2019届人教A版(文科数学) 利用向量证明空间中的平行关系单元测试

合集下载

2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)

利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。

注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。

（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。

⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。

2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。

（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ，的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为（写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈；（2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．（1）求点E 、F 的坐标；（2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证：（1）1//FC 平面ADE ；（2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(基础)含答案

②向量判定：
方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 .
方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行
【学习目标】
1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；
2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；
3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.
要点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.
（1）线线平行
向量判定方法：
设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 .
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有两种：
①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为 = ；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；
（iii）根据法向量的定义建立关于的方程 .
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
【变式】在棱长为a的正方体中，分别为和上的点， .
求证： ∥平面 .

高一数学人教A版(2019)必修第二册第六章平面向量及其应用6.1-6.3综合测试卷

数学必修第二册6.1-6.3向量的概念、运算、运算表示练习一、知识点：1、向量、零向量、单位向量、相等向量2、向量的加法、减法（平行四边形法则、三角形法则）3、数乘λ，λ>0时λ与 λ<0时λ与4、数量积_____________________5、在方向上的投影______________6、求长度（模）________7、求夹角cos θ=8、=（11,x y ）b =（22,x y ）a b -=____________a b +=____________ λ=____________9求平行a ∥b 则__________求垂直a b ⊥则___________________10、11(,)A x y 11(,)B x y 则AB =____________二、基础练习1．下列说法中正确的是（）A ．平行向量不一定是共线向量B ．单位向量都相等C ．若a b →→，满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>D ．对于任意向量a b →→，，必有a b a b →→→→+≤+2．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（） A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形3．设00,a b 分别是与,a b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是（） A ．00a b = B ．00a b =- C ．00=2a b + D ．00//a b 4．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）A 0 B 1 C2 D 3（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．5．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，若E 是DC 的中点，则AE =（）A ．12a b -B ．32a b -C ．12a b -+D ．32a b -+ 6已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．7已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |（）8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4 B ．3 C ．2 D ．9．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6) 10．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA→＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)11．已知点A (－1，－2)，B (4,3)，则AB →的坐标为( )A ．(3,1) B ．(－5，－5) C ．(5,5) D ．(－5,5)12已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，（1）则2a ＋3b 等于_______13．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(4,5)B ．(5，－4)C ．(3,2)D ．(1,3)14．已知单位向量12e e ，，向量1221a e e b e te t R =+=-∈，，.若//a b ，则t 的值为 .15．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．（3）OP QP PS SP -++.（4）()()22AB CD AC BD ---；（5）()()132864224a b a b ⎡⎤+--⎣⎦.16．如图，在ABC 中，13AD AB =，点E 是CD 的中点，设,AB a AC b ==，用,a b 表示,CD AE .17．（1）(1,3)A -,1(8,)2B ,(9,1)C 证明ABC 三点共线（2）ABD 三点共线，有13CD CA CB λ=+，求λ。

1.1空间向量及其运算-高二数学上学期习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

高二数学上学期同步课堂习题测试（人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可．【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确．对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确．故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，，，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项．【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0，所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-．所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件，故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直．故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误．故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ．【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+，同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__．【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值．【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________．【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知∵正确．故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，，，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案．【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCDA′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出．【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=．因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．（1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2．【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ；（2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。

2019届人教A版(文科数学) 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系单元测试

2019届人教A版（文科数学）空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系单元测试一、选择题 1．若,ab为异面直线，直线ca∥，则c与b的位置关系是 A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交

【答案】D 【解析】ca∥，ab，为异面直线，所以c与b的位置关系是异面或相交．故选D． 2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交【答案】D

3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定【答案】C 【解析】如图，由图可知，两个平面平行或相交．故选C．

4．已知ABPQ∥，BCQR∥，∠ABC＝30°，则∠PQR等于 A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对【答案】B 【解析】∵∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°，故选B．学 5．已知异面直线,ab分别在平面,内，且c，那么直线c一定 A．与ab，都相交 B．只能与ab，中的一条相交 C．至少与ab，中的一条相交 D．与ab，都平行【答案】C 【解析】若都不相交，则都平行．根据公理4，则，与异面矛盾．故直线c一定至少与ab，中的一条相交．故选C． 6．已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是 A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能【答案】D

7．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有 A．2对 B．3对 C．4对 D．6对【答案】B 【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB与AC、PA与BC、PC与AB，故选B． 8．如图，四面体ABCD中，ADBC，且ADBC，EF、分别是ABCD、的中点，则EF与BC所成的角为

2019高三数学人教A版理一轮课时分层训练46 利用空间向量证明平行与垂直含解析精品

课时分层训练(四十六) 利用空间向量证明平行与垂直(对应学生用书第318页)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交B [∵n ＝－2a ，∴a 与平面α的法向量平行，∴l ⊥α.]2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A ．627B ．637C ．607D ．657 D [由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎨⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.]3．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )【导学号：97190253】A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内D [∵AB→＝λCD →＋μCE →，∴AB→、CD →、CE →共面， ∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内．]4．(2017·西安月考)如图7-7-8，F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )图7-7-8A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EBD ．E 与B 重合A [分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，F (0,1,0)，D 1(0,0,2)，设E (2,2，z )，D 1F →＝(0,1，－2)，DE →＝(2,2，z )，∵D 1F →·DE →＝0×2＋1×2－2z ＝0，∴z ＝1，∴B 1E ＝EB .] 5．如图7-7-9所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：图7-7-9①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上说法正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1.①③④正确．]二、填空题6.如图7-7-10所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．图7-7-10垂直 [以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，AM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直．] 7．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β [设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ， ∴m ∥n ，∴α∥β.]8．已知AB→＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________. 【导学号：97190254】257[由条件得⎩⎨⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4， ∴x ＋y ＝407－157＝257.] 三、解答题9．如图7-7-11，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .图7-7-11[证明] 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ→＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .10．(2017·郑州调研)如图7-7-12所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .图7-7-12(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD .又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13.设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0.又∵BF→＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．B 组能力提升 (建议用时：15分钟)11．如图7-7-13，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )图7-7-13A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1C [设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点．在空间坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.]12．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________. 【导学号：97190255】①②③ [∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB→与AD →不平行， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确． ∵BD→＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误．]13．(2017·北京房山一模)如图7-7-14，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点．图7-7-14求证：(1)PB ∥平面EFH ； (2)PD ⊥平面AHF .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .∴A (0,0,0)，B (2,0,0)， C (2,2,0)，D (0,2,0)， P (0,0,2)，E (0,0,1)， F (0,1,1)，H (1,0,0)．(1)∵PB→＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ， ∴PB ∥平面EFH .(2)∵PD→＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)， ∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， ∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH .又∵AF ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面AHF .。

2019-2020人教A版数学选修2-1 第3章 3.2 第1课时空间向量与平行关系

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)A [AB →＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合D [∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB →＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(2，－2，4)，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥αD [因为n ·AB →＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n ⊥AB →.又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB ∥α，故选D.]4．若直线l 的方向向量a ＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S (0，0，1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SC →＝(1，1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎨⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2，2，0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x .令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量．111111的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[解] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵FAE ，FEC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0，0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例3】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .思路探究：[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎨⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12⎝⎛⎭⎫DB →＋BA →－12⎝⎛⎭⎫A 1B →＋BA →＝12DB→－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面AE ⊂平面AEB ，BE EA 两两垂直．，0，0)，C (2，4，2)，EG →＝(2，2，0)(x ，y ，z )，1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.1．应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 2D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，∴x＝6，y＝15 2.]2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [AB →＝(0，5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，因为AB →·n ＝0，所以AB →⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________．－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m ，1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0.解得m ＝－8.]4．在长方体OAEB -O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23，于是PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23.∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ ∥RS .。

(新人教A版)2019高中数学第三章空间向量与立体几何单元测试(二)选修2-1

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（） A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥uu u v AC uuu v，则λ等于（）A ．28B ．28-C ．14D ．14-4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（） A ．aB ．bC ．cD ．+a b5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA xAB yAD =++uu u v uuu v uuu v uuu v，则（）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =-C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =uuu v uu u v，设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（）A ．116B ．116-C ．12 D ．139．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（）A ．1B C D ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C 的距离为（）A ．27B C D ．111．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（）A ．12B C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD 的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P 的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu va ，PB =uu vb ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uuu v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B －DE －C 的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长．答案一、选择题 1．【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ． 2．【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ． 3．【答案】D【解析】()2,6,2AB =---u u u v ，()1,6,3AC λ=--u u u v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v ，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=u u u v u u u v，解得14λ=-，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面，故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ． 5．【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯，3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ． 6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD ⋅==⇒=︒⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，故选B ． 7．【答案】A 【解析】()11111111111222BE BA AA A E AB AA A B A D AB AA AB AD =++=-+++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 11122AB AA AD =-++u u u v u u u v u u u v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--u u u v ，()2,1,3AB =--u u u v ，()1,,1DB x y z =----u u u v，∵2AD DB =uuu v uu u v ，∴()12112222x x y y z z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，， ∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ． 10．【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ，则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3AC =-u u u v ，()1,,3A E x y z =-u u u v， ()1,,BE x y z =-u u u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，所以点B 到直线1A C 的距离BE =uu u v ，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-u u u v 、()1,2,0AC =-u u u v 、()11,0,1AD =-u u u v，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu v n n．故选C ． 12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ．则()0,2,0BA =u u v 、()1,1,1GF =-u u u v 、()11,2,1C E =-u u u v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v ，∴cos α=，sin α=，cos β=sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--u u u v ，(),1,1BP x =-u u v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==1111AC B D == ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角， ∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14． 15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC＝90°，∴BC = ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则PE =AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =12CN =、DN =1MN =．由于BD BM MN ND =++u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v 三、解答题17．【答案】212333PG =-+uu u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．【答案】（1）见解析；（2）3π．【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ． ∴()10,2,2AB =-u u u v 、()12,0,2BC =u u u v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅==⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=， ∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD中，BD =BH =又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =u u u v 、()0,0,BA a =u u v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =u u u v，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=u u u v n ，0BA az ⋅==u u vn ， ∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u vuu u v uu u vn n n，由图可知二面角C －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-u u u v 、()1,0,0CD =u u u v 、()1,1,0BD =u u u v．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ，则0AC y az ''⋅=-=u u u v m ，0CD x '⋅==uu u vm ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅==︒⋅u u u vu u u v u u u vm m m ，解得1a =，∴AB ＝1． 20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-u u u v 、()0,2,4AF =u u u v 、()2,2,1BE =--u u u v 、()2,0,1AE =-u u u v． ∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v，∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ． ∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a ，∴(),0,AP a a =-u u u v 、(),,0DB a a =u u u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =u u u v．（1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=u u u v n ，∴1AP ⊥uu u vn ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,==n n B －DE －C22．【答案】（1）见解析；（2（32．【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ，由此可得，0MN ⋅=u u u vn ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）()11,2,2AD =-u u u v 、()2,0,0AC =u u u v，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =，可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，又()10,1,2AB =u u u v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n ，所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=u u u v u u u u v，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+u u u v，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u vuu u v uu u vn,n n，整理得2430λλ+-=，又因为[]0,1λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2．。

精选最新版2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥AB ，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定2．过点A (2，－5，1)且与向量a ＝(－3，2，1)垂直的向量( ) (A )有且只有一个 (B )只有两个且方向相反 (C )有无数个且共线(D )有无数个且共面3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BD AD AB 、、11是( ) (A )有相同起点的向量 (B )等长的向量 (C )共面向量(D )不共面向量第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题4．（理科做）在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60︒，则向量AM 的长=||AM ．5．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .6．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上，则a 的值为。

7．已知点)1,2,1(A ，B )4,3,1(-，且2=，则P 点的坐标是。

8．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为9．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证： AE∥平面DCF ；（2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3π。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

立体几何中的向量方法1.已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出C点的坐标，根据A，B，C三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x，y，z的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．【详解】设C的坐标是（x，y，z）∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，∴∵，∴由此解得，故选C.【点睛】本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，只要满足平行的充要条件，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是( )学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...A. 长方形B. 正方形C. 梯形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出空间四边形ABCD，连接AC，BD，连接四边中点得到一个四边形，证明它是一个菱形．【详解】因为.同理,所以,所以四边形PQRS为平行四边形.又,所以||=|,即PS=BD.又||=|,故PQ=AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查平面向量的应用问题，是基础题．3.在正方体中,平面的一个法向量为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC．即可得出平面ACB1的一个法向量．【详解】如图所示，由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC．∴BD1⊥平面ACB1．∴平面ACB1的一个法向量为．故选：A．【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质、平面的法向量，考查了推理能力与计算能力．4.如图,在平行六面体中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则①∥;②∥;③∥平面;④A1M∥平面.以上正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算进行判断即可.【详解】,,∴,从而A1M∥D1P.∴①③④正确..故选C.【点睛】本题考查空间线线，空间线面的位置关系，属基础题.5.已知直线的方向向量=(2, 1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,-2,z)两点,则y=________,z=_________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】由已知可得，进而可得λ，y，z的值．【详解】：∵直线l的方向向量为=(2,-1,3)，且直线过A（0，y，3），B（-1，2，z）两点．则则解得：，故答案为：。

【点睛】本题考查的知识点是直线的方向向量，正确理解，是解答的关键．6.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),若,,共面,则实数λ=_________.【答案】9【解析】【分析】由若,,共面，则存在实数m，n，使得，由此能求出实数λ．【详解】∵=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),，∴由若,,共面，则存在实数m，n，使得，∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2），∴，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．7.在棱长为1的正方体中, 求平面的一个法向量 .【答案】=(1,1,1).【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面的一个法向量 .．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），，C（0，1，0），设平面A1BC的法向量则，取，得=(1,1,1).。

【点睛】本题考查平面的法向量的求法，属基础题8.已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.【答案】D(-1,1,2).【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒，由此可求D点坐标.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒,因此即点D的坐标为(-1,1,2).【点睛】本题考查空间向量的共线的性质和应用，属基础题.9.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.【答案】见解析【解析】【分析】对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,利用平面向量基本定理证明e∥平面DEF,l⊄平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF..【详解】证明如图:设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c,所以=b-a,=c-a,=2b-2a,=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与共面,即e∥平面DEF,所以l⊄平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.【点睛】本题考查利用平面向量基本定理证明e∥平面DEF,根据l的任意性知, 平面ABC∥平面DEF.，属基础题.B组10.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是( )A. 相交B. 平行C. 在平面内D. 平行或在平面内.【答案】D【解析】【分析】直接利用共面向量定理，推出结果即可．【详解】∵=λ+μ,∴共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.【点睛】本题考查共面向量定理的应用，属基本知识的考查．11.若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为( )A. (bc,ac,ab)B. (ac,ab,bc)C. (bc,ab,ac)D. (ab,ac,bc【答案】A【解析】【分析】由已知中A，B，C三点的坐标，我们可以求出向量，的坐标，进而根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，其数量积均为0，可以构造法向量坐标的方程组，解方程组可得答案．【详解】设法向量为n=(x,y,z),则·n=0,·n=0,则所以n=(bc,ac,ab).【点睛】本题考查的知识点是用向量语言表述线面垂直关系，其中根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，数量积均为0，构造关于法向量坐标的方程组是解答的关键．12.在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:①直线的一个方向向量为(0,0,1);②直线的一个方向向量为(0,1,1);③平面的一个法向量为(0,1,0);④平面的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量说明结论的正确与否..【详解】DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确；BC1∥AD1,=(0,1,1), 故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0).故③正确；点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.【点睛】本题考查利用空间向量证明结论的正确与否..，属基础题.13.平面α的法向量=(x,1,-2),平面β的法向量=,已知α∥β,则x+y=______.【答案】【解析】【分析】由α∥β，可得∥．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β,所以u∥v.则,即故x+y=.【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A. －4B. 1C. 10D. 11【答案】D【解析】试题分析：：∵点P（x，-1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，∴（x-4，-2，0）=λ（-2，2，-2）+μ（-1，6，-8），∴，消去λ，μ解得x=11考点：向量在几何中的应用15.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.【答案】n=.【解析】【分析】设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,求出，可得到n，进而得到平面ABC的单位法向量.【详解】解=(4,2,-2),=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有取z>0,得x=y=,z=.故平面ABC的单位法向量为【点睛】本题考查向量的单位向量的求法，属基础题.16.如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN∥PAD;(2)平面QMN∥平面PAD;【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】利用空间向量的证明空间位置关系.【详解】(1) 证明:如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以M,N,Q,所以.因为平面P AD的一个法向量为m=(1,0,0),所以·m=0,即⊥m.所以MN不在平面P AD内,故MN∥平面P AD.(2)=(0,-d,0),⊥m,又QN不在平面P AD内,又QN∥平面P AD.又因为MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面P AD【点睛】本题空间向量的证明空间位置关系.是基础题.汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！11。

2019届人教A版(文科数学) 利用向量证明空间中的平行关系 单元测试