高中数学人教a版高二选修4-1学业分层测评3_相似三角形的判定 含解析

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高中数学人教a版高二选修4-1学业分层测评3_相似三角形的判定 含
解析
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，
④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是
( )

图1-3-12
A．②③④ B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
【解析】 由相似三角形判定定理知选B.
【答案】 B

2．如图1-3-13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且AMAN＝BMCN，
下列结论中正确的是( )

图1-3-13
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】 ∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
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∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.
又AMAN＝BMCN，
∴△ANC∽△AM B.
【答案】 B

3．如图1-3-14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于( )

图1-3-14
A.25 5 B.13
C.23 D.12
【解析】 ∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴AODO＝AEDA＝12.
【答案】 D
4．如图1-3-15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得ADAC＝
1
3
，则有( )

图1-3-15
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
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【解析】 因为∠A＝∠C，BCAE＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.
【答案】 B
5.如图1-3-16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相
交于点G，FG＝2，则CF的长为( )

图1-3-16
A．4 B．4.5
C．5 D．6
【解析】 ∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角

形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴FGGC＝EFBC＝12.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】 D
二、填空题
6．如图1-3-17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，
CE＝________.

图1-3-17
【解析】 在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴
AB
AE

＝ADAC，

∴AE＝AB·ACAD＝ABAB＋BCAD＝4×4＋23＝8，则DE＝AE－AD＝5，
在Rt△ACE中，CE＝AE2－AC2＝82－4＋22＝27.
【答案】 5 27
7．如图1-3-18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，
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则AE＝________.
图1-3-18
【解析】 由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：

Rt△ABE∽Rt△ADC，故AEAC＝ABAD

∴AE＝6×412＝2.
【答案】 2
8.如图1-3-19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶
BE＝________.

图1-3-19
【解析】 ∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，
∴△ABF∽△CEF，

∴BFEF＝ABEC＝32，∴BFBE＝35.
【答案】 3∶5
三、解答题
9．如图1-3-20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作
CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：PB2＝PE·PF.
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图1-3-20
【证明】 连接PC.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC，

∴PEPC＝PCPF，∴PC2＝PE·PF，
即PB2＝PE·PF.
10.如图1-3-21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开
发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD
＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂
之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来
水管道由各厂负责修建，每米造价800元．

图1-3-21
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？
并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】 (1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG
交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1 700－500＝1 200米，
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∴AE＝1 2002＋9002＝1 500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到CFAB＝CEAE，

即CF900＝5001 500，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得BHCF＝BECE，

即BH300＝1 200500，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得ABDG＝AEAD，
即900DG＝1 5001 700，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，
300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
[能力提升]
1.如图1-3-22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )

图1-3-22
A.ACAB＝ADBC B.ADCD＝ACBC
C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB
【解析】 ∠C＝∠C，只有ACCD＝CBAC，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
【答案】 C
2．如图1-3-23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是( )

图1-3-23
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A．△DAB∽△OCA
B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA
D．△OAC∽△ABD
【解析】 设OA＝OB＝BC＝CD＝a，
则AB＝2a，BD＝2a，

∴ABBD＝22，BCAB＝a2a＝22，
∴ABBD＝BCAB，且∠ABC＝∠DBA，
∴△BAC∽△BDA.
【答案】 C
3．如图1-3-24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.
当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.

图1-3-24
【解析】 由ACBC＝BCBD即可得到．

【答案】 b2a
4．如图1-3-25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连
接FC(AB>AE)．

图1-3-25
(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(2)设ABBC＝k，是否存在这样的k值 ，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你
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的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.

又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，∴EFEC＝AFDE，

∴AE＝DE，∴EFEC＝AFAE.
又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.
(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，
∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.
由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.

∴ABBC＝CDBC＝CD2DE＝32，即k＝32.

反过来，在k＝32时，DECD＝13，∠DCE＝30°，
∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，
∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.
∴△AEF∽△BCF.