等差数列四种证明方法
新高考数学(理)之数列 专题03 等差数列(等差数列的和与性质)(解析版)
新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+； 四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ， 公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和 灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
高中数学_数列知识点汇总
必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1） 任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2） 任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3） 是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。
（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6） 前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。
等差数列及性质
等差数列及性质一、知识梳理：1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．34．等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则：a m＋a n＝a p＋a q.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．（5）．等差数列的图象由a n＝d n＋(a1－d)，可知其图像是直线上的一些等间隔的点，其中是该直线的斜率．(6)．等差数列的单调性：对于a n＝d n＋(a1－d)，(1)当d＞0时，{a n}为；(2)当d＜0时，{a n}为；(3)当d＝0时，{a n}为．二、题型探究：探究一：等差数列的通项公式及其应用例1．(1)已知等差数列{a n}：3，7，11，15，….①135，4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．②若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．(2)在等差数列{a n}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________．1．(1)若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________．(2)已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？探究二：等差数列的判定例2．(1)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；②当x 1＝12时，求x 2 015.(2)已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，证明：a 2，b 2，c 2也成等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．(1)判断下列数列是否为等差数列：①在数列{a n }中a n ＝3n ＋2； ②在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .(2)已知c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”)．(3)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由.探究三：等差中项的应用例3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．(1)方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．探究四：等差数列性质的应用例4．在等差数列{a n}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6.(3)若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．(2)巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．4．(1)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51(2)若x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 1－a 2b 1－b 2等于( )A ．1 B.23C.34D.43探究五：等差数列的综合问题例5．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式.例6．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．5．(1)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝________．(2)已知数列{a n }满足(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，且a 1＝1，a n >0.①求证：数列{a 2n }为等差数列； ②求a n .例7．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？[解] 由等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)×2＝2n －48. 令a n ≥0，得2n －48≥0⇒n ≥24， ∴从第25项开始，各项为正数．[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n ＝24也满足条件．(2)由通项公式计算时，易把公式写成a n ＝a 1＋nd ，导致结果错误．(3)等差数列通项公式中有a 1，a n ，n ，d 四个量，知三求一，一定要准确应用公式．7．(1)首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． (2)一个等差数列的首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d 的范围．例8．(本题满分12分)两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11.2分 又等差数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，4分 等差数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1.6分 所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①8分 所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.10分又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3的错误，这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误，也是常犯错误，解题过程中②处易出现c n ＝12n －1≤399，导致错误．这是对题意不理解造成的，两个数列的公共项应以较小的为基准求解．(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义，不同的数列中同一量的意义是相同的，但是并不一定对应．如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义，当项相同时，对应的序号n 不一定相同．巩固练习：1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋13．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8C ．10 D ．144．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37C ．100 D ．－37 5．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 6．(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．7．(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．10．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.11．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．备选：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．巩固练习答案：1.解析：选C.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．2.解析：选D.设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3.解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 4.解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.5.解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.6.解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：37.解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29.解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 310.解：(1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.11.解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，∴a 2＝1. 由⎝⎛⎭⎫121－d＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 12.解：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1（4－4a n）－2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.备选：解析：设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案：67667(1)解析：a n ＝24＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0，a 9≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋9d <0，24＋8d ≥0，解得－3≤d <－83.答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 (2)解：设等差数列为{a n }，由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125＋（10－1）d ＞1，125＋（9－1）d ≤1，解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875，325.。
等差、等比数列的判定与证明
合作探究
已知数列{an }中，a1 ＝5 且 an ＝2an －1 ＋2n －1(n≥2 且 n∈N* )． (1)求 a2 ，a3 的值． an ＋λ (2)是否存在实数 λ，使得数列{ n }为等差数列？若存在， 2 求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
探究点二、等比数列的判定
例 2. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an+Sn=n，cn=an-1， 求证：数列{cn}是等比数列.
an bn
2 2 an bn
, n N ,
变式迁移1
已知数列 an 中， a2 a （ a 为 非 零 常 数） ，其前 n 项和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n(an a1 ) Sn (n N ) . 求证：数列 an 为等差数列 2
小结：
1．等差数列的判断方法有： (1)定义法：an ＋ 1 －an ＝d (d 是常数)⇔{an}是等差数列． (2)中项公式：2an ＋ 1 ＝an ＋an ＋ 2 (n∈N* )⇔{an }是等差数列． (3)通项公式：an ＝pn＋q (p，q 为常数)⇔{an }是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn ＝An2 ＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差数列．
等差数列的判断与证明
江苏省口岸中学 陈明朋
探究点一、等差数列的判定
例 1. 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足： an1
2 b bn bn 1 1 , n N ，求证：数列 n 是等差数列 a an n
等差数列的性质及应用证明
等差数列的性质及应用证明等差数列是数学中重要的概念之一，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我将介绍等差数列的性质，并对其应用进行证明。
首先，让我们回顾一下等差数列的定义。
等差数列是一个数列，其中每个相邻的两个数之间的差都是一个常数，这个常数被称为公差。
用数学符号表示就是：对于一个等差数列a1, a2, a3, ...，满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = d ，其中d为公差。
举个例子，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。
现在让我们来看一下等差数列的一些性质。
首先，等差数列的第n项可以用一个公式来表示：an = a1 + (n - 1)d。
这个公式可以方便地用来求等差数列的任意一项。
另外，等差数列的前n项和也有一个简单的公式：Sn = (a1 + an)*n/2。
这个公式可以用来求等差数列的前n项和，这在实际问题中经常会被用到。
另外，等差数列的性质还包括：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数，这个性质在证明中也非常重要，我们将在后面的内容中对其进行详细解释。
现在让我们来看一下等差数列的应用证明。
其中一个使用等差数列的经典问题就是求等差数列的前n项和。
我们将用上面提到的公式Sn = (a1 + an)*n/2来证明这个问题。
假设我们有一个等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们将用这个数列的前4项来进行证明。
首先，我们计算出数列的第4项an=1 + (4 - 1)*2 = 7。
接着，我们将公式Sn = (a1 + an)*n/2带入计算，得到Sn = (1 + 7)*4/2 = 16。
这个结果等于1 + 3 + 5 + 7 = 16，验证了我们的公式。
下面我们来证明等差数列的性质：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数。
我们可以用数学归纳法来证明这个结论。
首先，当n=3时，等差数列的前三项和就是这三项的算术平均数。
接着，我们假设当n=k时结论成立，即等差数列的前k项和是k倍前面的k项的算术平均数。
等差数列证明专题
(A)4或5 (B)5或6(C)6或7 (D)8或9
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1]已知 ，求 的前n项和.
(A)n2+1－ (B)2n2－n+1－
(C)n2+1－ (D)n2－n+1－
例6.求和:
知识概括、方法总结与易错点分析
1.数列{ }的前 项和 与通项 的关系：
例1.当 时， ,当 时， ,经检验 时 也适合 ,∴
2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
Tn为数列{ }的前n项和，求Tn.
例17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.
例18.在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.
例19.设{an}是等差数列， ，已知b1+b2+b3= ，b1b2b3= ，求等差数列的通项an.
解：由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝ ＝ ＝1－
[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an}、{ bn}分别是等差数列和等比数列.
如何判断一个数列是等差数列
一轮复习 如何判断一个数列是等差数列知识点归纳判断或证明数列是等差数列的方法有：()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；【注】①求出的常数即为公差d ;②n 的范围,1,n n n N a a *+∈- 12,n n n a a -≥-()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈）n （关于的“一次函数”）⇔{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）（缺常数项的“二次函数”）⇔{}n a 为等差数列；例1 ()1在数列{}n a 中,1111,22,2nnn n n n a a a a b +-==+=,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+⋅=()2n ≥，证明:1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.例2 已知正项数列}{n a (),0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例3已知数列}{n a 的通项公式是21nn a =-,若数列{}n b 满足()121114441n n bb b b n a ---=+(n N *∈),证明: {}n b 是等差数列.练习:1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( ) （A ）n n a b = （B ）nn a b 1= （C ）n n a b -= （D ）2n n a b =2. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn . 求证：数列{}n b 是等差数列.3. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = ⑴求常数p 的值；⑵求证：数列{}n a 是等差数列.4. 已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ 求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列5. 已知数列}{n a 中，135a =，数列112n n a a -=-,()2,*n n N ≥∈,数列{}n b满足11n n b a =-（*n N ∈）. ()1求证：数列{}n b 是等差数列；()2求数列}{n a 的最大项与最小项，并说明理由.6. 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式7.8.9. 10.11. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有2)(1n n a a n S += 证明:{a n }是等差数列.设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
专题10.递推关系证明等差数列docx
专题10 递推关系证明等差数列问题应对由递推关系证明等差（等比）数列问题的若干思路此类问题叫板在数列定义上，活在变形策略的体验上，虽无定法，但仍有章可循.思路一：S n 与a n 之间的转化；思路二：利用相邻项之间的递推，常构造常数列过渡，得出{a n } 通项，得到等差（等比）数列；思路三：递推关系中消常数，得出相邻项的关系.例 1. 设数列{a n } 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321a a a ，且*,820)25()85(1N n n S nS n nn，求证：数列{a n } 为等差数列.例 2. 设数列{a n } 的前n 项和为n S ，若对于),)(()(*,m nmnS S m n S m n N nm 、求证：数列{a n } 为等差数列.例3.设正项数列{a n } 的前n 项和为n S ，且*),(6)1)(1(,111N n n S a a a a nn，求数列{a n }的通项公式变式1：已知数列{}n a ，满足n a a a a nnn n 1111；（1）求证n na a 1是等差数列（2）若2,121a a ，求na 变式2：已知n a a S nn21，求证：数列}{n a 是等差数列例4.若数列{a n }满足条件：存在正整数k ，使得a n+k +a n-k =2a n 对一切n ∈N *，n ＞k 都成立，则称数列{a n }为k 级等差数列，若{a n }既是2级等差数列{a n }，也是3级等差数列，证明：{a n }是等差数列变式1：对于给定的正整数k ,若数列n a 满足n knk nnnk nknka a a a a a a 21111对任意正整数)(k n n ＞总成立，则称数列n a 是“)(k P 数列”，若数列n a 既是“)2(P 数列”，又是“)3(P 数列”，证明：na 是等差数列.变式2：设数列n a 的各项均为正数，若对任意的*N n ，存在*N k ，使得knn kna a a 22成立，则称数列n a 为“Ｌk 型”数列，若数列既是“Ｌ3型”数列，又是“Ｌ4型”数列，证明：{a n }是等差数列例5：设数列{a n } 的前n 项和为n S ，且*,121)1(11N n a a nS S nnnn，设62a ，求证：{a n }是等差数列变式1：已知正项数列{a n }，它的前n 项和为n S ，且有2)(nna S ，若3122a a a ，求证：{a n }是等差数列变式2：已知数列{a n }，它的前n 项和为n S ，若对于任意的*,N n m ,且n m ，都有nma a a a nmS n m nm nm 2，求证：{a n }是等差数列例6：已知{a n }、{b n }、{c n }都是各项不为零的数列，且满足n n n n S c b a b a b a 2211，*N n，其中n S 为数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d （d 0）的等差数列，若)0(n a n，求证：{b n }是等差数列例7：数列n a ，n b ，n c 满足：21232,nn n n n n n a a a c a a b ，*n N ．求证：n a 是等差数列的充要条件是n c 为等差数列，且1nnb b 变式：数列n a ，n b ，nc 满足：12n n n b a a ，1222n nnc a a ，*n N ．(1)若数列n a 是等差数列，求证：数列n b 是等差数列；(2)若数列n b ，n c 都是等差数列，求证：数列n a 从第二项起为等差数列；(3)若数列n b 是等差数列，试判断当130b a 时，数列n a 是否成等差数列？证明你的结论．练习：1.已知正项数列na 的首项为1，且对任意的*nN ，都有1113221111nnn a a n a a a a a a ，求证：数列n a 是等差数列2.已知数列n a ，nb 满足：*)(1N n a a b n nn ，若)2(11nb b b n nn ，且2,121b b ，记)1(16n a c n n ，求证：数列n c 是等差数列。
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等差数列四种证明方法
等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
在数学中，有四
种常见的证明等差数列的方法，分别是递推法、数学归纳法、微积分法和
矩阵法。
一、递推法
递推法是一种基于递推关系的证明方法。
对于等差数列，我们可以通
过递推公式来推导出数列中任意一项与前一项之差的规律。
假设等差数列
的公差为d，首项为a1，则其递推公式为an = a1 + (n-1)d。
通过递推
公式，我们可以计算出数列中任意两项之差，从而证明该数列是等差数列。
二、数学归纳法
数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
对于等差数列，我们可
以利用数学归纳法证明其性质。
首先，我们证明当n=1时，等差数列成立。
然后，假设当n=k（k为正整数）时等差数列成立，即an = a1 + (n-1)d。
接下来，我们证明当n=k+1时等差数列也成立。
由递推公式可知，an+1 = a1 + ((k+1)-1)d = a1 + kd + d = (a1 + (k-1)d) + d = ak + d。
因此，根据数学归纳法的原理，等差数列对于任意正整数n都成立。
三、微积分法
微积分法可用于证明某种函数的导数。
对于等差数列，我们可以通过
求导的方法证明其导数恒为常数。
假设等差数列的公差为d，首项为a1，
则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
对通项公式进行求导，有
d(an)/dn = d。
由此可得到等差数列的导数恒为常数d，也就是说它是一
个常数函数。
这表明等差数列的变化率保持不变，符合等差数列的定义。
四、矩阵法
矩阵法是一种基于矩阵运算的证明方法。
对于等差数列，我们可以利用矩阵运算推导出其通项公式。
假设等差数列的公差为d，首项为a1，则该等差数列可以表示为列向量a = [a1, a2, a3, ...]。
通过矩阵运算，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。
这种方法通常用于证明等差数列的性质和特点。
综上所述，递推法、数学归纳法、微积分法和矩阵法是四种常见的证明等差数列的方法。
每种方法在不同的情况下有其独特的适用性，但它们都可以帮助我们理解等差数列的性质和规律。