间是一个随机变量。在PERT方法中采用三时估计法。所谓三时估计法，就是估计流程三种完工的时间，即a ij——最乐观完成时间指顺利完成的最短时间、m

ij——能完成时间指正常情况下完成工序最可能的时间、b ij——观完成时间指极不顺利条件下完成的时间。通过对新产品开发过程的每一个流程进行时间的三种预测，可以对整个产品开发过程的时间做出相对准确的判断。从而对产品开发计划做出准确的完成概率预测。

各流程的完成时间预测表

上表是铣刨机开发流程图确定的开发流程，对新型LX1300铣刨机开发过程的时间预测。

即用下面公式来计算流程完成时间的均值：

其方差为：

所以一个新产品的完工期为关键路径上各流程时间之和。由概率论定理可知，新产品的完工期是一个服从正态分布的随机变量。其期望值为关键路线上各工序时间期望之和，即：

而均方差为：

3.新产品开发流程的关键路径的计算

要确定工程机械类新产品开发流程中的关键路线，必须先找出关键流程。关键流程是指总时差为零的流程。关键路线是由关键流程连接而成的线路。从网络角度看，关键路线就是从起点至终点的最长路（箭头路长表示流程时间），它决定整个新产品开发时间的长短。通过关键路径的分析，我们可以清楚掌握各个流程的关键程度，可以计算出各个流程的最早开工时间和最迟必须开工时间等，以便制定计划者能够准确地做出计划安排，使资源最大化的优化配置。

根据图1提供的新产品开发流程，做出新产品开发的关键路径分析的网络分析图图2所示。

新产品开发的关键路径分析的网络分析图

根据事项最早时间的计算方法：从起点事项开始，设t

E(1) = 0，表示流程从零时刻开工，然后自左至右逐步计算各流程最早时间，直至终点流程。

计算方法归纳如下：

(1)t

E(1) = 0；

(2)从左至右计算；

(3)（）

(4)T

E = t E(n)

由表一提供的各流程的时间数据进行计算：

t

E(1) = 0

t

E(4) = t E(2) + t(2,4) = 59

t

E(5) = t E(4) + t(4,5) = 104

……

t

E(16) = t E(15) + t(15,16) = 390

4.关键路径的确定

由上面的计算得知：(天)

即整个产品开发的完工期为390天，这个时间也为其关键流程的所需时间之和。

由此可以确定这个流程的关键路径为下图所示。

流程的关键路径

A→C→D→F→K→L→N

T

E = T A + T C + T D + T

F + T K + T L + T N = 390(天)

对于一个网络计划，只要计算出关键路线上的标准差δ和完工期的期望值T

E，就能对给定某个时间内完成工程的可能性进行概率评价，通过令查标准正态分布：

T——项目的计划完工期；

T

E——项目完期的的期望值；

σ——项目各关键流程的方差之和。

即可知整个开发流程在T时间内完成的概率。

例如：假定开发LX1300新型路面铣刨机的时间计划为（一年）360天，按时完成开发任务的概率是多少呢？

由上面分析可知：开发任务完成的期望时间为T

8 = 390（天),T=360。

由上表计算得出各个流程的方差，计算时需要关键流程的方差：

则其标准差为：

=30.38

查标准正态分布表，得Φ( − 0.987) = 1 − Φ(0.9871) = 0.1611，则可知开发任务在360天内完成的概率为0.1611。根据对完工时间概率的判断，可以帮助计划任务制定者或者高层管理者对于整个产品开发的过程有一个预判，并能及时对全局有一个调控。

6.关键路径的分析

(一)流程关键路径的分析

对于流程关键路径的分析，旨在缩短产品开发的时间，缩减产品开发的费用。在保证一个新产品项目开发计划的前提下，即在不增加人力、物力的前提下，尽量缩短完工期，可以采用的措施有：

（1）采用并行工程的方法：将关键流程分解为几项平行进行的子流程，或者使各个流程交叉作业。

（2）压缩关键流程的时间：在流程的关键路径上采取改进技术、工艺和设备等措施，应尽量保证关键路径所需的人力，物力，财力和精力。当非关键流程与关键流程存在矛盾时，非关键路径要尽可能让路，以便缩短关键流程时间。

（3）在非关键流程上尽量挖掘潜力：利用非关键流程的时差进行合理调度。抽调人力，物力支援关键工序，缩短关键工序时间。

(二)对于LX1300铣刨机开发关键流程的分析根据上面的分析，路面铣刨机开发过程的关键流程为下图所示：在对整个开发流程的分析中，发现流程F 、流程K 、流程L 对于产品开发工期影响最大。针对这3个流程对于LX1300铣刨机产品开发的影响主要表现在：

铣刨机开发过程关键流程

（1）流程F：关键零部件的采购成为影响产品开发的关键因素之一。在目前全球经济一体化的大背景下，全球采购以及产品同质化的发展趋势，使得用户对于产品的质量和性能要求更高。尤其是在工程机械类产品，其核心的液压元件、传动元件等关键零部件均来自国外知名公司。由于此类资源的奇缺性，导致了采购的周期长。另外，国内主机厂商的规模普遍较小；国外同行业已纷纷进入中国，正和国内厂商争夺优秀资源，而且具有优于国内厂商的竞争力；国内同行业正在优化采购管理和采购流程，使其日趋简单有效。这些都是造成国外供应商营销策略的倾斜，价格的不一致，订货时间长的原因。为了能加快产品的研发速度，改进流程F 对于产品开发影响的措施有：

a.在产品开发流程的A，B 阶段，就必须对关键零部件的供应商进行必要的考查，核实其确定的供货周期和供货方式，以便对整个研发周期有一个清楚的预判；

b.在保证知识产权的前提下，尽可能地让这些供应商也能参加到新产品的开发中来，让他们对新产品有清楚的认识和强烈的信心。这样就能与供应商进行很好的沟通与协作，与供应商建立战略伙伴关系，与供应商“双赢”，然后由“双赢”向“四赢”（供应商、客户、主机厂、社会）发展；

c.要有清晰的采购战略。主机厂和供应商之间的关系不仅仅是买卖关系，而是双赢的战略伙伴关系。对供应商的要求不仅仅是提供价格低廉的产品，而是希望供应商能为用户创造更大的价值，通过将开发和制造工艺转嫁给供应商，以缩短整车的开发周期，也减少了产品投入市场所需的成本。在目前全球化的同步采购的趋势下，不同的主机生产商应该根据自己的实际情况结合市场形式制定自己的供应商管理体系和全球采购战略。

（2）流程K：工程机械类产品的零部件繁多，装配工艺复杂。在产品系列化、零部件的通用化和标准化方面差异很大，导致了产品在试制阶段的速度慢。目前，绝大多数主机厂商都有自己的研发结构，在设计的初期都用三维软件（如Proe,Soildworks,UG,CAXA等）做过模拟装配，又叫虚拟制造。但在实际的装配过程中仍存在一些欠考虑的问题，出现了许多临时的加工任务和临时的采购任务，使得速度减缓。目前，较为实际的改进措施是：

a.采用并行工程协调机制进行试制. 并行工程的工作方式是组织跨部门﹑多学科的开发小组，一起并行协同工作，对产品设计﹑工艺﹑制造等上下游各方面进行同时考虑和并行交叉设计，及时地交流信息，使各种问题尽早暴露，并共同加以解决。这样就使产品开发时间大大缩短，同时新产品质量和成本都得到改善。也就是说，产品设计部门不仅要考虑自身的目标，还要考虑整个产品生命周期中从概念形成到报废处理的所有因素，包括产品质量﹑制造成本﹑进度计划，充分利用企业的一切资源，最大限度地满足用户的要求；

b.提高产品的系列化、零部件的通用化和标准化的程度，扩大产品结构继承性；

c.产品结构模块化是另一种简化设计、减少零部件总数的设计合理化措施。它是将产品部件按功能特征分解成相对独立的功能单元，并使他们的接口（结合要素形状、尺寸）标准化，使它们成为可以互换、可按不同用途加以选用组合的标准模块这些模块的不同结合，或模块与其它部件的组合就能构成各种变形产品，以满足不同的订货需要。

(3)流程L:由于工程机械类产品的工作条件恶劣,工作情况复杂,部件的运动复杂,设备的正常运转要求机、电、液的整体配合,协作程度高.这就要求这类新产品的工业性考核的时间长并且强度大。在此流程中出现时间过长主要是由以下几方面造成的:

•寻找试验场地的时间及运输时间。

•出现问题后的整改时间(包括多次出现问题,多次整改)和运输时间。

•解决问题时的临时加工和临时采购时间。

由于出现问题是不可预见的, 此流程的时间预测是最不可估计的.在具体的试验时,应提早准备易损件和经常需要更换的部件, 以减少采购时间. 另外，让用户也参与新产品的开发，设计团队就可以充分利用他们对于产品应用的各种复杂工况的经验来设计产品，保证产品的可靠性。

通过对工程机械类新产品的关键路径分析，可以找出影响其新产品开发速度的关键路径。主机厂商可以结合自身的实际情况，对关键路径进行分析，并且得出缩短关键路径的策略和方法，从而保证其新产品快速上市，迅速占领市场。

关键路径法

关键路径法(Critical Path Method,CPM)

关键路径法起源

关键路线法是一种网络图方法，由雷明顿-兰德公司(Remington- Rand)的JE克里(JE Kelly)和杜邦公司的MR沃尔克(MR Walker)在1957年提出的，用于对化工工厂的维护项目进行日程安排。它适用于有很多作业而且必须按时完成的项目。关键路线法是一个动态系统，它会随着项目的进展不断更新，该方法采用单一时间估计法，其中时间被视为一定的或确定的。

利用关键路线法的步骤

1）画出网络图，以节点标明事件，由箭头代表作业。这样可以对整个项目有一个整体概观。习惯上项目开始于左方终止于右方。

2）在箭头上标出每项作业的持续时间（T）

3）从左面开始，计算每项作业的最早结束时间（EF）。该时间等于最早可能的开始时间（ES）加上该作业的持续时间。

4）当所有的计算都完成时，最后算出的时间就是完成整个项目所需要的时间。

5）从右边开始，根据整个项目的持续时间决定每项作业的最迟结束时间（LF）。

6）最迟结束时间减去作业的持续时间得到最迟开始时间（LS）。

7）每项作业的最迟结束时间与最早结束时间，或者最迟开始时间与最早开始时间的差额就是该作业的时差。

8）如果某作业的时差为零，那么该作业就在关键路线上。

9）项目的关联路线就是所有作业的时差为零的路线。

CPM在项目管理中的应用

对于一个项目而言，只有项目网络中最长的或耗时最多的活动完成之后，项目才能结束，这条最长的活动路线就叫关键路径（Critical Path），组成关键路径的活动称为关键活动。其通常做法是：

1）将项目中的各项活动视为有一个时间属性的结点，从项目起点到终点进行排列；

2）用有方向的线段标出各结点的紧前活动和紧后活动的关系，使之成为一个有方向的网络图；

3）用正推法和逆推法计算出各个活动的最早开始时间，最晚开始时间，最早完工时间和最迟完工时间，并计算出各个活动的时差；

4）找出所有时差为零或者为负数的活动所组成的路线，即为关键路径；

5）识别出准关键路径，为网络优化提供约束条件；

它具有以下特点：

1）关键路径上的活动持续时间决定了项目的工期，关键路径上所有活动的持续时间总和就是项目的工期。

2）关键路径上的任何一个活动都是关键活动，其中任何一个活动的延迟都会导致整个项目完工时间的延迟。

3）关键路径上的耗时是可以完工的最短时间量，若缩短关键路径的总耗时，会缩短项目工期；反之，则会延长整个项目的总工期。但是如果缩短非关键路径上的各个活动所需要的时间，也不至于影响工程的完工时间。

4）关键路径上活动是总时差最小的活动，改变其中某个活动的耗时，可能使关键路径发生变化。

5）可以存在多条关键路径，它们各自的时间总量肯定相等，即可完工的总工期。

关键路径是相对的，也可以是变化的。在采取一定的技术组织措施之后，关键路径有可能变为非关键路径，而非关键路径也有可能变为关键路径。

优化方案策略的制定步骤

在项目管理中，编制网络计划的基本思想就是在一个庞大的网络图中找出关键路径，并对各关键活动，优先安排资源，挖掘潜力，采取相应措施，尽量压缩需要的时间。而对非关键路径的各个活动，只要在不影响工程完工时间的条件下，抽出适当的人力、物力和财力等资源，用在关键路径上，以达到缩短工程工期，合理利用资源等目的。在执行计划过程中，可以明确工作重点，对各个关键活动加以有效控制和调度。

在这个优化思想指导下，我们可以根据项目计划的要求，综合地考虑进度、资源利用和降低费用等目标，对网络图进行优化，确定最优的计划方案。下面分别讨论在不同的目标约束下，优化方案策略的制定步骤。

目标一：时间优化，即根据对计划进度的要求，缩短项目工程的完工时间。

可供选择的方案：

1．采取先进技术的措施如引入新的生产机器等方式，缩短关键活动的作业时间；

2．利用快速跟进法，找出关键路径上的哪个活动可以并行；

3．采取组织措施，充分利用非关键活动的总时差，利用加班、延长工作时间、倒班制和增加其它资源等方式合理调配技术力量及人、财、物等资源，缩短关键活动的作业时间。

目标二：时间－资源优化，在考虑工程进度的同时，考虑尽量合理利用现有资源，并缩短工期，具体要求和做法是：

1．优先安排关键活动所需要的资源；

2．利用非关键活动的总时差，错开各活动的开始时间，拉平资源所需要的高峰，即人们常说的“削峰填谷”；

3．在确实受到资源限制，或者在考虑综合经济效益的条件下，也可以适当地推迟工程时间。

目标三：时间－费用优化。这个目标包括两个方面，一个是指在保证既定的工程完工时间的条件下，所需要的费用最少；或者是在限制费用的条件下，工程完工时间最短。

一般来讲，工程费用可分为直接费用和间接费用两大类，其中直接费用包括直接生产的工人工资及附加费，设备折旧、能源、工具及材料消耗等直接与完成活动有关的费用。为缩短活动的作业时间，需要采取一定的技术组织措施，相应地需要增加一部分直接费用，如为了赶工增加设备或者单位时间内增加能源消耗等。因此，在一定条件下和一定范围内，活动的作业时间越短，直接费用越多。间接费用通常包括管理人员的工资、办公费等,从成本会计上，我们把间接费用按照工程的施工时间进行直接分摊。在一定的生产规模内，活动的作业时间越短，分摊的间接费用也越少。因此，我们有以下时间-费用函数：Y = f1(t) + f2(t)

Y：总费用

f1(t)：直接费用

f2(t)：间接费用

该方程式表明，工程项目的不同完工时间所对应的活动总费用和工程项目所需要的总费用随着时间的变化而变化。假设当t = T’ 时，Y’ = Min(Y) 即工程总费用达到最低点，我们将T’点称为最低成本日程(我们可以用一阶导数为零,二阶导数为正来求得T’点)。在制订网络计划时，无论是以降低费用为主要目标，还是尽量缩短工程完工时间为主要目标，都要计算最低成本日程，从而拟定出时间-费用的优化方案。

从上面的分析可以看出，CPM主要是一种基于单点时间估计、有严格次序的一种网络图。它的出现为项目提供了重要的帮助，特别是为项目及其主要活动提供了图形化的显示，这些量化

信息为识别潜在的项目延迟风险提供极其重要的依据。但是，我们也应用看到其不足之处：首先，现实生活中的项目网络往往包括上千项活动，在制定网络图时，极其容易遗漏；其次，各个工资之间的优先关系未必十分明确，难以做图；最后是各个活动时间经常需要利用概率分布来估计时间点，有可能发生的偏差；最后，确定关键路径目标其实质上为了确保项目按照这一特定的顺序严格执行，从而不至于使整个项目停顿、拖延，如果管理团队对确实无法确定的工作，就应该在项目运作的计划中进行充分的分析和重新安排，此是网络计划显得无能为力。因此在项目中，CPM也需要其它工具和方法同时辅助使用。

计划评审方法和关键路线法

计划评审方法（program evaluation and review technique, PERT）和关键路线法Critical Path Method,CPM)是网络分析的重要组成部分，它广泛地用于系统分析和项目管理，计划评审与关键路线方法是在20世纪50年代提出并发展起来的。1956年，美国杜邦公司为了协调企业不同业务部门的系统规划，提出了关键路线法。1958年，美国海军武装部在研制“北极星”导弹计划时，由于导弹的研制系统过于庞大、复杂，为找到一种有效的管理方法，设计了计划评审方法。由于PERT与CPM既有着相同的目标应用，又有很多相同的术语，这两种方法已合并为一种方法，在国外称为PERT/CPM，在国内称为统筹方法（scheduling method）。

蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）

蒙特卡罗方法概述

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

蒙特卡罗方法的提出

蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。

蒙特卡罗方法的基本思想