高考文数题型秘籍【25】平面向量的基本定理及其坐标表示(解析版)
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。
二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。
这种表示方法非常直观，也很容易理解。
三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。
具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。
根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。
五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。
2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。
2020届高考数学一轮复习 第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
教师备用例题
例 3 [配合例 2 使用][2018·南 方形 ABCD 中,P 为 DC 边上的
教师备用例题
[解析] 以 A 为原点,分别以 AB 设正方形 ABCD 的边长为 2,则
谢谢
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)C [解析] (1)根据平面向量基本
课堂考点探究
[总结反思] (1)应用平面向量基 三角形法则进行向量的加、减
课堂考点探究
变式题 (1)[2018·南充三诊] 已 点 E,F 分别是 DC,BC 的中点
课堂考点探究
变式题 (1)[2018·南充三诊] 已 点 E,F 分别是 DC,BC 的中点
教师备用例题
【备选理由】 例1为平面向量 入参数,建立方程并结合基本不
教师备用例题
例 1 [配合例 1 使用] [2018·
教师备用例题
[解析] 如图,连接 AG.∵M,N 是△ABC 的重心,∴������������=13(������������+
教师备用例题
例 2 [配合例 1 使用] [2018· 已知平面直角坐标系内的两个
2.[教材改编] 已知向量 e1,e2 实数 x,y 满足
课前双基巩固
3.[教材改编] 已知 O 为坐标
2
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知向量
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:忽视平面向量基本定
课前双基巩固
5.给出下列三个向量: a= 1 , 3 ,b=(1,-3),c=(-2,6).从
课前双基巩固
课堂考点探究
变式题 (1)设向量������������=(1,4), ������������=(-3,4),������������=(1,0),则( )
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。
高考数学复习：平面向量的基本定理及坐标表示 课件
为 BC 的中点，则( A )
A. A→E＝34A→B＋12A→D
B. A→E＝32A→B＋12A→D
C. A→E＝14A→B＋12A→D
D. A→E＝34A→B＋14A→D
【解析】 依题意得A→E＝A→B＋B→E，A→E＝A→D＋D→C＋C→E，所以 2A→E＝A→B＋A→D＋D→C＝
A→B＋A→D＋12A→B＝32A→B＋A→D，所以A→E＝34A→B＋12A→D.
D. (7，－1)
【解析】 －3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－9,3)＋(2，－4)＝(－7，－1)．故
选 B.
3. 若平面向量 a＝(1,2), b＝(－2，m), 且 a∥b，则|b|等于( D )
A. 3
B. 5
C. 2 2
D. 2 5
【解析】 由题意，向量 a∥b，则－12＝m2 ，解得 m＝－4，即 b＝(－2，－4)，所以 |b|＝ －22＋－42＝2 5，故选 D.
4. 如图(1)，在梯形 ABCD 中，若 AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 是 BC 的中点，F 是 AE 上一点，且A→F＝2F3A→D C. －12A→B＋13A→D
图(1) B. 13A→B－12A→D D. －13A→B＋12A→D
【解析】 以 A 为原点建立如图(2)平面直角坐标系，设 AD＝2，则 B(4,0)，D(0,2)， F2，23，B→F＝－2，23，A→B＝(4,0)，A→D＝(0,2)，所以B→F＝－12A→B＋13A→D.
图(2)
知识聚焦 1. 平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平 面内任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，满足 a＝λ1e1＋λ2e2 ，我们把不共线向量 e1，e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底．
高考数学 平面向量的基本定理及坐标表示
高考数学 平面向量的基本定理及坐标表示题组一 平面向量基本定理及其应用 1.在平行四边形AE 的延长线与CD 交于点F .若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r ＝ ( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b解析：如图所示，由△DEF ∽△BEA 知AF u u u r ＝AC u u u r ＋CF u u u r ＝a ＋23CD u u u r＝a ＋13(b －a ) ＝23a ＋13b . 答案：B2．(2010·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________． 解析：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m －3≠3m ，∴m ≠－3.答案：{m ∈R|m ≠－3}3．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r ＝________(用a 、b 表示)．解析：由AN u u u r ＝3NC u u u r 得4AN u u u r ＝3AC u u u r ＝3(a ＋b )，AM u u u u r ＝a ＋12b ，所以MN u u u u r ＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b题组二 平面向量的坐标运算4.在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG u u u r ＝2GD u u u r ，则点C 的坐标是 ( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：设C (x ，y )，则D (8＋x 2，－4＋y 2)，再由AG u u u r ＝2GD u u u r 得(0，－4)＝2(4＋x 2，－2＋y 2)，∴4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，即C (－4，－2)．答案：B5．若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：由已知a ＝－2p ＋2q ＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a ＝λm ＋μn ＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝2λ＋2μ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝2， ∴a ＝0m ＋2n ，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：D 6．(2010·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．OC u u u r ＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表正确的是 ( )解析：OC u u u r ＝λa ＋μb ＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ.答案：A题组三 平行(共线)向量的坐标表示 7.(2009·北京高考)b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．依题意d ＝a －b ＝(1，－1)，又c ＝ka ＋b ＝(k,1)，∵c ∥d ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c ＝(－1,1)＝－d ，∴c 与d 反向．答案：D8．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由a ∥b 可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案：B9．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝xb ＋yc 的实数x ，y 的值；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)∵a ＝xb ＋yc ，∴(3,2)＝x (－1,2)＋y (4,1)＝(－x ＋4y,2x ＋y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋4y ＝3，2x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝59，y ＝89.(2)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，∴2(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足|CA u u u r ＋CB u u u r |＝|CA u u u r －CB u u u r |，则C 点的轨迹方程是 ( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．3x －2y －11＝0解析：由|CA u u u r ＋CB u u u r |＝|CA u u u r －CB u u u r |知CA u u u r ⊥CB u u u r ，所以C 点的轨迹是以A 、B 为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.答案：C11．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )与q ＝(b－a ，c －a )是共线向量，则角C ＝________.解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：60°12.如图所示，已知点A(4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：设OP u u u r ＝t OB u u u r ＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP u u u r ＝OP u u u r －OA u u u r ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC u u u r ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP u u u r ，AC u u u r 共线的充要条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. ∴OP u u u r ＝(4t,4t )＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP u u u r ＝(x ，y )，OB u u u r ＝(4,4)．∵OP u u u r ，OB u u u r 共线，∴4x －4y ＝0. ①又CP u u u r ＝(x －2，y －6)，CA u u u r ＝(2，－6)，且向量CP u u u r 、CA u u u r 共线．∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0. ②解①，②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
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第25讲
平面向量基本定理及坐标表示
• 双 向 固 基 础
—— 链接教材 ——
1． 已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，则3a－ 2b=____________．
[答案] (7，－7)
[解析] 3a－2b＝3(3，－1)－2(1，2)＝(7，－7)．
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平面向量基本定理及坐标表示
图5-25-2
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平面向量基本定理及坐标表示
• 双 向 固 基 础
(2)平面向量的坐标运算
向量 a b a ＋b a －b λa 坐标 (x1，y1) (x2，y2)
(x1＋x2，y1＋y2) ________________
________________ (x1－x2，y1－y2) ________________ (λx1，λy1)
1→ 1→ → 3AB）＋（AF－3AD）， 1 → → 1→ → → → → → ∴AC＝(AE＋AF)－3(AB＋AD)＝(AE＋AF)－3AC， 4→ → → 3 3 ∴ AC ＝AE＋AF，∴m＝n＝ ，m＋n＝ . 3 4 2
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平面向量基本定理及坐标表示
•
［归纳总结］平面向量基本定理的作用： (1)能把平面上的不同向量用基底向量表示出来，其做 点 面法是：先选择一组不共线的基底，通过向量的加、减、数 讲乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，有时还利用 考向量相等建立方程组，再解出某些相关的值． 向 (2)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证 了向量与坐标是一一对应的，即a＝(x，y)一一对应，向量 → 对应点A(x，y)． OA
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第25讲
2021高考数学复习专题平面向量的基本定理及坐标表示(文 精讲)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【考情分析】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点知识梳理】知识点一 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算知识点三 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.知识点四 必备结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．【典型题分析】高频考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e1【方法技巧】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．【变式探究】（2020·湖北襄阳四中质检）如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→。
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专题二十五 平面向量的基本定理及其坐标表示 【高频考点解读】 1.了解平面向量基本定理及其意义、 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示、 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算、 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】 题型一 平面向量基本定理
例1、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点、AD＝12AB、BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→
(λ1、λ2为实数)、则λ1＋λ2的值为________、
【提分秘籍】 1、平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底、单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底； 2、平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合、并且表示方法是唯一的、但不同的基底表示形式是不同的、 3、用基底表示向量的实质是向量的线性运算、 4. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算、基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简、直至用基底表示为止； (2)将待求向量用含参数的基底表示、然后列方程或方程组、利用基底表示向量的唯一性求解、 【举一反三】
如图所示、在△ABC中、BD→＝12DC→、AE→＝3ED→、若AB→＝a、AC→＝b、则BE→等于( ) A.13a＋13b B、－12a＋14b C.12a＋14b D、－13a＋13b
【热点题型】 题型二 平面向量的坐标运算 例2、若向量a＝(1,1)、b＝(－1,1)、c＝(4,2)、则c＝( ) A、3a＋b B、3a－b C、－a＋3b D、a＋3b
【提分秘籍】 1、相等的向量坐标相同、 2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关、只与其相对位置有关、 【举一反三】 若平面向量a、b满足|a＋b|＝1、a＋b平行于y轴、a＝(2、－1)、则b＝________. 【热点题型】 题型三 平面向量共线的坐标表示 例3、已知向量a＝(2,1)、b＝(x、－2)、若a∥b、则a＋b等于( ) A、(－2、－1) B、(2,1) C、(3、－1) D、(－3,1)
【提分秘籍】 1、勿将x1y2－x2y1＝0错记成x1y2＋x2y1＝0. 2、向量共线的坐标表示中、在使用比例关系x1x2＝y1y2时要注意x2y2≠0、如果不能确保这点就
要使用x1y2－x2y1＝0来解决、不能盲目使用比例关系、 【解题技巧】利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地、在求与一个已知向量a共线的向量时、可设所求向量为λa(λ∈R)、然后结合其他条件列出关于λ的方程、求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量、 (2)如果已知两向量共线、求某些参数的取值时、则利用“若a＝(x1、y1)、b＝(x2、y2)、则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便、
【举一反三】 已知向量a＝(1,2)、b＝(x,1)、u＝a＋2b、v＝2a－b、且u∥v、则实数x的值为________、 答案：12 【热点题型】 题型四 向量问题坐标化
例4、设G为△ABC的重心、若△ABC所在平面内一点P满足PA→＋2BP→＋2CP→＝0、则|AP→||AG→|
的值等于________、
【提分秘籍】 向量具有代数和几何的双重特征、比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后、就可以通过代数运算来研究向量、凸显出了向量的代数特征、为用代数的方法研究向量问题奠定了基础、在处理很多与向量有关的问题时、坐标化是一种常见的思路、利用坐标可以使许多问题变得更加简捷、 【举一反三】
给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→、它们的夹角为2π3.如图所示、点C在以O为圆心的圆孤AB上运动、若OC→＝xOA→＋yOB→、其中x、y∈R、求x＋y的最大值、 【高考风向标】 1、（2014·北京卷）已知向量a＝(2、4)、b＝(－1、1)、则2a－b＝( ) A、(5、7) B、(5、9) C、(3、7) D、(3、9) 【答案】A 【解析】2a－b＝2(2、4)－(－1、1)＝(5、7)、 2、（2014·广东卷）已知向量a＝(1、2)、b＝(3、1)、则b－a＝( ) A、(－2、1) B、(2、－1) C、(2、0) D、(4、3) 3、（2014·湖北卷）若向量OA→＝(1、－3)、 |OA→|＝|OB→|、OA→·OB→＝0、则|AB→|＝________、
4、（2014·江苏卷）如图13所示、在平行四边形ABCD中、已知AB＝8、AD＝5、CP→＝3PD→、AP→·BP→＝2、则AB→·AD→的值是________、
图13 5、（2014·山东卷）已知向量a＝(1、3)、b＝(3、m)、若向量a、b的夹角为π6、则实数m＝( ) A、23 B.3 C、0 D、－3
6、（2014·陕西卷）设0＜θ ＜π2、向量a＝(sin 2θ、cos θ)、b＝(1、－cos θ)、若a·b＝0、则tan θ＝______.
7、（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中、已知点A(1、1)、B(2、3)、C(3、2)、点P(x、y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)上、且OP→＝mAB→＋nAC→(m、n∈R)、 (1)若m＝n＝23、求|OP→|； (2)用x、y表示m－n、并求m－n的最大值、
8、（2014·四川卷）平面向量a＝(1、2)、b＝(4、2)、c＝ma＋b(m∈R)、且c与a的夹角等于c与b的夹角、则m＝________、
9、（2013·北京卷）已知点A(1、－1)、B(3、0)、C(2、1)、若平面区域D由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2、0≤μ≤1)的点P组成、则D的面积为________、 10、（2013·湖南卷）已知a、b是单位向量、a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1、则|c|的最大值为( ) A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2
11、（2013·天津卷）在平行四边形ABCD中、AD＝1、∠BAD＝60°、E为CD的中点、若AC→·BE→＝1、则AB的长为________、
12、（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2、E为CD中点、则AE→·BD→＝________、 【随堂巩固】 1、已知向量a＝(m2,4)、b＝(1,1)、则“m＝－2”是“a∥b”的( ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2.如图、在平行四边形ABCD中、E为DC边的中点、且AB→＝a、AD→＝b、则BE→＝( ) A、b－12a B、b＋12a C、a＋12b D、a－12b 3、已知向量a＝(1,2)、b＝(－2、m)、若a∥b、则|2a＋3b|＝( ) A.70 B、45 C、35 D、25
4、在△ABC中、a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边、设向量p＝(b－c、a－c)、q ＝(c＋a、b)、若p∥q、则角A的大小是( ) A、30° B、45° C、60° D、90°
5、已知向量a＝(2,3)、b＝(－1,2)、若ma＋nb与a－2b共线、则mn＝( ) A、－2 B、2 C、－12 D.12
6、已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)、b＝(m,3m－2)、且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)、则m的取值范围是( ) A、(－∞、2) B、(2、＋∞) C、(－∞、＋∞) D、(－∞、2)∪(2、＋∞)
7、设O在△ABC的内部、且有OA→＋2OB→＋3OC→＝0、则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )
A、3 B.53 C、2 D.32
8、在矩形ABCD中、AB＝1、AD＝3、P为矩形内一点、且AP＝32、若AP→＝λAB→＋μAD→ (λ、μ∈R)、则λ＋3μ的最大值为( ) A.32 B.62 C.3＋34 D.6＋324
9、对向量a＝(a1、a2)、b＝(b1、b2)定义一种运算“⊗”：a⊗b＝(a1、a2)⊗(b1、b2)＝(a1b1、a2b2)、已知动点P、Q分别在曲线y＝sin x和y＝f(x)上运动、且OQ→＝m⊗OP→＋n(其中O为坐标原点)、若向量m＝12，3、n＝π6，0、则y＝f(x)的最大值为( ) A.12 B、2 C、3 D.3
10、已知向量a＝(2、－1)、b＝(－1、m)、c＝(－1,2)、若(a＋b)∥c、则m＝________. 11、在△ABC中、点P在BC上、且BP→＝2PC→、点Q是AC的中点、若PA→＝(4,3)、PQ→＝(1,5)、则BC→＝________. 12、已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点、且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|、其中O为坐标原点、则实数a的值为________、
13、已知A(－2,4)、B(3、－1)、C(－3、－4)、设AB→＝a、BC→＝b、CA→＝c、且CM→＝3c、CN→＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标、