常渭鑫-国考中不定方程组的求解技巧

解：设签字笔、圆珠笔和铅笔的价格分别为 x、y、z 元，则由题意可知 3������ + 7������ + ������ = 32 ① 4������ + 10y + z = 43 ②
3 个未知数 2 个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。但是我们 发现题目所求的是“同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱”，即
������ + ������ + ������ = ？，也就是三变量间和的关系，因此我们可以使用“设 0 法”进行求解。
具体求解如下：
令系数最复杂的变量为 0，在此方程组中可设 y=0，则方程组可化为： 3������ + ������ = 32 4������ + z = 43 ① ②
用②式减去①式，可得 x=11，再代入①式可得 z=-1。 此时得到该不定方程组的一组解为：x=11，y=0，z=-1。 将该组解的变量值代入所求的关系������ + ������ + ������中去，可得 ������ + ������ + ������ = 11 + 0 + −1 = 10 因此，本题的答案为 10，选择 A 选项。 【结论】 由此题可以看出， 若所求的是变量间某个关系的值时， 只需求出任意一组解， 然后代入该关系即可得出答案。 在 2012 年的国考中的第 72 题，题目没有并未问到变量间某个关系，而是问以下 说法正确的是哪一项，选项共给出了四个关系，有些学员会感到无从下手。实际上， 因为这道题目所问的仍是变量间的关系，所以依然可用“设 0 法”求解出其任意一组 解，进而判断选项中所提供变量间关系是否正确。具体举例如下： 【例 2】（2012 年国家第 72 题）三位专家为 10 幅作品投票，每位专家分别都投出了 5 票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为 A 等，两位专家 投票的作品列为 B 等，仅有一位专家投票的作品列为 C 等。则下面说法正确的是：
C.1.85 元
D.2.10 元
C 档！本题选题非常有意义，但问题很多，主要有： 1.内容总结不全， 在文章中说到了有一类求具体变量的题型， 但后面对这一题型没有讲解。 2.不定方程组的解不是用“赋 0 法”求解的，一般来说，题 目要求的某个多项式的数值， 由选项可得出结果肯定是一个固定 值，从而可以设某个未知数为 0，再得出另外两个未知数的值， 从而得到确定答案。但这不是不定方程组的求解方法。 3.文章不完整，例 3、例 4 放在后面，既没解析也没说明， 不知道是为什么。 4.不定方程组中，有很多题型用赋 0 法是无法求解的，不能 统统放弃，事实上是有方法可以掌握的。 5.格式混乱。字体不统一，段落格式不标准。 6.不定方程组的其他方法如消元、凑元法等，都没有提到。
3 个未知数 2 个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。而题目所 问的并不是某个关系的值，而是让考生判断四个选项所给的变量间关系是否正确。因 此，我们使用“设 0 法”进行求解。具体求解如下：
令 A=0，然后求解二元一次方程组可得 B=5，C=5。即求得原不定方程组的一组解 为 A=0，B=5，C=5。 用此组解来判断各选项所给的变量间关系是否正确即可，具体如下： A 选项认为“A 等和 B 等共 6 幅” ，但 A+B=0+5=5，因此 A 选项不正确； B 选项认为“B 等和 C 等共 7 幅”，但 B+C=5+5=10，因此 B 选项不正确； C 选项认为“A 最多有 5 幅”，若 A 为 5 副，则其共得 15 票，其余的画作不可能 得到选票，与题目所给的“每幅作品都有投票”矛盾，因此 C 选项不正确； D 选项认为 “A 等比 C 等少 5 幅” ， 由 C-A=5-0=5 可知， A 等的确比 C 等少 5 幅， 因此 D 选项是正确的。 综上，本题选择 D 选项。 【结论】由此题可以看出，若题目要求判断几个变量间某个关系是否正确时，只需求出 任意一组解，然后利用该组解代入该关系来判断即可。 由以上两个题目我们可知， 只要不定方程组所求的内容是变量间的关系时， 我们就直接 用 “设 0 法” 来进行求解。 在此， 我们只需要记住的一句话即可—— “正确的关系永远正确， 不正确的关系永远不正确。” 【例 3】（2007 年江苏 B 类第 80 题）小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购 买 1 个计算器，3 个订书机，7 包打印纸共需要 316 元，小李购买 1 个计算器，4 个订书机， 10 包打印纸共需要 362 元。小王购买了 1 个计算器，1 个订书机，1 包打印纸共需要（ A.224 元 B.242 元 C.124 元 D.142 元 ）
A. A 等和 B 等共 6 幅 C. A 最多有 5 幅
B. B 等和 C 等共 7 幅 D. A 等比 C 等少 5 幅
解：一、设 A、B、C 等作品的数量分别为 A、B、C 副，则由题意可知，共有 1 副作品， 共得到的票数为 15 票，可得方程组如下： ������ + ������ + ������ = 10 ① 3A + 2B + C = 15 ②
国考中不定方程组的求解技巧 华图西安师资中心-常渭鑫
2012 年国考中 15 道数学运算中不定方程与不定方程组的题目数量达到 3 道，是考察最 密集的知识点。 这让我们必须对这一知识点进行深入探讨。 而因为已经有老师对不定方程进 行过深入探索，所以本文仅对不定方程组的求解方法进行总结。 根据定义，如果未知数的个数多于方程的个数，就把这个方程组叫做不定方程组。由线 性代数可知，不定方程组解的情况共有三种，分别为：只有唯一的解、有无穷多组解以及无 解。国考中所考察的不定方程组问题具体两个特点，一是解的方面：它只涉及有解的情况， 即不论什么样的不定方程组，都是有解的；二是求解方法：它既可以用快速方法求解，也可 以用传统方法求解，区别是所耗时间的长短。在考试中，一部分考生认为不定方程组难以求 得确定解，从而会因感到无法下手而直接放弃，造成了分数上无谓的损失，而另一部分考生 则使用了传统方法求解，虽然得出了答案，但是造成了时间上无谓的浪费。因此，我们对不 定方程组的求解进行总结，希望对广大考生有所帮助。 在对不定方程组的题目进行分析后， 我们发现， 国考中不定方程组可以根据其所求解的 内容分为两大类，第一大类是求变量之间的关系，这也是不定方程组的主流，它的求解方法 比较简单，直接用“设 0 法”即可求解；第二大类是求具体某个变量的值，它在不定方程组 的题目中所占比例较小， 通常是通过寻找题目中所暗含的条件来求解的， 它的求解过程往往 比较繁琐且难以求解。这两类的题目求解方法迥然不同，在此，我们将不定方程组的求解方 法归结如下。 在判断出一道题目为不定方程组时，解该不定方程组的步骤为： 1、 首先要看该题目求解的是变量之间的关系，还是某个变量的具体值 若是前者，则使用“设 0 法”求解，若是后者，因为其求解一般会比较困难，属 于放弃类题目，因此可以选择直接跳过不做，或者有时间时再详细求解。 2、 根据题意列出方程并化为标准形式 二元一次方程的标准式为：ax+by=c，其中 a、b、c 为已知整数，x、y 为所求 自然数。三元一次方程的标准式为：ax+by+cz=d，其中 a、b、c、d 为已知整数，x、 y、z 为所求自然数。 3、 使用“设 0 法”求解不定方程组 不定方程组的解有一个特点是：变量间的某些关系在其每组解内都成立。而这个
【例 4】（2008 年国家第 60 题，2009 年黑龙江 A 类第 13 题）买甲、乙、丙三种货物，如 果甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，需花费 3.15 元；如果甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件，需花费 4.20 元。甲、乙、丙各买一件，需花费多少钱（ ）
Байду номын сангаас
A.1.05 元
B.1.40 元
“变量间的某些关系”往往就是题目所求的内容。因此，我们可以使用 “设 0 法” 找到其任意一组解，然后将该组解的变量值代入所求的关系中去，所得的答案便是我 们所应选择的选项。举例如下： 【例 1】（2009 年国家第 112 题）甲买了 3 支签字笔、7 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花 了 32 元，乙买了 4 支同样的签字笔、10 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 43 元。如果同 样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱（ A.10 元 B.11 元 C.17 元 ） D.21 元