导数中的分类讨论问题题目

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导数中含参分类问题课件

对转化与化归思想运用不当
01
总结词：运用不当
02
详细描述：有些同学在处理问题时，无法将问题转化为更简单的形式或者无法从简单形式中归纳出问题的答案。
03
错误示例：在求解函数的单调区间时，无法将函数的单调性与导数的关系对应起来，或者在求解函数的极值时，无法利用单调性来求解。
04
正确理解：转化与化归思想是一种将复杂问题转化为简单问题的思考方式。在处理导数问题时，需要将问题转化为与导数相关的简单形式，并利用导数的性质来求解。
讨论函数的最值
总结词
通过求函数在区间端点或一阶导数不连续点的函数值来判定原函数的最值。
详细描述
根据最值的定义，函数在某个区间内的最大值和最小值分别出现在区间端点或一阶导数不连续点上。因此，在讨论函数的最值时，我们需要先求出函数的端点值和一阶导数不连续点的函数值，然后比较这些值找出最大值和最小值。
数形结合思想在导数中的应用非常广泛，它可以帮助我们直观地理解问题的本质，从而更好地解决问题。
数形结合思想是解决导数中含参分类问题的有效手段。
数形结合思想是数学中非常重要的思想方法之一。
03
导数中含参分类问题的常见类型及解题方法
讨论函数的单调性
总结词
通过研究导函数的正负性来判定原函数的单调性。
实际应用问题
经济问题
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，通过导数的分析可以更好地理解经济的运行
情况。
物理问题
在物理学中，导数可以用来描述物理量的变化率，如速度、加速度等。通过导数的分析可以更好地理解物理现象。
图像处理
在图像处理中，导数可以用来描述图像的边缘信息，通过导数的分析可以更好地进行图像分割和识别。

(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc

1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。

导数问题常见的分类讨论典型例题

导数问题常见的分类讨论典型例题由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.利用导数解决函数的单调性和极值问题，经常需要进行分类讨论,所以导数与分类讨论结下了不解之缘，要想获得数学高考的高分，必须占领这块“阵地”. 分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。

由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。

例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。

由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例2、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值3、需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。

例3、（20XX年北京高考题）已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2)当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，。

【高考数学】《分类讨论的“界点”》破解导数解答题

ཧᥐ ཧ
【规范解答】（1）令 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+x+1﹣x2﹣2x＝lnx+1﹣x2﹣x．（x∈（0，
+∞））．
h′（x）
ᄖ ཧ
2x﹣1
ሺ ཧ ᄖ ሺཧᥐᄖ ．
ཧ
可知：当 x ᄖ时，函数 h（x）取得极大值，h（ᄖ）＝lnᄖ ᥐ1 ᄖ ᄖ
ln2ᥐ ᄖ．h（x）无
极小值．
（2）令 f（x）﹣mg（x）≤0 成立，g（x）＝x2+2x＞0．∴m
①当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ 1 即 ᄖ a＜0 时，f（x）在[0，1]单调递增， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点； ②当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ＜1 即 a＜ ᄖ时，
若 f（1）＞0 即ᄖ 1＜a＜ ᄖ时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ， 1]单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点；若 f（1）≤0 即 a ᄖ 1 时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1] 单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有零点 x＝0 和在区间[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1]有一个零点共两个零点；综上：当 a ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 2 个零点；当 a＞ ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 1 个零点．
②当 a＞1 时，令 f′（x）＝0，解得：x1＝﹣1 ᄖ ᄖ，x2＝﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，
x，f′（x），f（x）的变化如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
f′（x）
+
0
（x1，x2） x2
﹣
0
（x2，+∞） +
f（x）

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

导数专题——3 导数的分类讨论

导数专题分类讨论考纲要求考试内容要求层次了解理解掌握导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念√导数的几何意义√导数的运算根据导数定义求函数cy=，xy=，2xy=，3xy=，xy1=，xy=的导数√导数的四则运算√简单的复合函数（仅限于形如)(baxf+）的导数√导数公式表√导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√利用导数解决某些实际问题√知识框图讲义导航考点总题数例题练习A 练习B 练习C 作业一次型 3 1 0 0 1 1 二次型 16 4 3 4 3 2 分式指对 1133221知识点一. 为什么要分类讨论？1. 利用导数求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；（3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数；当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间．2. 为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论．原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式．或者，是题目给出的是区间端点含有参数．二. 如何进行分类讨论？1. 先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2. 再观察一下区间（定义域）和参数范围．3. 结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略：（1）一元一次不等式型：①参数在一次项系数上：如：'()e (1)0x f x ax =+>，R x ∈，R a ∈（i ）当0a =时，'()10f x =>，()f x 增区间为R ；（ii ）当0a >时，由'()0f x >，得1x a >-，()f x 增区间是1()a -+∞，；由'()0f x <，得1x a <-，()f x 减区间是1()a-∞-，．（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得1x a <-，()f x 增区间是1()a -∞-，；由'()0f x <，得1x a >-，()f x 减区间是1()a-+∞，．②参数在常数项上：如：'()e ()0x f x x a =+>，0x >，a ∈R （i ）当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为(0)+∞，；（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得x a >-，()f x 增区间为()a -+∞，；由'()0f x <，得x a <-，()f x 增区间为()a -∞-，．（2）一元二次不等式型：①参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；如：'()(1)()0f x a x x a =+->，x ∈R ，a ∈R当0a =时，'()0f x =恒成立，()f x 为常函数；当0a >时，由'()0f x >，得1x <-或x a >，()f x 的增区间是(1)-∞-，，()a +∞，；由'()0f x <，得1x a -<<，()f x 的减区间为(1)a -，．当0a <时，（i ）1a =-，2'()(1)0f x x =-+且不恒为0，()f x 减区间为()-∞+∞，；（ii ）1a <-时，由'()0f x >，得1a x <<-，()f x 的增区间是(1)a -，；由'()0f x <，得x a <或1x >-，()f x 的减区间是()a -∞，，(1)-+∞，．（iii ）10a -<<时，由'()0f x >，得1x a -<<，()f x 的增区间是(1)a -，; 由'()0f x <，得1x <-或x a >，()f x 的减区间是(1)-∞-，，()a +∞，．注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．第二种，不能因式分解型；如：2'()10f x ax x =++>，x ∈R ，a ∈R当0a =时，由'()10f x x =+>，得1x >-，()f x 的增区间是(1)-+∞，；由'()10f x x =+<，得1x <-，()f x 的减区间是(1)-∞-，当0a >时，14a ∆=-（i ）当0∆时，即14a2'()10f x ax x =++恒成立且不恒为0，()f x 的增区间是()-∞+∞，；（ii ）当0∆>时，即104a <<由2'()10f x ax x =++>，得x 或x >()f x 的增区间是(-∞，)+∞;由2'()10f x ax x =++<x <()f x 的减区间是．当0a <时，140a ∆=->由2'()10f x ax x =++>x <<()f x 的增区间是．由'()0f x <，得x x >()f x 的减区间是(-∞，)+∞． ②参数不在二次项系数上：第一种，能因式分解型如：'()(1)()0f x x x a =-->，x ∈R ，a ∈R 当1a =时，2'()(1)0f x x =-恒成立且不恒为0，()f x 增区间为()-∞+∞，；当1a >时，由'()0f x >，得1x <或x a >，()f x 增区间为(1)-∞，，()a +∞，；由'()0f x <，得1x a <<，()f x 减区间为(1)a ，．当1a <时，由'()0f x >，得x a <或1x >，()f x 增区间为()a -∞，，(1)+∞，；由'()0f x <，得1a x <<，()f x 减区间为(1)a ，．第二种，不能因式分解型如：2'()10f x x ax =++>，x ∈R ，a ∈R 24a ∆=-当240a ∆=-，即22a -时，2'()10f x x ax =++≥恒成立且不恒为0，()f x 增区间是()-∞+∞，．当240a ∆=->，即2a >或2a <-时，由2'()10f x x ax =++>，得242a a x ---<或242a a x -+->()f x 增区间是24()2a a ----∞，，24()2a a -+-+∞，；由'()0f x <，得224422a a a a x ----+-<<()f x 减区间是2244()22a a a a ----+-，．（3）分式不等式型这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决．（4）指数不等式型如：'()e 0x f x a =+>，x ∈R ，a ∈R 当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为()-∞+∞，；当0a <时，由'()e 0x f x a =+>，得ln()x a >-，()f x 增区间为(ln())a -+∞，；由'()0f x <，得ln()x a <-，()f x 减区间为(ln())a -∞-，（5）对数不等式型如：'()ln 0f x x a =+>，0x a >∈R ，由'()0f x >，得e a x ->，()f x 增区间是(e )a -+∞，；由'()0f x <，得0e a x -<<，()f x 减区间是(0e )a -，．核心问题1 分类讨论：一次型设函数()e (0)kxf x x k =≠，求函数()f x 的单调区间．【解析】由()(1)0kxf x kx e '=+=得1(0)x k k=-≠若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；核心问题2 分类讨论：二次型设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．求函数()f x 的单调区间与极值点．【解析】2()3()(0)f x x a a '=-≠当0a <时，由()'0f x >，函数()-+f x ∞∞在（，）上单调递增，此时函数()f x 没有极值点．当0a >时，由(=0f x'）得x a =± 当(,)x a ∈-∞-时，()0f x '>函数()f x 单调递增；当(,)x a a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；此时，x a =-是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点．已知函数22()(23)e ()x f x x ax a a x =+-+∈R ，其中a ∈R 当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【解析】22'()(2)24xf x x a x a a e ⎡⎤=++-+⎣⎦．令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-由32a ≠知，22a a -≠- 以下分两种情况讨论．若23a >，则2a -＜2a -．当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：x (),2-∞- 2-()2,2a a -- 2a - ()2.a -+∞ ()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内事增函数，在(22)a a --，内时间函数．函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且2(2)3a f a ae --= 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=- 若23a <，则2a -＞2a -，当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表： x(),2a -∞-2a -()2,2a a --2a -()2,a -+∞()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内是增函数，在(22)a a --，内是减函数；函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-；函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)3a f a ae --=．设函数1()ln f x x a x a x=--∈R ，，讨论的单调性．【解析】的定义域为令()21g x x ax =-+，其判别式，∆当0∆>故上单调递增． ()f x ()f x (0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=2 4.a =-||2,a f x ≤≤≥时0,'()0,af x ≤≤≥时()(0,)f x +∞在当0∆>的两根都小于0，在上，，故上单调递增．当0∆>的两根为，当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．已知函数2()ln(1)2kf x x x x =+-+（0k ≥）．求()f x 的单调区间．【解析】(1)()1x kx k f x x+-'=+，(1,)x ∈-+∞当0k =时，()1x f x x'=-+ 所以，在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞当01k <<时，由(1)()01x kx k f x x+-'=<+ 得10x =，210kx k-=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)kk-+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-．当1k =时，2()1x f x x'=+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+ 得11(1,0)kx k-=∈-，20x = 所以，在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,0)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk-．核心问题3 分类讨论：分式与指对数型已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 2a <-时,>0,g(x)=0a <-时,>0,g(x)=0(0,)+∞'()0f x >()(0,)f x +∞在2a >时,>0,g(x)=0221244a a a a x x --+-==10x x <<'()0f x >12x x x <<'()0f x <2x x >'()0f x >()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x【解析】242(1)(2)(1)()(1)x x b x f x x ---⨯-'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：x(1)b -∞-， 1b - (11)b -， (1)+∞，()f x ' - 0 +-当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：x(1)-∞， (11)b -， 1b - (1)b -+∞，()f x ' - + 0 -所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．若存在区间M ，使()f x 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x-'=-=． ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减． ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． x ，()f x 和()f x '的情况如下：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -+()f x↘↗故()f x 的单调减区间为1(0,)a ；单调增区间为1(,)a+∞． ()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+．当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意．① 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．② 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． x ，()g x 和()g x '的情况如下表： x 0(,)x -∞ 0x 0(,)x +∞ ()g x ' -+()g x↘↗当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R ，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，21(ln )()x a f x x-+'=，令()0f x '=得1a x e -=．当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当1(,)a x e -∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数；课堂练习【A 】已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，当a ⩽ 12时，讨论()f x 的单调性．【解析】因为1()ln 1af x x ax x-=-+- 所以222111()a ax x af x a x x x--+-'=-+=- (0,)x ∈+∞ 令2()1h x ax x a =-+- (0,)x ∈+∞（1）当0a =时，()1h x x =-+ (0,)x ∈+∞所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >此时，()0f x '<，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <此时()0f x '>，函数()f x 单调递增（2）当0a ≠时，由()0f x '=，即 210ax x a -+-=，解得 1211,1x x a==- 当12a =时，12x x =，()0h x >，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0,+∞上单调递减．当102a <<时，1110a->>(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增；函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减设函数2e ()1axf x a x =∈+R ，．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间．【解析】因为2e (),1axf x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+．（Ⅰ）当1a =时， 2e ()1xf x x =+，222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+，所以(0)1,f = (0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， …5分（1）当0a =时，由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >．所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增，在区间(0,)+∞单调递减．…6分（2）当0a ≠时，设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>．由()0f x '>得211a x --<，或211ax +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<．所以函数()f x 单调递增区间是211()a ---∞和211)a+-+∞，单调递减区间221111(a a --+-． ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤．所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞． …10分③当10a -<<时，此时0∆>．由()0f x '>得221111a ax a a +---<<；由()0f x '<得211a x a +-<，或211ax a-->．所以当10a -<<时，函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)aa--+∞，单调递增区间221111(,)a a a a+---．……12分④当1a ≤-时，此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞．已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+．()a ∈R ．（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e (e))f ，处的切线方程（e 2.718...=）；（II ）求函数()f x 的单调区间．【解析】（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+．………………………5分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； …………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减………已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值．【解析】（Ⅰ）22()e xx ax a f x x-+'=， ………………3分当2a =时，2222()e xx x f x x-+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=． ………………7分（Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩………………9分所以4a >． ………………10分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a-+=，5e e a =，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =．（2019年东城二模文）已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：(1)()0x f x -≥.【解析】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，(1)0f =.2211'()2(1ln )112ln f x x x x x=+-+=++. '(1)2f =. 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-. 即22y x =-.…………….5分（Ⅱ）记21()12ln g x x x =++. 33222(1)(1)'()x x g x x x x+-=-=. 由'()0g x =解得1x =．()g x 与'()g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x(0,1) 1(1,)+∞'()g x-0 +()g x↘ 极小 ↗所以()g x 在1x =时取得最小值(1)2g =．所以21()12ln 20g x x x=++≥>.所以'()0f x >. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0f =知，当01x <<时，()0f x <，10x -<，所以(1)()0x f x ->；当1x >时，()0f x >，10x ->，所以(1)()0x f x ->. 所以(1)()0x f x -≥. ………………………………13分（2017年丰台期末理）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(0,0)处有相同的切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[]1,2上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=． (2)因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=． (4)因为()f x 与()g x 的图象在（0，0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 21()2g x x x =+，令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x xh x x b x x b '=+-+=+-． ………………．6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； (7)(2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ………………．8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -． (9)②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数，故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ………………．11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -． (12)综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -，当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -． (13)课堂练习【B 】已知函数（其中a b ，为常数且）在处取得极值．（I ）当时，求的单调区间；（II ）若在(0e]，上的最大值为，求的值．【解析】（I ）因为所以………………2分因为函数在处取得极值……………3分当时，，，随的变化情况如下表：1(1,)+∞极大值极小值………………5分所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ………………6分（II ）由（I ）可得 12b a =--因为2()ln (21)f x x ax a x =+-+ ，22(21)1'()ax a x f x x-++=(21)(1)ax x x --= 令， ………………7分因为在处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减 2()ln f x x ax bx =++0a ≠1x =1a =()f x ()f x 1a 2()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x x 1(0,)2121(,1)2'()f x +-+()f x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2()0f x '=1211,2x x a==()f x 1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得 ………………11分当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾 ………………12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾综上所述，或． ………………13分设函数321()(0)()213f x x ax ag x bx b =->=+-，，当121=-=b a 时，求函数()()f x g x +在区间[3]t t +，上的最大值．【解析】记()()()h x f x g x =+，当121a b =-=时，()3113h x x x =--．由（II ）可知，函数()h x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞;单调递减区间为()1,1-． ①当31t +<-时，即4t <-时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()()()33211333138533h t t t t t t +=+-+-=+++; ②当1t <-且131t -≤+<，即42t -≤<-时，()h x 在区间[),1t -上单调递增，在区间[]1,3t -+上单调递减，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()113h -=-；当1t <-且31t +≥，即21t -≤<-时，t+3<2且h （2）=h （-1），所以()h x 在区间[],3t t +的最大值为()113h -=-；()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a 1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a <=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-③当11t -≤<时，321t +≥>，()h x 在区间[),1t 上单调递减，在区间[]1,3t +上单调递增，而最大值为()h t 与()3h t +中的较大者．由()()()()3312h t h t t t +-=++知，当11t -≤<时，()()3h t h t +≥，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++;……13分④当1t ≥时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++．………………………………………………14分已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求在区间[23]，上的最大值和最小值．【解析】()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-．当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=．（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 121a x =，或221a x =+ ()f x 和()f x '的情况如下：x 1(,)x -∞1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()f x ' + 0 -+ ()f x↗↘↗故()f x 的单调增区间为2(,1)a -∞-，2(1,)a ++∞；单调减区间为22(1a a+．① 当02a <≤时，22x ≤，此时在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x所以在区间[2,3]上的最小值是 252()33a af x a =--．因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时在区间(2,3)上单调递减，所以在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =- 综上，当2a ≤时，在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是73a -；当1483a <<时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是723a -；当8a ≥时，在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【解析】（1） ……………………………2分在上存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即解得当时，在上存在单调递增区间 …………………………6分（2）令即220x x a -++=()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ax x x x f 22131)(23++-=)(x f ),32(+∞a 20<<a )(x f ]4,1[316-)(x f a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=)(x f ),(+∞32∴),32(+∞),(n m ),(n m x ∈0>)('x f )('x f ),(+∞32032>∴)('f 0292)32('>+=a f 91->a ∴91->a )(x f ),(+∞320=)('x f 20<<a；则 x ，'()f x ，()f x 的情况如下 x1()-∞，x1x 12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x- 0 + 0 -)f x （减极小增极大减在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分所以的最大值为， ………………………10分解得 ……………………13分已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在2[]a a ，上的最大值．【解析】（Ⅰ）∵2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为(0,)+∞． ………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+---+'=-+-==． ………………3分 ∵()f x 在1x =处取得极值，即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-． ………………5分当1a =-时，在1(,1)2内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>，∴是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =-． ………………6分（Ⅱ）∵2a a <，∴01a <<． ………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+--+'=-+-==-∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>，∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2+∞上单调递减， ………………9分28111a x +-=28112ax ++=∴)(x f ),(),,(+∞-∞21x x ),(21x x 20<<a 4121<<<∴x x ∴)(x f ),(21x ),(42x )(x f )(2x f 0622714<+-=-a f f )()( 31634084-=-=∴a f )(212==x a ,310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为①当102a <≤时， ()f x 在2[,]a a 单调递增， ∴32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ………………10分②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1222a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，∴max 12()()ln 21ln 22424a a af x f -==--+=--； ………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减，∴2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ………………12分综上所述，当102a <≤时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当1222a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当22a ≥时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+- 设函数()0)(2>+=a bx axx f ．（1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求a b ，的值；（2）若函数)(x f 在区间(11)-，内单调递增，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若00()P x y ，为函数bx axx f +=2)(图像上任意一点，直线l 与)(x f 的图像切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）222')()()(b x x b a x f +-=由题意得⎩⎨⎧-=-=-2)1(0)1('f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-210)1()1(2ba b b a ，所以⎩⎨⎧==14b a ……………………………3分（2）)0()()()(222'>+--=a b x b x a x f 当0)(0'≤≤x f b 时，，函数)(x f 在区间()1,1-内不可能单调递增 (4)当0>b 时，22')())(()(b x b x b x a x f +-+-=则当),(b b x -∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，故当且仅当⎩⎨⎧≥≤-11b b 时，函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，即1≥b 时，函数)(x f 在()1,1-内单调递增．故所求b 的取值范围是[)+∞,1 ………………………………………………8分（3）直线l 在点P 处的切线斜率2202022020)1(814)1(44)('+++-=+-==x x x x x f k (10)令,1120+=x t 则10≤<t 所以21)41(84822--=-=t t t k故当41=t 时，21min -=k ；1=t 时，4max =k所以直线l 的斜率的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,21课堂练习【C 】已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ，求()f x 的单调区间．【解析】2()(21)f x ax a x '=-++(1)(2)ax x x--=(0)x >． ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞．②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1a-．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．【解析】（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=．（Ⅱ）2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠．当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为R ．221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<．令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=．当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)．当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下： x2(,)k-∞2k2(,1)k- 1- (1,)-+∞'()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-．当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x(,1)-∞-1- 2(1,)k-2k2(,)k+∞ '()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-．（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -．理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值．当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+，令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）．当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-．因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<．因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -．综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -．已知函数x a x x f ln )(2-=（R a ∈）．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1)+∞，上是增函数；（Ⅱ）求)(x f 在[1e]，上的最小值．【解析】（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--．若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在[1,e]上是增函数，又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1．若22e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ，所以)(x f 在[1,e]上是减函数，又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．若222e a <<，则当21ax <≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当e 2ax <≤时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．又()ln 2222a a a a f =-，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-．综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1；当222e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-当22e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．…设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．【解析】（1）()f x 定义域为(1,)-+∞．12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++．令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >．因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以0x >．令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<．因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（2）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x ag x a x x x--'=--=++．因为0<a<2，所以20a ->，02aa>-．令()0g x '> 可得2ax a >-．所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时，在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2aa-上为增函数．所以min 2()()2ln 22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数．所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--．综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a=--；当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--．（2019年朝阳一模理）已知函数ln()()ax f x x= (R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．【解析】（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=．因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=．函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：x (,1)-∞-1-(1,0)-()g x ' ＋ 0－ ()g x↗极大值↘所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=．当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：xe (0,)ae a e(,)a+∞()f x ' ＋ 0－ ()f x↗极大值↘此时()f x 有极大值e ()eaf a=，无极小值．当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x e (,)a-∞e a e (,0)a()f x ' － 0＋ ()f x↘极小值↗此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分课后作业习题1.（2017年东城区期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ．（Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．【解析】（Ⅰ）的定义域为．因为，所以．因为(0)f 为()f x 的极小值，所以，即．所以．此时，．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在处取得极小值，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上为单调递增函数，所以，所以对(0,)x ∈+∞恒成立．()f x (1,)-+∞()ln(1)1axf x x x =+-+21'()1(1)af x x x =-++'(0)0f =21001(01)a -=++1a =2'()(1)xf x x =+(1,0)x ∈-'()0f x <()f x (0,)x ∈+∞'()0f x >()f x ()f x 0x =1a =1a =()f x [0,)+∞()(0)0f x f >=()0f x >。

导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

导数中的分类讨论问题

导数中的分类讨论问题分类讨论思想确实是依照所研究对象的性质不同，分各类不同的情形予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技术；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重明白得和把握分类的原那么、方式与技术、做到“确信对象的全部，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引发的分类讨论例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。

解：()f x 的概念域为（0，+∞），()()()x px p x p x p x f +-=-+=2'1212，当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()12--=p px .那么当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--,12p p单调递减. 例：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间；解:（1）'1(),(1)1f x k x x =->-,因此, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:11,x k<+因此,0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；二、判别式引发的分类讨论例：已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在概念域上的单调性。

导数14 大题(单调性分类讨论)2-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

第1页共22页导数——大题——单调性分类讨论：1.（2022年湖南衡阳八中J27）已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()xg x e =．2.(1)讨论()f x 的单调性；（①）3.(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数；4.(3)若函数()()2h x x a f x =+-的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<．设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，0μλ≥>，试判断函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）5.（2022年湖南衡阳八中J28）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.6.（I ）讨论f (x )的单调性；（②）7.（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

（单调性分类讨论，简单的二次函数，中下；第二问，未；）8.（2022年湖南永州J30）已知函数()()e xf x a x a =-∈R .9.（1）求()f x 的极值；（③）10.（2）若()21121212e e 0t tat at t t t t ==<<时，()1220t t t λλ-+>恒成立，求实数λ的取值范围．11.（单调性，极值，ex ，分类讨论，中下；第二问，未；）12.（2022年湖南岳阳一中J34）已知函数()()()ln 2f x a x x a R =+-∈.13.（1）讨论()f x 的单调性和最值；（④）14.（2）若关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x ，求证：122e e x x m+>.15.（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）1.（2022年广东中山三模J25）已知函数()e ()=-∈R x f x ax a ．第2页共22页2.（1）讨论()f x 的单调性．（⑤）（单调性分类讨论，涉及ex ，中下；第二问，未；）3.（2）若0a =，证明：对任意的1x >，都有432()3ln f x x x x x ≥-+．1.（2022年山东泰安J10）已知函数()()ln f x g x x =-.（⑥）2.（1）若函数21()ln 2g x x ax a x =++，讨论()f x 的单调性.3.（2）若函数2211()ln 2g x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，证明：1ln 2()2f x +>.4.（单调性分类讨论，二次函数可因式分解，中下；第二问，未；）5.（2022年山东J53）已知函数()()1ln 0f x a x x x=+>．6.（1）讨论函数()f x 的单调性；（⑦）（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）7.（2）若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．8.（2022年山东聊城一模J40）已知函数()()2ln ,f x ax x g x x nx m =-=-+.9.（1）讨论()f x 的单调性；（⑧）（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）10.（2）当104a <<时，若对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，求证：2ln 4nm <<.11.（2022年山东菏泽一模J37）已知函数()1e xf x ax -=-．12.（1）讨论()f x 的单调性；（⑨）（单调性分类讨论，涉及ex ，中下；第二问，未；）13.（2）若()224a f x x -≥对于任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．1.（2022年山东猜想J54）已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.2.（1）讨论()f x 的单调性；（⑩）3.（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =第3页共22页方程为()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.4.（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）5.（2022年江苏南京六校联调J03）已知函数x a e x f x)1()(-+=，x x ax x g cos sin )(++=6.（1）求函数)(x f 的最值；（⑪）（单调性分类讨论，最值，涉及ex ，中下；第二问，未；）7.（2）令)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间),4(+∞-π上的零点个数，并说明理由．4.（2022年广东深圳一模J23）已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．5.（1）求函数()f x 的单调区间；（⑫）6.（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．7.（i ）求实数a 的取值范围；8.（ii ）求证：1211a x x +>+（单调性分类讨论，二次函数可因式分解，中下；第二问，未；）①【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．理由见解析．【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）由导数求得2l 的斜率，从而得1l 的斜率为1e，设()f x 的切点坐标为00(,)x y ，利用导数几何意义得000()y f x x '=得出关于a 的方程，再引入新函数，利用导数证明此方程有正数解；（3）求出()h x ，()h x '，由12()()0h x h x -=得出用12,x x 表示a 的式子，0()h x '中就消去了a ，通过设12x t x =，得到关于t 的函数，而且(0,1)t ∈，利用不等式的性质和导数的知识确定其正负即可．(1)()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x a x'=-，0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞递增，0a >时，10x a <<时，()0f x '>，1x a >时，()0f x '<，()f x 的增区间是1(0,a，减区间是1(,)a+∞．(2)1()f x a x'=-，()e x g x '=，设()g x 的切线方程是y kx =，则e x k =，显然0k >，ln x k =，切点为(ln ,)k k ，于是ln kk k=，解得e =k ，所以2l 的斜率为e ，于是1l 的斜率为1e设()f x 的切点坐标为00(,)x y ，由011e a x -=，0e e 1x a =+，又00()1e f x x =，所以e e 1eln (1)e 1e 1e e 1a a a a +-=⨯+++，整理得ln(e 1)a a =+，设()ln(e 1)G x x x =+-，e e 1e ()1e 1e 1xG x x x --'=-=++，当e 10e x -<<时，()0G x '>，()G x 递增，而(0)0G =，所以e 1()0eG ->，e 1ex ->时，()0'<G x ，()G x 递减，又343(e )ln(e 1)e 580G =+-<-<，所以存在30e 1(,e )ex -∈，使得0()0G x =，因此关于a 的方程ln(e 1)a a =+有正数解．所以存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数；(3)2()ln h x x x ax =-+，1()2h x x a x'=-+，因为函数()()2h x x a f x =+-的图象与x 轴交于两2点()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<．所以2111122222()ln 0()ln 0h x x x ax h x x x ax ⎧=-+=⎨=-+=⎩，两式相减得：22121212(ln ln )()0x x x x a x x ---+-=，121212ln ln ()x x a x x x x -=-+-，1λμ+=01212121()()2()h x h x x a x x x x λμλμλμ''=+=-+++121212ln ln ()x x x x x x -=-+-121212()x x x x λμλμ-+++12121212ln ln 1(21)()x x x x x x x x λλμ-=--+--+因为1λμ+=，0μλ≥>，所以210λ-≤，又120x x <<，120x x -<，所以12(21)()0x x λ--≥，下面考虑121212ln ln 1x x x x x x λμ---+即112212ln x x x x x x λμ--+的符号，令12(0,1)x t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t λμλμ---=-++，设1()ln t H t t t λμ-=-+，(0,1)t ∈，222222222221(1)(21)()()()()()t t t t t t H t t t t t t t λμλλλμμλλμμλμλμλμ+--+-+-++'=-==+++2222(1)()()t t t t λμλμ--=+，因为01,0t λμ<<<≤，所以10t -<，2220t λμ-<，所以()0H t '>在(0,1)上恒成立，所以()H t 在(0,1)上是增函数，所以()(1)0H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+，又120x x -<，所以121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+，所以12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x λλμ---+->-+，即0()0h x '>，所以函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，导数的几何意义，研究方程根的分布等等，解题关键是掌握转化与化归思想，方程有正数解问题转化为函数有正的零点，这就可结合零点存在定理用导数知识来研究函数的性质，判断函数值的正负，通过换元法，设12x t x =，化不确定为确定，化二元为一元：(0,1)t ∈，转化为研究函数()H t 的正负．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题．②22.（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>(0a ≤当时，'()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.0a >当时，由'()f x =0，有2x a=此时，当x ∈12a（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈1+)2a∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.（II ）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --.则'()s x =1e1x --.而当1x >时，'()s x >0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增.又由(1)s =0，有()s x >0，从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.当102a <<时，2a由（I ）有)(1)02f f a<=,从而(02g a>，所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.当12a ³时，令()()()(1)h x f x g x x =-³，当1x >时，3212222111112121()2e 0xx x x x h x ax x x x x x x x x --+-+¢=-+->-+-=>>，因此，()h x 在区间(1,)+¥单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立.综上，1[,)2a Î+¥③【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对()f x 求导得()e 1xf x a '=-，分别讨论0a ≤和0a >时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，再由极值的定义可求得结果；（2）()1220t t t λλ-+>恒成立，转化为()()()12121221122112++21122112e e ===e +e e e e e e +e t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t t λ---->+--对任意12101lnt t a <<<<恒成立，进一步令21t t m -=，e e m m mλ->-对任意0m >恒成立，令()e e 0m m m h m λ-=-->，分类讨论120λ-≥和120λ-<是否满足()min 0h m >，即可得出答案.【小问1详解】解：函数()e xf x a x =-的定义域为R ，()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<在x ∈R 恒成立，()f x 在x ∈R 单调递减，故()f x 无极值；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，则1lnln x a a==-，(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(),ln x a ∈-∞-单调递减；()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,x a ∈-+∞单调递增；故()f x 在1lnln x a a==-取极小值，且1ln 1ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 在1ln ln x a a==-取极小值，且1ln 1ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】解：∵()21121212e e 0t t at at t t t t ==<<，∴2121e e 1t t a a t t ==，即22e 0t a t -=且11e 0t a t -=∴()111e 0tf t a t =-=且()222e 0tf t a t =-=，即1t ，2t 为()f x 的两个零点∴由（1）知，当0a >时，()f x 在ln x a =-取极小值，且()ln 1ln 0f a a -=+<，故10ea <<又∵()1e 10f a =-<，∴12101ln t t a<<<<，又∵()1220t t t λλ-+>恒成立，∴1212t t t t λ>+对任意12101ln t t a<<<<恒成立，∵1212e 0e 0t t a t a t ⎧-=⎨-=⎩，∴()2121e e t tt t a +=+，12+221e t t t t a =且2121e e t tt t a -=-∴()()()12121221122112++21122112e e ===e +e e e e e e +e t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t t λ---->+--对任意12101ln t t a<<<<恒成立∴令21t t m -=，则0m >，e e m mmλ->-对任意0m >恒成立，则0λ>.∴e e 0m mmλ--->对任意0m >恒成立令()e e 0m mm h m λ-=-->，则()1e +e m m h m λ-'=-当120λ-≥，即12λ≥时，()1e +e 0m m h m λ-'=->恒成立故()h m 在()0,m ∈+∞为单调递增函数，又∵()00h =，∴()0h m >对0m >恒成立当120λ-<，即102λ<<时，()h m '为单调增函数，又∵()1020h λ'=-<，1ln 0h λλ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，∴010,ln m λ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00h m '=，当()00,m m ∈时，()0h m ¢<，故()h m 在()00,m m ∈单调递减∴当()00,m m ∈时，()()00h m h <=，不合题意综上，实数λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值及导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的运算求解能力和转化与化归能力.属于综合型、难度大型试题.④【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.（2）利用同构可得原方程即为2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x ，结合构造法可证122e e x x m+>成立.【小问1详解】()2122a a x f x x x --'=-=++，其中2x >-若0a ≤，则()0f x ¢<在()2,-+∞上恒成立，故()f x 在()2,-+∞上为减函数，故()f x 无最值.若0a >，当()2,2x a ∈--时，()0f x ¢>；当()2,x a ∈-+∞时，()0f x ¢<；故()f x 在()2,2a --上为增函数，在()2,a -+∞上为减函数，故()max ()2ln 2f x f a a a a =-=-+，()f x 无最小值.【小问2详解】方程21e ln (0)2xm m m m x =->+即为()e ln 2ln 2x m x m x x ++=+++，故()ln ln eln e 2ln 2x mx m x x +++=+++，因为ln y x x =+为()0,+∞上的增函数，所以ln 2e e x m x x m ++==所以关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x 即为：2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x .所以12122e ,2e x xx m x m +=+=，所以()1212e -exx x x m -=，不妨设12x x >，12t x x =-，故()()12121212e e e e e e x x x x x x x x m -+=+-，要证：122e e x x m+>即证()()1212122e e e e x x x x x x m m -+>-，即证()121212e12e 1x x x x x x ---+>-，即证()()e 120e 1ttt t +>>-，即证()()e 12e 20ttt t +>->，设()()e 12e 2tts t t =+-+，则()()e 1e 2e 1e 1t t t ts t t t '=++-=-+，故()e 0ts t t ''=>，所以()s t '在()0,+∞上为增函数，故()()00s t s ''>=，所以()s t 在()0,+∞上为增函数，所以()()00s t s >=，故122e e x xm+>成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.⑤【答案】（1）单调性讨论见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据a 的符号分类讨论即可；（2）考虑x 的取值范围，采用缩放法可以证明.【小问1详解】()'e x f x a =-，当0a ≤时，()'fx >，()f x 是单调递增的；当0a >时，令()'e 0x f x a =-=，得到0ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'f x <，()f x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()'f x >，()f x 单调递增；【小问2详解】由题意，1x >时，()4323ln f x x x x x ≥-+等价于()2e 3ln 1x x x x x x≥-+，设()()()'2e 1e ,x x x h x h x x x -==，当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增，()()1e h x h >=…①，设()()'1ln 1,10k x x x k x x=--=->，()k x ∴是增函数，()()ln 110k x x x k =-->=，即1ln ,ln 1x x x x ->->-，()2223ln 1311231x x x x x x x x -+>+-+=-++，()()223ln 1231x x x x x x x -+>-++，令()()23223123p x x x x x x x =-++=-++，()'2661p x x x =-++=66066061212x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当66012x +>时，()'0p x <，当6606601212x +<<时，()'0p x >，66012x +∴=时，()p x 取最大值566013126+=⨯+，608<，566015141382.53126312618∴⨯+<⨯+=<，即()p x 的最大值小于2.5，由①可知，()e h x > 2.5>，∴当1x >时，()()()h x p x k x >>，即()4323ln f x x x x x≥-+；【点睛】本题的第二问要从1x >考虑，因为e xx的最小值就是在1x =取得，对于原不等式，由于导数计算过于复杂，因此考虑对ln x 进行缩放，使得计算比较简单.⑥【答案】（1）当1a ≥时，f (x )在(0,)+∞上单调递增;当1a <时,f (x )在(0,1-a )上单调递减，在(1-a ,+∞)上单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题意可得21()(1)ln 2f x x ax a x =++-，求导，分1a ≥和1a <讨论即可；(2)令()ln h x x x =-，利用导数确定()h x 的单调性并求出最小值，再令2()ln ,0x x x x ϕ=->，利用导数确定()ϕx 的单调性并求出最小值即可得证.【小问1详解】解：因为，所以21()(1)ln 2f x x ax a x =++-，()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()a x x a f x x a x x-++-'=++=.当1a ≥时，()0,()f x f x ≥'在(0,)+∞上单调递增.当1a <时，若(0,1)x a ∈-，则()0,()f x f x <'单调递减；若(1,)x a ∈-+∞，则()0,()f x f x >'单调递增.综上所述：当1a ≥时，f (x )在(0,)+∞上单调递增;当1a <时,f(x)在(0,1-a )上单调递减，在(1-a,+∞)上单调递增；【小问2详解】证明：211()(ln )ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦.设()ln h x x x =-，则1()x h x x=-'.当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增.所以min ()(1)1,ln 1h x h x x ==-≥，因此222211111(ln )2222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+≥+≥⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立.设2()ln ,0x x x x ϕ=->，则221()x x xϕ-'=.当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ<'单调递减：当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ>'单调递增.因此min2121ln 2()ln 2222x ϕϕ⎛⎫+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1ln 2()()2f x x ϕ+≥≥，则1ln 2()2f x +≥，因为212≠，所以1ln 2()2f x +≥中的等号不成立，故1ln 2()2f x +>.⑦【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）()2,+∞.【解析】【分析】（1）根据a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）根据已知等式构造函数()1ln h t a t t t=+-，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21ax f x x -'=．当0a ≤时，()0f x <′，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x <′，得10x a <<，令()0f x >′，得1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()21212121211111ln ln ln 0x f x f x a x a x a x x x x x =⇒+=+⇒+-=，又121x x =+，则21212212121121ln 0ln 0x x x x x x x x a a x x x x x x +++-=⇒+-=．令211x t x =>，即方程1ln 0a t t t+-=在()1,+∞上有解．令()1ln h t a t t t=+-，()1,t ∈+∞，则()2211a t t at t h t t t⎛⎫-+ ⎪-+-⎝⎭'==，()1,t ∈+∞．12t t+>，当2a ≤时，()0h t '<，()h t 在()1,+∞上单调递减，又()10h =，则()0h t <在()1,t ∈+∞上恒成立，不合题意；当2a >时，240a ->，令210t at -+-=，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且1t >，所以242a a t +-=．当241,2a a t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，当24,2a a t ⎛⎫+-∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0h t '<；则241,2a a t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10h t h >=，而()()221ee 1e 2eaa a a h aa a =+-<+->．令()()21e2xx x x ϕ=+->，则()2e x x x ϕ'=-，令()()m x x ϕ='，()2e 0xm x '=-<，则()x ϕ'在()2,+∞上单调递减，()()224e 0x ϕϕ'<'=-<，则()x ϕ在()2,+∞上单调递减，()()225e 0x ϕϕ<=-<，即()e0ah <，故存在204,e 2a a a t ⎛⎫+-∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h t =，故2a >满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞．【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.⑧【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()1()0f x a x x'=->，分0a 和0a >两种情况讨论即可得答案；（2）由（1）根据函数零点存在定理存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，由对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，可得12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，所以1212,x x n x x m +==，又1122ln ,ln ax x ax x ==，所以()()121212ln ln ln ln m x x x x a x x ==+=+，所以2ln 4nm <<等价于()121224x x a x x +<+<，由104a <<，不等式右边易证，左边要证122x x a +>，即证212x x a >-，构造函数2()()p x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即可证明.【小问1详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-，当0a 时，对于任意的0x >，都有()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >时，令()0f x '>，解得1x a >；令()0f x '<，解得10x a<<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增；【小问2详解】证明：因为当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，又21111ln 1ln 40,(1)0,2ln 0f a f a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+<-<=>=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，且当()10,x x ∈时，()0f x >，当()12,x x x ∈时，()0f x <，当()2,x x ∈+∞时,()0f x >，因为对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，所以12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，所以1212,x x n x x m +==，又因为1122ln ,ln ax x ax x ==，所以()()121212ln ln ln ln m x x x x a x x ==+=+，所以2ln 4n m <<等价于()121224x x a x x +<+<，因为104a <<，所以()12124x x a x x ++<，下面证明：122x x a +>.要证122x x a +>，即证212x x a>-，因为2121,,,()x x f x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以只需证()212f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，又因为()()12f x f x =，所以也只需证()112f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，设2()()p x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，则2()()p x f x f x a ⎛⎫'='+'- ⎪⎝⎭222a a x x a =-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为221x x a a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x '<，所以()p x 在10,a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又因为10p a ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x >，即2()f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，因为110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()112f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以122x x a +>成立，即()122a x x +>，因此2ln 4n m <<.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是根据函数零点存在定理判断存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，从而可得12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，进而将欲证不等式2ln 4nm <<等价转化为证明()121224x x a x x +<+<.⑨【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),1ln a -∞+上单调递减，在()1ln ,a ++∞上单调递增（2）122e24ln 2a --≤≤-【解析】【分析】（1）分类讨论0a ≤与0a >两种情况，函数求导即可判断函数的增减区间.（2）将函数代入后化简即可将式子转化为1122e e 2x x ax x ----≤≤-+，对两侧函数分别求导求出最值即可求出实数a 的取值范围.【小问1详解】()1e x f x a-='-①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②当0a >时，令()1e0x f x a --'==，1ln x a =+，当(),1ln x a ∈-∞+时，()0f x '<，()f x 在(),1ln a -∞+上单调递减；当()1ln ,x a ∈++∞时，()0f x '>，()f x 在()1ln ,a ++∞上单调递增；【小问2详解】由()224a f x x -≥，得2212e 42x a a x ax x -⎛⎫≥++=+ ⎪⎝⎭，对于任意0x ≥恒成立，因此1122ee 2x x ax x ----≤≤-+，记()12ex h x x -=-+，由()1211e 02x h x -=-+='，得12ln 2x =+，当[]0,12ln 2x ∈+时，()h x 单调递减，当[]12ln 2,x ∈++∞时，()h x 单调递增，所以()min 12ln 2h x =-，因此24ln 2a ≤-；记()12e x t x x -=--，易知()t x 在调递减，所以()()12max0e t x t -==-，所以122e a -≥-；综上，122e24ln 2a --≤≤-．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑩【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求．【详解】解：（1）()21-='ax f x x ，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，（2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<，因为122a x x =，122a x x x ==所以212a F a '=-，ln 22222a a a a a F =+-所以曲线()y F x =在12x x x =处的切线方程为()ln 22122222a a a a a y a x ⎛⎛-+=-- ⎝⎝，即()()321ln 222a a a G x y a x ==-+-，令()()()23ln 22ln 222a a a h x F x G x x a x ax =-=+-+-，()2222220x a x ax ah x xx-+'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且02a h =，故当02ax <<时，()0h x <，即()()F x G x <，故x 的范围2a ⎛ ⎝.【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.⑪解析：（1）1)(-+='a e x f x，（1）当−1≥0，即时，得'x >0恒成立，此时函数)(x f 在R 上单调递增，故函数)(x f 在R 上无最大最小值………………………2分○2当−1<0，即<1时，由'x =0，解得=l?(1−p ，当>l?(1−p 时，'x >0，f (x )单调递增当<l?(1−p 时，'x <0，f (x )单调递减所以=l?(1−p 时，f (x )取最小值即)1ln()1(1))1(ln()(min a a a a f x f --+-=-=………………………4分（2）x x e x g x f x h x-+-=-=4sin(2)()()(π，则14cos(2)(-+-='πx e x h x ○1当)43,4(ππ-∈x 时，由)4cos(π+=x y 在区间)43,4(ππ-上单调递减，知：)(x h '在)43,4(ππ-上单调递增，且01)0(<-='h ，01243(43>-+='ππe h ，知：函数)(x h '在)43,4(ππ-上有唯一的零点)43,0(0π∈x 。

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导数中的分类讨论问题
题目
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
导数中的分类讨论问题
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。

根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
同时遵守解分类问题的步骤：
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结，将各类情况总结归纳
有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。

几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。

以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。

题型一、未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数
之后导函数中自变量的系数有参数。

其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）
例1.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.
题型二、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而
引起的分类；
这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。

令△=0，求分点。

例2.已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。

题型三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大小关系不确定，分不了区间。

因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。

例3.已知函数2(x)lnx,g(x)(x)ax f f bx ==++,其中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴。

（1）确定a 与b 的关系；
（2）若0a ≥，试讨论函数g(x)的单调性；
（3）设斜率为k 的直线与函数(x)f 的图象交于两点
112212(x ,y ),B(x ,y )(x x )A <，证明：21
11k x x <<。

题型四、极值点与区间的关系不定而引起分类：这一类问题的特点是求出极
值点后，极值点与定义域的关系不明确，所以必须分类。

通过令极值点等于定义域端点值求分点。

例4.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
变式1.已知f (x )＝ax 2
(a ∈R)，g (x )＝2ln x .
(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性．
(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围．变式2.已知函数.ln )(x x x x f -=
（I ）求函数e x x f y ==的图像在)(处的切线的方程；
（II ）设实数0,a 求函数()
()f x x g x a 在[,2]a a 上的最大值()M a .。