山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题 《第5课时 开放探索问题》导学案(精讲+专练)
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题 《第9课时 新情境应用问题》导学案(精讲+专练)
第二轮复习五新情境应用问题Ⅰ、综合问题精讲：以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。
问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据1.41 1.73≈)．+；解：(1)100；（2）(6010)t⑶作OH PQOH=（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则⊥于点H，可算得141==t=，此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：20100PH t+⨯（千米）＜141（千米）6010130.5∴城市O不会受到侵袭。
点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：⑴需要几小时才能追上(点B 为追上时的位置)⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．解：设需要t 小时才能追上，则A B=24 t ，OB=26t ．（l ）在Rt △AOB 中，OB 2= OA 2+ A B 2，即（26t ）2=102 +（24 t ）2解得t=±l ，t=－1不合题意，舍去，t=l ，即需要1小时才能追上．（2）在Rt △AOB 中，因为sin ∠AOB=AB OB = 24t 26t =1213≈0.9231 ，所以∠AOB ≈6 7．4°， 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题《第2课时 分类讨论》精讲+专练
第二轮复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
2021年中考数学专题复习教学案开放探究题
2021年中考数学专题复习教学案开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判定存在与否的问题；近几年来又逐步显现了一些依照提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。
开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中时期的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。
开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。
类型一：探究条件型探究条件型是依照问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一样方法是：依照结论成立所需要的条件增补条件，现在要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。
例1．（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判定那个命题是真命题依旧假命题，假如是真命题，请给出证明；假如是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.解：是假命题.以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS).②添加条件：∠CBA=∠E.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE ， AB=DE ， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC ≌△DEF(ASA ). ③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠FDE ， ∠C=∠F ， AB=DE ， ∴△ABC ≌△DEF(AAS )同步测试1．(2009年牡丹江市)如图，□ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 边上的点，要使BF DE =，需添加一个条件： ． 1.();BE DF BF DE AF CE BFD BED AFB ADE ==∠=∠∠=∠或∥；；等2．（2009东营）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件： ，使得加上那个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .2.∠DAC ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CDA ，∠DBC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠DCB ，OB ＝OC ，OA ＝OD ；(任选其一)BCDAOABCEDF类型二：探究结论型探究结论型问题是指依照题目所给的条件通过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。
2019年中考数学二轮复习 开放探究型问题 讲解与练习(共44张PPT)
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D， 交AB于点E，点F在DE的延长线上，并且AF＝CE.
(1)求证：四边形ACEF是平行四边形； (2)当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
解：(1)证明：∵DE 垂直平分 BC，∴∠FDC＝90°，BD＝12BC， ∠BED＝∠CED.∵∠FDC＝∠ACB＝90°.∴FD∥AC. ∴△BED∽△BAC.∴BBAE＝BBDC＝12.∴CE 为 Rt△ABC 的中线． ∴CE＝AE＝12AB.∵AF＝CE，∴AE＝AF.∴∠F＝∠AEF.
2019年中考数学二轮复习
开放探究型问题讲解与训练
开放探究型问题常用的方法
【例题】 已知：如图，在▱ABCD中，O是CD的中点，连结AO并延长， 交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC； (2)连结AC，DE，当∠B＝∠AEB＝____°时，四边形ACED是正方形？请 说明理由．
审题视角 (1)根据平行线的性质可得∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E，再根据 中点定义可得DO＝CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；
解：成立．证明：由(1)易知 AD＝AE，
∴由旋转性质可知∠DAB＝∠EAC.在△DAB 和△EAC 中，
AD＝AE， ∠DAB＝∠EAC， AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC.∴DB＝CE.
(3)拓展运用：如图③，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB＝90°， 且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．
解：如图，将△CPB 绕点 C 旋转 90°得△CEA，连结 PE， ∴△CPB≌△CEA，∴CE＝CP＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90°. ∴∠CEP＝∠CPE＝45°.在 Rt△PCE 中，由勾股定理可得，PE＝2 2， 在△PEA 中，PE2＝(2 2)2＝8，AE2＝12＝1，PA2＝32＝9， ∴PE2＋AE2＝AP2.∴△PEA 是直角三角形，∴∠PEA＝90°， ∴∠CEA＝135°.又∵△CPB≌△CEA，∴∠BPC＝∠CEA＝135°.
初中数学中考复习课件课时45 开放探究题
②A︵C>B︵D. 如图，连接 AD， ∵∠1 是△ADE 的外角，∠1＝∠A＋∠E， ∴∠1>∠A. ∵∠1 所对的弧是A︵C，∠A 所对的弧是B︵D. ∴A︵C>B︵D； ③AE>DE. 如图，连接 AD，BD，BC. ∵∠2 是△BCD 的外角，∠2＝∠C＋∠CBD， ∴∠2>∠C.而∠ADE>∠2，∠C＝∠A， ∴在△ADE 中，∠ADE>∠A.∴AE>DE.
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答案：化简得x＋3，x 的取值范围是 x<5 且 x≠±3，4 的正整数．取 x＝1(或 2)，代入x＋3，原
式＝14或15.
2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，O 是它的中心，E，F 是对角线 AC 上的点． (1)如果________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)． (2)证明你的结论．
(1)①垂直 相等 ②当点 D 在 BC 的延长线上时，①的结论仍成立． 由 ADEF 是正方形得 AD＝AF，∠DAF＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠FAC， 又 AB＝AC，∴△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACF＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.即 CF⊥BD. (2)当∠BCA＝45°时，CF⊥BD(如图丁)．
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典例分析 2 如图，⊙O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 E.请你根据上述条件，写出一个正确 的结论(所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母)，并给出证明(证明时允许自行添加 辅助线)．
中考数学一轮复习课件：专题二 开放探索题
开放探索型试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结 论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性.学生犹如八仙 过海，各显神通.
探索性问题的特点：问题一般没有明确的条件或结论，没 有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、 推理、判断等探索活动来确定所需的条件、方法或结论.这类题 主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识.
(1)解：△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD. (2)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A.
在△ADE 和△BDE 中，
∠A＝∠DBA， ∠AED＝∠BED， ED＝ED， ∴△ADE≌△BDE(AAS). ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 为∠ABC 的角平分线， ∴∠DBC＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
[解题技巧]寻找全等三角形时，注意形状和大小必须相同； 寻找相似三角形时，注意形状相同.此类题目可能结论唯一，也 可能结论有多种可能.
条件开放与探索 例2：(2015年山东东营)如图Z2-2，在△ABC中，AB＞AC， 点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在BC边上，连接DE， DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与 △EDF全等( )
解：由题意，考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出 符合题意的方案示意图如图 Z2-3 所示四种方案：
图 Z2-3 半径分别为 r1＝2 2，r2＝ 24＋1，r3＝2，r4＝4. [思想方法]策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选 择一个分类的标准，再进行讨论解题，做到不重不漏.
开放探索题常见的类型有：(1)条件开放型，即问题的条件 不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型，即在给定的 条件下，结论不唯一；(3)综合性开放型，一般没有明确的条件 和结论，需要运用信息发现规律并解答；(4)策略开放型，即思 维策略与解题方法不唯一.
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题《第11课时 归纳猜想型问题》精讲+专练
一．专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二．解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三．考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x ，﹣2x 2，4x 3，﹣8x 4，16x 5…则排在第六个位置的整式为 ．【分析】符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n 个对应的系数的绝对值是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x 6=﹣32x 6．故答案为：﹣32x 6．【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ . 【分析】（1）根据ij a 的定义规则，可知234a =，223a =，526a =，537a =．则有()()232252530a a a a -+-=．（2） 观察数表可知，第1问中的22,23,52,53,a a a a 恰是,,,,np nk mp mk a a a a 的具体形式，若将,,,,np nk mp mk a a a a 赋值于不同的行与列，我们不难发现()()0np nk mk mp a a a a -+-=．【解答】（1）111n n -+ （2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题 《第10课时 化归思想》导学案(精讲+专练)
第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
山东省平原县第五中学中考数学二轮复习专题 《第2课时 分类讨论》导学案(精讲+专练)
第二轮复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
初三数学中考第二轮复习教学案
初三数学中考第二轮复习教学案开放型问题的探究项城市三店乡宏林学校张艳荣课型复习课教学目标（知识、能力、教育）1.掌握开放型问题的特点及类型，熟练运用开放型问题的解题方法和步骤解决有关问题。
2.通过对各种类型的开放型问题的探索，培养学生创新意识与创新能力。
3.通过富有情趣的问题，激发学生进一步探索知识的激情。
感受到数学来源于生活。
教学重点：各种类型开放题的解题策略。
教学难点：开放题的正确答案不唯一，要灵活解题。
培养学生创新意识与创新能力。
教法：讲练结合教学媒体：多媒体教学过程一：【要点梳理】开放题的题目无论是条件、结论以及解题的策略或方法均可展开、发散，所以解决此类问题没有一种固定的模式可循。
但是，根据题意，寻找一般思考的规律还是可以找到解题的钥匙的，这类试题一般可归纳为条件开放型、结论开放型、方法开放型等三种基本题型。
1．条件开放型：没有确定已知条件的开发问题为条件开放题。
在题目要求的结论下，请你补充一些条件，使得适合题意，这类题强调的是题设的多样性。
2．结论开放型：没有确定结果的开发问题为结论开发题。
题目给出了确定的条件，但没有确定的结论或者题设的条件去寻找不唯一的其他结论，这类体现了如何根据条件起探索结论的多样性。
3．方法开放型：根据条件，由因导果可有多种不同的思考途径，解题时可有多种方法，常见的策略开放、情景开放等，这类题目强调的是解决实际问题的数学方法和思考的多样性。
二：【例题】例题精讲例例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线再添加一个适当的条件, , 使得⊿AB C≌⊿DCB。
B C思考：1.可以添加∠A＝∠D吗？2. 可以添加∠A＝∠D＝90°吗？例 2:已知如图, ⊙O是等腰三角形 ABC 的外接圆, AD、AE 分别是顶角∠BAC 及邻补角的角的平分线，AD 交⊙O 于点 D，交 BC 于 F，由这些条件请直接写出一个正确的结论：———（不再连结其他线段）A EB F CD例3：先需要将形如⊿ABC 的空地平均分成面积相等的 4 块，然后在上面分别种上红、黄、蓝、紫 4 种不同颜色的花（要求分出的同一块地种相同颜色的花）请设计出 2 种平分办法，并在划出的空地上标出红、黄、蓝、紫字样，分别表示所种不同颜色的花，简要说明你的设计方案。
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第5课 开放探索问题 第一部分 讲解部分 一、专题诠释 开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类． 开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类． 二、解题策略与解法精讲 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致． 3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果． 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、考点精讲 （一）开放型问题 考点一：条件开放型： 条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求． 例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形． 解：若四边形ABCD的对角线相等， 则由AB=DC，AD=BC可得． △ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD， 所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角， 所以四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等． 评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．
考点二：结论开放型： 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍． 例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ． 分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可． 解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象经过点（0，1）， ∴b=1， ∵y随x的增大而增大， ∴k＞0， 故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）． 评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上． 考点三：条件和结论都开放的问题： 此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断． 例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．
分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等． 解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED， ∴在△ABE与△CDF中， AB=CD， ∠EAB=∠FCD， 又∵DE∥BF，DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴DE=BF， 又AD=BC， ∴AD﹣DE=BC﹣BF， 即AE=CF， ∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）
评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识． 考点四：编制开放型： 此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性． 例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．
分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可． 解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？ 设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得 1800x ·90%=1800x+4 解得x=36 经检验x=36是原方程的根 ∴x+4=40 答：1班人均捐36元，2班人均捐40元 解法二：求两个班人数各多少人？ 设1班有x人，则根据题意得 1800x +4=180090x% 解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根 ∴90x % =45 答：1班有50人，2班有45人． 评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．
（二）探究型问题 考点五：动态探索型： 此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目． 例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G． （1）求证：EF=EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由： （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值． 分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证； （2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证； （3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°， ∴∠DEF=∠GEB， 又∵ED=BE，
∴Rt△FED≌Rt△GEB， ∴EF=EG； （2）成立． 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I， 则EH=EI，∠HEI=90°， ∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°， ∴∠IEF=∠GEH， ∴Rt△FEI≌Rt△GEH， ∴EF=EG； （3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N， 则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD． ∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB， ∴,NECEEMCEADCAABCA， ∴NEEMADAB，即NEADbEMABa， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME∽△FNE， ∴EFENEGEM， ∴EFbEGa． 评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
考点六：结论探究型： 此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）． （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长； （2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．