2018年北京市高考数学理 14专题十四 不等式选讲
【数学】北京市十四中2018届高三上学期十月月考数学(理)试题 含解析
2017年十四中十月月考试题高三数学（理）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合,,则A. B.C. D. 或【答案】B【解析】因为,所以选B.2. 设平面向量,且,则实数的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，所以，解得故答案选考点：向量的数量积．3. 下列函数中,既是奇函数,又在区间上为增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】不是奇函数,在区间上为增函数；不是奇函数,在区间上为增函数；是奇函数,在区间上为增函数；是奇函数,但在区间上不为增函数；选C.4. 若满足则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,3)时取最大值为，选B.5. 要得到函数的图象,只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】因为，所以将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,选B.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...6. 下列命题正确的是A. “”是“”的必要不充分条件B. 若给定命题,使得,则,均有C. 若为假命题,则均为假命题D. 命题“若,则”的否命题为“若,则”【答案】B【解析】因为，所以，因此“”是“”的充分不必要条件；命题,使得的否定为,均有；若为假命题,则为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”；选B.7. 函数的图象如图所示,则下列结论成立的是A.B.C.D.【答案】C【解析】由函数的图象可知，令又，可知是的两根由图可知∴；故A正确.考点：本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.8. 已知函数若存在实数,使函数有两个零点,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9. 函数的定义域为_____.【答案】【解析】由题意得，即定义域为.10.为虚数单位,计算_____.【答案】【解析】试题分析：．考点：复数除法运算．11. 在极坐标系中,圆被直线所截得的弦长为_____.【答案】【解析】由题意得圆，直线，所以交点为，弦长为12. 已知双曲线的一条渐近线方程为,且的右焦点为,的离心率为_____,的方程为_____.【答案】(1). (2).【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为,所以(2).13. 已知函数,若,则函数的单调增区间为_____.【答案】【解析】因为，所以所以，由得单调增区间为.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间14. 我们可以利用数列的递推公式求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则_____;研究发现,该数列中的奇数项都会重复出现,那么第个是该数列的第_____项.【答案】(1). (2).【解析】，，故．又∵，，，即项的值为时，下角码是首项为，公比为的等比数列，∴第个是该数列的第项．三、解答题(共6小题，共80分。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲一、解答题1．（2021·全国高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2020·全国高考真题（理））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.4．（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．5．（2019·江苏高考真题）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 6．（2019·全国高考真题（理））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.8．（2019·全国高考真题（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 9．（2018·江苏高考真题）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 10．（2018·全国高考真题（理）） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．11．（2018·全国高考真题（文））已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 12．（2018·全国高考真题（文））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.13．（2017·全国高考真题（理））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.14．（2017·全国高考真题（文））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．15．（2017·全国高考真题（理））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． 16．（2017·全国高考真题（理））已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)()()554a b a b++≥；(2)2a b +≤.17．（2017·江苏高考真题）已知a,b,c,d 为实数，且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac+bd ≤8.18．（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.19．（2016·全国高考真题（文））已知函数()|2|f x x a a =-+. （1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲（答案解析）1．（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【小结】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 2．（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求. 【解析】 （1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【小结】关键小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】 （1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【解析】 （1）当2a =时，.当时，，解得：；当时，，无解； 当时，，解得：；综上所述：的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【小结】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 4．（1）解析解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由，解得．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【小结】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．5．1{|1}3x x x <->或. 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 【小结】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 6．(1)43；(2)见解析. 【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围. 【解析】 (1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为 (x 2)2 ( y 1)2 (z a)2 1 ，所以.3 x2a 32根据柯西不等式等号成立条件，当x2y 1za，即 y1a 32时有 zaa 32[(x 2)2 ( y 1)2 (z a)2](12 12 12) (x 2 y 1 z a)2 (a 2)2 成立.所以 (a 2)2 1 成立，所以有 a 3 或 a 1 .【小结】 两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.7．（1） (,1) ；（2）[1,)【分析】（1）根据 a 1 ，将原不等式化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ，分别讨论 x 1，1 x 2 ， x 2 三种情况，即可求出结果； （2）分别讨论 a 1 和 a 1 两种情况，即可得出结果.【解析】（1）当 a 1 时，原不等式可化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ；当 x 1时，原不等式可化为 (1 x)x (2 x)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然成立，此时解集为 (,1) ；当1 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (2 x)(x 1) 0 ，解得 x 1，此时解集为空集；当 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (x 2)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为 (,1) ；（2）当 a 1 时，因为 x (,1) ，所以由 f (x) 0 可得 (a x)x (2 x)(x a) 0 ，即 (x a)(x 1) 0 ，显然恒成立；所以 a 1 满足题意；7当a 1 时，f(x) 2(x a), a 2(x a)(1 x 1 x), x a，因为ax 1时，f (x) 0显然不能成立，所以 a 1 不满足题意；综上， a 的取值范围是[1,).【小结】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.8．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用 abc 1将所证不等式可变为证明：a2 b2 c2 bc ac ab ，利用基本不等式 可证得 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，再次利用基本不等式可将式转化为a b3 b c3 c a3 24 abc2 ，在取等条件一致的情况下，可得结论.【解析】（1） abc 11 a1 b1 c 1 a1 b1 c abcbcacab 2 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2ab 2bc 2ac当且仅当 a b c 时取等号 2 a2 b2 c22 1 a1 b1 c ，即：a2b2c2≥1 a1 b1 c（2） a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，当且仅当 a b c 时取等号又 a b 2 ab ， b c 2 bc ， a c 2 ac （当且仅当 a b c 时等号同时成立）a b3 b c3 c a3 3 2 ab 2 bc 2 ac 24 abc2 又 abc 1 a b3 b c3 c a3 24【小结】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.89．4 【解析】分析：根据柯西不等式 (x2 y2 z2)(a2 b2 c2) (ax by cz)2 可得结果. 解析：证明：由柯西不等式，得 x2 y2 z2 12 22 22 x 2 y 2z 2 ．因为 x 2 y 2z=6 ，所以 x2 y2 z2 4 ，当且仅当 x y z 时，不等式取等号，此时 x 2 ，y 4 ，z 4 ，122333所以 x2 y2 z2 的最小值为 4．小结：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设 a1， a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a ＋a ＋…＋a )(b ＋b ＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 10．（1）见解析（2） 5【解析】 分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可． （2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值 3x, x 1 , 2解析：（1）fx x2, 1 2x 1,y f x 的图像如图所示． 3x, x 1.9（2）由（1）知， y f x 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故当且仅当 a 3 且 b 2 时， f x ax b 在0, 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．11．（1） xx1 2 ；（2）0,2【解析】分析：(1)将 a 1 代入函数解析式，求得 f x x 1 x 1 ，利用零点分段将解析式化为 2, x 1,f x 2x, 1 x 1, ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 f x 1的解集为 2, x 1.x x1 2 ；(2)根据题中所给的 x 0,1，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 f x x 可以化为x 0,1时 ax 1 1，分情况讨论即可求得结果. 2, x 1,解析：（1）当 a 1时， f x x 1 x 1 ，即 f x 2x, 1 x 1, 2, x 1.10故不等式fx1的解集为 xx1 2 ．（2）当 x 0,1时 x 1 ax 1 x 成立等价于当 x 0,1时 ax 1 1成立．若 a 0 ，则当 x 0,1时 ax 1 1；若 a 0 ， ax 1 1的解集为 0 x 2 ，所以 2 1 ，故 0 a 2 ．aa综上， a 的取值范围为 0, 2．小结：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成 立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从 而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所 给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.12．(1)；(2).【解析】 分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得 a 的取值范围．解析：（1）当 a 1 时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以 a 的取值范围是．小结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活11应用，这是命题的新动向．13．（1）；（2）.【分析】（1）由于 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式 f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max ，从而可得 m 的取值范围． 【解析】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（ ）1；当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；12综上，g（x）max ，∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【小结】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论 思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．14．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，得，，13(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．15．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且，得.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．14(2)图像法：作出函数 16．(1) 见解析(2) 见解析 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明，和的图像，结合图像求解．（2）由 a3+b3＝2 转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解析】 证明：（1）由柯西不等式得： ＝b＝1 时取等号；（2）∵a3+b3＝2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，当且仅当 ab5＝ba5，即 a由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴ （a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立． 【小结】 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题． 17．见解析 【解析】试题分析：由柯西不等式可得，代入即得结论．15试题解析：证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a ， 时，a b 1 ab ．试题解析：（I）当时，由 f (x) 2 得解得；当时， f (x) 2 ；当时，由 f (x) 2 得解得 .所以 f (x) 2 的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师小结】形如（或 ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．1617 （2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解． 19．（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）当2a =时；（2）由 ()()3f x g x +≥等价于，解之得.试题解析： （1）当2a =时，.解不等式，得.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，， 当时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以a 的取值范围是. 考点：不等式选讲.。
2018年北京高考卷数学(理科)试题附详细标准答案
2018年北京高考卷数学(理科)试题附详细标准答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. √2D. 23. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3+a5=18，则数列的前5项和为（）A. 25B. 35C. 45D. 554. 已知函数f(x)=x²+2ax+a²+2（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为（）A. a≤0C. a≤1D. a≥15. 设平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），点B在直线y=3上，则线段AB的中点轨迹方程为（）A. y=3B. x=2C. y=3xD. x=3y6. 若sinθ+cosθ=1/2，则sinθ·cosθ的值为（）A. 3/4B. 1/4C. 1/4D. 3/47. 在三角形ABC中，a=3，b=4，cosB=3/5，则三角形ABC的面积为（）A. 2√6B. 3√6C. 4√6D. 5√68. 设函数f(x)=x²2ax+a²+1（a为常数），若f(x)在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A. a≤1B. a≥1D. a≥0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知数列{an}是等差数列，若a1=1，a3+a5=10，则a4的值为______。
10. 若复数z满足|z|=1，则|z1|+|z+1|的最大值为______。
11. 在等比数列{bn}中，b1=2，b3=16，则数列的公比为______。
12. 已知函数f(x)=x²+2x+a（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为______。
高考数学大一轮复习 第十四章 不等式选讲课件 文 北师大版
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于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|＜|c－d|. 综上， a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
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1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要 有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用 时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为 简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应
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考点研析 题组冲关 课时规范训练
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考点 不等式与绝对值不等式 命题点 解绝对值不等式 1．不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法． |ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
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(2)|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法． 方法1(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区 间； ③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论 所得的不等式在这个区间上的解集； ④这些解集的并集就是原不等式的解集；
由题设得23(a＋1)2＞6，故a＞2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)．
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2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c ＋d.证明：
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲1.(2015·重庆，16)若函数f ()＝|＋1|＋2|－a |的最小值为5，则实数a ＝________.1.4或－6 [由绝对值的性质知f ()的最小值在＝-1或＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]2.(2014·广东，9)不等式|－1|＋|＋2|≥5的解集为________.2.{|≤－3或≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得≥2或≤－3.故原不等式的解集为{|≤－3或≥2}.]3.(2014·湖南，13)若关于的不等式|a －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.3.－3 [依题意，知a ≠0.|a －2|<3⇔－3<a －2<3⇔－1<a <5，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]4.(2014·重庆，16)若不等式|2－1|＋|＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数恒成立，则实数a 的取值范围是________.4.⎣⎡⎦⎤－1，12 [令f ()＝|2-1|＋|+2|,易求得f ()min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]5．（2018全国Ⅰ，23）[选修4–5：不等式选讲] 已知.Ⅰ)当时，求不等式的解集； (Ⅱ)若时不等式成立求a 的取值范围.5.（1）当a=1时，，即故等式解集为．2）当时成等于当时成若a≤0，则当时；≥1，故0<a≤2．若a>0，的解集为，所以2a综上，a的取值范围为(0,2]．6．（2018全国Ⅱ，23）设函数.1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.6.（1）当a=1时，可的解集为．2）等于．而，当时等号成立故等价于．由|a+2|≥4可得a≤−6或a≥2，所以a的取值范围是(−∞,−6]∪[2,+∞)．7．（2018全国Ⅲ，23）[选修4—5：不等式选讲]设函数．1）画出图像；（2）当，，求的最小值．7.（1）的像如图所示．（2）由（1）知，图像与y轴交点的纵坐为2，且各分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，在成立，因此a+b的最小值为5．8.（2018江苏，21D）[选修4—5：不等式选讲]若，y，为实数，且+2y+2=6，求的小值．8.证明：由柯西不等式，得．为所以，当且仅当时不等取等号，此时所以的小值为4．点睛：本题考查柯西不式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0或存在一个数，使a i＝b i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．9.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（）=﹣2+a+4，g（）=|+1|+|﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（）≥g（）的解集；(2)若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．9.（1）解：当a=1时，f（）=﹣2++4，是开口向下，对称轴为= 的二次函数，g（）=|+1|+|﹣1|= ，当∈（1，+∞）时，令﹣2++4=2，解得= ，g（）在（1，+∞）上单调递增，f（）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（）≥g（）的解集为（1，]；当∈[﹣1，1]时，g（）=2，f（）≥f（﹣1）=2．当∈（﹣∞，﹣1）时，g（）单调递减，f（）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（）≥g（）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣2+a+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即2﹣a﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．10.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．10.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．11.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（）=|+1|﹣|﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（）≥2﹣+m的解集非空，求m的取值范围．11.（Ⅰ）∵f（）=|+1|﹣|﹣2|= ，f（）≥1，∴当﹣1≤≤2时，2﹣1≥1，解得1≤≤2；当＞2时，3≥1恒成立，故＞2；综上，不等式f（）≥1的解集为{|≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在∈R使得f（）﹣2+≥m成立，即m≤[f（）﹣2+]ma，设g（）=f（）﹣2+．由（1）知，g（）= ，当≤﹣1时，g（）=﹣2+﹣3，其开口向下，对称轴方程为= ＞﹣1，∴g（）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜＜2时，g（）=﹣2+3﹣1，其开口向下，对称轴方程为= ∈（﹣1，2），∴g（）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当≥2时，g（）=﹣2++3，其开口向下，对称轴方程为= ＜2，∴g（）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（）ma= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．12.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．12. 证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．13.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f()＝|＋1|－|2－3|.(1)在图中画出y＝f()的图象；(2)求不等式|f()|>1的解集.13.解(1)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f ()的图象如图所示.(2)当f ()＝1时，可得＝1或＝3； 当f ()＝－1时，可得＝13或＝5，故f ()>1的解集为{|1<<3}；f ()<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f ()|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.14.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f ()＝|2－a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f ()≤6的解集；(2)设函数g ()＝|2－1|.当∈R 时，f ()＋g ()≥3，求a 的取值范围. 14.解 (1)当a ＝2时，f ()＝|2－2|＋2.解不等式|2－2|＋2≤6得－1≤≤3. 因此f ()≤6的解集为{|－1≤≤3}.(2)当∈R 时，f ()＋g ()＝|2－a |＋a ＋|1－2|≥|2－a ＋1－2|＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当∈R 时，f ()＋g ()≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).15.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f ()＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f ()<2的解集.(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.15.(1)解 f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当≤－12时,由f ()<2得－2<2，解得>－1,所以,-1<≤-12；当-12<<12时，f ()<2；当≥12时，由f ()<2得2<2，解得<1，所以，-12<<1.所以f ()<2的解集M ＝{|－1<<1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.16.(2015·陕西，24)已知关于的不等式|＋a |＜b 的解集为{|2＜＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.16.解(1)由|＋a |＜b ，得－b －a ＜＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )ma ＝4.17.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f ()＝|＋1|－2|－a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f ()>1的解集；(2)若f ()的图象与轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 17.解 (1)当a ＝1时，f ()>1化为|＋1|－2|－1|－1>0. 当≤－1时，不等式化为－4>0，无解； 当－1<<1时，不等式化为3－2>0，解得23<<1；当≥1时，不等式化为－＋2>0，解得1≤<2.所以f ()>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f ()的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).18.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.18.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.19.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f ()＝|＋1a |＋|－a |(a >0).(1)证明：f ()≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.19.(1)证明 由a >0，有f ()＝|＋1a |＋|－a |≥|＋1a －(－a )|＝1a ＋a ≥2.所以f ()≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21220.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{|＝1＋2q＋…＋n q n－1，i∈M，i＝1,2，…，n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.20.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{|＝1＋2·2＋3·22,i∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝-1<0.所以，s<t.。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲【含答案】
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
小结:形如 (或 )型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max ，从而可得m的取值范围．
【解析】
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2| ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
【解析】
（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【小结】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
4．（1）解析解析；（2） .
【分析】
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
【小结】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
9．4
【解析】
分析：根据柯西不等式 可得结果.
（2）若不等 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
高考数学十年真题专题解析—不等式选讲
不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。
2018年直击新课标高考数学文科14.第十四章 选考内容2
第十四章选考内容不等式选讲一、2017年考试大纲二、真题汇编1. 【2016课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=|x+1|﹣|2x ﹣3|． （Ⅰ）在图中画出y=f （x ）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x ）|＞1的解集．2. 【2016课标Ⅱ理24】已知函数|21||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|． 3. 【2016课标Ⅲ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ． （Ⅰ）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围． 4. 【2015课标Ⅰ理24】 已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 5. 【2015课标Ⅱ理24】设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b=c +d ，证明： （1）若ab ＞cd ，则+＞+；（2）+＞+是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 6. 【2014课标I 理24】若a ＞0，b ＞0，且+=．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b=6？并说明理由．7. 【2014课标Ⅱ理24】设函数f （x ）=|x +|+|x ﹣a |（a ＞0）． （Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围．8.【2013课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）=x +3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．9．【2013课标Ⅱ理24】设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c=1，证明： （Ⅰ） （Ⅱ）．10.【2012课标理24】已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣2|（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（Ⅱ）若f （x ）≤|x ﹣4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．二、详解品评1. 【考点】绝对值不等式的解法、分段函数图像的画法.【解析】(Ⅰ) 413()321234.2x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<⎨⎪⎪-+>⎪⎩，，，，，≤≤函数()y f x =的图象如图所示． (Ⅱ) 由()f x 的表达式及图象，当()1f x =时，可得1x =或3x =；当()1f x =-时，可得13x =或．故()1f x >的解集为{|13}x x <<；()1f x <-的解集为1{|3x x <或5}x >．所以|()|1f x >的解集为1{|3x x <或13x <<或5}x >．【试题分析与点评】：本题考查绝对值函数的图象，绝对值不等式的图象实质是分段函数的图象.含绝对值不等式的解法及其应用，注意运用分段函数的图象的画法和去绝对值的方法。
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲1.(2015·重庆，16)若函数f ()＝|＋1|＋2|－a |的最小值为5，则实数a ＝________.1.4或－6 [由绝对值的性质知f ()的最小值在＝-1或＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]2.(2014·广东，9)不等式|－1|＋|＋2|≥5的解集为________.2.{|≤－3或≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得≥2或≤－3.故原不等式的解集为{|≤－3或≥2}.]3.(2014·湖南，13)若关于的不等式|a －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.3.－3 [依题意，知a ≠0.|a －2|<3⇔－3<a －2<3⇔－1<a <5，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]4.(2014·重庆，16)若不等式|2－1|＋|＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数恒成立，则实数a 的取值范围是________.4.⎣⎡⎦⎤－1，12 [令f ()＝|2-1|＋|+2|,易求得f ()min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]5．（2018全国Ⅰ，23）[选修4–5：不等式选讲] 已知.Ⅰ)当时，求不等式的解集； (Ⅱ)若时不等式成立求a 的取值范围.5.（1）当a=1时，，即故等式解集为．2）当时成等于当时成若a≤0，则当时；≥1，故0<a≤2．若a>0，的解集为，所以2a综上，a的取值范围为(0,2]．6．（2018全国Ⅱ，23）设函数.1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.6.（1）当a=1时，可的解集为．2）等于．而，当时等号成立故等价于．由|a+2|≥4可得a≤−6或a≥2，所以a的取值范围是(−∞,−6]∪[2,+∞)．7．（2018全国Ⅲ，23）[选修4—5：不等式选讲]设函数．1）画出图像；（2）当，，求的最小值．7.（1）的像如图所示．（2）由（1）知，图像与y轴交点的纵坐为2，且各分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，在成立，因此a+b的最小值为5．8.（2018江苏，21D）[选修4—5：不等式选讲]若，y，为实数，且+2y+2=6，求的小值．8.证明：由柯西不等式，得．为所以，当且仅当时不等取等号，此时所以的小值为4．点睛：本题考查柯西不式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0或存在一个数，使a i＝b i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．9.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（）=﹣2+a+4，g（）=|+1|+|﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（）≥g（）的解集；(2)若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．9.（1）解：当a=1时，f（）=﹣2++4，是开口向下，对称轴为= 的二次函数，g（）=|+1|+|﹣1|= ，当∈（1，+∞）时，令﹣2++4=2，解得= ，g（）在（1，+∞）上单调递增，f（）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（）≥g（）的解集为（1，]；当∈[﹣1，1]时，g（）=2，f（）≥f（﹣1）=2．当∈（﹣∞，﹣1）时，g（）单调递减，f（）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（）≥g（）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣2+a+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即2﹣a﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．10.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．10.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．11.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（）=|+1|﹣|﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（）≥2﹣+m的解集非空，求m的取值范围．11.（Ⅰ）∵f（）=|+1|﹣|﹣2|= ，f（）≥1，∴当﹣1≤≤2时，2﹣1≥1，解得1≤≤2；当＞2时，3≥1恒成立，故＞2；综上，不等式f（）≥1的解集为{|≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在∈R使得f（）﹣2+≥m成立，即m≤[f（）﹣2+]ma，设g（）=f（）﹣2+．由（1）知，g（）= ，当≤﹣1时，g（）=﹣2+﹣3，其开口向下，对称轴方程为= ＞﹣1，∴g（）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜＜2时，g（）=﹣2+3﹣1，其开口向下，对称轴方程为= ∈（﹣1，2），∴g（）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当≥2时，g（）=﹣2++3，其开口向下，对称轴方程为= ＜2，∴g（）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（）ma= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．12.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．12. 证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．13.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f()＝|＋1|－|2－3|.(1)在图中画出y＝f()的图象；(2)求不等式|f()|>1的解集.13.解(1)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f ()的图象如图所示.(2)当f ()＝1时，可得＝1或＝3； 当f ()＝－1时，可得＝13或＝5，故f ()>1的解集为{|1<<3}；f ()<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f ()|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.14.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f ()＝|2－a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f ()≤6的解集；(2)设函数g ()＝|2－1|.当∈R 时，f ()＋g ()≥3，求a 的取值范围. 14.解 (1)当a ＝2时，f ()＝|2－2|＋2.解不等式|2－2|＋2≤6得－1≤≤3. 因此f ()≤6的解集为{|－1≤≤3}.(2)当∈R 时，f ()＋g ()＝|2－a |＋a ＋|1－2|≥|2－a ＋1－2|＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当∈R 时，f ()＋g ()≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).15.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f ()＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f ()<2的解集.(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.15.(1)解 f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当≤－12时,由f ()<2得－2<2，解得>－1,所以,-1<≤-12；当-12<<12时，f ()<2；当≥12时，由f ()<2得2<2，解得<1，所以，-12<<1.所以f ()<2的解集M ＝{|－1<<1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.16.(2015·陕西，24)已知关于的不等式|＋a |＜b 的解集为{|2＜＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.16.解(1)由|＋a |＜b ，得－b －a ＜＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )ma ＝4.17.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f ()＝|＋1|－2|－a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f ()>1的解集；(2)若f ()的图象与轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 17.解 (1)当a ＝1时，f ()>1化为|＋1|－2|－1|－1>0. 当≤－1时，不等式化为－4>0，无解； 当－1<<1时，不等式化为3－2>0，解得23<<1；当≥1时，不等式化为－＋2>0，解得1≤<2.所以f ()>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f ()的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).18.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.18.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.19.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f ()＝|＋1a |＋|－a |(a >0).(1)证明：f ()≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.19.(1)证明 由a >0，有f ()＝|＋1a |＋|－a |≥|＋1a －(－a )|＝1a ＋a ≥2.所以f ()≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21220.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{|＝1＋2q＋…＋n q n－1，i∈M，i＝1,2，…，n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.20.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{|＝1＋2·2＋3·22,i∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝-1<0.所以，s<t.。
【小初高学习]2018年高考数学二轮复习 专题1.4 数列与不等式(讲)文
专题1.4 数列与不等式考向一 等差数列与等比数列的计算问题【高考改编☆回顾基础】1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2017课标1改编】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 .【答案】4【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =.2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________. 【答案】8-3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 . 【答案】24- 【解析】【命题预测☆看准方向】等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.预测2018年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2，a 3＋b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0 (舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.【趁热打铁】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 【答案】32【解析】当q ＝1时，S 6＝2S 3，不符合题意；当q ≠1时，因为S 3＝74，S 6＝634，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，即1＋q 3＝9，所以q ＝2，代入可得a 1＝14，即a8＝a 1q 7＝32.【例2】【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】已知等比数列中，，且，则＝( )A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________．【答案】 222n-【解析】设等比数列的首项为11,0a a >，公比为,0q q >，由题意可得()326113,1a q q a q +==解得1,2n a q a === 222n -，填(1). 2(2). 222n- 【方法总结☆全面提升】1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n 项和公式构造关于a 1与d 、a 1与q 的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列{a n}前n 项和问题常用的三个公式是: S n =;S n =na 1+d ；S n=An 2+Bn(A,B 为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n 项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017北京改编】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，求22a b.【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1,n ,d (q ),a n 与S n这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a 1,d (q )是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. 【误区警示】用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等差数列{a n }中，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1，但a 1＋a n ≠a n ＋1；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1或m 不为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．考向二 数列的通项与求和 【高考改编☆回顾基础】1.【等比数列的求和】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 【答案】32【解析】当q ＝1时，S 6＝2S 3，不符合题意；当q≠1时，因为S 3＝74，S 6＝634，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，即1＋q 3＝9，所以q ＝2，代入可得a 1＝14，即a 8＝a 1q 7＝32.2．【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知a n ＝22n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为________． 【答案】2n2n ＋1【解析】记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， ∵a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.3. 【错位相减法】【2017山东卷改编】已知a n ＝2n，b n ＝2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ＝________．【答案】5－2n ＋52n4 .【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏． 【答案】3【解析】设塔的顶层共有a 1盏灯，根据题意得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.【命题预测☆看准方向】数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕：常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >，2*63,n nn S a a n N =+∈， ()()122121nnn a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )A.17 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线()()ln *y x x n n N =-∈在x 轴的交点处的切线经过点()1,n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【答案】1n n -+【例2】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求【趁热打铁】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，*121,n n a S n N +=+∈．等 差数列{}n b 中， 25b =，且公差2d =．（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得1122...60n n a b a b a b n ++＞?．若存在，求出n 的最小值；若 不存在，请说明理由．【答案】（1）13n n a -=， 21n b n =-；（2）4．【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <. 【答案】（1）1*111·333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，；（2）见解析。
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第十四篇：不等式选讲
解答题
1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
2.【2018全国二卷23】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
3.【2018全国三卷23】设函数()211f x x x =++-．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，
，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．
4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．
参考答案
解答题
1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．
（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；
若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 2.解：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．
（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
3.解：（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．
4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．
因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333
x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．。