物理论文

大学物理之质点力学

牛顿定律为基础的力学理论被称为牛顿力学或经典力学,它曾经被尊为完美普遍的理论而兴盛了约三百年。尽管在二十世纪初发现了它的局限性,其在高速领域被相对论所取代,在微观领域被量子力学所取代,但在一般的技术领域,如机械制造、土木建筑,甚至航空航天技术中,经典力学仍保持着充沛的活力而处于基础理论的地位。另外,由于经典力学是最早形成的物理理论,后来的许多理论,包括相对论和量子力学的形成都受到它的影响。后者的许多概念和思想都是由经典力学的概念和思想发展、改造而来。经典力学在一定意义上是整个物理学的基础。

经典力学中的质点力学和刚体力学基础是大学物理中的必修内容,而质点力学又是大学物理中的开篇内容。质点力学在中学物理中就开始讲授,但在中学物理中质点力学仅限于处理质点作匀速、匀变速运动,质点受恒力作用问题,而在大学物理中的质点力学,不仅仅讲述基本概念、原理和定律,而且将物理学中最常用、最基本的研究方法体现出来,这对学生学习大学物理的后继内容,乃至后继的相关课程都很重要。本文从三方面分析质点力学在大学物理中的作用。

一、建立物理模型的研究方法

质点力学中建立的第一个、也是最简单的物理模型是质点,它从两个方面反映了运动物体的主要特征:几何点反映了物体的位置;质量反映了物体的惯性。一个物体如果作平动,它的各个部分具有完全相同的运动状态,即具有相同的位移、速度、加速度等,可以用一个点的运动代表物体整体的运动。如果一个物体自身的线度与它的运动范围的线度相比微不足道,或者在所研究的问题中允许忽略物体各部分运动状态的差异,这样的物体可按质点模型处理。一般对平动物体来说,某个物体能否采用质点模型,并不在于它的大小,而是由研究问题的性质以及对精度的要求来决定的。如果研究问题允许忽略物体各部分运整理动状态的差异,就可以将物体视为质点,否则就要按其实际形状讨论。

由质点模型的建立我们看到,模型取代原型有助于概念的形成和运用,有助于问题的分析。建立模型是物理学的基本研究方法,模型的提出有利于概念的建立和规律的表述。例如刚体、理想弹簧、理想气体、点电荷、线电流、光线等等,都是物理规律赖以表达的基本物理模型。

物理学理论的普适性与运动客体的多样性,要求我们将研究对象理想化。人们对大量物理过程进行清理与概括,寻找过程的基本物理特征,再经过对原型信息的简化压缩,构造出原型的替代物,即模型。物理模型有意突出现象中起主要作用的因素,忽略一切非本质的细节,形成简明的物理图像。一个好的模型具有简单性、概括性和与实验的一致性等特点。[2]模型是理性思维的产物,数学是理性思维的基本形式,建立物理模型是运用数学的前提。

二、微积分思想和方法的运用

在中学物理中,主要应用代数运算来分析简单的物理问题。而在大学物理中,微积分的分析方法是解决物理问题的基本方法,这也是学生学习大学物理时感到困难的地方。因此,如何使学生理解微积分思想,熟练运用微积分方法来分析物理问题,就成为大学物理教学中必须解决的问题。

物理现象和规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的。对于实际中的复杂物理问题,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的相应局部问题,只要局部范围被分割到足够小,小到对于这些局部范围内的问题都可以近似处理为简单、基本、可研究的问题,然后再将所有局部范围内研究的结果积累起来,就可以得到问题的结果。在理论分析时,把分割

过程无限地进行下去,局部范围就无限地小下去的过程,便是微分。把所有的无限多个微分元中的结果求和过程,便是积分。这就是大学物理中运用的微积分思想和方法。它把复杂物理问题进行时间、空间范围上的有限次分割,在有限小的局部范围内进行近似处理,然后让分割无限地进行下去,局部范围也就无限地变小,因此近似处理也就变得越来越精确,这样,从理论上就能得到精确的结果。通过微积分方法中有限向无限的转化来实现由近似到精确的分析过程,是大学物理中运用微积分思想和方法的关键,而这些思想和方法在质点力学中体现得淋漓尽致,学生也是在学习质点力学时第一次接触到用微积分解决物理问题。下面通过例题来进行说明。

例1有两个质量分别为M和m的质点,其中质点M固定不动,m经任意路径由a点移到b点,求在此过程中万有引力所做的功。

分析求解:取M的位置为参考点,设a、b两点距M的距离分别为ra和rb。设在某一时刻质点m距质点M的距离为r,相对于M的位置矢量为r,er为位置矢量r的单位矢,此时m受M的万有引力为F=-G 。

在m沿任意路径由a点移到b点的过程中,F为变力,不能用恒力做功的公式。我们可以取一位移元dr,在此位移元中,F可近似看成是恒力,则在此位移元中F所做的功为: dA=F?dr=Fcos(π-θ)|dr|=-Fcosθ|dr| (1)

由于|dr|cosθ=dr代入(1)式得dA=-G 。

当质点m从a点沿任整理意路径到达b点,F所做的功为:

A= dA= -G dr=GMm( - )

这个例题是质点力学中把复杂物理问题进行空间范围上的有限次分割,然后在有限小的局部范围内进行近似处理,再通过微积分将有限向无限的转化,实现由近似到精确求解的一个典型例题。

下面再举一个质点力学中把复杂物理问题进行时间范围上的有限次分割的典型例题。

例2,有一冲力作用在质量为0.3kg的物体上,已知力的大小F随时间t的变化规律为: 25×104t 0≤t≤0.02

2.0×105(t-0.07)2 0.02≤t≤0.07

式中F的单位为N,t的单位为s。求0～0.07s时间间隔内F的冲量大小。

分析求解:在0～0.07s时间内F为变力,不能用恒力冲量的公式。我们可以任取一时间元dt,在此时间元中,F可近似看成是恒力,则在此时间元中F的冲量大小为:

dI=Fdt

在0～0.07s时间间隔内F的冲量大小为:

I= F(t)dt=

这个例题是质点力学中把复杂物理问题进行时间范围上的有限次分割,然后在有限小的局部范围内进行近似处理,再通过微积分将有限向无限的转化,实现由近似到精确求解的一个典型例题。

三、三个基本守恒定律的提出质点力学指出,当力作用于质点或质点系时,往往有一段持续时间,或者持续一段距离,这就是力对时间的积累作用以及力对空间的积累作用,在这两种积累作用中,质点或质点系的能量、动量或角动量将发生变化或转移。当系统外力满足一论定条件时,在变化过程中的系统作为整体可能出现守恒的运动量。在质点力学中,由牛顿定律推出了机械能守恒、动量守恒和角动量守恒三个守恒关系,使复杂的力学研究得以简化。但是能量守恒与转化定律、动量守恒定律和角动量守恒定律的适用范围比牛顿定律更为广泛,它们不仅适用于力学,而且为物理学中各种运动形式所遵守。例如在微观领域中,牛顿定律已不适用,但这些守恒定律依然适用。比如爱因斯坦光电效应方程的提出,就是在微观领域中运

用了能量守恒与转化定律;而康普顿效应的解释,则是在微观领域中运用了动量守恒定律及能量守恒与转化定律。

在物理学中,守恒定律是最强有力的分析手段。它们的实质是:在某种确定环境下,相互作用的物体无论发生什么样的变化,仍然有这种或那种可测度的量(如能量、动量、角动量等)的总和,在整个观察期间保持不变。守恒定律能透过零乱复杂的表面变化,指出一种或几种潜在的内部稳定性,这种稳定性一旦被确认,系统便由混乱变得井然有序。我们可以通过下面的例题略见一斑。

例3,一质量为1kg的小球系在长为lm的细绳下端,绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅垂线成30°角处,然后放手使小球沿圆弧下落,试求绳与铅垂线成10°角时小球的速率。

分析求解:当绳与铅垂线的夹角为θ时,小球受到绳的拉力T和重力mg的作用。由于小球在运动的过程中T是变化的,因此用牛顿定律解决此题比较麻烦。但由于T方向始终与小球的运动方向垂直,在小球运动的过程中不做功,而mg则是保守力,因此小球在运动的过程中满足机械能守恒的条件。

先设小球质量为论文联盟https://www.360docs.net/doc/f45166191.html,整理m,绳长为L,在起始时刻绳与铅垂线的夹角为30°,小球的速率v0=0;当绳与铅垂线的夹角为10°时,小球的速率为v。并设小球的末位置所在水平面为零势面,由机械能守恒定律得:

mgh=mg(Lcos10°-Lcos30°)= mv2

=1.53m?s-1

例4,一静止的物体,由于内部作用而炸裂成三块,其中两块质量相等,并以相同的速率30m?s-1沿相互垂直的方向分开。第三块质量3倍于其它任一块的质量,求第三块的速度大小和方向。

分析求解:由于物体因内部作用而炸裂,外力(重力)远小于内力,可以忽略不计,因此满足动量守恒条件。由于物体最初动量为零,故炸裂后三块的总动量也应该为零。设三块的速度分别为v1、v2、v3,质量分别为m1、m2、m3,则有:

m1v1+m2v2+m3v3=0或m3v3=-(m1v1+m2v2)

即第三块的动量与第一、第二两块动量的矢量和大小相等、方向相反,它们之间的关系如图4所示。

已知v1与v2相互垂直,故有

(m3v3)2=(m1v1)2+(m2v2)2

已知m1=m2,m3=3m1,v1=v2=30m?s-1(2)

图4 图5

由(2)式可得:(3v3)2=。

解得v3= v1= ×30=14.1m?s-11。

又有tanθ 。

此结果说明v3与v1之间的夹角为135°。

例5,一人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动,地球的中心O为该椭圆的一个焦点,如图5所示。已知地球的平均半径R=6370km,人造卫星近地点P1的高度h1=439km,速度为v1=8.11km?s-1,远地点P2的高度h2=2384km,求人造卫星在远地点P2的速度。分析求解:人造卫星的运动可认为仅受地球对它的引力,由于该引力始终指向地球中心O,相对于O点的力矩为零,因此人造卫星在运动中相对于点O的角动量守恒。

人造卫星在近地点P1的角动量为:L1=mv1(R+h1)。

在远地点P2的角动量为:L2=mv2(R+h2)。

由角动量守恒定律得:

mv1(R+h1)=mv2(R+h2)

v2=v1 =6.31km?s-1

四、结论

在质点力学中,讲述了物理学中最基本的研究方法——建立物理模型;训练了解决物理问题的基本的方法——微积分分析方法;同时还提出了物理学中各种运动形式所遵守基本守恒定律。因此,质点力学是大学物理中第一块、也是最重要的一块基石。