初中数学切线定义
切线的证明技巧
知识点
二.切线的证明方法： 1.作垂直，证半径
条件：圆与直线的公共点没有标明字母 方法：① 则过圆心作直线的垂线段为辅助线
② 再证垂线段的长等于半径的长
知识点
二.切线的证明方法： 2.连半径，证垂直 条件：圆与直线的公共点标明字母 方法：① 则连这个点和圆心得到辅助半径
② 再证所作半径与这条直线垂直
变式练习
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于 点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2， AE= ．3 求证：BC是⊙O的切线；
证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE= 3，
∴AM=ME2+AE2， AM ME2 AE2
∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°， 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 而AB为直径， ∴BC是⊙O的切线；
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
初中数学 什么是公切线
初中数学什么是公切线
公切线是指两个圆或两个球体之间的一条直线，且这条直线同时切到两个圆或两个球体。
下面我将详细介绍公切线的定义、性质和相关概念。
定义：
公切线是指同时切到两个圆或两个球体的一条直线。
这条直线与两个圆或两个球体的切点分别位于两个圆或两个球体的切点处。
性质：
1. 公切线与两个圆或两个球体的切点构成一个等腰三角形，即两个切点与切点直线的中点连线相等。
2. 公切线在两个圆或两个球体的切点处与切线相切，切点的切线方向相反且互相垂直。
3. 公切线与两个圆或两个球体的切点连线在切点处互相垂直，即两个切点与切点连线互相垂直。
4. 公切线在两个圆或两个球体的切点处的切线长度相等，即两个切点与切点连线的长度相等。
相关概念：
1. 外公切线：当两个圆或两个球体相离时，它们之间的公切线是外公切线。
外公切线与两个圆或两个球体的切点在同一侧。
2. 内公切线：当两个圆或两个球体内切或相交时，它们之间的公切线是内公切线。
内公切线与两个圆或两个球体的切点在不同侧。
需要注意的是，公切线的存在和性质取决于两个圆或两个球体的位置、半径以及圆心之间的距离。
公切线在几何推理和问题解决中具有重要意义，通过分析公切线的性质和关系，我们可以利用切点坐标、切线方向等信息进行问题求解。
希望以上内容能够满足你对公切线的了解。
初中数学 文档：切线有关的定理
切线三大定理【知识要点】（按点列出）圆心角和圆周角、弦长、弧长的关系【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】知识点1.直线和圆的三种位置关系：知识点2.切线的判定和性质：判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线；（2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。
性质：如果一条直线与圆相切，另一条满足：（1）过圆心，（2）切点，（3）垂直于半径．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。
知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。
知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等；知识点5、圆幂定理：（1）PA ·PB=PC ·PD （2）PT 2=PA ·PB=PC ·PD知识点6、圆与三角形： d<r d=r d>r 关 系 相交 相切 相离 交点个数 两个交点 一个交点 没有交点 直线名称 割线 切线 不相交线 A PDC B A B T PD C Ac b A cADC B A B P1 2 +∠）12 r=（2）如图，是半圆的直径，EF BC ⊥于点，5BF FC=．已知点在的延长线上，与半圆 交于，且82AB AE ==，，则的长为多少．AB C DE F O考点3、圆和三角形(2011黑龙江省大庆)如图，△的两直角边边长为4，边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边、、分别相切于点、、，延长交斜边于点．(1)求⊙的半径长； (2)求线段的长．考点4、圆的综合题型已知：如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB 为圆O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1厘米／秒的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3厘米／秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．求(1)t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？(2)t 分别为何值时，直线PQ 与圆O 相切、相交、相离？(97年河北)【知识小结】（先由自己独立小结，最后由老师书面小结）直线与圆的关系：相交、相切、相离圆中切线三大定理：性质定理、判定定理、切线定理圆幂定理圆中内切三角形、四边形【作业】（精少，书面与识记部分均要求有）【教学后记】（对学生学习过程中的反应、吸收、优缺点与自己的教学方法进行反思）。
初中数学精品课件：切线长定理
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
Hale Waihona Puke ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
二、切线长定理 过 圆外一点所作的圆的两条 切线长相等，
圆心和这一点的连线平分
B
两条切线的夹角。
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A
PA = PB
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
。
OM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
于点D、E，交AB于C。
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △POA∽△POB∽ △PAC∽PBC
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
P · ·O
P· ·O
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？
A
。
P
O
B
一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
初中数学课件《切割线定理
证明方法二
总结词
利用勾股定理证明
详细描述
根据勾股定理，结合切割线与切线的关系，推导出切割线定理的结论。
证明方法三
总结词
利用面积法证明
详细描述
通过比较切割线与切线所围成的三角形面积，利用面积公式，推导出切割线定理的结论。
提高习题2
已知一个圆内接四边形， 其对角线互相垂直且平分 ，求该四边形的面积。
提高习题3
一个圆与两条直线相切于 两点，求这两点间的距离 。
挑战习题及答案
挑战习题1
一个圆经过圆外三点，求过这三 点的最短弦的长度。
挑战习题2
已知一个圆内接六边形，其对角 线互相平分且相等，求该六边形 的面积。
06
总结与回顾
本节课的难点解析
理解切割线定理的推导过程
பைடு நூலகம்对于一些学生来说，理解切割线定理的证明过程可能存在困 难，需要老师进行详细的解释和引导。
掌握切割线定理的应用技巧
应用切割线定理需要一定的技巧和经验，学生需要在练习中 不断摸索和总结。
下节课预告
• 下节课将学习与圆相关的另一个重要定理——相交弦定理。通 过学习相交弦定理，我们将进一步了解圆和三角形之间的关系 ，并解决更多与圆相关的问题。
本节课的重点回顾
切割线定理的定义
切割线定理是关于三角形和其外接圆 的定理，它描述了三角形的一边和其 外接圆上一点所形成的线段与另一条 切割线之间的关系。
切割线定理的证明
切割线定理的应用
通过实例演示了切割线定理在解题中 的应用，包括求角度、线段长度等问 题。
通过构造辅助线和利用相似三角形的 性质，证明了切割线定理的正确性。
初中几何圆切线题目解析
各位同学：
大家好！
今天我们讲有关圆切线的题目，在讲题之前我们先大致把圆切线的有关定义和定理回顾一下：
1)直线与圆相切定义：如果一条直线和圆只有一个公共点，那么就说这条直线与圆相切。
2)切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径
当我们求证直线与圆相时，我们把问题总归纳为三点：
1）直线与圆相交（交点）
2）圆心到交点的连线=r （等径）
3）圆心到该交点的连线该直线；（垂径）
三要素
(顺序可倒)
3垂径可以通过：一、全等/相似、二、射线或线段平行、三、角互余原理
先举一例：
一、证全等/相似：
1、如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M. 求证：PC是⊙O的切线.
1)交点C
2)OC=r
3)OC PC （证PAB PCO）
2（相似）、
二、证平行：
证平行例题之2：
三、证角互余：
四、未知交点的圆切线证明：
回顾三要素：交点、等径、垂径
好，今天给大家分享了圆切线的三种证明方法，我以前常在平台里讲到大家最好是学会归类和细分，尽量形成一种模式，比如圆切线，我们扩展下去，它有几种解法，我们给它归类，可扫掉盲区。
下面给大家留几道题、、、、这几道题包括我们刚才讲的几种解题思路，有不清楚的可以平台上问，我们再交流，好的，同
学们，今天的课就讲到这里，同学们再见！。
初中数学重点梳理：切线和割线
切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。
因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。
知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的之一。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。
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初中数学切线定义
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准
确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线
上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直
线叫做圆的切线。
切线性质和定理
性质定理
圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且
垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
判定定理
一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，
那么这条直线就是圆的切线。
一般可用：
1、作垂直证半径
2、作半径证垂直