《91UP行测考点精讲》之不定方程问题

不定方程问题
知识框架
公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。

解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

核心点拨
1、题型简介
未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。

通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。

在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

2、核心知识
形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。

这些方程的解是不确定的，我们通常研究：
a.不定方程是否有解？
b.不定方程有多少个解？
c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程
对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：
定理1：
二元一次不定方程，
A.若其中，则原方程无整数解；
B.若，则原方程有整数解；
C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

定理2：
若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

方程的所有解（即通解）为（k为整数）。

（2）多元一次不定方程（组）
多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

例：
②－①消去x得y+2z=11 ③
③的通解为，k为整数。

所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

（3）其他不定方程
3、核心知识使用详解
解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。

（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

夯实基础
1、二元一次不定方程
例1：(2008．云南)
小明在商店买了若干块5分钱的糖果和1角3分钱的糖果，如果他恰好用了1块钱，问他买了多少块5分钱的糖果？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】[题钥]
假设若干个未知数，由给定的条件列出不定方程。

[解析]
根据题意，设小明分别买了5分钱的糖果和1角3分钱的糖果x、y块，则有：
5x和100都能被100整除，则13y(<100)也一定能被5整除，
故y只能为5，(若y=0,则选项中没有正确答案，故排除)。

故x=7，
因此，选B。

例2：(2009．江苏A类)
有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。

为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：
A. 1辆
B. 3辆
C. 2辆
D. 4辆
【答案】B
【解析】[题钥]根据条件列出方程，再根据奇偶性进行计算。

[解析]
设大客车有x辆，小客车有y辆，则有：
37x+20y= 271。

根据数字的奇偶性判断：
可知20y为偶数，而271为奇数，
所以37x为奇数，故x为奇数，排除C、D。

将A、B代入方程，可知，只有当x=3时，y为整数，符合题意，
故选B。

2、多元一次不定方程（组）
例3：(2009．国考)
甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙买了4支同样的签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共用去43元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需多少元钱？
A. 21
B. 11
C. 10
D. 17
【答案】C
【解析】[题钥]
根据条件，设未知数，列出方程，采用特殊值法目的是简化解题步骤，应合理取值。

[解析]
设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，则有
设系数最复杂的y=1，则有
解得x=8，z=1，
所以签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，需要：
x+y+z=8+1+1=10。

因此，选C。

3、其他不定方程
例4：某大学军训，军训部将学员编成8个小组，如果每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1人，那么学员
总数将不到90人。

由此可知，预定的每组学员人数是：
A. 20人
B. 18人
C. 16人
D. 12人
【答案】D
【解析】[题钥]根据条件列出不等式，再根据整除的性质判断。

[解析]
假设预定的每组学员人数为x, 故学员总人数为8x。

“每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人”，
即8(x+1)>100,8x>92，
可知总人数大于92人。

“每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人”，
即8(x-1)<90,8x<98，
可知总人数小于98人。

(92，98)范围内能被8整除（x为非负整数，故8x是8的倍数）的数只有96，故每组有学员96÷8=12人。

因此，选D
进阶训练
1、二元一次不定方程
例5：(2010．浙江)
工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。

现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个？
A. 34个
B. 32个
C. 30个
D. 28个
【答案】A
【解析】[题钥]
假设甲生产螺丝帽x分钟，生产螺丝x’分钟，则
得：
同理，
在列不定方程时，即可使用20-x来代替，从而简化方程、减少未知数个
数，降低题目难度。

[解析]
设工人甲生产螺丝帽x分钟，工人乙生产螺丝帽y分钟，则有：
，即：
，
化简得，
x、y均为非负整数，经检验（代入排除法），
只有x=4，y=2符合条件。

则生产的螺丝比螺丝帽多个。

因此，选A。

2、多元一次不定方程（组）
例6：在1500年前的“张立建算经”里曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”鸡翁、鸡母、鸡雏的个数均不为0，则共有几种情况？
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】[题钥]
根据条件列方程（组），然后再根据数的奇偶性进行判断。

[解析]
设鸡翁、鸡母、鸡雏各x、y、z只，
则有
3×①-②得7x+4y=100，
数字的奇偶性可知：
100、4y均为偶数，则7x必为偶数，即x必为偶数。

根据题意，x、y、z均为非负整数：
由方程①可得是整数，即z能被3整除。

由7x+4y＝100可知，x的取值范围在[0,15)之间，
根据x+y+z=100②经验证（代入法），共有3组正整数解，分别为
，
因此，选D。

3、其他不定方程
例7：(2005．山东)
甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册、有2人各捐7册，其余各捐11册；乙班有1人捐6册，有3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。

已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400～550之间。

那么，甲、乙、丙三个班各有多少人？
A. 48,50,53
B. 49,51,53
C. 51,53,49
D. 49,53,51
【答案】C
【解析】[题钥]
不定方程（组）问题的求解，往往不需要全部求得每个方程的解，利用某个方程的解即可推断出其它方程的解。

利用代入法也可快速排除选项。

[解析]
根据题意可知，甲班捐赠的图书最多，丙班捐赠的图书最少，
甲班比丙班多捐赠：28+101=129册。

而丙班捐赠的图书不少于400册，甲班捐赠的图书不多于550册，
则甲班捐赠的图书在529—550册之间；
设甲班人数为x，则
529≤1×6+2×7+11(x-3)≤550，
即，
故x可取50或51。

观察选项，只有C符合。