高中数的分类

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高中数学第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计(1)

答案：4 6 12
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)．其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)，所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．
7
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C，若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B，也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选

高中数学新教材选择性必修第三册《6.1分类加法原理和分步乘法原理》课件

§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)
学习目标
巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用这两个计数原理解决实际问题.
问题导学
新知探究点点落实
1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题. 2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到不重不漏；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤完整 .
反思与感悟
对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键. 一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素) 优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解由题设知共有三类：第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种).
§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
学习目标
1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
问题导学
新知探究点点落实
知识点一分类加法计数原理第十二届全运会在中国辽宁盛大召开，一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车. 思考1 该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？答案两类，即乘飞机、坐火车. 思考2 这几类方案中各有几种方法？答案第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法. 思考3 该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？答案共有7＋6＝13种不同的方法.

6-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修三

问题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?
分类加法计数原理分步乘法计数原理
相同点用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
注意点类类独立不重不漏
每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
方法，那么完成这件事的方法总数为:
N＝m1×m2×…×mn
例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；由分步计数原理：
共有 30×24=720种不同方法.
A大学生物学
B大学数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
数学
解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考
虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为
N 6 4 1 9 (种).
3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
分步乘法计数原理推广如果完成一件事有n步不同方案, 在第1步方案中有m1种不同的方法，在第2步方案中有m2种
不同的方法，…，在第n步方案中有mn种不同的

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：分类加法计数原理和分步乘法原理

目录考点一：基本计数原理 (2)题型一、分布加法原理 (2)题型二、分布乘法原理 (4)题型三、基本计数原理的综合运用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一：基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．题型一、分布加法原理1.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( ) A ．3B ．5C ．9D ．12【分析】用列举法求解．【解答】解：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法： ①用2张10元钱支付；②用1张10元钱和2张5元钱支付；③用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付； ④用1张10元钱和10张1元钱支付； ⑤用1张5元钱和15张1元钱支付； ⑥用2张5元钱和10张1元钱支付；⑦用3张5元钱和5张1元钱支付； ⑧用4张5元钱支付； ⑨用20张1元钱支付．故共有9种方法．故选：C ．【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有( ) A ．3种B ．1848种C ．37种D ．6种【分析】分情况讨论：选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可．【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，共有：12141137++=．故选：C ．【点评】本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别． 3．已知集合{1M=，2-，3}，{4N =-，5，6，7}-，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点( ) A ．18个B ．10个C ．16个D ．14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质，分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，易得每种情况下的数目，进而由加法原理可得答案．【解答】解：第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制；分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，有326⨯=种情况， ②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，有414⨯=种情况；共有6410+=种情况，故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质．题型二、分布乘法原理1．设函数:f N N ++→满足：对于任意大于3的正整数n ，()3f n n =-，且当3n 时，2()3f n ，则不同的函数()f x 的个数为()A ．1B ．3C ．6D ．8【分析】通过()3f n n =-，结合映射的定义，根据2()3f n ，确定函数的个数．【解答】解：3n ，2()3f n ，f∴（1）2=或3，且f（2）2=或3 且f（3）2=或3．根据分步计数原理，可得共2228⨯⨯=个不同的函数．故选：D ．【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础． 2．将一枚骰子向桌面先后抛掷2次，一共有( )种不同结果． A ．6B ．12C ．36D ．216【分析】由分步计数原理知有66⨯种结果，问题得以解决【解答】解：由分步计数原理知有6636⨯=种结果故选：C ．【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题3．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有多少种（结果用数字表示）．( ) A ．5B ．10C ．20D ．120【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯= 故选：B ．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是( )A ．420B ．180C ．64D ．25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有4种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，∴共有180种不同的涂色方案．故选：B ．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况． 2．5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）．【分析】先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，求得结果．【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有44496A =种，故答案为：96．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，注意特殊元素优先排列，属于基础题．3．已知集合{1M ∈，2-，3}，{4N ∈-，5，6，7}-，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数．【分析】本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，⨯个，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有12⨯个．⨯个，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有22⨯个．∴所求不同的点的个数是2212222214⨯+⨯+⨯+⨯=（个)．【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．课后综合巩固练习1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有()种．A．8B．15C．18D．30【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果，故选：A．【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．2．将一张面值1元的人民币全部换成面值1角，2角和5角的硬币，则换法总数为．【分析】设1角硬币有x枚，2角硬币有y枚，5角硬币有z枚，构造三元一次方程，然后利用列举法得到所有可能的情况，可得答案．【解答】解：设1角硬币有x 枚，2角硬币有y 枚，5角硬币有z 枚则2510x y z ++= 满足方程的解有：10x =，0y =，0z = 8x =，1y =，0z = 6x =，2y =，0z = 4x =，3y =，0z = 2x =，4y =，0z = 0x =，5y =，0z =5x =，0y =，1z = 0x =，0y =，2z = 3x =，1y =，1z = 1x =，2y =，1z =共十种不同情况故答案为：10【点评】解决此类问题要用列举法，把所有的情况都一一排查，找出问题的答案． 3．乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有项．【分析】根据多项式的乘法法则，分析易得在123()a a a ++中取一项有3种取法，在1234()b b b b +++中取一项有4种取法，在12345()c c c c c ++++中取一项有5种取法，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据多项式的乘法法则，123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的结果中每一项都必须是在123()a a a ++、1234()b b b b +++、12345()c c c c c ++++三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在123()a a a ++中有3种取法，在1234()b b b b +++中有4种取法，在12345()c c c c c ++++中有5种取法，由乘法原理，可得共有34560⨯⨯=种情况，则123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的展开式中有60项；故答案为60．【点评】本题考查分步计数原理的运用，是常见的题目；平时要多加训练．4．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有种停放方法．（用数字作答）【分析】利用分步计数原理，第一步先选车，第二种再排列，问题得以解决【解答】解：第一步先选车有36C 种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有11111166543216C C C C C C A =种，根据分步计数原理得；366614400C A =种．故答案为：14400．【点评】本题考查了分步计数原理的应用，关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5．对于各数互不相等的正数数组1(i ，2i ，⋯，)(n i n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组(2，4，3，1)中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是．【分析】根据题意，假设出一种情况，倒序后输出顺序数即可．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，假设12a a <，13a a <，14a a <，15a a <，且后一项都比前一项小，因此可以判断出23a a >，34a a >，45a a >，则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是6，故填：6．【点评】本题考查了新定义，理解好定义是解题的先决条件，另外，要大胆假设．本题属基础题．。

高中数学所有知识点归类大全

高中数学所有知识点归类大全一、数学初等函数1. 指数函数：定义、对数、幂函数、应用。

2. 三角函数：定义、几何语言、正弦余弦定理、半正弦函数等。

3. 对数函数：定义、有理函数的对数、指数函数的对数等。

4. 幂函数：定义、幂函数定义、幂函数的性质、幂函数的应用等。

5. 向量函数：定义、表示、性质等。

6. 积分函数：定义、概念、初等函数积分、重积分等。

二、统计与概率1. 概率的定义、公理、概率的计算。

2. 离散分布与连续分布：定义、概率分布函数、期望值等。

3. 抽样估计：抽样分布函数、均匀抽样、样本总体的判断等。

4. 回归分析：定义、正态模型、最小二乘估计、多项式回归模型等。

5. 贝叶斯分析：定义、贝叶斯统计、贝叶斯方法应用等。

6. 推断分析：点估计、区间估计、参数误差等。

三、代数1. 多项式及其性质：定义、系数、次数、根的处理等。

2. 同类型代数式：定义、因式分解、完全平方式等。

3. 向量空间：定义、向量空间的子空间、线性相关、线性无关等。

4. 线性方程组：定义、矩阵方程组、逆矩阵解、三角形法等。

5. 二元一次方程：一次函数性质、椭圆方程、双曲线方程等。

6. 不定系数线性方程组：定义、条件互异、充分必要性等。

四、几何1. 直角坐标系：定义、坐标方程组、投影面等。

2. 点、线：定义、直线的性质、平行线的性质等。

3. 平面图形：定义、圆的性质、锐角三角形、钝角三角形等。

4. 正多边形：定义、正五边形性质、正六边形性质等。

5. 空间几何：定义、球面坐标系、球面角等。

6. 极坐标系：定义、极线条件、极角等。

6-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册

N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法、那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 推广：完成一件事情需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
2、如何完成：“分类”
第1类：A大学的专业，m1=5种；第3类：C大学的专业，m3=2种；
第2类：B大学的专业，m2=4种； N=m1+m2+m3=11
问题2：做一件事情，完成它可以有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么应当如何计数呢？
4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的
选法? (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的
选法?
解：(1) 12种；(2) 60种.
课堂练习
5.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽
2、如何完成： “分步”
第1步：选一个男生，m=30种；第2步：选一个女生，n=24种；
N=m×n=30×24=720
例3：书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法? 分析：（1）“要完成的一件事”： “从书架上取1本书”

高中数学教学中分类讨论思想的应用

高中数学教学中分类讨论思想的应用高中数学教学中，分类讨论是一种常见的解题方法和思维方式。

分类讨论就是在不同的情况下进行不同的措施。

其实质是对问题进行分析、归纳和总结，以确定问题的解决方案，并进行必要的检验和确定。

分类讨论思想在数学教学中的应用非常广泛，可以用来解决各类数学问题和提高学生的思维能力。

分类讨论可以帮助学生更好地理解数学问题，在解题过程中，分类讨论可以帮助学生合理分析、分类考虑问题，确定问题的解决方案。

同时，分类讨论也有助于学生发现数学问题的共性和规律性，形成对数学知识的自然理解。

一、平面几何中的分类讨论分类讨论在平面几何中运用广泛。

例如，当我们求两线段之间的夹角时，可以分类讨论两线段的方向，然后分别用余弦定理求夹角。

又如求正多边形的对角线数量时，我们可以分类讨论正多边形的边数，然后应用公式解决问题。

二、函数的分类讨论在函数的教学中，分类讨论也是非常常见的。

例如，当我们考虑二次函数的图象与x轴的交点时，可以分类讨论二次函数的判别式的值，然后确定x轴交点的个数。

又如，在讨论函数的单调性时，可以分类讨论函数的增减性，然后用函数的导数进行判断。

在概率中，分类讨论也是常常运用的一种思想。

例如，在计算事件的概率时，可以根据事件的分类讨论，确定每一类事件发生的概率，然后将概率进行相应的加、乘运算以得出最终概率。

数列中，分类讨论可以用来解决很多问题。

例如，在讨论数列的极限时，可以分为单调有界数列和发散数列两种情况进行分类讨论，然后使用不等式证明定理求其极限。

又如，在讨论数列的递推公式时，可以对数列的特殊情况进行分类讨论，然后求出递推公式的通项公式。

综上所述，分类讨论是高中数学教学中重要的思维方法和解题思路。

在数学的研究中，分类讨论不仅可以帮助学生快速找到解决问题的途径，同时也能够帮助学生发展创新性思维和拓展思路。

因此，在高中数学教学中，分类讨论应该得到充分的运用和推广。

高中数学数列知识点归纳

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。

数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。

我们用｛aₙ} 来表示一个数列。

二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。

例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。

2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。

三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。

通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。

四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

高中数学选择性必修三 6 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种. 课堂练习：1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ C ）A．5种B．4种C．9种D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼共有（ B ）种走法A．10种B．16种C．25种D．32种3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____54________.4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有__180__种.拓展提高一：5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？答：(1) 13+12+9=34(2) 13×12×9＝1404(3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况;②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况;③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况.由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法链接高考：6、（2020 全国高三模拟）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.乘坐站数0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9票价（元） 2 3 4（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.。

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型在高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径。

分类讨论就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。

虽然几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。

主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。

下面根据导数中三种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论。

第一种分类讨论类型是导函数根的大小比较。

例如，对于函数$f(x)=x^3+x-ax-a$，$x\in R$，我们需要求其单调区间。

对三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法。

因此，对函数$f(x)$进行求导可以得到导函数$f'(x)=x^2+(1-a)x-a$。

观察可知导函数可以因式分解为$f'(x)=(x-a)(x+1)$，由此可知方程$f'(x)=0$有两个实根$x_1=a$和$x_2=-1$。

因此，要讨论函数$f(x)$的单调性，需要讨论两个根的大小。

因此，这里分$a-1$三种情况进行讨论。

当$a<-1$时，$f(x)$，$f'(x)$随$x$的变化情况如下：$x\in(-\infty,a)$时，$f(x)$单调递增；$x\in(a,-1)$时，$f(x)$单调递减；$x=-1$时，$f(x)$有极小值；$x\in(-1,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。

因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,a)$和$(-1,+\infty)$，单调递减区间为$(a,-1)$。

当$a=-1$时，$f'(x)\geq 0$在$R$上恒成立，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间。

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实数的分类
实数是高一以及初中所能够接触到数的最大范围。
实数的分类：实数可以分为有理数和无理数；有理数是可以写成分数（这里的分数其分子和分母都是整数）
的数，无理数是无限不循环的小数。
有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数）。
自然数包含正整数和0.

无理数：无限不循环的小数
实数(R) 分数正整数（ N+ 或 N* ）

有理数（Q）自然数（N）
整数（Z） 0
负整数

复数的分类
复数是整个高中阶段所能够接触到数的最大范围。
复数的分类：复数Z=a+bi，a、bR
(1)当b = 0时，复数Z是实数
(2)当b0时，复数Z是虚数
(3)当b0并且a = 0时，复数Z是纯虚数