例谈导数题中的分类讨论
导数单调性之含参数的分类讨论(4个题型)讲义-高三数学一轮复习
导数单调性之含参数的分类讨论（4个题型） 题型一 导函数零点个数为0或1的讨论1.已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性；2.已知函数f (x )=lnx +mx .（1）讨论函数f (x )的单调性；3. 设定义在R 上的函数()()x f x e ax a R =-∈.求函数()f x 的单调区间；4. 已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；5.已知函数()()22e x x x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性； 题型二 导函数零点个数为1或2的讨论1.已知函数321()23f x x ax =-+，a ∈R ．求()f x 的单调区间； 2已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.讨论()f x 的单调性； 3已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈.讨论函数()f x 的单调性；4已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性； 5．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；题型三 能因式分解 1.已知函数f （x ）=ln x +ax 2+（2a +1）x ．讨论f （x ）的单调性 2.已知函数.讨论函数的单调性. 3．已知函数（其中）.讨论的单调性；4.已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论f （x ）的单调性；5..已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论f （x ）的单调性； 题型四 不能因式分解（∆判别）1..设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ．（1）讨论()f x 的单调区间； 2.已知函数2()ln 31f x x x ax =+++.讨论函数()f x 的单调性； 3.已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．讨论()f x 的单调性； 4已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.讨论函数()f x 的单调性；5设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 6已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性； 7已知函数()()1ln f x x ax a R x =++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；。
分类讨论在导数中的运用
分类讨论在导数中的运用导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化率。
在实际问题中的许多情况下，导数具有重要的应用价值。
在本文中，将讨论导数在几个不同领域的应用。
首先，导数的一个重要应用领域是函数的极值问题。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极大值和极小值。
这在最优化问题中具有很大的价值。
例如，在工程学中，经常需要在给定一定条件下最大化或最小化一些函数。
通过计算函数的导数，并解方程dF/dx=0，可以确定函数的极值点。
在实际问题中，导数的应用非常广泛，如确定曲线的最陡降点、寻找曲线的拐点等。
其次，导数的另一个重要应用是判断函数的凹凸性质。
通过求解导数的二阶导数，可以确定函数的凹凸区间。
凹凸性质在数学和物理问题中有很多应用。
例如，在微观经济学中，利用凹凸性质可以判断需求曲线和供给曲线的弹性，从而分析市场供需关系和价格变动。
凹凸性质也在物理学中有广泛应用，如描述物体的加速度和速度之间的关系等。
此外，导数还有许多其他的应用，如切线和法线、最速下降线、曲线的弧长和曲率等。
导数可以用来确定曲线在给定点的切线和法线。
在物理学中，切线和法线的概念用于描述物体的速度和加速度。
最速下降线是指从一个点到曲线上的另一个点的最短路径，它可以通过计算曲线的斜率来确定。
曲线的弧长和曲率主要用于描述曲线的形状和曲率半径。
总结起来，导数在微积分中具有广泛的应用。
它可以用来解决函数的极值问题，判断函数的凹凸性质，确定曲线的切线和法线，计算最速下降线，以及描述曲线的弧长和曲率等。
导数的应用涉及到多个领域，如工程学、经济学和物理学等。
对于从事相关领域的研究和应用的人士来说，深入理解导数的应用是非常重要的。
所以，导数不仅是微积分的基础概念，也是实际问题求解的重要工具。
以上仅是导数在几个典型领域中的一些应用示例，实际应用中还有许多其他问题可以通过导数来解决。
分类讨论在导数中的应用
含参数导数问题的三个基本讨论点导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。
随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。
由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。
一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
例1（07高考山东理科卷改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
例2 (2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数())f x x a =-（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
例3（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。
因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。
当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
课堂练习1.（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ （II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.2.（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数2=+++.f x a x ax()(1)ln1f x的单调性；（Ⅰ）讨论函数()从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。
导数问题的常见分类讨论策略
导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。
1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。
解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。
综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。
评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。
2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。
解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。
评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。
3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。
解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。
Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。
评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。
4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。
解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。
导数中的分类讨论问题
综 上 所 述 ，。一 ０ 时 ，有 一 个 极 值 点 ｚ — ｎ。） ，其 中 ａ＜ ｏ。
４；ｏ＜ ＜ 时 ，有 两 个 极 值 点 一 一 ２一
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当 “一 一 ４ 时 ，求 厂 ｚ 的 单 调 递 增 区
、
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评 注 ： 由 于 参 数 。 不 同 的 取 值 影 向到 极
（２）若 对 任 意 “ Ｃ－ （一 ４，一 ２）及 ｏｒ Ｅ ［１， 值 点 是 否 存 在 ， 所 以 必 须 分 类 讨 论 。
３］，恒 有 ｎ— ｆ （ｚ ）＞ “ 成 立 ，求 实 数 Ⅲ 的
二
，
判 别 式 引 起 的 分 类 讨 论
不 遗 漏 地 分 析 讨 论 ”。 那 么 ，在 导 数 问 题 中 弓Ｉ 起 分 类 讨 论 的 根 源 有 哪 些 呢 ？ 下 面 加 以 分 类
解 析 ，供 同 学 们 参 考 。
＜ １＜ １
。
由 （１）知 ，当 “∈ （ ４，一 ２）ｆｊ ，（＿ ）在 ［１，３］上 是 减 函 数 ，所 以 （ ） 一 ，（１）一
取值： 解 析： 。 ： （１ 、 ） 由ｂ 已知： ，得，． ， （ｚ，、）—二＝—２ ａ． —— １ ． ＩＪ ２函数 ｒ ｃ。 ：：。１ ． ２ ＋：；１ｊ 。
ｚ＂＋ 二 一
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（ ，求 一 （ ，在［一４，一吉］上二的最
① 当 ｎ≥ ｏ 时 ，恒 有 ／ （ｚ）＞ ｏ，则 、（ ·） 在 （Ｏ，＋ 一 ）上 是 增 函 数 。
在 ，＋（一）上是减函数。
导数小专题-----单调性的分类讨论
导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。
那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。
这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。
判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。
综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。
含参导数问题常见的分类讨论
含参导数问题常见的分类讨论学生1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x--+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。
故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
-----------------6分（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时，有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--；当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。
高中数学导数教学中分类讨论法的应用
教学·策略高中数学导数教学中分类讨论法的应用文|荣荟翠教师对导数教学的各方面内容进行分类讨论，可以帮助学生了解导数基础知识，让学生高效地掌握导数内涵，并灵活解决导数问题。
一、简化解题步骤从近些年的高考题中我们不难看出“导数”已经成为重点考查的内容，利用导数求函数的最值问题是常见的题型。
在解答此类导数问题时，就可应用分类讨论法对题目进行分析，通过分类与逐层分析，可以让解题过程更加简单，且能让学生的解题步骤更加清晰、明确，对于知识的掌握也会更加深入。
在应用分类讨论法的过程中，学生可以逐步明确函数的性质，掌握问题的本质。
在具体的应用过程中，教师需以具体的题型为引导，让学生针对性地进行分析与讨论，通过化整为零的方式进行分类，降低问题的难度。
一般情况下，函数f （x ）在区间［a ，b ］上可导，那么f （x ）在区间［a ，b ］上最值的求法有以下三种：（1）求出f （x ）在区间［a ，b ］上的极值；（2）计算f （x ）在极值点和端点的函数值；（3）对f （x ）极值点和端点的函数值进行比较，写出最大值、最小值。
案例一：已知函数f （x ）=x 3-3x ，求函数在区间［-3，2］的最大值和最小值。
解析：由题中f （x ）=x 3-3x 可以得出f ′（x ）=3x 2-3=3（x +1）（x -1），则当x ∈（1，2］时，f （x ）>0，所以［-3，-1］，［1，2］是函数f （x ）的单调增区间，当x ∈［1，1］时，函数f ′（x ）>0，所以可知［-1，1］是函数f （x ）的单调减区间。
又因f （-3）=-18，f （-1）=2，f （1）=-2，当x =-3时，f （x ）取得最小值，为-18，当x =-1或者2时，f （x ）取得最大值，为2。
二、解决导数零点问题导数是学习高等数学知识的基础，以导数为基础的各种函数问题成为重点学习的内容。
在求解导数题目的过程中我们发现，题目中常包含多种参数，随着参数的改变，解题的难度也会增加，所以通过分类讨论的方式进行答题非常关键。
导数中的分类讨论问题题目
导数中的分类讨论问题分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。
根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．同时遵守解分类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结，将各类情况总结归纳有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。
几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。
以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。
题型一、未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中自变量的系数有参数。
其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）例1.已知函数2=+++.f x a x ax()(1)ln1(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|. 题型二、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。
导数练习题分类讨论(课堂PPT)
a， 2 c
2．
解得 a 0，c 2．
7
北京卷
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) x3 3bx 2 ． 所以 f (x) 3x2 3b(b 0) ． 当 b 0 时，由 f (x) 0 得 x b ． x 变化时， f (x) 的变化情况如下表：
x (， b) b ( b，b)
解：（Ⅰ）因为函数 g(x) f (x) 2为奇函数，
所以，对任意的 x R ， g(x) g(x) ，即 f (x) 2 f (x) 2 ．
又 f (x) x3 ax2 3bx c
所以 x3 ax2 3bx c 2 x3 ax2 3bx c 2 ．
所以
a c
f (x)
0
b （ b， ）
0
所以，当 b 0 时，函数 f (x) 在 (， b ) 上单调递增，在 ( b，b ) 上单调递减， 在 ( b， ) 上单调递增． 当 b 0 时， f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在 (， ) 上单调递增．
8
2009高考北京卷理 区0.48
设函数 f (x) xekx (k 0)
当 b＞2 时，函数 f（x）在（-∞，1）上音调递减，在（1,b-1）上单调递增，在（b-1，+∞）上单调递减.
当 b-1＝1，即 b＝2 时，f(x)= 2 ，所以函数 f(x)在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减. x 1
6
北京卷
2008高考北京文
已知函数 f (x) x3 ax2 3bx c(b 0) ，且 g(x) f (x) 2是奇函数． （Ⅰ）求 a ， c 的值； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间．
f(x)=
2x b (x 1)2
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例谈函数单调性问题中的分类讨论
导数是研究函数性质的重要工具，从导数问题在全国各地高考数学试题中频繁出现可看出：导数这一知识与方法在具选拔性质的高考中占据极其重要的位置。
特别是用导数研究函数单调性问题俨然成为高考数学命题人的心头好！ 在对近几年高考数学试题中出现的单调性问题的归纳中发现，此问题经常与分类讨论思想方法结合在一起，来考查考生的分类与整合及运算求解能力，体现了“通过数学知识的考查反映考生对数学思想方法的掌握程度”的考查要求。
本文试图对单调性问题作一些探究，以期指导高三数学备考。
类型Ⅰ 求函数d cx bx ax x f +++=23)(的单调区间。
分析：对于求函数的的单调区间，可以利用导数这个工具加以解决。
理论依据为：在某个区间),(b a 内，如果0)`(>x f ，那么函数)(x f y =的这个区间内单调递增；如果0)`(<x f ，那么函数)(x f y =的这个区间内单调递减。
解题过程中要注意对参数的讨论（结合题目中的条件），从而划分单调区间。
对参数的讨论主要分三层，令导数为零后，对方程的类别作第一层讨论，是一次还是二次；第二层，当方程为二次的时候，对根的个数作讨论；第三层，当方程为二次，并且有两个不同的根的时候，对根的大小作讨论。
类型Ⅱ 求函数d x c bx ax x f +++=ln )(2的单调区间。
分析：确定定义域为),0(+∞后马上对函数d x c bx ax x f +++=ln )(2求导，得，因为分母为正，所以导数的符号由分子决定，故又可以归结于类型Ⅰ。
类型Ⅲ 求函数d x
c x b ax x f +-+=ln )(的单调区间。
分析：与类型Ⅱ非常相似，确定定义域为),0(+∞后马上对函数
x c x b ax x f -+=ln )(求导，得22)`(x
c bx ax x f ++=，因为。