【备考】(新课标)高考数学考点汇总考点17 解三角形应用举例(含解析)

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2021年高考数学新一轮复习详细分类题库考点18 解三角形应用举例(文、理)(含详解,13高考题

2021年高考数学新一轮复习详细分类题库考点18 解三角形应用举例（文、理）（含详解，13高考题）一、填空题1. (xx ·福建高考理科·T13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC, sin ∠BAC=,AB=,AD=3,则BD 的长为 .【解题指南】显然,sin ∠BAC=cos ∠BAD,用余弦定理. 【解析】sin ∠BAC===cos ∠BAD,在△BAD 中,BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD=18+9-2××3×=3,所以BD=.【答案】二、解答题2.（xx ·重庆高考理科·Ｔ20）在△中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，，求的值．【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通过化简可求出的值.【解析】（Ⅰ）因为由余弦定理有故.（Ⅱ）由题意得.52cos )cos cos sin )(sin cos cos sin (sin 2=--αααααB B A A 因此.52)cos sin )(tan cos sin (tan =--B B A A αα .52)cos sin )(tan cos sin (tan =--B B A A αα .52cos cos )sin(tan sin sin tan 2=++-B A B A B A αα①因为,所以因为即解得由①得,解得或.3. （xx ·重庆高考文科·Ｔ18）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且a 2=b 2+c 2+ab. （Ⅰ）求；（Ⅱ）设a=,S 为△ABC 的面积,求S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时B 的值.【解题指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时的值.【解析】（Ⅰ）由余弦定理得又因为,所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得又有正弦定理及得 ,sin sin 3sin sin sin 21sin 21C B C a AB a A bc S =••== 因此,).cos(3)cos cos sin (sin 3cos cos 3C B C B C B C B S -=+=+所以,当,即时, 取最大值4. （xx ·山东高考理科·Ｔ17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB =.（1）求a ，c 的值；（2）求sin （A-B ）的值.【解题指南】（1）先由余弦定理可得到ac 的关系式，再和已知a+c=6联立方程，可得a ，c 的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB 的值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA ，进而求得cosA ，从而本题得解.【解析】（1）由与余弦定理得，得又a+c =6，b=2，cosB=，所以ac =9，解得a =3,c=3.（2）在△ABC 中，,由正弦定理得.因为a=c ，所以A 为锐角.所以.因此()272109243197322sin cos cos sin sin =⋅-⋅=-=-B A B A B A . 5.（xx ·福建高考文科·Ｔ21）如图,在等腰直角中,, ,点在线段上.（I ）若,求的长;（II ）若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.【解题指南】由等腰知，此时，可解；第(II)问,按“求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计算公式求解。

2015年高考数学(文)一轮课件：5-7解三角形应用举例

解析：如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进， CD＝40，此时∠DBF＝45° ，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝ 30° ，
在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30° ，∠DBC＝135° ，由正弦定理，得 CD BD ＝， sin∠DBC sin∠BCD 40sin30° ∴BD＝ sin135°＝20 2(米)． ∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° . 在Rt△BED中， 6－ 2 BE＝DBsin15° ＝20 2× 4 ＝10( 3－1)(米)．
即∠CAB≈21.8° 或∠CAB≈158.2° (舍去)．即舰艇航行的方位角为45° ＋21.8° ＝66.8° . 2 所以舰艇以66.8° 的方位角航行，需 h才能靠近渔轮． 3
2 答案：舰艇以66.8° 的方位角航行，需3 h才能靠近渔轮．
点评：对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．
(2)由题意可知OB＝vt，在△AOB中利用余弦定理得： v2t2＝400＋900t2－2· 20· 30tcos60° 600 400 故v ＝900－ t ＋ t2 .
2
∵0＜v≤30， 600 400 2 3 ∴900－ t ＋ t2 ≤900，即t2－ t ≤0， 2 2 解得t≥3，又t＝3时，v＝30(海里/小时)．
答案：A
3．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40° ，灯塔B在观察站C的南偏东60° ，则灯塔A 在灯塔B的( ) B．北偏西10° D．南偏西10°
A．北偏东10° C．南偏东10°
1 解析：如图，∠CBA＝ (180° －80° )＝50° ，α＝60° －50° ＝ 2 10° ，故选B.

专题08 解三角形(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题08解三角形考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：正余弦定理综合应用2023年天津高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年北京高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2022年新高考天津数学高考真题高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．考点2：实际应用2024年上海夏季高考数学真题2022年新高考浙江数学高考真题考点3：角平分线、中线、高问题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题考点4：解三角形范围与最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：周长与面积问题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题考点6：解三角形中的几何应用2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：正余弦定理综合应用1．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知39,2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．【解析】（1）由正弦定理可得，sin sin a b A B =392sin120sin B = ，解得：13sin 13B =（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．（3）由正弦定理可得，sin sin a c A C =395sin120sin C =，解得：513sin 26C =，而120A =o，所以,B C 都为锐角，因此2539cos 15226C =-，139cos 11313B =-，()133********sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+【解析】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．3．（2023年北京高考数学真题）在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A ．10πB ．5πC ．310πD ．25π【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．23913B ．3913C ．72D ．31313【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则7sin sin A C +=.故选：C.6．（2024年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 11616B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =7sin 4A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则237sin 144A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知57sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以273cos 144A ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 116B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯=7．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知16,2,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.【解析】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以215sin 1cos 4A A =-sin sin a b AB =，所以152sin 104sin 46b AB a==（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又215sin 1cos A A =-所以11515sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin 104B =26cos 1sin 4B B =-，故15671010sin(2)sin 2cos cos 2sin 84848A B A B A B ⎛-=-=-+= ⎝⎭．考点2：实际应用8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)【答案】7.8︒【解析】设,90BCA ACD θθ∠=∠=- ，在DCA △中，由正弦定理得sin sin CA CDD CAD=∠，即()sin 37.0sin 1809037.0CACD θ-=⎡⎤-+⎣⎦’即()sin 37.0sin 9037.0CACDθ=-+①在BCA V 中，由正弦定理得sin sin CA CBB CAB=∠，即()sin16.5sin 18016.5CACB θ=⎡⎤+⎦-⎣，即()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+ ，②因为CD CB =，②①得()()sin 9037.0sin 37.0sin16.5sin 16.5θθ-+=+，利用计算器即可得7.8θ≈ ，故答案为：7.8 .9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =．234【解析】因为222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以242312342442S ⎡⎤+-⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯234考点3：角平分线、中线、高问题10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【解析】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，3310sin 1010A ∴==（2）由（1）知，10cos 1010A =，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin ()210105A C A C =+==由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255521022b =，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 210610h b A ∴=⋅==.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =．【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：2313323312b AD b ==++．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =62sin 60sin sin b B C ==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1362+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．考点4：解三角形范围与最值问题12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．31/13-【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-==-+++++()1244233211m m ≥--+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =.31.[方法二]：建系法令BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （13，B （-t,0）()()()22222221344412443324131113,31t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》一、选择题1.在△ABC 中，A=60°，b=1，其面积为3，则asin A等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c=2，b=6，B=120°，则△ABC 的面积等于( )A.62 B ．1 C.32 D.223.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC =14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 4.在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a=2csin A ，c=7，且a ＋b=5，则△ABC 的面积为( ) A.332 B.92 C.532 D.725.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acos C=4csin A ，若△ABC 的面积S=10，b=4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263 D.2836.如图，四边形ABCD 中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 37.已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534 B.154 C.2134 D.932二、填空题8.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b=3，c=2，△ABC 的面积为2，则sin A=________. 9.若△ABC 的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB 的长度等于________．10.锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则AB=________.11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为________．12.在△ABC 中，若a=2，B=60°，b=7，则BC 边上的高等于________．三、解答题13.已知△ABC 中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC 的面积．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B=A ＋C ，且AB=1，BC=4，求边BC 上的中线AD 的长．15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B ＋bcos A)=c.(1)求C ；(2)若c=7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．16.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．答案解析1.答案为：A ；解析：由S △ABC =12bcsin A=3可知c=4.由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=1＋16－8cos 60°=13，所以a=13.所以a sin A =13sin 60°=2393.2.答案为：C ；解析：由正弦定理得6sin 120°=2sin C ，∴sin C=12，∴C=30°或150°(舍去)．∵B=120°，∴A=30°，∴S △ABC =12bcsin A=12×6×2×sin 30°=32.3.答案为：B ；解析：∵S=12bcsin A=14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A=b 2＋c 2－a 22bc =cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A=π4.4.答案为：A ；解析：由3a=2csin A 及正弦定理得a c =2sin A 3=sin Asin C，∵sin A≠0，∴sin C=32，故在锐角△ABC 中，C=π3. 再由a ＋b=5及余弦定理可得7=a 2＋b 2－2abcos π3=a 2＋b 2－ab=(a ＋b)2－3ab=25－3ab ，解得ab=6，故△ABC 的面积为12ab·sin C=332.5.答案为：B ；解析：由3acos C=4csin A ，得a sin A =4c3cos C.又由正弦定理a sin A =c sin C ，得c sin C =4c 3cos C ，∴tan C=34，∴sin C=35.又S=12bcsin A=10，b=4，∴csin A=5.根据正弦定理，得a=csin A sin C =535=253，故选B.6.答案为：B ；解析：连接BD(图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC=180°－120°2=30°，∴∠ABD=90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C，知BD 2=22＋22－2×2×2cos 120°=12，∴BD=23，∴S 四边形ABCD =S △ABD ＋S △BCD =12×4×23＋12×2×2×sin 120°=5 3.7.答案为：A ；解析：由题目条件，知a=c ＋4，b=c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A=32，解得A=60°(舍去)或A=120°.由余弦定理，得cos A=cos 120°=c 2＋c ＋22－c ＋422c c ＋2=－12，解得c=3，所以b=5，所以S △ABC =12bcsin A=1534.8.答案为：23；解析：∵S △ABC =12bcsin A ，∴sin A=2S △ABC bc =223×2=23.9.答案为：2；解析：在△ABC 中，由面积公式，得S=12BC·AC·sin C=32AC=3，∴AC=2，∴△ABC 为等边三角形，∴AB=2.10.答案为：13；解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C=33，sin C=32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C=60°.根据余弦定理AB 2=16＋9－2×4×3×12=13.AB=13.11.答案为：8；解析：因为0<A<π，所以sin A=1－cos 2A=154，又S △ABC =12bcsin A=158bc=315，∴bc=24，解方程组{ b －c ＝2bc ＝24得b=6，c=4，由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14=64，所以a=8.12.答案为：332；解析：由余弦定理b 2=a 2＋c 2－2accos 60°，即7=4＋c 2－2×2c×12，整理得c 2－2c －3=0，解得c=3.所以BC 边上的高为csin B=3×sin 60°=332.13.解：由正弦定理，得sin C=ABsin B AC =23sin 30°2=32.∵AB>AC ，∴C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，S △ABC =12AB·AC=23；当C=120°时，A=30°，S △ABC =12AB·ACsin A= 3.故△ABC 的面积为23或 3.14.解：∵2B=A ＋C ，∴A ＋B ＋C=3B=180°，∴B=60°，∵BC=4，D 为BC 中点，∴BD=2，在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos B =12＋22－2×1×2·cos 60° =3，∴AD= 3. 15.解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)=sin C ，即2cos Csin(A ＋B)=sin C ．故2sin Ccos C=sin C ，可得cos C=12，所以C=π3.(2)由已知得，12absin C=332.又C=π3，所以ab=6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C=7，故a 2＋b 2=13，从而(a ＋b)2=25，所以a ＋b=5. 所以△ABC 的周长为5＋7.16.解：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S=S △ABD ＋S △BCD =12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C.∵A ＋C=180°， ∴sin A=sin C.∴S=12(AB·AD＋BC·CD)·sin A=12(2×4＋6×4)sin A=16sin A.在△ABD 中，由余弦定理， BD 2=AB 2＋AD 2－2AB·ADcos A=22＋42－2×2×4cos A=20－16cos A. 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=62＋42－2×6×4cos C=52－48cos C. ∴20－16cos A=52－48cos C. ∵A ＋C=180°， ∴cos A=－cos C ， ∴64cos A=－32，∴cos A=－12，∴A=120°.∴S=16sin 120°=8 3.。

高考数学分类题库考点18 解三角形应用举例（2021年）理

考点18 解三角形应用举例一、选择题1.（2021·天津高考理科·Ｔ6）在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边别离是a,b, c ，已知8b=5c ，C=2B,那么cos C =（） (A)725 (B)725- (C) 725 (D)2425【解题指南】在△ABC 中利用正弦定理和二倍角公式求解.【解析】选 A.由正弦定理知sin sin bc B C 及8b=5c ，C=2B 可得2247cos cos 22cos 12()1525C B B ==-=⨯-=. 二、解答题2.（2021·山东高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(1)求证：,,a b c 成等比数列.(2)假设1,2a c ==，求△ABC 的面积S.【解题指南】（1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成2b ac =.（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形面积公式求得.【解析】(1)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，因此,,a b c 成等比数列.(2)假设1,2a c ==，那么22b ac ==，∴2223cos 24a c b B ac +-==，47cos 1sin 2=-=B B ，∴△ABC 的面积1177sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=. 3.（2021·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知a ，b ，c 别离为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3asin C －ccos A.（1）求A.（2）假设a=2，△ABC 的面积为3，求b,c.【解题指南】（1）选择将已知条件c =3asin C －ccos A 边化角，求出角A. （2）结合角A 的值，选择适合的△ABC 的面积公式，成立关于b ，c 的方程组，解得,b c 的值.【解析】(1)由c 3a sin C ccos A =-及正弦定理得由于sin 0,C ≠因此1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又0A π<<,故3A π=.(2)△ABC 的面积1sin 32S bc A ==故4bc =.而2222cos a b c bc A =+-,故228b c +=.解得2b c ==.。

2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：27 解三角形应用举例(解析版)

『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』第27讲解三角形应用举例（讲）思维导图知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．题型归纳题型1 解三角形的实际应用【例1-1】（2020春•鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为( )A ．B ．80C ．160D ．【分析】根据题意画出图形，BCD ∆中利用正弦定理求出BD 的值，ACD ∆中利用等角对等边求出AD 的值，再在ABD ∆中由余弦定理求出AB 的值．【解答】解：如图所示：BCD ∆中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，30CBD ∴∠=︒，由正弦定理，得80sin135sin30BD =︒︒，解得BD = ACD ∆中，80CD =，15DCA ∠=︒， 13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 15CAD ∴∠=︒，80AD CD ∴==，ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠22280280cos135805=+-⨯⨯︒=⨯，AB ∴=A ，B 两点间的距离为，故选：D ．【例1-2】（2020春•威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12BC m =，②B 处的仰角60︒，③C 处的仰角45︒，④cos BAC ∠=，⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )A ．B ．12mC ．D ．【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出OB 和OC 的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA 的长【解答】解：选①②③⑤，如图所示：则60ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设OA x =，则OA OC x ==，OB ．在BOC ∆中，利用余弦定理：222231223BC x x==+-，整理得：x =OA = 故选：D ．【例1-3】（2019秋•黄山期末）新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为18/v km h =，水流的速度的大小为24/v km h =，设1v 和2v 的夹角为(0180)θθ︒<<︒，北岸的点B 在A 的正北方向，游船正好抵达B 处时，cos (θ= )A B ． C ．12 D ．12-【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得23πθ=，从而可得答案．【解答】解：依题意，作图如下，设由A 到B 航行的时间为t ，则||4AC t =，||||8AD BC t ==，在直角三角形ABC 中，41sin 82t ABC t ∠==，所以6ABC π∠=，所以2263πππθ=+=，所以1cos 2θ=-，故选：D ．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期末）为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD a =米，再测得90ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒，45ADC ∠=︒，105CDB ∠=︒，据此计算A 、B 两地之间的距离是( )AB C ．1)a D【分析】先在直角三角ACD 中，求出AD ，然后在三角形BCD 中，利用正弦定理求出BD ，最后利用三角形ABD 中，利用余弦定理求出AB 的值．【解答】解：由已知，在三角形ACD 中，CD a =米，90ACD ∠=︒，45ADC ∠=︒，∴AD ．又在三角形BCD 中，CD a =米，30BCD ∠=︒，105CDB ∠=︒，45B ∴∠=︒，由正弦定理得sin sin CD BD B BCD =∠，即sin 45sin30a BD=︒︒，∴BD =．所以在ADB ∆中，1054560ADB ∠=︒-︒=︒，2222221132cos6022222AB AD BD AD BD a a a ∴=+-︒=+-⨯=，∴AB =．故选：B ．【跟踪训练1-2】（2020春•德州期末）如图所示，为了测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 作为测量基点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒，75MAC ∠=︒，从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高500BC m =，则山高MN （单位：)m 为( )A ．750B．C ．850D．【分析】利用直角三角形求出AC ，由正弦定理求出AM ，再利用直角三角形求出MN 的值．【解答】解：在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，500BC m =，所以AC =；在AMC ∆中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此AM ==；在Rt MNA ∆中，AM =，60MAN ∠=︒，由sin 60MNAM=︒，得750MN m ==．故选：A ．【跟踪训练1-3】（2020春•萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，。

2012年高三数学一轮复习资料第四章_解三角形第2讲___解三角形应用举例

第2讲解三角形应用举例★ 知识梳理 ★1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ．2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C ．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD 、OE 是视线，DOC ∠ 是仰角，EOC ∠ 是俯角.7.关于三角形面积问题①ABC S ∆=21aha ＝21bhb ＝21chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ∆＝21absinC ＝21bcsinA ＝21acsinB ；③ABC S ∆＝2R2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径）④ABC S ∆＝R abc 4；⑤ABC S ∆＝))()((c s b s a s s ---,⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ∆＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)★ 重难点突破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14AB km =，60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离（假设,,,A B C D 在同一平面内，测量结果保留整1.414, 1.732,2.236===）解：在△ABD 中，设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x ，62-=x （舍去），由正弦定理，得：BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin , ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ≈11(km).答：两景点B 与C 的距离约为11.km.（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2. 用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度. 分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝ a sin βsin （α－β）在Rt △AEG 中，EG ＝AEsinα＝ a sinαsin βsin （α－β）∴EF ＝EG ＋b ＝ a sinαsin βsin （α－β）＋b ，答：气球的高度是 a sinαsin βsin （α－β）＋b.★ 热点考点题型探析★ 考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题[例1] (2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S vt =求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图，连结11A B ，由已知22102A B =122060A A ==，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-1A2A图4-4-122220220=+-⨯⨯200=．12B B∴=因此，乙船的速度的大小为6020=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.【新题导练】1．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：、解: 两点甲船和乙船分别到达小时后设经过DCx,,xBDABADxAC1020,8-=-==则,,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CDxCDCDxxxxxxxADACADACCD=∴+-=+-=⋅-⋅⋅--+=︒⋅⋅-+=∴此时,甲、乙两船相距最近2．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.B设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，4v AB t ≤⋅。

专题13 解三角形大小题-2017年高考数学理高频考点穿透

一、选择题 1．在ABC△中，若2,23ab，30A，则B等于（） A．60 B．60或120 C．30 D．30或150 【答案】B

【解析】由sinsinabAB得2233,sin,60sin30sin2BBB或120. 考点：正弦定理解三角形. 【题型】选择题【难度】较易 2．在ABC△中，3,150,1aCb，则边的大小为（） A．3 B． C．7 D．22 【答案】C

考点：余弦定理解三角形. 【题型】选择题【难度】较易 3．ABC△的内角,,ABC所对的边为,,abc，若sinsinbBcC且222sinsinsinABC，则该三角形是（） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C. 锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A 【解析】由正弦定理及已知得，22bc且222abc，所以该三角形是等腰直角三角形.故选A．考点：正弦定理，勾股定理．【题型】选择题【难度】较易 4．若ABC△的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2sin23sinbAaB，且2cb，则ab等于（）

A．32 B．43 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由2sin23sinbAaB得4sinsincos3sinsinBAAAB，得3cos4A，又2cb，∴22222cos2abcbcAb，则2ab.故选C. 考点：解三角形. 【题型】选择题【难度】较易 5．若ABC△的对边分别为cba,,，且1a，45B，2ABCS△，则b（）

A．5 B．25 C．41 D．25 【答案】A

考点：余弦定理. 【题型】选择题【难度】较易 6．在ABC△中，若1b，3c，π6A，则B5cos（）

A．23 B．21 C. 21或1 D．23或0 【答案】A 【解析】22222π2cos13213cos116abcbcAa，所以三角形为等

高考数学考点18 解三角形应用举例

温馨提示：考点18 解三角形应用举例无考查关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm na a-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式（1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =；(2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1m mn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=nC . 155.组合恒等式 (1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11m m nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，mn 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+-.推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m pmm m m mmmp m n n n n n nC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++-.。

2015高考总复习数学(文)课件：7.2解三角形应用举例

图 7-2-4 解：在ABD 中，设 BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos∠BDA，即 142＝x2＋102－2· 10x· cos60°，整理，得 x2－10x－96＝0，
解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理，得
BC BD ＝， sin∠CDB sin∠BCD
5．如图 7-2-3，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105°，行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它
10 6 3 向右转 135°后继续前行回到出发点，那么 x＝_______.
图 7-2-3
考点1
16 ∴BC＝ · sin30°＝8 2 ≈11.3(km)． sin135° 答：两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km.
【方法与技巧】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.
【互动探究】 1．在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若∠CAB＝
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
2．如图 7-2-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA ＝45°，且 AB＝200 米．则 A，C 两点的距离为( A )
图 7-2-2
200 6 A. 3 米 100 6 C. 3 米 B．100 D．200 6米 2米
在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3 AB＝30 3 (m)．
在△BCD 中，BC＝30 m，BD＝30 3 m，∠CBD＝30°，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD· cos∠CBD

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1 考点17 解三角形应用举例一、选择题 1.（2014·浙江高考文科·Ｔ10）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标

点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小（仰角为直线AP与平面ABC所成角）。若15ABm，25ACm，30BCM则tan的最大值（）

A．305 B．3010 C．439 D．539

【解析】选D. 由勾股定理可得，20BC，过P作PPBC，交BC于P，连结AP，

则tanPPAP，设CPx，则3tan303PPCPx 在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m

所以4cos5BCA，所以246252255APxx 240625xx

，

所以222333333tan406252549406251()525xxxxxx 2

当2545x，即1254x时，tan取得最大值为3533395 2.（2014·四川高考文科·Ｔ8）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于（）

A．240(31)m B．180(21)m C．120(31)m D．30(31)m 【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可．【解析】选C.记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在RtACD中，120ACm，在ABC中，

由正弦定理知，120sinsin45sinsin75ACBCBACABC602sin(3045)

120(31)m.

二、填空题： 3. （2014·浙江高考理科·Ｔ17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标

点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值

【解析】由勾股定理可得，20BC，过P作PPBC，交BC于P，连结AP，则tanPPAP，设CPx，则3tan303PPCPx 在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m

所以4cos5BCA，所以246252255APxx 3

240625xx

，

所以222333333tan406252549406251()525xxxxxx 当2545x，即1254x时，tan取得最大值为3533395 答案： 539 4. （2014·四川高考理科·Ｔ13）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于 m.（用四舍五入法将结果精确

到个位.参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73）

【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可．【解析】记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在RtACD中，92ACm，在ABC中，9292sinsin370.6060sinsin670.92ACBCBACABC



m.

答案：60 三解答题 5. （2014·湖南高考文科·Ｔ19）（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD中，32,2,7,1,ADCEAECDEABDA,

3BEC

（1）求CEDsin的值；（2）求BE的长

【解题提示】利用正余弦定理，和三角变换公式求解。【解析】如图，设CED 4

(1)在CDE中，由余弦定理，得EDCDECDDECDECcos2222 于是由题设知，06,1722CDCDCDCD即解得2CD(3CD舍去)

在CDE中，由正弦定理，得CDEDCECsin

于是，721sin721723232sinCEDECCD，即 (2)由题设知，30，于是由（1）知， 77249211sin1cos2

而32AEB,所以

1477212377221sin23cos21sin32sincos32cos)32cos(cosAEB

在EABRt中，BEBEEAAEB2cos，所以741472cosBEEAAEB. 6. （2014·上海高考理科·Ｔ21）如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和. （1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38求CD的长（结果精确到0.01米）？

【解题指南】 5

,tan,tan,2tantan2,.(2).RtADCRtBDCADB(1)在中，根据边角关系可得根据，可得解此三角形不等式可得结论在中，根据正弦定理可把DB的长度求出，在BCD中，根据余弦定理可把DC的长度求出.

【解析】

222

(1)tan,tan35802tan20,tantan2,tan21tan216080,020228.283564001640028.28123.43115sin3,sinsinxxCDxxxxxxxCDaABa设的长为米，则解得：的长至多为米.(2)设DB=a,DA=b,DC=m,ADB=180则

解得ADB002208.1285.06sin123.4380160cos18.4526.9326.93.maaCD答：的长为米

7. （2014·上海高考文科·Ｔ21）如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和. （3）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（4）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38求CD的长（结果精确到0.01米）？

【解题指南】 ,tan,tan,2tantan2,.(2).RtADCRtBDCADB(1)在中，根据边角关系可得根据，可得解此三角形不等式可得结论在中，根据正弦定理可把DB的长度求出，在BCD中，根据余弦定理可把DC的长度求出. 【解析】 6

222

解得ADB002208.1285.06sin123.4380160cos18.4526.9326.93.maaCD答：的长为米

8. （2014·重庆高考文科·Ｔ18）在ABC 中，内角,,ABC 所对的边分别为,,abc 且8abc .

(1)若52,,2ab 求cosC 的值;

(2)若22sincossincos2sin,22BAABC 且ABC的面积9sin,2SC 求a 和b 的值. 【解题提示】 (1)直接根据余弦定理即可求出cosC 的值.(2)根据题设条件可以得到关于a 和b的关系式进而求出a 和b的值.

【解析】(1)由题意可知:78(),2cab

由余弦定理得:222222572122cos.525222abcCab (2)由22sincossincos2sin22BAABC可得: 1cos1cossinsin2sin,22BAABC

化简得sinsincossinsincos4sin.AABBBAC 因为sincossincossin()sin,ABBAABC所以sinsin3sin.ABC 由正弦定理可知:3.abc 又因为8abc,故6.ab 由19sinsin,22SabCC 所以9,ab 从而2690aa ，解得3,3.ab