导数中的分类讨论问题题目

导数中的分类讨论问题

题目

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数中的分类讨论问题

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：

(1)不重不漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

同时遵守解分类问题的步骤：

(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．

(2)对所讨论的对象进行合理的分类．

(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．

(4)归纳总结，将各类情况总结归纳

有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。

题型一、 未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数

之后导函数中自变量的系数有参数。其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）

例1.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.

(1)讨论函数()f x 的单调性；

(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.

题型二、 在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而

引起的分类；

这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。令△=0，求分点。

例2.已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。

题型三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大小关系不确定，分不了区间。因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。

例3.已知函数2(x)lnx,g(x)(x)ax f f bx ==++,其中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴。

（1）确定a 与b 的关系；

（2）若0a ≥，试讨论函数g(x)的单调性；

（3）设斜率为k 的直线与函数(x)f 的图象交于两点

112212(x ,y ),B(x ,y )(x x )A <，证明：21

11k x x <<。

题型四、 极值点与区间的关系不定而引起分类：这一类问题的特点是求出极

值点后，极值点与定义域的关系不明确，所以必须分类。通过令极值点等于定义域端点值求分点。

例4.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．

变式1.已知f (x )＝ax 2

(a ∈R)，g (x )＝2ln x .

(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性．

(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围． 变式2.已知函数.ln )(x x x x f -=

（I ）求函数e x x f y ==的图像在)(处的切线的方程；

（II ）设实数0,a 求函数()

()f x x g x a 在[,2]a a 上的最大值()M a .