数学建模算法大全时间序列模型
数学建模时间序列分析
参数估计值
a ˆ84.699,8b ˆ8.1 92
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
常用非线性模型
模型
变换
对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
例2.3:病事假人数的移动平均
时 病事假人 5项移动 时间 病事假 5项移动 时间 病事假 5项移动
间
数
平均
人数
平均
人数
平均
1.1
4
1.2
7
1.3
8
1.4
11
1.5
18
2.1
质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS
推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
特别的当 l 1
yT li
yˆTli yTli
,l i ,l i
y ˆT1yTyT1 n yTn1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2。
数学建模常用算法和模型全集
数学建模常用算法和模型全集数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来求解的方法。
在数学建模中，常常会用到各种算法和模型，下面是一些常用的算法和模型的全集。
一、算法1.线性规划算法：用于求解线性规划问题，例如单纯形法、内点法等。
2.非线性规划算法：用于求解非线性规划问题，例如牛顿法、梯度下降法等。
3.整数规划算法：用于求解整数规划问题，例如分支定界法、割平面法等。
4.动态规划算法：用于求解具有最优子结构性质的问题，例如背包问题、最短路径问题等。
5.遗传算法：模拟生物进化过程，用于求解优化问题，例如遗传算法、粒子群算法等。
6.蚁群算法：模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于求解优化问题，例如蚁群算法、人工鱼群算法等。
7.模拟退火算法：模拟固体退火过程，用于求解优化问题，例如模拟退火算法、蒙特卡罗模拟等。
8.蒙特卡罗算法：通过随机抽样的方法求解问题，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗等。
9.人工神经网络：模拟人脑神经元的工作原理，用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机、多层感知机等。
10.支持向量机：用于分类和回归问题，通过构造最大间隔超平面实现分类或回归的算法，例如支持向量机、核函数方法等。
二、模型1.线性模型：假设模型的输出与输入之间是线性关系，例如线性回归模型、线性分类模型等。
2.非线性模型：假设模型的输出与输入之间是非线性关系，例如多项式回归模型、神经网络模型等。
3.高斯模型：假设模型的输出服从高斯分布，例如线性回归模型、高斯朴素贝叶斯模型等。
4.时间序列模型：用于对时间序列数据进行建模和预测，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等。
5.最优化模型：用于求解优化问题，例如线性规划模型、整数规划模型等。
6.图论模型：用于处理图结构数据的问题，例如最短路径模型、旅行商问题模型等。
7.神经网络模型：用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机模型、多层感知机模型等。
8.隐马尔可夫模型：用于对具有隐藏状态的序列进行建模，例如语音识别、自然语言处理等。
数学建模十大经典算法
数学建模十大经典算法数学建模是将现实问题抽象化成数学问题，并通过数学模型和算法进行解决的过程。
在数学建模中，常用的算法能够帮助我们分析和求解复杂的实际问题。
以下是数学建模中的十大经典算法：1.线性规划算法线性规划是一种用于求解线性约束下的最优解的方法。
经典的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶理论等。
这些算法能够在线性约束下找到目标函数的最大（小）值。
2.整数规划算法整数规划是在线性规划的基础上引入了整数变量的问题。
经典的整数规划算法包括分枝定界法、割平面法和混合整数线性规划法。
这些算法能够在整数约束下找到目标函数的最优解。
3.动态规划算法动态规划是一种将一个问题分解为更小子问题进行求解的方法。
经典的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题和最长公共子序列问题等。
这些算法通过定义递推关系，将问题的解构造出来。
4.图论算法图论是研究图和图相关问题的数学分支。
经典的图论算法包括最小生成树算法、最短路径算法和最大流算法等。
这些算法能够解决网络优化、路径规划和流量分配等问题。
5.聚类算法聚类是将相似的数据点划分为不相交的群体的过程。
经典的聚类算法包括K均值算法、层次聚类算法和密度聚类算法等。
这些算法能够发现数据的内在结构和模式。
6.时间序列分析算法时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。
经典的时间序列分析算法包括平稳性检验、自回归移动平均模型和指数平滑法等。
这些算法能够分析数据中的趋势、周期和季节性。
7.傅里叶变换算法傅里叶变换是将一个函数分解成一系列基础波形的过程。
经典的傅里叶变换算法包括快速傅里叶变换和离散傅里叶变换等。
这些算法能够在频域上对信号进行分析和处理。
8.最优化算法最优化是研究如何找到一个使目标函数取得最大（小）值的方法。
经典的最优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法和遗传算法等。
这些算法能够找到问题的最优解。
9.插值和拟合算法插值和拟合是通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
经典的插值算法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。
时间序列公式指数平滑法ARIMA模型
时间序列公式指数平滑法ARIMA模型时间序列分析是指对一系列按时间顺序排列的数据进行统计分析和预测的方法。
其中，指数平滑法和ARIMA模型是时间序列分析中应用广泛的两种方法。
本文将介绍这两种方法的原理、应用及其比较。
一、指数平滑法指数平滑法是一种简单且有效的时间序列预测方法，适用于数据变动较为平稳的序列。
其基本原理是通过对历史数据进行加权平均，得到未来一段时间的预测值。
1. 简单指数平滑法简单指数平滑法是最基本的指数平滑法。
其公式如下：St = αYt + (1-α)St-1其中，St为预测值，Yt为实际观测值，St-1为前一个周期的预测值，α是平滑系数，取值范围为0到1。
2. 加权指数平滑法加权指数平滑法在简单指数平滑法的基础上，对不同时期的数据进行加权，以减小较早期数据的权重。
其公式如下：St = αYt + (1-α)(α^(t-1))Yt-1 + (1-α)(α^(t-2))Yt-2 + ...其中，α为平滑系数，t为时间周期。
3. 双重指数平滑法双重指数平滑法适用于具有趋势的时间序列数据。
其基本思想是通过指数平滑法预测趋势的影响，进而得到未来的预测值。
二、ARIMA模型ARIMA模型是一种基于时间序列预测的自回归(AR)和滑动平均(MA)模型。
ARIMA模型是一种更为复杂和全面的方法，可以应对更多类型的时间序列数据。
ARIMA模型包括三个参数：AR(p)、I(d)和MA(q)，分别表示自回归项、差分项和滑动平均项。
ARIMA模型的一般形式如下：ARIMA(p,d,q)：Yt = c + ϕ1Yt-1 + ϕ2Yt-2 + ... + ϕpYt-p + θ1et-1 +θ2et-2 + ... + θqet-q + et其中，Yt为观测值，c为常数，ϕ为自回归系数，θ为滑动平均系数，et为白噪声误差项。
ARIMA模型的建立包括模型识别、估计参数、检验和预测四个步骤。
在实际应用中，还可以通过模型诊断来进一步改进和优化ARIMA模型。
数据分析中的时间序列模型构建方法与注意事项
数据分析中的时间序列模型构建方法与注意事项时间序列模型是一种用于分析时间序列数据的统计模型，常用于预测未来趋势和变化。
在数据分析领域，时间序列模型被广泛应用于金融、经济、销售等领域，帮助企业做出策略决策。
本文将介绍时间序列模型的构建方法以及需要注意的事项。
一、时间序列模型构建方法：1. 数据预处理：在构建时间序列模型之前，首先需要对数据进行预处理。
包括数据清洗、缺失值处理、异常值检测和处理等。
确保数据的准确性和完整性。
2. 确定时间间隔：时间序列数据的特点在于数据点之间存在时间间隔，因此需要确定时间间隔的频率。
常见的有日、周、月、季度、年等不同的时间尺度。
根据具体需求选择合适的时间间隔。
3. 数据探索与可视化：在构建时间序列模型之前，需要先对数据进行探索分析，了解数据的特点和趋势。
可以通过绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图等进行可视化，以便更好地了解数据的分布和相关性。
4. 模型选择：在时间序列分析中，常用的模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）、自回归移动平均模型（ARMA）和自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
根据数据的特点和问题需求选择合适的模型。
5. 参数估计：在确定了时间序列模型之后，需要对模型的参数进行估计。
根据模型的特点和算法选择相应的估计方法，常用的有最大似然估计（MLE）和最小二乘法（OLS）等。
6. 模型诊断和优化：完成参数估计后，需要对模型进行诊断和优化。
通过检验模型的残差是否服从正态分布、是否存在自相关和白噪声等，如果存在问题则进行相应的调整和改进。
7. 模型评估和预测：完成模型构建和优化后，最后需要对模型进行评估和预测。
通过计算模型的预测误差、均方根误差（RMSE）、平均绝对百分比误差（MAPE）等指标评估模型的准确性和稳定性。
根据需要进行预测和分析。
二、注意事项：1. 样本选择：在构建时间序列模型时，样本的选择非常重要。
样本应该代表未来要预测的对象或现象，并且应该覆盖较长的时间范围，以获取更多的信息。
处理大规模时间序列数据的算法与模型
处理大规模时间序列数据的算法与模型在当今的大数据时代，时间序列数据正成为人们重点关注的数据类型之一，因为它对于分析和预测趋势以及检测异常非常有帮助。
处理大规模时间序列数据是一个十分复杂的问题，需要开发相应的算法和模型，本文将介绍一些常见的处理大规模时间序列数据的算法和模型。
一、时间序列数据的简介时间序列数据是指在时间上有着不同变化的一类数据。
例如，气象数据每天不同的温度、天气情况等，金融数据每天不同的股票价格、交易量等。
这些数据通常是按时间顺序排序，并且通常也有规律性的变化。
二、处理时间序列数据的算法1. ARIMA模型ARIMA即差分自回归移动平均模型。
ARIMA模型基于时间序列的平稳性，将非平稳的时间序列转化为平稳序列，根据自相关和偏相关函数拟合出来的模型，可以对未来时间序列进行预测。
2. LSTM模型LSTM模型是一种基于循环神经网络的深度学习模型。
因为它具有长时记忆的特性，所以在时间序列数据处理中表现出色。
LSTM模型可以自适应地学习之前的时间序列模式，并且可以进行预测。
3. Prophet模型Prophet模型是Facebook开发的时间序列预测框架。
它使用了一个可定制的非线性模式和季节性成分来拟合时间序列数据，同时适用于存量和新增数据。
Prophet模型可以用于长期趋势预测、季节性预测以及检测异常等各种任务。
三、处理时间序列数据的常见问题1. 缺失值在处理时间序列数据时，缺失值是经常出现的问题。
一种常见的解决方案是使用中位数、均值等统计量来填充缺失值，但是这种方法并不总是准确可行的。
此外，可以使用插值法来填充缺失值，例如样条插值、线性插值等。
2. 突变突变是时间序列数据中常见的问题之一。
对于突变数据，我们可以通过滤波等方法来平滑数据，并消除噪声。
3. 时间序列的趋势很多时间序列数据都有趋势的存在。
为了正确地对趋势进行分析和预测，我们需要先将时间序列中的趋势去除，例如对数据进行差分或对数变换等。
时间序列建模过程
时间序列建模过程时间序列建模是一种用于预测和分析时间序列数据的方法。
它可以识别和利用数据中的任何趋势、周期性和季节性，并根据这些模式进行预测。
下面是时间序列建模的相关参考内容。
1. 数据探索和可视化：在进行时间序列建模之前，首先需要对数据进行探索和可视化分析。
可以使用统计图表和可视化工具来显示数据的趋势、周期性和季节性。
这可以帮助识别数据中的任何规律或异常。
2. 平稳性检验：时间序列模型要求数据是平稳的，即均值和方差在时间上保持不变。
因此，需要进行平稳性检验以判断数据是否平稳。
常用的方法包括绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图，并进行单位根检验（如ADF检验）。
3. 模型识别：模型识别是选择合适的时间序列模型的过程。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）和季节性模型（如季节性ARIMA模型）。
通过分析自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），确定合适的阶数和滞后项。
4. 参数估计：选择适当的模型后，需要对模型的参数进行估计。
最常见的方法是最小二乘法（OLS）估计和最大似然估计（MLE）。
参数估计的目标是使模型的拟合误差最小化。
5. 模型诊断：在参数估计完成后，需要对模型进行诊断以验证其是否适合数据。
常见的诊断方法包括检验残差的平稳性、独立性、正态性和白噪声性质。
可以使用Ljung-Box检验、残差图和Q-Q图来验证模型的拟合质量。
6. 模型预测：完成模型诊断后，可以使用该模型进行预测。
预测可以是单步预测，也可以是多步预测。
可以使用模型的参数和历史数据来计算未来时刻的预测值，并给出预测区间。
预测区间可以帮助评估预测的不确定性。
7. 模型评估：预测结果应该进行评估以确定模型的性能。
可以使用各种指标，如均方根误差（RMSE）、平均绝对百分比误差（MAPE）和累积预测误差（APE）来评估预测精度。
还可以使用交叉验证来评估模型在不同时间段上的稳定性和准确性。
arima数学建模
arima数学建模
摘要：
1.ARIMA 模型介绍
2.ARIMA 模型的组成部分
3.ARIMA 模型的应用
4.ARIMA 模型的优缺点
正文：
ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种用于时间序列预测的数学建模方法。
它是由自回归模型（AR）、差分整合（I）和移动平均模型（MA）组合而成的。
这种模型主要用于分析和预测具有线性趋势的时间序列数据，例如股票价格、降雨量和气温等。
ARIMA 模型的组成部分主要包括三个部分：自回归模型（AR）、差分整合（I）和移动平均模型（MA）。
自回归模型（AR）是一种通过自身过去的值来预测当前值的线性模型。
差分整合（I）是为了使时间序列数据平稳而进行的一种数学处理。
移动平均模型（MA）则是通过计算时间序列数据的平均值来预测未来值的模型。
ARIMA 模型在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，ARIMA 模型可以用于预测股票价格和汇率等；在气象领域，ARIMA 模型可以用于预测降雨量和气温等；在工业生产领域，ARIMA 模型可以用于预测产量和销售量等。
尽管ARIMA 模型在时间序列预测方面具有很好的效果，但它也存在一些
优缺点。
首先，ARIMA 模型的优点在于其理论基础扎实，模型结构简单，计算简便，预测精度较高。
然而，ARIMA 模型也存在一些缺点，例如需要选择合适的模型参数，对非线性时间序列数据的预测效果较差，不能很好地处理季节性和周期性等因素。
总的来说，ARIMA 模型是一种重要的数学建模方法，它在时间序列预测领域具有广泛的应用。
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第二十四章 时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。
时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。
1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。
如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔τ的函数。
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。
我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
§1 确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
（1）长期趋势变动。
它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
（2）季节变动。
（3）循环变动。
通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4）不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用t T 表示长期趋势项，t S 表示季节变动趋势项，t C 表示循环变动趋势项，t R 表示随机干扰项。
常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型t t t t t R C S T y +++=（2）乘法模型t t t t t R C S T y ⋅⋅⋅=（3）混合模型t t t t R S T y +⋅= t t t t t R C T S y ⋅⋅+=其中t y 是观测目标的观测记录，0)(=t R E ，22)(σ=t R E 。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2σ较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：1.1 移动平均法设观测序列为T y y ,,1Λ，取移动平均的项数T N <。
一次移动平均值计算公式为：)(111)1(+--+++=N t t t t y y y N M Λ )(1)(1)(1)1(11N t t t N t t N t t y y N M y y N y y N ------+=-+++=Λ二次移动平均值计算公式为：)(1)(1)1()1()2(1)1(1)1()2(N t t t N t t t M M NM M M N M --+--+=++=Λ 当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次移动平均方法建立预测模型：)ˆˆ(1ˆ1)1(1+-+++==N t t t t y y NM yΛ，Λ,1,+=N N t ， 其预测标准误差为：NT y yS TN t t t--=∑+=12)ˆ(，最近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。
一般N 取值范围：2005≤≤N 。
当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。
否则N 的取值应小一些。
在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。
选择最佳N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。
均方预测误差最小者为好。
当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型：m b a y T T m T +=+ˆ，Λ,2,1=m 其中)2()1(2T T T M M a -=，)(12)2()1(T T T M M N b --=。
例1 某企业1月～11月份的销售收入时间序列如下表所示。
取4=N ，试用简单一次滑动平均法预测第12月份的销售收入，并计算预测的标准误差。
月份t 1 2 3 4 5 6 销售收入t y 533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0月份t 7 8 9 10 11 12 销售收入t y 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7解： 首先计算出)(4131)1(--+++=t t t t y y y M Λ，11,,5,4Λ=t 由于)1(1ˆt t M y=+，11,,5,4Λ=t ，则993.6 ˆ)1(1112==M y ，预测的标准误差为150.5411)ˆ(1152=--=∑=t t ty yS计算的Matlab 程序如下：y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 ... 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; temp=cumsum(y);mt=(temp(4:11)-[0 temp(1:7)])/4 y12=mt(end)ythat=mt(1:end-1);fangcha=mean((y(5:11)-ythat).^2); sigma=sqrt(fangcha) 1.2 指数平滑法一次移动平均实际上认为最近N 期数据对未来值影响相同，都加权N1；而N 期以前的数据对未来值没有影响，加权为0。
但是，二次及更高次移动平均数的权数却不是N1，且次数越高，权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端项权数小，中间项权数大，不符合一般系统的动态性。
一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。
所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。
指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。
设观测序列为T y y ,,1Λ，α为加权系数，10<<α，一次指数平滑公式为：)()1()1(1)1(1)1(1)1(----+=-+=t t t t t t S y S S y S ααα （1）假定历史序列无限长，则有∑∞=----==-+-+=0)1(21)1()1(])1()[1(j j t j t t t t y S y y SααααααΛ（2）（2）式表明)1(t S 是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为Λ,)1(),1(,2ααααα--；显然有 ∑∞==--=-01)1(1)1(j jαααα 由于加权系数序列呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（2）称为一次指数平滑，类似地，二次指数平滑公式为：)2(1)1()2()1(--+=t t t S S S αα （3）同理，三次指数平滑公式为：)3(1)2()3()1(--+=t t t S S S αα （4）一般P 次指数平滑公式为：)(1)1()()1(P t P t P t S S S ---+=αα （5）利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型。
原则上说，不管序列的基本趋势多么复杂，总可以利用高次指数平滑公式建立一个逼近很好的模型，但计算量很大。
因此用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型。
（1）一次指数平滑预测)1(1ˆt t S y=+， （2）线性趋势预测模型－Brown 单系数线性平滑预测（二次指数平滑预测） m b a yt t m t +=+ˆ，Λ,2,1=m 其中)2()1(2t t t S S a -=，)(1)2()1(t t t S S b --=αα（3）二次曲线趋势预测模型－Brown 单系数二次式平滑预测221ˆm C m b a yt t t m t ++=+，Λ,2,1=m其中)3()2()1(33t t t t S S S a +-=，])34()45(2)56[()1(2)3()2()1(2t t t t S S S b ααααα-+----=， 指数平滑预测模型是以时刻t 为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。
选择合适的加权系数α是提高预测精度的关键环节。
根据实践经验，α的取值范围一般以0.1～0.3为宜。
α值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上α取值大小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。
α值愈大意味着采用的数据愈少。
因此，可以得到选择α值的一些基本准则。
（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则α值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。
（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则α值应取得大一些。
这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。
另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值)3(0)2(0)1(0,,S S S 。
可以取前3～5个数据的算术平均值作为初始值。
例2 下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价，试用一次指数平滑法预测第9个交易日的收盘价（初始值1)1(0y S =，4.0=α）。
时间t 1 2 3 4 5 6 7 8 价格t y 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05解： 由于1)1(0y S =，)1(1)1()1(--+=t t t S y S αα，8,,2,1Λ=t求得18.17ˆ)1(89==S y预测标准误差为：96.07)ˆ(822=-=∑=t t ty yS计算的Matlab 程序如下： alpha=0.4;y=[16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05]; s1(1)=y(1); for i=2:8s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1); endyhat9=s1(end)sigma=sqrt(mean((s1(1:end-1)-y(2:end)).^2))例 3 仍以例2为例。
试用两次指数平滑法预测第9个交易日的收盘价（1)2(0)1(0y S S ==，4.0=α）。
解： 38.172)2(8)1(88=-=S S a ，13.0)(1)2(8)1(88=--=S S b αα，于是51.17ˆ889=+=b a y。
下面进行预测误差分析，取)(11)(1)2(ˆ)2()1()1()2()1()2()1(1t t t t t t t t t t S S S S S S S b a y--+=--+-=+=+ααα 预测标准误差21.128)ˆ(812=--=∑=t t ty yS计算的Matlab 程序如下：clc,clear alpha=0.4;y=[16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05]; s1(1)=y(1); for i=2:8s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1); end s2=y(1); for i=2:8s2(i)=alpha*s1(i)+(1-alpha)*s2(i-1); enda8=2*s1(8)-s2(8)b8=alpha/(1-alpha)*(s1(8)-s2(8)) yhat9=a8+b8 yhat(1)=y(1) for i=2:8yhat(i)=s1(i-1)+1/(1-alpha)*(s1(i-1)-s2(i-1)); endtemp=sum((yhat-y).^2); sigma=sqrt(temp/6) §2 平稳时间序列模型这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。