八年级数学竞赛多边形的边与角
初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理
初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理1. 同位角定理：同位角互相相等或互补。
2. 对顶角定理：对顶角相等。
3. 同旁内角定理：同旁内角互补。
4. 外角定理：与一个多边形任意一内角相对的外角相等。
5. 内角和定理：n边形的内角和为180度×(n-2)。
6. 相关角定理：相邻角互补，对顶角互相相等。
7. 垂直直角定理：垂线与直线相交，形成直角。
8. 垂线定理：直线上任意一点向另一直线作垂线，垂线所在直线与原直线垂直。
9. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。
10. 等腰三角形定理：等腰三角形的底角相等。
11. 等边三角形定理：等边三角形的三个内角均为60度。
12. 直角三角形性质：直角三角形斜边平方等于其他两条边平方和。
13. 等角定理：两角相等的两个三角形全等。
14. 外接圆定理：三角形三个顶点到外接圆圆心的距离相等。
15. 中线定理：连接三角形两边的中线相等。
16. 中位线定理：连接三角形两边中点的线段平分第三边。
17. 高线定理：连接三角形顶点与对边垂直的线段相交于三角形内心。
18. 海伦公式：用三角形三条边的长度求其面积：S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。
19. 正多边形内角定理：正n边形的内角和为(180度×(n-2))/n。
20. 球面三角形定理：球面三角形三个顶点到球心的距离相等。
三条边为大圆弧。
21. 圆周角定理：圆周角等于对应的弧所夹的圆心角。
22. 切线定理：切线相切于圆，与该切点相切的直线垂直于切线。
23. 弦长定理：在同一圆上，两条弦所夹的圆心角相等，则它们的弦长相等。
24. 弧长定理：同一圆上，两个相等的圆心角所对应的弧长相等。
全国初中数学奥林匹克竞赛试题
1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。
A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。
已知内角为150度，则外角为180-150=30度。
正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。
（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。
A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。
因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。
（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。
A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。
因此，这个数是0或1。
（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。
在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。
因此，1/2是最大的。
（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。
A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。
（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。
A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。
初中八年级数学教案-多边形的内角和与外角和-省赛一等奖
多边形的内角和与外角和一．教学过程与方法分析1本节内容是八年级下册多边形相关知识的延展和升华，让学生通过探索多边形内角和与外角和与三角形相联系，领悟三角形的内角和与多边形的内角和是环环相扣的，在教学设计上，强调学生经历探索、猜想、归纳等过程。
2挖掘多边形与三角形之间的联系与区别，在运用三角形的内角和探求多边形的内角和的过程中，体会“化未知为已知”、“类比”、“从特殊到一般”等思想方法，感受合情推理3经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．4体会蕴含于多边形内角和定理、外角和定理之中“变与不变”，能运用多边形的内角和与外角和解决简单问题教学重点：n （3≥n ，n 为正整数）边形内角和、外角和的探究过程教学难点：任意．．一个多边形的外角和都是︒360的认知过程 二．教学过程设计环节一、 实验探究1．三角形的内角和是多少度你是怎么得出的①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和。
②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角。
目的：学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四边形内角和的探索奠定基础。
2．四边形的内角和是多少你又是怎样得出的1度量 ； 2拼角； 3将四边形转化成三角形求内角和。
目的：学生先通过度量、拼角两种方法，猜想得出四边形的内角和是360°，然后引导学生利用分割的方法，将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和，进一步渗透类比，转化的数学思想。
3．在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好请讲述你的理由。
度量法：不精确；拼角法：操作不方便；北师大版八年级数学下册第六章平行四边形第四节当多边形边数较大时，度量法、拼角法都不可取。
第三种方法：精确、省事且有理论根据。
环节二、讲解新知1问题与情境某公司要设计一个机器人，按照逆时针的方向沿着五边形ABCDE （图2）的边行走，行走至顶点处，即开始以五边形的顶点为旋转中心，五边形的外角为旋转角进行旋转（旋转方向以及机器人的行走可以通过点的坐标控制）假如该机器人从AB 边的中点出发，绕五边形ABCDE 行走当该机器人旋转的角度之和为360°时，试判断机器人的行走方向与所在位置（课后讨论）假如该机器人从任意一条边上的任意一点出发，当这个机器人绕五边形行走一周，再次回到原来的出发点时，那么该机器人共旋转了多少度这个问题有解吗若有，请解答；否则，请完善2（多边形的有关概念）三角形与多边形、n 边形与三角形（1）从三角形到四边形、五边形的游戏图2 A B C A BC 图4 A C A B C A B C 图3将两块大小形状完全相同的三角形纸片，通过平移、翻折、旋转，拼接成四边形，再隐藏去重合的边，用这样的方式，能够构造出怎样的四边形（2）类比三角形的概念，尝试给多边形下个定义（3）看见不一样的多边形以小组为单位，寻找在图6中的多边形（4）看图说话：如图7的同一旁，这样的多边形就是凸多边形请参照上述表述，结合图8，尝试给凹多边形下个定义备注：今后，没有特殊说明，我们在本教科书中所研究的多边形都指凸多边形（5）三角形与多边形的联系与区别；n 边形与三角形的联系与区别3．在操作中尝试探究，立足三角形的内角和研究四边形的内角和上述四边形的共同特征：四边形的内角和是︒360引出猜想：任意一个四边形的内角和都是︒360通法1将上述图形中将曾经被隐藏的对角线再呈现出来，以此为策略将四边形的内角和转化为图6 图7 图5三角形的内角和通法2在任意一个四边形的内部任意取一点O ，分别联结点O 与四边形的各个顶点，以此为策略，将四边形的内角和转化为三角形的内角和讨论：图9所示的方法，能否成为说明任意一个四边形的内角和都是︒360的通法4从特殊到一般，类比四边形的内角和探究多边形的内角和、外角和类比四边形的内角和是︒360的说理方法，选择一种你最喜欢的方法，探究五边形、六边形、……、n （3≥n 的整数）寻找n 边形的内角和是︒⋅-360)2(n 的最佳说理方法与记忆方法对于n 边形而言，n 边形的内角和︒⋅-360)2(n 随着n 变化而变化，在这个变化过程中，有没有不变的东西呢 H 1G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1HGF E DC BA引出“多边形的内角和是︒360”环节三、课堂练习基础性练习题1．如图6-24，四边形ABCD 中，∠A ∠C=180°，∠B 与∠D 有怎样的关系2．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形3．一个多边形的边数增加1，则它的内角和将如何变化结论：多边形每增加一条边，它的内角和增加180°拓展性练习题：1如图11，已知:AB ∥EF ，求∠B ∠C ∠D ∠E 的度数2过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几边形它的内角和是多少A B ECDF 图11 H 1G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1图10环节四、知识小结1．过本节课的学习，你学到了哪些知识有何体会（多边形的有关概念、正多边形、凸多边形概念、多边形的内角和定理，并能利用公式进行计算）2．在学习多边形的有关概念时，我们是通过复习三角形的有关概念来类比得出的。
【数学竞赛】七年级数学思维探究(25)多边形的边与角(含答案)
泰勒斯（公元前 624 前 547 ），古希腊学者，西方理性数学的倡议者，素有“科学之父”的美称．他不知足于直观的感性的特别认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了很多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有与众不一样的工作，相传他曾测知公元前 585 年 5 月 28 日的一第二天全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星斗的王国里，他顶天立地，名垂青史．”25．多边形的边与角解读课标大街上的人行道，装饰一新的居家，在很多地方，我们能够看到由各样形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的美丽的地面和墙面．一般地，由 n 条不在同向来线上的线段首尾按序连结构成的平面图形称为n 边形，又称多边形．边、角、对角线是多边形中最基本的观点．多边形的很多性质常能够用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转变为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反应出必定的规律性：n 2 180 随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更实质的规律：外角和是360 的一个常数．把内角问题转变为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧．问题解决例1如图， ABC D E F __________．FEDGH AC B试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分别的角加以集中．例 2 凸多边形恰巧有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）．A ．4 B． 5 C． 6 D． 7试一试把凸多边形内角问题转变为外角问题．例 3 凸 n 边形除掉一个内角外，其他内角和为2570 ，求 n 的值．试一试设除掉的角为x ，可成立对于 x ，n 的不定方程；又 0 x 180 ，又可获得对于 n 的不等式，故有两种解题门路，注意n 为自然数的隐含条件．例 4 如图，四边形ABCD 中，已知AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．证明：BAD EAF 180 ．A DFB CE试一试从四边形 AECF 内角和下手．n角星例 5（1）如图①，随意画一个五角星，求A B C D E （ 2）如图②，用“一笔划”方法画成的七角形，求A B C （ 3）如图③，用“一笔划”方法画成的2n 1 角形n≥ 2 ，且B1B2A1A2A3A2 n A2 n 1度数．F 度数． D E FB2 n B2n 1是凸2nG 度数．1 边形，求A 2A 1AAB 1AA 3B 2 2n+1B2n+1EIDB 3B2nBJA2nEHA 4KB 4 B 9BGLN A A 9M5B 5B 8B 7CDF CB 6A 6A 8图①图②A 7 图③剖析 从特别到一般，将所求的度数用有关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解 （1） 180（ 2） 5403 A 1A 2 A 2nA 2n 1 （ 2n 1 个三角形 A 1B 1 B 2 n 1 ， A 2 B 2 B 1 ， A 3 B 3 B 2 ， ， A 2 n B 2n B 2 n 1 ， （ ） A 2 n 1 B 2 n 1 B 2 n 的内角总和减去多边形 B 1B 2 B 2n B 2 n 1 外角和的 2 倍）2n1 180360 22n3 180 ．完整多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连结的线段，称为一个图．如图，这样的图有6 个点，每两点之间都有一条线，称为完整六边形．一个完整n 边形共有 n n 1条连线． 2例 6 证明：任何 6 个人中，必有 3 个人相互认识，或许有 3 个人相互不认识．剖析与解借助图表示这一抽象的思想．用点 A 1 ， A 2 ， ， A6 代表 6 个人，两个人相互认识则在对应的两点间连一条红边，不然连一条蓝边，问题转变为图中必有三边同色的三角形．考虑 A 1 与 5 条引线，由于只染了两种颜色，由抽屉原理知必有 3 条同色，不如设 A 1 A 2 ， A 1 A 3 ， A 1A 4 同为红色；若 A 2 A 3 ， A 3 A 4 ， A 4 A 2 中有红边，则有红色 △ A 1 A i A j 2 ≤ i , j ≤ 4 ；若 A 2A 3， A 3A 4 ， A 4A 2 无红 边，则 △ A 2 A 3 A 4 为蓝色三角形，不论哪一种状况，图中都有同色三角形．A 1A 3A 2A 4数学冲浪 知识技术广场1．如图， 1 、 2 、 3 、 4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若A 120 ，则 1 2 3 4 _______ ．3D2E C41A B2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面还是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个极点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA'H ，那么GA' H 的度数为_______．HA A'G图②图①3．如图，1234567 的度数为 _____________ ．213574 64．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用 n 个全等的正六边形按这类方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则 n 的值为 ___________．图①图②5．将五边形纸片ABCDE 按如下图的方式折叠，折痕为AF ，点 E 、 D 分别落在 E'、 D''上，已知AFC 76 ，则CFD ' 等于（）．A ．31B 28 C． 24D． 22 ．AB EE'CDFD'6．如图，已知正五边形 ABCDE 中， 1 2，3 4 ，则x（）．A ． 30B ． 45C ． 40D ． 36A1 x 3B E2 4CD7．一个凸多边形的每一内角都等于 140 ，那么，从这个多边形的一个极点出发的对角线的条数是（）．A ． 9条B ．8条C ．7条D ．6条8．一个凸 n 边形，除一个内角外，其他 n 1 个内角的和是 2400 ，则 n 的值是（）．A ．15B ． 16C ． 17D ．不可以确立9．如图，已知 DC ∥ AB ， BAEBCD ， AE ⊥ DE ，D 130 ，求 B 的度数．D CEA B10．如图， 在四边形 ABCD 中， BD 90 ， AE 、CF 分别均分 BAD 和 BCD ．求证： AE ∥CF ．DECAFB思想方法天地11．从凸 n 边形的一个极点引出的全部对甬线把这个凸n 边形分红了 m 个小三角形，若 m 等于这个凸 n边形对角线条数的4，那么此 n 边形的内角和为 ________．9306012．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是 ，则原多边形是_________ 边形． 13．如图，设 CGE 120 ，则 ABCD EF __________．AECαGFBD14．如图， A B C D E F G H I K 的度数为 _________．B AGCK HFID E15 ．如图， A B C D E F G 的度数等于（）．A． 360 B． 450 C． 540 D． 720AGBFCMNED16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002 ，则这个多边形的边数为（）．A ．12 B．12或 13 C．14 D．14或 1517 ．有一个边长为 4m 的正六边形客堂，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这类瓷砖（）．A． 216 块B． 288 块C．384 块D． 512 块18 ．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先行进一米，而后原地逆时针方向旋转0 180 ，被称为一次操作，若 5 次操作后发现赛车回到出发点，则角为（）．A． 720 B． 108 或144 C．144 D． 720 或 14419 ．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知 A B C D E F 成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．CDBAEF20 ．已知凸四边形ABCD 中， A C 90．（ 1）如图①，若DE 均分ADC ，BF均分ABC 的邻补角，判断DE 与 BF 的地点关系并证明；（2）如图②，若BF、DE分别均分ABC 、ADC 的邻补角，判断DE 与 BF 的地点关系并证明．A DADCECB E BF F图①图②应用研究乐园21 ．（ 1）如图①，把等边三角形的各边三均分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，获得一个六角星，则这个六角星的边数是_________；。
初中数学人教版八年级上册《多边形的内角和》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
思考：把一个多边形分成几个 三角形，还有其他分法 吗？由新的分法，能得 出多边形的内角和公式吗？
(1)
如图，在n边形内任取 一点O，连接点O与各个顶 点的线段，把n边形分成n O 个三角形。因为这n个三角 形的内角和是n ×180º ，
以O为公共顶点的n个角的
和是360º ，所以n边形的内 角和是n ×180º - 360º ,即
初中数学人教版八年级上册 《多边形的内角和》 优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
§11.3.2
多边形的内角和
90°
180º
90°× 4 =360°
90°
探究：任意画一个四边形，
量出它的4个内角，计算出他们的 内角和，再画几个 四边形，量一 量，算一算得出什么结论？
任意四边形的内角和为360º 。
P
Hale Waihona Puke （n－2）× 180º .
课堂小结
多边形的边数与内角和的关系： 3 4 5
6
7
……
1×180º 2×180º 3×180º
4×180º
5×180º … …
结论：
n边形的内角和等于（n－２）×１８０º
再
见
C D
120°
A
70 °
解:由多边形的内角和公式可得 ∠A +∠CBF+∠C+∠D=(4-2) ×180º =360º 所以 -(∠A+ ∠C+ ∠D) x° ∠CBF =360º =360º -(70° + 90° + 120°) F B =80° X°= 180º- 80° = 100° 即 X = 100
从六边形的一个顶点出发，可以引___ 3 4 个三角形， 条对角线它们将六边形分为____ 4 。 六边形的内角和等于180º× ____
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理在初中数学竞赛中，各种数学定理都是竞赛的基础，熟练掌握各种数学定理可以在竞赛中脱颖而出。
下面将介绍初中数学竞赛中常见的25个定理，希望对竞赛备战有所帮助。
1. 二元一次方程的解法对于形如ax+by=c的二元一次方程，当a、b不为零时，可以利用消元法、代入法等方式求解。
2. 勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。
3. 同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $a^m \\cdot a^n=a^{m+n}$。
4. 相反数的性质两个数的和为0时，互为相反数，即a+(−a)=0。
5. 解三角形内角和三角形内角和等于180°，即 $\\angle A+\\angle B+\\angle C=180°$。
6. 二次根式性质非负实数组的二次根式恒大于等于0，即 $\\sqrt{a} \\geq 0$。
7. 顺序角对应性质顺序角对应，即 $\\angle A | \\angle B$ 且 $\\angle B=\\angle A+k \\cdot 180°$。
8. 同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 $\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。
9. 三角形中角平分线性质三角形中角平分线将一个角平分为两个角，且两个角相等。
10. 解一元二次方程一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0，可以利用求根公式求解。
11. 垂直平分线性质垂直平分线将一条线段垂直平分成两段相等的线段。
12. 多边形内角和n边形内角和等于 $(n-2) \\cdot 180°$，其中n表示多边形的边数。
13. 二次函数的顶点坐标二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 $\\left(-\\dfrac{b}{2a}, -\\dfrac{\\Delta}{4a} \\right)$。
14. 欧拉公式对于任何凸多面体，顶点数、棱数和面数之差为2。
第3节 多边形的边和角
第三节 多边形的边和角 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次
多边形 理解多边形及正多边形的概念，掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式 ★
会用多边形内角和与外角和公式解决计算问题 ★★ 镶嵌 知道用任意一个三角形，四边形或六边形可以镶嵌 ★ 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计 ★★ 二、核心纲要 1.多边形的有关概念 ⑴多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. ⑵多边形的内角和：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. ⑶多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. ⑷正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. ⑸凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形，否则称为凹多边形. 注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形. 2.多边形的内角和 n边形外角和公式：(n－2)·180°. 3.多边形的外角和 n边形的外角和等于360°. 注：多边形外角和与边数无关. 4.多边形的对角线的条数
多边形的对角线的条数为：32nn (n＞3) 5.镶嵌 ⑴定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的拼接在一起，这类问题叫做平面镶嵌. ⑵镶嵌的条件：拼在同一个顶点的几个多边形的内角和恰好为360°. 注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形.(其中三角形和四边形是任意的) ②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形. 本节中点讲解：一个条件(镶嵌的条件)，两个概念(多边形的有关概念和镶嵌)，两个定理(多边形内角和及其外角和定理). 三、全能突破 基础演练 1.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( ). A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论.甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”.你认为正确的是( ) A.甲和丁 B.乙和丁 C.丙和丁 D.以上都不对 3.小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形铺砖，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( ) A.正三角形、正六边形 B.正三角形、正五边形、正八边形 C.正六边形、正五边形 D.正八边形、正三角形 4.如图11－3－1所示，在锐角△ABC中，BD、CF分别是AC、AB边上的高，且BD、CF交于点F，若∠A＝52°，则∠BFC的度数是( ). A.108° B.128° C.138° D.158° 5.如图11－3－2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.2π 6.如图11－3－3所示，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α＝_____.
多边形的边角与对角线
多边形的边角与对角线知识纵横边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和，多边形内、外角和定理，不等式，方程等知识。
将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成(n-2)个多角形，共可引出2)3(nn条对角线。
例题求解例1（1）边数为偶数的两个正多边形的内角和为1800°，则两个正多边形的边数分别为______(2）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n*90°,则n=_________思路点拔：对于（1），设两多边形边数分别为a,b，由内角和公式建立a,b的方程；对二（2），恰当连线或利用角的转换，将凹多边形内角和转化为凸多边形内角和。
例2.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B. 1C. 3D. 5思路点拔多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨。
练习：凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值为_________.例3.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，求这个多边形的边数。
思路点拔设除去的角为x°,y°，多边形的边数为n,又0<x<180°, 0<y<180°,又可得到关于n的不等式。
注意n为自然数的隐含条件。
练习：在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n-1)个内角的和为2750°，则这个内角度数为_________.能力拓展1.如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a 3,第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a 4, ...,以此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n (n ≥3），则a 5的值是______。
初中数学竞赛指导：《三角形》竞赛专题训练(含答案)
《三角形》竞赛专题训练1 与三角形有关的线段我们来看这样一个问题:如图1所示，AD 是BC 边上的高，若点P 在BC 边上移动，你能判断线段AP 与边AB 或边AC 的大小吗?从直观上我们可以看出，若点P 在线段BD 上移动，则AP AB <，若点P 在线段CD 上移动，则AP AC <.可是遇到这样判断三角形中边与边的大小的问题，我们会想到哪些定理呢?下面我们就通过例题来看看这些定理的运用.经典例题(1)在ABC ∆内，AB AC =，AD 是边BC 上的高，若点P 在ABD ∆内，证明: APB APC ∠>∠.( 2) ABC ∆是等边三角形，P 是ABC ∆内或边上任意一点(不包含端点)，证明:PA PB PC <+. 解题策略(1)如图2，设PC 与AD 交于点E ，连结BE ，延长AP 交BC 于点F ，因为AB AC =，所以ACB ABC ∠=∠，CAD BAD ∠=∠，CE BE =，ECB EBC ∠=∠(由等腰三角形性 质)，则ACE ACB ECB ABC CBP ABP ∠=∠-∠>∠-∠=∠，CAP BAP ∠>∠ 所以180APB ABP BAP ∠=︒-∠-∠ 180ACE CAP >︒-∠-∠ APC =∠(2)直接找PA 与PB PC +的关系并不容易，因为它们不在一个三角形中，这时我们要想办法找个中间量，使得PA 小于这条边，而PB PC +大于这条边，由两边之和大于第三边可知PB PC BC +>，我们很自然地想到把BC 作为中间量来证明.如图3，延长AP 交边BC 于点F ，则AP AF ≤，因为AFC B ∠>∠，B C ∠=∠，所以AC AF >，而PB PC BC +≥ (等号成立条件是点P 在边BC 上)，所以AP PB PC <+.画龙点睛判断三角形边与边的大小，我们常用的定理有:(1)在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; (2)在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边. 举一反三1. 如图，ABC ∆中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 上的点，证明: DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是高，P 是线段AD 上任意一点，证明:PB PC BD CD -<-3. 如图，在ABC ∆中有D 、E 两点，求证:BD DE EC AB AC ++<+.融会贯通4. 已知点O 在ABC ∆内部，连结OA ，OB ，OC ，说明:1()2AB AC BC OA OB OC AB AC BC ++<++<++2 与三角形有关的角三角形内角和是180度，这条看似简单的定理在我们求三角形中的角的度数甚至是其他多边形的内角的度数时，却起着不可缺少的作用，这一讲我们就来看几道利用内角和定理的有趣的问题. 经典例题如图所示.平面上六个点A B C D E F 、、、、、构成一个封闭折线图形.求+A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠的度数.解题策略所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中，两两成对地分布在三个三角形中，且这三个三角形中第三个角的对顶角在同一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可求得结果.因为+180A B APB ∠∠+∠=︒ +180E F FRE ∠∠+∠=︒+180C D DQC ∠∠+∠=︒ 且 +180PRQ PQR QPR ∠∠+∠=︒ 即 +180FRE DQC APB ∠∠+∠=︒故 +360A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠=︒ 画龙点睛三角形内角和等于180度，在涉及求角度的时候，总要直接或间接地用到这条定理，当然，更多时候，它要结合其他知识，如外角和定理、对顶角相等，平行线性质定理才能使它的作用更大的发挥出来，希望同学们能熟练应用. 举一反三1. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.2. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.3. 如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 相交于G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，求A ∠的度数.融会贯通4. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于1A ，1A CD∠与1A BC ∠的平分线交于2A ，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线交于3A ，3A BC ∠与3A CD ∠的平分线交于4A ，若450A ∠=︒，求A ∠的度数.3 多边形的边和角在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角和公式: (2)180n -⨯︒.多边形的外角和等于360︒.经典例题如图1，在六边形ABCDEF 中，=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠，1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm.求六边形ABCDEF 的周长.解题策略如图2，将BC 、DE 、AF 分别向两边延长交于L 、M 、N 三点.由六边形内角和公式可知=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠(2)1806n =-⨯︒÷120=︒所以=N L M NCD NDC FEM EFM LBA ∠∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠LAB =∠60=︒，所以LMN ∆、ALB ∆、CDN ∆、EFM ∆都是等边三角形；所以LN MN LM ==，AB LB AL ==，EM MF FE ==，CD DN CN ==因为1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm ，所以1AB LB AL ===cm ，3CD DN CN ===cm.因为LN CN BC LB =++，所以3317LN =++=(cm)，所以7LN MN LM === cm.因为EM MN DE DN =--，所以7232ME =--=(cm)，所以2EM MF FE ===cm.因为AF LM LA FM =--，所以7124AF =--=(cm)，因为六边形ABCDEF 的周长AB BC CD DE EF FA =+++++，所以六边形ABCDEF 的周长13322415=+++++=cm.画龙点睛因为每个内角都是120°，所以多边形的每个外角也都相等，且为60°，从而可以通过延长线段构造等边三角形，利用等边三角形的特殊性质解题. 举一反三1. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( ).(A)13 (B)14 (C)15 (D)162. 一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图b)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图a 中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的大小是 度.3. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，从里向外共铺了10层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为0.5m ，则第10层的外边界所围成的多边形的周长是多少?融会贯通4. 在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为2002°，求这个多边形的边数.4 图形面积——等积变换对于三角形的面积有以下两个重要性质:1. 两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积的比;2. 等底(高)的两个三角形面积之比等于它们的高(底)之比.作为以上两个性质的一个特例，等底等高的两个三角形面积相等. 经典例题如图，已知P 为ABC ∆内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边相交于点D 、E 、F .把ABC ∆分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出.求ABC ∆的面积.解题策略设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，由题设404303PBD PCD S BD DC S ∆∆=== 所以8440435303ABD ACD S x S y ∆∆++==++ 化简得34112x y -=- ①又30402351BPC EPC S BP PE S ∆∆+===所以8421ABP APE S x S y ∆∆+== 化简得284x y =- ② 由①、②可得56,70x y == 所以315ABC S ∆=画龙点睛底边相等的两个三角形面积之比等于它们的高之比，高相等的两个三角形面积之比等于它们的底之比，灵活利用这个性质可以帮助我们解决许多问题. 举一反三1. 如图，平行四边形ABCD 中，//EF AC 分别交CD 、AD 于E 、F .连结AE 、BE 、BF 、CF ，问与BCE ∆面积相等的三角形还有几个?分别是哪几个？2. 在ABC ∆中，E 为AC 中点，D 在BC 上，2DC BD =，AD 交BE 于F ，求证::1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 在ABC ∆内任取一点P ，连结AP 、BP 、CP ，并分别延长交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1AF BD CEBF CD AE=.融会贯通4. 设P 是ABC ∆内任一点，AD 、BE 、CF 过点P 且分别交边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1PD PE PFAD BE CF++=.参考答案1 与三角形有关的线段1. 因为,,AE AF EF BD BF DF CE CD DE +>+>+>所以AE AF BD BF CD CE DE EF DF +++++>++ 所以DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在BD 上取一点E ，使得DE CD =，则BD CD BE -=，PD 既是PEC ∆的高，又是中线，则PEC ∆是等腰三角形，所以PE PC =，因为PB PE BE -<，故PB PC BD CD -<-.3. 延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N .在ABM ∆中AB AM BM +>，在CNM ∆中，NM MC NC +> 所以AB AM NM MC BM NC +++>+ 因为AM MC AC +=，BM BN NM =+ 所以AB AC NM BN NM NC ++>++ 所以AB AC BN NC +>+……①在BNC ∆中，BN NC BD DN NE EC +=+++……② 在DNE ∆中，DN NE DE +>……③由②、③得BN NC BD DE EC +>++……④由①、④得AB AC BN NC BD DE EC +>+>++4. 根据两边之和大于第三边，对于OAB ∆、OBC ∆、OAC ∆，有： OA OB AB +>，OA OC AC +>，OB OC BC +> 因此OA OB OA OC OB OC AB AC BC +++++>++所以1()2AB AC BC OA OB OC ++<++ 延长BO 交AC 于D ，则AB AC AB AD DC BD DC BO OD DC BO OC +=++>+=++>+， 即AB AC OB OC +>+同理可得：AB BC OA OC +>+，AC BC OA OB +>+三式相加得：2()2()AB AC BC OA OB OC ++>++ 即AB AC BC OA OB OC ++>++2 与三角形有关的角1. 将CD 延长，交AB 于点F ，AE 于点G ，则AFG B C ∠=∠+∠，AGF D E ∠=∠+∠ 因为180A AFG AGF ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒2. 如图，因为CIH D E ∠=∠+∠，CHI A B ∠=∠+∠，180CHI CIH C ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒3. 延长CD 交AB 于H ，212123CDB DHB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠，224CGB CFB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠因为12∠=∠，34∠=∠，且140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒ 所以1340∠+∠=︒，60A ∠=︒4. 因为ACD A ABC ∠=∠+∠（外角和定理）所以111222ACD ABC A ∠-∠=∠ 即112A A ∠=∠以此类推2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠所以41680A A ∠=∠=︒3 多边形的边和角1. B2. 60°3. 根据题意分析可得:从里向外的第1层是61612⨯+=边形;第2层是62618⨯+= 边形;此后，每层都比前一层多6条边.依此递推，第10层是610666⨯+=边形，因为边 长为0.5m ，所以第10层的外边界所围成的多边形的周长是660.533⨯=(m).4. 设这个多边形的边数为n ，两个内角的和为x ︒.则(2)1802002n x --=解得1802362x n =-因为0360x <<所以01802362360n <-< 解得118113619090n << 所以14n =或15，则多边形的边数是14或15.4 图形面积——等积变换1. BCE CEA S S ∆∆=，ACE AFC S S ∆∆=，AFC ABF S S ∆∆=，，，所以与BCE ∆面积相等的有3个三角形，分别是CEA ∆、AFC ∆、ABF ∆2. 设BDF S a ∆=.连结DE ，取DC 中点G ，连结EG ，由中位线性质可知//EG AD ，所以F 是BE 的中点，于是有BDF EDF S S a ∆∆==，又2GCE DEG BDE S S S a ∆∆∆===， 所以225FDE DEG GCE FDCE S S S S a a a a ∆∆∆=++=++=四边形.因此:1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 因为ACF APF BPF BCFS S AF BF S S ∆∆∆∆== 所以ACF APF ACP BCF BPF BCP S S S AF BF S S S ∆∆∆∆∆∆-==-同理可得APB APC S BD CD S ∆∆=，BCP APB S CE AE S ∆∆= 三式相乘可得1AF BD CE BF CD AE= 4. 设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为a t 、b t 、c t ，BC 、CA 、AB 边上的高分别为a h 、b h 、c h ，因为PDC a PBC ADC a ABCS t S PD AD S h S ∆∆∆∆=== 所以PBC ABCS PD AD S ∆∆= 同理PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PAB ABC S PF CF S ∆∆= 三式相加即得1PD PE PF AD BE CF ++=。
新课标八年级数学竞赛培训第09讲三角形的边与角
2010 年新课标八年级数学比赛培训第09 讲：三角形的边与角一、填空题（共9 小题，每题 4 分，满分 36 分）1．（ 4 分）在△ ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠ B＜∠ C， 4∠ C＝ 7∠ A，则∠ B 的度数为度．2．（ 4 分）已知三角形的三条边长均为整数，此中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有个．3．（4 分）三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥ β≥ γ，α＝2γ，则β的取值范围．4．（ 4 分）已知△ ABC 的周长是12，三边为a、b、c，若 b 是最大边，则 b 的取值范围是．5．（4 分）如图， E 和 D 分别在△ ABC 的边 BA 和 CA 的延伸线上， CF、EF 分别均分∠ ACB和∠ AED，若∠ B＝ 70°，∠ D＝ 40°，则∠ F 的大小是．6．（ 4 分）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．7．（ 4 分）一条线段的长为a，若要使3a﹣ 1，4a+1， 12﹣ a 这三条线段构成一个三角形，则 a 的取值范围是．8．（ 4 分）如图，△ ABC 中，高 BD，CE 订交于点 H，若∠ A＝ 60°，则∠ BHC＝度．9．（ 4 分）如图， DC 均分∠ ADB ， EC 均分∠ AEB，若∠ DAE ＝α，∠ DBE ＝β，则∠ DCE ＝．（用α、β表示）10．（ 5 分）若 a、 b、 c 是三角形的三边，则以下关系式中正确的选项是（）2 2 2﹣2bc＞ 0 2 2 2A ．a ﹣ b ﹣ c B． a ﹣ b ﹣ c ﹣ 2bc＝02 2 2 2 2 2﹣ 2bc≤ 0 C． a ﹣ b ﹣ c ﹣ 2bc＜ 0 D． a ﹣b ﹣ c11．（ 5 分）设 A，B，C 是三角形的三个内角，知足 3A＞5B，3C ＜2B，这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能12．（ 5 分）如图，△ ABC 内有三个点D 、E、 F，分别以 A、 B、C、D 、E、 F 这六个点为极点画三角形，假如每个三角形的极点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的全部内角之和为（）A ．360°B ．900°C． 1260°D． 1440°13．（ 5 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ BAC＝ 30°，∠ C 的均分线与∠ ABC 的外角的均分线交于 E 点，则∠ AEB 是（）A ．50°B ．45°C． 40°D． 35°2 2 2 14．（ 5 分）已知△ ABC 中，∠ B＝ 60°，∠ C＞∠ A，且（∠ C）＝（∠ A） +（∠ B），则△ ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．不可以确立15．（ 5 分）已知不等边三角形中，有一条边长等于另两边长的均匀值，则最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（）A ．B ．C． 1＜ k＜ 2D．16．（ 5 分）已知三角形三边长a， b，c 都是整数，而且a≤ b＜c，若 b＝ 7，那么这样的三角形共有（）个．A ．21B ．28C． 49D． 1417．（ 5 分）假如三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的 2 倍，那么这个三A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形18．（ 5 分）以 1995 的质因数为边长的三角形共有（）A ．4 个B ．7 个C． 13 个D． 60 个三、解答题（共9 小题，满分0 分）19．（ 1）如图， BE 是∠ ABD 的均分线． CF 是∠ ACD 的均分线， BE 与 CF 交于 G，若∠ BDC ＝ 140°，∠ BGC＝ 110°，求∠ A 的大小．（2）在△ ABC 中，∠ A＝50°，高 BE、CF 交于 O，且 O 不与 B、C 重合，求∠ BOC 的度数．20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？21．（ 1）用长度相等的 100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求知足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．（ 2）现有长为150cm 的铁丝，要截成 n（ n＞2）小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果此中随意 3 小段都不可以拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成知足条件的n 段．22．如图，已知∠3＝∠ 1+ ∠ 2，求证：∠ A+∠ B+∠ C+∠ D＝ 180°．23．如图，已知射线ox 与射线 oy 相互垂直， B，A 分别为 ox、oy 上一动点，∠ ABx、∠ BAy 的均分线交于C．问： B、 A 在 ox、 oy 上运动过程中，∠ C 的度数能否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明原因．24．如图，已知D M 均分∠ ADC ，BM 均分∠ ABC，且∠ A＝ 27°，∠ M＝ 33°，求∠ C 的度数．25．不等边△ ABC 的两条高长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．26．将长度为2n（ n 为自然数，且n≥ 4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（ a， b， c）为三边的长分别为a，b， c，且知足a≤b≤ c 的一个三角形．（ 1）就 n＝ 4， 5， 6 的状况，分别写出全部知足题意的（a， b，c）．（ 2）有人依据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（ n 为自然数，且 n≥ 4）时，对应（ a，b，c）的个数必定是n﹣ 3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝ 12 时所有的（ a， b， c），并回答（ a， b， c）的个数．（ 3）试将 n＝ 12 时全部知足题意的（a， b，c），依据起码两种不一样的标准进行分类．27．阅读以下资料并填空．平面上有n 个点（ n≥ 2），且随意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不一样的直线？尝试究以下问题：平面上有n（ n≥ 3）个点，随意三个点不在同向来线上，过随意三点作三角形，一共能作出多少不一样的三角形？（ 1）剖析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当仅有3个点时，可作条直线；当有 4 个点时，可作条直线；当有 5 个点时，可作条直线；（ 2）概括：观察点的个数n 和可作出的直线的条数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成直线的条数2345n（ 3）推理：；（ 4）结论：．2010 年新课标八年级数学比赛培训第09 讲：三角形的边与角参照答案与试题分析一、填空题（共9 小题，每题 4 分，满分 36 分）1．（ 4 分）在△ ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠ B＜∠ C， 4∠ C＝ 7∠ A，则∠ B 的度数为59度．【剖析】设∠ C＝x°，依据题设条件及三角形内角和定理把∠A、∠ B 用 x 的代数式表示，成立对于x 的不等式组，求得x 的整数解，从而求得∠ B 的度数即可．【解答】解：设∠ C 为 x°，∴∠ A＝x，∠ B＝ 180﹣∠ A﹣∠ C＝ 180﹣x，∵∠ A＜∠ B＜∠ C，∴x＜ 180﹣x＜ x，∴70＜x＜ 84，∵ x 为整数，∴x＝ 77，∴∠ A＝ 44，∠ B＝ 59°，故答案为 59．【评论】观察一元一次不等式及不等式组的应用，获得三角形三个内角的代数式是解决本题的打破点．2．（ 4 分）已知三角形的三条边长均为整数，此中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有8个．【剖析】依据三角形随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．【解答】解：∵三角形的三条边长均为整数，此中有一条边长是4，但它不是最短边，列举法：当 4 是最大边时，有（1，4，4），（ 2， 3，4），（ 2，4，4），（ 3， 3，4），（ 3，4，4）．当 4 是中间的边时，有（2， 4， 5），（ 3， 4，5），（ 3，4， 6）．共 8 个，故答案为： 8．【评论】本题观察了三角形三边关系，难度一般，重点是掌握三角形随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边．3．（ 4 分）三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥ β≥γ，α＝2γ，则β的取值范围45° ≤ β≤72° ．【剖析】先依据三角形的内角和定理表示出β，而后依据α≥ β≥γ及α＝ 2γ可确立γ的范围，从而可确立β的范围．【解答】解：∵α+β+γ＝ 180°，α＝ 2γ，∴ β＝180°﹣α﹣γ＝ 180°﹣ 3γ．∵ α≥ β≥ γ，∴ γ≤ 180°﹣ 3γ≤α，∴4γ≤ 180°≤ 5γ，∴36°≤ γ≤ 45°，∴180°﹣ 3× 45°≤ 180°﹣ 3γ≤ 180﹣ 3× 36°∴45°≤ β≤ 72°．故答案为： 45°≤ β≤ 72°．【评论】本题观察三角形的内角和的知识，难度不大，将题目中的条件转变运用是解决本题的重点．4．（4 分）已知△ ABC 的周长是12，三边为 a、b、c，若 b 是最大边，则 b 的取值范围是4 ≤b＜ 6 ．【剖析】依据在三角形中随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边即可求解．三角形的随意两边的和大于第三边，已知三边和周长，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样便可求出第三边长的范围．【解答】解：依题意有b≥ a， b≥ c，又 a+c＞ b，则a+b+c≤ 3b 且 a+b+c＞ 2b，得 2b＜12≤ 3b，得 4≤b＜ 6．故答案为 4≤ b＜6．第 7 页（共 24 页）5．（4 分）如图， E 和 D 分别在△ ABC 的边 BA 和 CA 的延伸线上， CF、EF 分别均分∠ ACB 和∠ AED，若∠ B＝ 70°，∠ D＝ 40°，则∠ F 的大小是 55° ．【剖析】由 CF 、EF 分别均分∠ ACB 和∠ AED，得∠ 3＝∠ 4，∠ 1＝∠ 2，因此有∠ 3+ ∠B＝∠ 2+∠ F；∠ 3+∠ 4+∠ B＝∠ 1+∠ 2+∠ D，即 2∠3+∠ B＝2∠ 2+∠ D，而∠ B＝ 70°，∠D＝ 40°，于是由两个等式即可求出∠ F ．【解答】解：如图，∵ CF、 EF 分别均分∠ ACB 和∠ AED ，∴∠ 3＝∠ 4，∠ 1＝∠ 2，而∠ 3+∠ B＝∠ 2+ ∠ F ；∠3+∠4+ ∠ B＝∠ 1+∠ 2+∠ D，即 2∠ 3+∠ B＝2∠ 2+ ∠D ，又∵∠ B＝ 70°，∠ D＝ 40°，∴∠ 3+70°＝∠ 2+∠ F①，2∠ 3+70°＝ 2∠2+40°②，① × 2﹣②得， 70°＝ 2∠ F﹣ 40°，解得∠ F ＝ 55°．故答案为55°．【评论】本题观察了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．同时观察了角均分线的性质．6．（4 分）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是100°．【剖析】依据三角形的外角和等于360°列方程求三个外角的度数，确立最大的内角的度数即可．依据三角形外角和定理，可知 2k°+3k° +4k°＝ 360°，解得 k＝ 40，因此最小的外角为 2k＝ 80，故最大的内角为180°﹣ 80°＝ 100°．故答案为： 100°．【评论】本题观察的是三角形外角和定理及内角与外角的关系，解答本题的重点是依据题意列出方程求解．7．（ 4 分）一条线段的长为a，若要使3a﹣ 1，4a+1， 12﹣ a 这三条线段构成一个三角形，则 a 的取值范围是．【剖析】依据三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，列不等式组求解．【解答】解：依据三角形的三边关系，得，解，得＜ a＜5．故答案为＜ a＜ 5．【评论】本题观察了三角形的三边关系，能够娴熟解不等式组．8．（ 4 分）如图，△ ABC 中，高 BD，CE 订交于点 H，若∠ A＝ 60°，则∠ BHC＝120 度．【剖析】依据高的性质以及四边形内角和定理的有关知识解答．【解答】解：已知∠ A＝60°，高 BD， CE 订交于点 H，∴∠ EHD ＝ 360°﹣∠ A﹣∠ AEC﹣∠ ADH ＝ 120°，又∵∠ EHD ＝∠ BHC ，∴∠ BHC＝ 120°．【评论】本题重点是利用四边形内角和定理求出∠EHD ．9．（ 4 分）如图， DC 均分∠ ADB ， EC 均分∠ AEB，若∠ DAE ＝α，∠ DBE ＝β，则∠ DCE ＝．（用α、β表示）【剖析】连结 AC 、 AB 并延伸．依据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和进行推导．【解答】解：连结AC、 AB 并延伸．∵∠ DCF ＝∠ ADC+∠ DAC，∠ ECF ＝∠ EAF+∠ AEC，∴∠ DCE＝∠ DAE+∠ ADC+∠ AEC，∵∠ DBG＝∠ ADB +∠ DAB，∠ EBG ＝∠ BAE+∠ AEB，∴∠ ADB+∠ AEB＝∠ DBE ﹣∠ DAE ＝β﹣α，∵DC 均分∠ ADB ，EC 均分∠ AEB，∴∠ ADC+∠ AEC＝（∠ ADB +∠ AEB）＝，∴∠ DCE＝α+＝．故答案为：．【评论】本题主假如观察了三角形的内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二、选择题（共9 小题，每题 5 分，满分 45 分）10．（ 5 分）若 a、 b、 c 是三角形的三边，则以下关系式中正确的选项是（）2 2 2 2 2 2A ．a ﹣ b ﹣ c ﹣2bc＞ 0 B． a ﹣ b ﹣ c ﹣ 2bc＝02 2 2 2 2 2C． a ﹣ b ﹣ c ﹣ 2bc＜ 0 D． a ﹣b ﹣ c ﹣ 2bc≤ 0【剖析】由 a、b、c 是三角形的三边，依据三角形随意两边之和大于第三边可得a＜c+b，【解答】解：∵ a、 b、 c 是三角形的三边，∴a＜ c+b，∴a 2＜（ c+b）2，2 2 2∴ a ＜ b +2bc+c ，即a 2﹣ b2﹣ c2﹣ 2bc＜0，应选： C．【评论】本题观察了因式分解的应用及三角形三边关系，属于基础题，重点是掌握三角形随意两边之和大于第三边．11．（ 5 分）设 A，B，C 是三角形的三个内角，知足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【剖析】由 3A＞ 5B， 3C＜ 2B，获得 3A+2 B＞5B+3C，则 A＞ B+C，不等式两边加A，得到2A＞ A+B+C，在利用三角形的内角和定理得 A＞ 90°，即可判断三角形的形状．【解答】解：∵ 3A＞ 5B， 2B＞ 3C，∴ 3A+2B＞ 5B+3C，即 A＞ B+C，不等式两边加 A，∴ 2A＞ A+B+C，而 A+B+C＝180°，∴ 2A＞ 180°，即 A＞90°，∴这个三角形是钝角三角形．应选： B．【评论】本题观察了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也观察了代数式的变形能力以及三角形的分类．12．（ 5 分）如图，△ ABC 内有三个点D 、E、 F，分别以 A、 B、C、D 、E、 F 这六个点为极点画三角形，假如每个三角形的极点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的全部内角之和为（）A ．360°B ．900°C． 1260°D． 1440°【剖析】先按要求画出全部的三角形，而后用三角形的个数乘以180°，获得答案．【解答】解：如图，∵每个三角形的极点都不在另一个三角形的内部，∴获得 7 个三角形：△CAF，△ AFD ，△ ABD ，△ BDE ，△ BEC，△ CEF，△ EFD ，∴这 7 个三角形的全部内角之和为：7× 180°＝ 1260°．应选： C．【评论】本题观察了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．13．（ 5 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ BAC＝ 30°，∠ C 的均分线与∠ ABC 的外角的均分线交于 E 点，则∠ AEB 是（）A ．50°B ．45°C． 40°D． 35°【剖析】第一求得AE 也是∠ BAC 的外角的均分线，依据平角的定义和角均分线的定义求得∠ EAB，∠ EBA 的度数，最后依据三角形的内角和定理即可求得∠AEB．【解答】解：∵ E 在∠ C 的均分线上，∴E 点到 CB 的距离等于 E 到 AC 的距离，∵ E 在∠ B 的外角的均分线上，∴E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，∴E 点到 AC 的距离等于 E 到 AB 的距离，∴AE 是∠ BAC 的外角的均分线．∵在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ BAC＝ 30°，∴∠ ABC＝ 60°，，∵EB 是∠ ABC 的外角的均分线，∴∠ ABE＝60°，∴∠ AEB＝180°﹣ 60°﹣ 75°＝45°．应选： B．2 2 214．（ 5 分）已知△ ABC 中，∠ B ＝ 60°，∠ C ＞∠ A ，且（∠ C ） ＝（∠ A ） +（∠ B ） ，则 △ ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立【剖析】设∠ C ＝60° +x ，∠ A ＝ 60°﹣ x ，对已知给出的等式进行整理不难求得x 的度数，从而可求得∠ C ，∠ A 的度数，从而不难判断△ABC 的形状．注意：∠ B ×∠ B ＝（∠ B ）2【解答】 解：设∠ C ＝ 60° +x ，∠ A ＝ 60°﹣ x ，2 2 2 ，∵（∠ C ） ＝（∠ A ） +（∠ B ） 222∴（∠ B ） ＝（∠ C ） ﹣（∠ A ） ＝（∠ C+∠A ）（∠ C ﹣∠ A ），∴ 3600°＝ 120°× 2x ，∴ x ＝ 15°，∴∠ C ＝ 75°，∠ A ＝45°，∴△ ABC 的形状是锐角三角形．应选： A ．【评论】 本题主要观察三角形内角和定理，重点是对已知的等式进行整理．注意：∠B×∠ B ＝（∠ B ） 2．15．（ 5 分）已知不等边三角形中，有一条边长等于另两边长的均匀值，则最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ． 1＜ k ＜ 2D ．【剖析】 可设三角形三边 a ＞ b ＞ c ，依据三角形的面积公式可知最大边上的高与最小边上的高的比为 c ： a ＜ 1，再依据已知和三角形三边关系可知c ： a ＞ ，则最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围可求．【解答】 解：设 a ＞ b ＞ ck ＝ ：＝ c ： a∴ c ： a ＜ 1又由于 a+c ＝ 2b ①又∵ a ﹣ c ＜ b ②2a＜ 3b， a＜ bc＞ bc： a＞因此，＜ k＜1．应选： D ．【评论】本题综合观察了三角形的面积公式和三角形三边关系及解不等式，有必定的难度，解题的重点是得出三角形最大边上的高与最小边上的高的比等于最小边与最大边的比．16．（ 5 分）已知三角形三边长a， b，c 都是整数，而且a≤ b＜c，若 b＝ 7，那么这样的三角形共有（）个．A ．21B ．28C． 49D． 14【剖析】依据已知条件第一能够获得 a 的可能值有1，2， 3，4，5，6，7，再依据三角形的三边关系能够获得 c 的值．【解答】解：依据已知，得a的可能值有 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7．依据三角形的三边关系，适当 a＝1 时，则 c 不存在；当 a＝2 时，则 c＝ 8；当 a＝3 时，则 c＝ 8， 9；当 a＝4 时，则 c＝ 8， 9，10；当 a＝5 时，则 c＝ 8， 9，10， 11；当 a＝6 时，则 c＝ 8， 9，10， 11， 12；当 a＝7 时，则 c＝ 8， 9，10， 11， 12，13．则这样的三角形有 21 个．应选： A．【评论】本题主要观察了三角形的三边关系，解题重点是由 a 的可能值逐渐推理剖析．17．（ 5 分）假如三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的 2 倍，那么这个三角形必定是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形【剖析】令∠ ACO＝∠ A+∠ B＞ 2（∠ A+∠ ACB），再由三角形的内角和定理即可得出答案．【解答】解：由题意得：∠ACO＝∠ A+∠B＞ 2（∠ A+∠ ACB），∴∠ B＞∠ A+2∠ ACB＝180°﹣∠ B+∠ ACB，∴2∠B＞ 180° +∠ ACB，∴∠ B＞ 90°+ ∠ ACB，即可得出三角形必定为钝角三角形．应选： B．【评论】本题观察三角形的内角和定理，难度不大，注意画出图形，联合题意解答．18．（ 5 分）以 1995 的质因数为边长的三角形共有（）A ．4 个B ．7 个C． 13 个D． 60 个【剖析】 1995 ＝3× 5× 7×19，为做到计数的正确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应知足的关系限制．【解答】解： 1995＝ 3× 5× 7× 19 等边三角形共4 种，底和腰不等的等腰三角形为（3，3，5），（5，5，3），（ 5，5，7），（ 7，7，3），（7，7，5），（19，19， 3），（ 19， 19，5），（ 19， 19， 7）共 8种，不等边三角形为（ 3， 5，7），共 1 种，总合有 13 种，应选： C．【评论】本题观察了质因数分解以及三角形三边关系问题，解题的重点是将三角形按边分类，注意三角形三边应知足的关系限制．三、解答题（共9 小题，满分0 分）19．（ 1）如图， BE 是∠ ABD 的均分线． CF 是∠ ACD 的均分线， BE 与 CF 交于 G，若∠ BDC ＝ 140°，∠ BGC＝ 110°，求∠ A 的大小．（2）在△ ABC 中，∠ A＝50°，高 BE、CF 交于 O，且 O 不与 B、C 重合，求∠ BOC 的度数．【剖析】（ 1）连结 AD 、 AG 并延伸．依据三角形的内角和定理的推论进行计算；（2）由 O 不与 B、C 重合知，∠B、∠ C 均非直角，这样，△ ABC 既可能是锐角三角形，又可能是钝角三角形，应分两种状况议论．【解答】解：（ 1）连结 AD、AG 并延伸．∵∠ BGM ＝∠ ABG+∠ BAG，∠ CGM ＝∠ CAG+∠ACG ，∴∠ BGC＝∠ BAC+∠ ABE+∠ ACF．∵∠ BDN＝∠ ABD+∠ DAB，∠ CDN ＝∠ ACD+∠ DAC ，∴∠ ABD+∠ ACD＝∠ BDC﹣∠ BAC．∵BE 是∠ ABD 的均分线． CF 是∠ ACD 的均分线，∴∠ ABE+∠ ACF ＝（∠ ABD+∠ ACD ），∴∠ BAC＝∠ BGC﹣（∠ ABD +∠ACD）＝∠ BGC﹣（∠ BDC﹣∠ BAC），即∠ BAC＝2∠ BGC﹣∠ BDC＝ 80°．（ 2）当点O 在三角形的内部时，则∠BOC＝∠ EOF ＝ 360°﹣∠ A﹣∠ AFO ﹣∠ AEO ＝130°；当点 O 在三角形的外面时，则∠BOC＝ 90°﹣（ 90°﹣ 50°）＝ 50°．故∠ BOC＝ 130°或 50°．【评论】本题主假如三角形内角和定理的运用．注意：三角形的高的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外面．20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【剖析】不如设三角形三边为 a、 b、 c，且 a＜ b＜ c，由三角形三边关系定理及题设条件可确立 c 的取值范围，以此作为解题的打破口．【解答】解：设三角形三边为a、 b、 c，且 a＜ b＜ c．∵a+b+c＝ 30， a+b＞ c∴10＜c＜ 15∵ c 为整数∴c 为 11，12， 13，14∵ ①当 c 为 14 时，有 5 个三角形，分别是： 14，13， 3；14， 12，4； 14， 11， 5； 14，10， 6； 14， 9，7；②当 c 为 13 时，有 4 个三角形，分别是：13， 12， 5； 13，11，6； 13， 10， 7； 13， 9，8；③当 c 为 12 时，有 2 个三角形，分别是：12，11，7； 12，10， 8；④当 c 为 11 时，有 1 个三角形，分别是：11， 10， 9；∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12 个．【评论】本题主要观察学生对三角形三边关系：两边之和大于第三边的理解及运用．21．（ 1）用长度相等的 100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求知足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．（ 2）现有长为150cm 的铁丝，要截成 n（ n＞2）小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果此中随意 3 小段都不可以拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成知足条件的n 段．【剖析】（ 1）设三角形各边需用火柴杆数量分别为x、 y、 3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，成立含等式、不等式的混淆组，这是解本例的打破口．（2）因 n 段之和为定值 150cm，故欲 n 尽可能的大，一定每段的长度尽可能小，这样依题意可结构一个数列．【解答】解：（ 1）设三角形各边需用火柴杆数量分别为x、 y、 3x，依题意有，由方程可得≤ x＜．因 x 为正整数，故x＝ 15 或 16．因此知足条件的三角形有15， 40，45 或 16， 36， 48 两组；（2）这些小段的长度只可能是1，1， 2， 3， 5， 8，13， 21， 34， 55， 89但 1+1+2+ +34+55 ＝ 143＜150．1+1+2+ +34+55+89 ＝ 232＞ 150．故 n 的最大值为10，共有以下7 种形式：（ 1，1，2，3，5， 8， 13， 21， 34， 62）（1， 1， 2， 3，5， 8， 13， 21， 35， 61）（ 1， 1， 2，3， 5， 8，13，21，36， 60）（ 1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（ 1，1，2，3，5，8， 13，21，35，60）（ 1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（ 1，1， 2，3，5，8，13，21， 36，58）．【评论】本题综合观察了三角形三边关系和解含等式、不等式的混淆组，有必定的难度．第（ 2）题解题重点是获得加入之数等于已得数组中最大的两数之和．22．如图，已知∠3＝∠ 1+ ∠ 2，求证：∠ A+∠ B+∠ C+∠ D＝ 180°．【剖析】过 G 作 GH∥ EB，依据已知条件即可得出BE∥ CF ，再由两直线平行，同旁内角互补即可证明．【解答】证明：过G 作 GH∥ EB，∵∠ 3＝∠ 1+∠ 2＝∠ EGK +∠ FGK ，∴∠ 1＝∠ EGK，∴∠ 2＝∠ FGK ，∴ GH ∥CF ，∴ BE∥ CF ，∵∠ A+∠ B＝∠ BMD ，∠ C+∠ D＝∠ ANC，∴∠ A+∠ B+∠ C+∠D＝∠ BMD +∠ ANC，∵ BE∥ CF ，∴∠ BMD +∠ANC ＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠ A+∠ B+∠ C+∠D＝∠ BMD +∠ ANC＝180°．【评论】本题观察了平行线的性质与判断及三角形的外角性质，难度一般，重点是奇妙作出协助线．23．如图，已知射线ox 与射线 oy 相互垂直， B，A 分别为 ox、oy 上一动点，∠ ABx、∠ BAy 的均分线交于 C．问： B、 A 在 ox、 oy 上运动过程中，∠ C 的度数能否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明原因．【剖析】依据三角形的内角和定理、角均分线定义和三角形的外角的性质能够获得∠ C ＝ 90°﹣∠ O．【解答】解：∠ C 的度数不会改变．∵∠ ABN、∠ BAM 的均分线交于C，∴∠ C＝ 180°﹣（∠ 1+∠ 2）＝ 180°﹣（∠ ABN+∠BAM）＝ 180°﹣（∠ O+∠ OAB+∠BAM）＝ 90°﹣∠ O＝45°．【评论】本题要能够依据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及角均分线定义获得∠ C 和∠ O 之间的关系：∠C＝ 90°﹣∠ O．24．如图，已知DM 均分∠ ADC ，BM 均分∠ ABC，且∠ A＝ 27°，∠ M＝ 33°，求∠ C 的度数．【剖析】设 BC 与 MD 的交点为E，由 DM 均分∠ ADC ， BM 均分∠ ABC，得∠ CDQ ＝ 2 ∠ 1，∠ ABQ＝ 2∠ 2，利用三角形的内角和定理可得，∠C+2∠ 1＝∠ A+2∠ 2①，∠ C+∠1＝∠ M+∠2②，则∠ C＝ 2∠ M﹣∠ A，而∠ A＝ 27°，∠ M＝ 33°，即可求出∠C．【解答】解：设 BC 与 MD 的交点为 E，如图，∵DM 均分∠ ADC ， BM 均分∠ ABC，∴∠ CDQ ＝ 2∠1，∠ ABQ＝ 2∠ 2，在△ CDQ 和△ ABQ 中，∠ CQD ＝∠ AQB，∴∠ C+2∠ 1＝∠ A+2∠ 2，①在△ CDE 和△ MBE 中，∠ CED ＝∠ MEB，∴∠ C+∠ 1＝∠ M+∠ 2，②用② × 2﹣①得，∠ C＝ 2∠M﹣∠ A，而∠ A＝ 27°，∠ M＝ 33°，∴∠ C＝ 2× 33°﹣ 27°＝ 39°．故答案为： 39°．第 20 页（共 24 页）【评论】本题观察了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也观察了角均分线的性质．25．不等边△ ABC 的两条高长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【剖析】先设长度为4、 12 的高分别是a， b 边上的，边 c 上的高为h，△ ABC 的面积是S，依据三角形面积公式，可求a＝，b＝，c＝，联合三角形三边的不等关系，可得对于h 的不等式，解即可．【解答】解：设长度为4、 12 的高分别是a，b 边上的，边 c 上的高为h，△ ABC 的面积是 S，那么a＝，b＝，c＝，又∵ a﹣ b＜ c＜ a+b，∴﹣＜c＜+，即＜＜S，解得 3＜ h＜ 6，∴h＝4 或 h＝ 5，当 h＝4 时，有 a＝ c＝，不合题意，舍去．故h＝5．【评论】本题观察了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式．求出整数值后，要看能否切合题意．26．将长度为2n（ n 为自然数，且n≥ 4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（ a， b， c）为三边的长分别为a，b， c，且知足a≤b≤ c 的一个三角形．（ 1）就 n＝ 4， 5， 6 的状况，分别写出全部知足题意的（a， b，c）．（ 2）有人依据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（ n 为自然数，且 n≥ 4）时，对应（ a，b，c）的个数必定是n﹣ 3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝ 12 时所有的（ a， b， c），并回答（ a， b， c）的个数．（3）试将 n＝ 12 时全部知足题意的（ a， b，c），依据起码两种不一样的标准进行分类．【剖析】（ 1）依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，可直接写出切合条件的三角形．（2）列举出全部切合条件的三角形，即可解答．（3）三角形的分类标准有 2 种，一种是按角来分，一种是按边来分，据此解答即可．【解答】解：（ 1）当 n＝4 时，有（ 2， 3， 3）；当 n＝5 时，有（ 2， 4， 4），（ 3， 3， 4）；当 n＝6 时，有（ 2， 5， 5），（ 3， 4， 5），（ 4， 4， 4）．（2）当 n＝ 12 时， a+b+c＝ 24，且 a+b＞ c，a≤ b≤ c，得 8≤c≤ 11，即 c＝ 8，9，10，11，故可得（ a， b，c）共 12 组：A（ 2，11，11），B（ 3， 10，11）， C（ 4，9，11），D（ 5，8，11），E（ 6，7，11），F（ 4，10， 10），G（ 5，9，10），H（ 6， 8， 10），I（ 7，7，10）， J（6， 9，9），K（ 7， 8，9）， L（ 8，8，8）．（ 3）按边分类：①等腰三角形： A， F，I ，J，L ；② 不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K ．按角分类：①锐角三角形： A，F ，G，J，K，L ；② 直角三角形： H；③ 钝角三角形： B，C，D ， E， I．【评论】本题观察了三角形的三边关系，判断可否构成三角形的简易方法是看较小的两个数的和能否大于第三个数，难度适中．27．阅读以下资料并填空．平面上有n 个点（ n≥ 2），且随意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不一样的直线？尝试究以下问题：平面上有n（ n≥ 3）个点，随意三个点不在同向来线上，过随意三点作三角形，一共能作出多少不一样的三角形？（ 1）剖析：当仅有两个点时，可连成 1 条直线；当仅有 3 个点时，可作3条直线；当有 4 个点时，可作6条直线；当有 5 个点时，可作10条直线；（ 2）概括：观察点的个数n 和可作出的直线的条数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成直线的条数2345n（ 3）推理：平面上有n 个点，两点确立一条直线．经过第一个点有n﹣ 1 条直线，过第二个点 B 有（ n﹣ 1）条直线，因此一共可连成n（ n﹣ 1）条直线，但 AB 与 BA 是同一条直线，故应除以2，即 Sn＝；（ 4）结论：Sn＝．【剖析】（ 1）依据两点确立一条直线，即可作出判断；（2）依据（ 1）的结论，即可填表；（3）（4）依据前边的结论，即可获得直线的条数与点的个数之间的关系．【解答】解：（ 1）剖析：当仅有两个点时，可连成 1 条直线；当有 3 个点时，可连成 3．条直线；当有 4 个点时，可连成 6 条直线；当有 5 个点时，可连成1O 条直线；（ 2）概括：观察点的个数n 和可连成直线的条数Sn，发现：点的个数可连成直线的条数21＝33＝46＝510＝n（ 3）推理：平面上有n 个点，两点确立一条直线．经过第一个点有n﹣1 条直线，过第二个点 B 有（ n﹣ 1）条直线，因此一共可连成n（ n﹣ 1）条直线，但 AB 与 BA 是同一条直线，故应除以2，即 Sn＝；（ 4）结论： Sn＝．【评论】本题主要观察了两点确立一条直线，依据定理确立（1）（2）是解题的基础，观察直线的条数与点的个数之间的关系是解决本题的重点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题14 多边形的边与角
阅读与思考
主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外
角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．
多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解
多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．
多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角
和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常
用技巧．
例题与求解
【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数
分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出
(3)2mm
，(3)2nn条对角线，由此得m，
n
方程组．
【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．
【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，
进而求出n的值．
【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为
7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）
解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、
特殊四边形加以解决．
【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又
向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？
解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．
能力训练
A级
1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
（重庆市竞赛试题）
2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，
则四边形ABCD的面积为＿＿＿．
A
B
C
D
E
F
G
H
20
20
20
M
A
B
C
D
E
F
G
第1题 ABCD第2题
3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
4．如图，ABCD是凸四边形，则x的取值范围是＿＿＿．.
5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是
（ ）
A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
6．—个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）
（全国初中联赛试题）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角．
A．5个 B．5个或3个
C．5个或3个或4个 D．4个
8．—个凸n边形，除一个内角外，其余1n个内角的和为2400°，则n的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．不能确定
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和
DC的长．
10．—个凸n边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
A
B
C
D
E
F
G
第3题 ABCD247x第4题 第7题
A
B
C
D
11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，
△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．
（江苏省竞赛试题）
12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，
这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：
（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方
案画成草图．
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
（安徽省中考试题）
B级
1．一个正m边形恰好被正n边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m＝4，n＝8的情况），若
m
＝10，则n＝＿＿＿＿．
2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，
则BC＋DE＝＿＿＿＿．
（北京市竞赛试题）
3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它
们的和等于＿＿＿．若延长凸n边形（n≥5）的各边相交，则得到的n个角的和等于＿＿＿＿．
第1题 ABCDEF第2题 1A1B2A2B3B4B5B3A4A5A第3题
（第十二届“希望杯”邀请赛试题）
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝42，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．不能确定
（重庆市竞赛试题）
5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠
DCO的大小是（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150°
6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ）
A．12 B．12或13 C．14 D．14或15
（江苏省竞赛试题）
7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边
形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．
（全国通讯赛试题）
8．一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n＋76块
这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n的值．
（上海市竞赛试题）
AB
C
D
第4题 OABCD第5题
9．设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外
作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过
程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作
A4，求A4的周长．
（全国初中数学联赛试题）
10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图
案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠
（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的
内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
n
正多边形每个内角的度数
60° 90°
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不
同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图
形．说明你的理由．
（陕西省中考试题）
1
A
2A3
A