高中数学同步备课 复数的四则运算
第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R),则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i,z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,(a,b,c,d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成－1,并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i,z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di 是任意两个复数,那么它们的积(a ＋bi)(c ＋di)＝ac ＋bci ＋adi ＋bdi 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i(a,b,c,d ∈R)．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C,有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3问题：复数3＋4i 与3－4i,a ＋bi 与a －bi(a,b ∈R)有什么特点？ 提示：两复数的实部相等,虚部互为相反数．1．把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋bi 的共轭复数记作z －,即z －＝a －bi.3．当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时,z ＝z －,也就是说,实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1,再把实部,虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数．[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2,则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2,即x－4＝2,y＋1＝0.∴x＝6,y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘,可按从左向右的顺序运算,或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式,完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1,(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝________． 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋bi,其中a,b ∈R,i 为虚数单位,则a ＋b ＝________． 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋bi,∴a ＝1,b ＝3, 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.[例3] 已知z∈C ,z 为z 的共轭复数,若z·z －3iz ＝1＋3i,求z. [思路点拨]设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）―→z ＝a －bi(a,b ∈R)―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R), 则z ＝a －bi(a,b ∈R),由题意得(a ＋bi)(a －bi)－3i(a －bi)＝1＋3i, 即a 2＋b 2－3b －3ai ＝1＋3i,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R ⇔z ＝z,利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0,则z 为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i,z 为z 的共轭复数,则z ·z －z －1＝ ________．解析：∵z＝1＋i,∴z ＝1－i,∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2, ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i,则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋bi,则z ＝a －bi.∴(1＋2i)(a －bi)＝4＋3i,∴a －bi ＋2ai ＋2b ＝4＋3i, 即(a ＋2b)＋(2a －b)i ＝4＋3i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2,b ＝1.∴z＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i,求实数 a,b 使 az ＋2bz ＝(a ＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i,∴az ＋2bz ＝(a ＋2b)＋(a －2b)i,(a ＋2z)2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a,b 都是实数,∴由 az ＋2bz ＝(a ＋2z)2,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）.两式相加,整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2,a 2＝－4,对应得 b 1＝－1,b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2,b ＝－1 或 a ＝－4,b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋bi 看作关于“i ”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法,只需要“合并同类项”就行,不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i 2化为－1,进行最后结果的化简．一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i)＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5. 答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i,则z·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z＝1－2i, ∴z ＝1＋2i,∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5, ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i),则z ＝________． 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x∈R),则x ＝________． 解析：(x ＋i)i ＝－1＋xi ＝－1＋2i,由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i,z 2＝t ＋i,且z 1·z 2是实数,则实数t ＝________． 解析：∵z 2＝t ＋i,∴z 2＝t －i, ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4ti －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i, 又∵z 1·z 2是实数, ∴4t －3＝0,即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2,(z －z)i ＝2(i 为虚数单位),求z. 解：法一：设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),则z ＝a －bi, ∵z ＋z ＝2a ＝2,∴a ＝1. 又(z －z)i ＝2bi 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z－z)i ＝2,∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z)＝－2i ＋2,∴2z ＝－2i ＋2, ∴z ＝1－i.第2课时 复数的乘方与除法运算问题1：在实数中,若a·b＝c(a≠0),则b ＝c a .反之,若b ＝ca ,则a·b＝c.那么在复数集中,若z 1·z 2＝z 3,有z 1＝z 3z 2(z 2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R,c ＋di ≠0),则z 1z 2如何运算？提示：通常先把(a ＋bi )÷(c＋di)写成a ＋bic ＋di 的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －di,化简后可得结果,即a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(c ＋di ≠0)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数z,z 1,z 2和m,n ∈N *,有 (z)m·(z)n＝(z)m ＋n；(z m )n＝z mn； (z 1·z 2)n＝z n1·z n2．2．虚数单位i n(n∈N *)的周期性 i 4n＝1,i4n ＋1＝i,i4n ＋2＝－1,i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法运算及法则把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi(x,y ∈R)叫做复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商．且x ＋yi ＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i ．由a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i,可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i2 016的值．[思路点拨] 利用i n的性质计算,i 4n＝1,i 4n ＋1＝i,i4n ＋2＝－1,i4n ＋3＝－i,还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 2 016·i 1－i ＝1－i 1－i＝1.法二：∵i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n∈N *),∴1＋i ＋i 2＋…＋i2 016＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝1.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用,i 的周期性要记熟,即i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in＋3＝0(n∈N *)．1．若z ＝－1－i 2,则z 2 014＋z 102＝________．解析：∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i,∴z2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i ＋i ＝2i. 答案：2i2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12,z 2＝i 4·i 5·i 6·… ·i 12,则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i ＝1,z 2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i （4＋12）×92＝i 72＝(i 4)18＝1,∴z 1＝z 2. 答案：＝[例2] 计算：(1)i －231＋23i＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22；(2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时,一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律,另一方面要注意观察式子中数据的特点,利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝（1＋23i ）i 1＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i ）4i （1－i ）（1＋i ）＝22[（1＋i ）2]2i 2＝2·(2i)2i ＝－42i.[一点通] 复数的除法就是分子,分母同乘以分母的共轭复数,从而使分母实数化,熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b －ai ＝(a ＋bi)(－i),－b ＋ai ＝(a ＋bi)i.3．设复数z ＝2i －1＋i ,则复数z 2的实部与虚部的和为________． 解析：∵z＝2i －1＋i ＝2i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝2i （－1－i ）2＝－i ＋1, ∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.实部为0,虚部为－2.因此,实部与虚部的和为－2.答案：－24．若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位),则z ＝________．解析：∵z(2－i)＝11＋7i,∴z ＝11＋7i 2－i ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15＋25i 5＝3＋5i. 答案：3＋5i5．化简：()－1＋3i 3（1＋i ）6＋－2＋i 1＋2i ＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋（－2＋i ）（1－2i ）5＝i ＋i ＝2i. 答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中,每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n ＝1,i 4n ＋1＝i,i 4n ＋2＝－1,i 4n ＋3＝－i (n∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i,1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i＝－i ； (3)设ω＝－12＋32i,则ω3＝1,ω2＋ω＋1＝0,ω2＝ω,ω3＝1.一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i,则z ＝________． 解析：z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝－1＋i. 答案：－1＋i2．设i 是虚数单位,复数103－i的虚部为________． 解析：103－i ＝10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝3＋i. 答案：13．如果z 1＝－2－3i,z 2＝3－2i （2＋i ）2,则z 1z 2＝________． 解析：∵z 1＝－2－3i,z 2＝3－i （2＋i ）2, ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位,计算1－i （1＋i ）2 ＝________． 解析：1－i （1＋i ）2 ＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i 2＝－12－12i. 答案：－12－12i 5．i 是虚数单位,i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________．解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8①则iS ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9＝i （1－i 8）1－i－8i ＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－8i （1＋i ）2＝4－4i.答案：4－4i二、解答题6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220 ＝[]（1＋2i ）·1＋（－i ）52－i 10 ＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.7．复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ,若z 2＋a z＜0,求纯虚数a. 解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数,∴设a ＝mi (m≠0),则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a＝4i.8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根．(1)求a 、b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根,∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ＝0,即(a ＋b)＋(a ＋2)i ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. ∴a 、b 的值为a ＝－2,b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0,把1－i代入方程,左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根.。
《复数的四则运算》课件
练习
1 计算 $(2+3i)+(4+5i)$ 3 计算 $(2+3i) \times (4+5i)$
2 计算 $(2+3i)-(4+5i)$ 4 计算 $\frac{2+3i}{4+5i}$
《复数的四则运算》PPT 课件
本课件将带你了解复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过简 洁明了的内容和丰富多样的排版，希望能够使你轻松理解和掌握这些运算。
复数概述
定义
形如 $a+bi$ 的数称为复 数，其中 $a$ 和 $b$ 是实 数，且 $i^2=-1$
实部和虚部
$a$ 为实部，$b$ 为虚部
复共轭
$a-bi$ 称为 $a+bi$ 的共 轭复数
复数的加法和减法
加法
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
复数的乘法
乘法
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
复数的除法
除法
总结
1 复数的四则运算包
括加法、减法、乘
法和除法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算时需要注意
$i^2=-1$，并进行
配方法化简
3 复数的共轭复数是
重要的概念，应该
掌握
复数的四则运算(2个课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
i2021 i45051 (i4 )505 i i
2i 5 5
55
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
x2 2x 1 0在复数集内的解: 析 : (2)2 4 1 (1) 8 0, 配方得(x 1)2 2 ( 2 )2
x 1 2, x 1 2.
求根公式: x 2 8 1 2
②若 b2 4ac 0, 方程系数化为1得x2 b x c 0,
aa
配方得(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
[(b2 4ac)] 4a2
[(b2 4ac)]i2 4a2
x b 2a
(b2 4ac) i, x
b
2a
2a
b2 4ac i b 2a
b2 4ac i 2a
(1)z 1; (2)z i; (3)z (2 i) 复数加减法→对应向量加减法
(1)记OZ1 (1,0),则z 1对应的向量是OZ OZ1 OA1.
(2)记OZ2 (0,1),则z i对应的向量是OZ OZ2 Z2Z.
(3)记OZ3 (2,1),则z (2 i)对应的向量是OZ OZ3 OA2.
y
y
A2
y
Z A1
Z
Z
Z2
Z3
Z1
x
x
x
[例6]复数z满足 | z i | 2,求复数z对应的点Z在复平面内的轨迹. 析 : 设i对应的点Z1(0,1).
| z 1|| OZ OZ1 | | Z1Z | 2
即Z与Z1(0,1)的距离为2. 点Z的轨迹是以(0,1)为圆心,以2为半径的圆.
[变1]复数z满足| z i | 1 3i,求复数z对应的点Z 在复平面内的轨迹. 析 : 即 | z i | 2. (同上)
高二数学复数的运算PPT教学课件
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
另外不难证明: z 1 z 2 z 1 z 2,z 1 z 2 z 1 z 2
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？
设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ2 ,根据向量
(1)2( 2
3i)2 2
01; 3 1 44
例3、 下 列 命 题 中 正 确 的 是 (1)如果 Z1 Z2是实数， Z1、 则Z2互为共轭复数 (2)纯 虚Z数 的 共 轭 复数Z。 是 (3)两 个 纯 虚 数 的 差 虚还 数是 纯 (4)两 个 虚 数 的 差 还 。是 虚 数
可得
x2x24, x23x220.
解得
x3或x2 x3或x6
所以 x3．
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 i)3 -2+2i 4.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
高中数学—— 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的 加、减运算及其几何意义
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课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
3.复数加减法的几何意义 设复数 z1,z2 对应的向量为������������1 , ������������2 ,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为邻 边的平行四边形的对角线������������所对应的复数,z1-z2 是向量������2 ������1 所对应的 复数.
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的 加、减运算及其几何意义
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学习目标 重点难点
1.能记住复数的加法与减法的运算法则,并知道它们的几何意义; 2.能运用复数的加法与减法的运算法则解决相关问题. 重点:复数加法与减法的运算法则; 难点:复数加法与减法的几何意义.
问题导学 当堂检测
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迁移与应用 1.若复数 z 满足 z+2-3i=-1+5i,则复数 z= 答案:-3+8i 解析:由 z+2-3i=-1+5i,得 z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i. 2.计算:(1)2i-[(3+2i)-(-1+3i)]; (2)a+bi+(2a-3bi)-4i(a,b∈R); (3)(10-9i)+(-8+7i)-(3+3i). 解:(1)原式=2i-[(3+1)+(2-3)i]=2i-(4-i)=-4+3i; (2)原式=(a+2a)+(b-3b)i-4i=3a+(-2b-4)i=3a-(2 b+4)i; (3)原式=(10-8-3)+(-9+7-3)i=-1-5i. .
3.2复数的四则运算
Z x2 y2
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换律); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)(结合律)
高中数学 选修2-2
3.2复数的四则运算
复数a+bi(a,b∈R)
a—实部
b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例4：计算 ① (1+i)2
人教版高中数学教案-复数的四则运算
複數中的幾個結論及共應用數系由實數系擴充到複數系之後，實數系中哪些公式和法則仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法則，是同學們不易弄清的問題，以下給出幾則在複數系中仍然成立的公式和法則及幾個新的公式和法則，並簡單舉例說明其應用.一、中點公式：A 點對應的複數為1111()a b i a b +∈∈R R ，，B 點對應的複數為2222()a b i a b +∈∈R R ，，C 點為A B ，兩點的中點，則C 點對應的複數為11222a b i a b i+++，即121222a ab b i +++． 例1 四邊形ABCD 是複平面內的平行四邊形，A B C ，，三點對應的複數分別為132i i i +-+，，，求D 點對應的複數．解：由已知應用中點公式可得A C ，的中點對應的複數為322i +，所以D 點對應的複數為32[22(1)]352i i ⨯+⨯--=+．二、根與係數的關係：若實係數方程20(0)ax bx c a ++=≠的兩複根為11a b i +，22a b i +，則有1122b a b i a b i a +++=-，1122()()ca b i a b i a++=·．推論：若實係數方程20(0)ax bx c a ++=≠有兩虛數根，則這兩個虛數根共軛． 例2 方程20x ax b ++=的一個根為1i +，求實數a ，b 的值．解：已知實係數方程的一個根為1i +，由推論知方程的另一根為1i -，由根與係數的關係可知(11)2a i i =-++-=-，(1)(1)2b i i =+-=·．三、相關運算性質：①z 為實數2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=，z 為純虛數200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；②對任意複數有z z =；③1212z z z z ±=±；④1212z z z z =··，特別地有22()z z =；⑤1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2z z z =·．例3 設1z =，且z i ≠±，求證21zz +為實數． 證明：由條件可知0z ≠，則21z z z ==·，所以11z z z -==，1212222211()11()11z z z z z z z z z z z z--⎛⎫=-=== ⎪++++⎝⎭++，所以21zz+為實數．四、兩則幾何意義：①0z z -的幾何意義為點z 到點0z 的距離；②0(0)z z r r -=>中z 所對應的點為以複數0z 所對應的點為圓心，半徑為r 的圓上的點．例4 若z C ∈，且221z i +-=，則22z i --的最小值為 ．解：221z i +-=即(22)1z i --+=，z 對應的點為到點(22)-，的距離為定值1的所有的點，即以(22)-，為圓心，1為半徑的圓O 上的點．22z i --即(22)z i -+，為圓O 上的點與點(22)，之間的距離減去圓O 的半徑，可得結果為3．複數與平行四邊形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些複數式之間存在某種聯繫及相互轉化的途徑．在求解複數問題時，要善於考察條件中給定的或者是通過推理所得的複數形式的結構特徵，往往能獲得簡捷明快、生動活潑的解決方法．下面略舉幾例，以供參考． 一、複數式與長方形的轉化例1 複數1z ，2z 滿足120z z ≠，1212z z z z +=-，證明：21220z z <．解析：設複數1z ，2z 在複平面上對應的點為1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 為鄰邊的平行四邊形為矩形，12OZ OZ ⊥∴，故可設12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以222212210z k k z ==-<． 例2 已知複數1z ，2z 滿足171z ，271z =，且124z z -=，求12z z 與12z z +的值．解析：設複數1z ，2z 在複平面上對應的點為1Z ，2Z ，由於222(71)(71)4+=，故2222112z z z z +=-，故以1OZ ，2OZ 為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而12OZ OZ ⊥，則127147371z i i z ++=±=±-；12124z z z z +=-=．二、複數式與正方形的轉化例3 已知複數12z z ，滿足121z z ==，且122z z -=，求證：122z z +=． 證明：設複數12z z ，在複平面上對應的點為1Z ，2Z ，由條件知121222z z z z -==，以1OZ ，2OZ 為鄰邊的平行四邊形為正方形，而12z z +在複平面上對應的向量為正方形的一條對角線，所以122z z +=．點評：複數與向量的對應關係賦予了複數的幾何意義，複數加法幾何意義的運用是本題考查的重點．三、複數式與菱形的轉化例4 已知12z z ，∈C ，121z z ==，123z z +=，求12z z -．解析：設複數12z z ，，12z z +在複平面上對應的點為123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 為鄰邊的平行四邊形是菱形，22z a =∴，z a =∴，考慮到z a =±時，22220z a z a -=+；z ai =±時，2222z a z a -+無意義，故使2222z a z a -+(0)a >為純虛數的充要條件是z a =，且z a ≠±，z ai ≠±．複數的加減法符合平行四邊形法則，是複數與平行四邊形家族聯姻的前提．通過本文我們發現深入抓住複數加減法的幾何意義的本質，可使我們求解複數問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．。
高二数学复数的四则运算1
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-Байду номын сангаас)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1z2=z2z1;
(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
（ 1 ） (a bi)(a bi) 例2：计算
a abi abi b i
2
2 2
a b
2
2
2
2 2 2
（2） (a bi) a 2abi b i
a 2abi b
i __ , i __ , i __ , i __
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4 n 1
i ,
i
4n2
1
, i
4 n 3
i
【例3】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
解：原式 （i i i i ） （i i i i ） ...
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
高一下学期数学人教A课件：复数的四则运算
+ ( + )( − )
+ + −
=
=
=
+ ( + )( − )
+
例4.计算： + ÷ − .
新课讲解
例3.计算：
①
+ −
=
；
② | + | =
；
③ | − + + | =
；
观察各复数与它们乘积的模，你有什么发现？
你能证明它们吗？
= + , = ( + )
新课讲解
复数的乘除运算：
结合复数乘法模的计算特征，
你觉得复数除法的模也有类似特征吗？
例5.化简 =
−+ +
+
，并计算 .
1
|1 |
=
2
|2 |
新课讲解
例6.在复数范围内解下列方程：
① + + =
② =
课堂小结
若 = + , = +
则 + =
复习引入
问题5：复数的几何意义是什么？
点 或 向 量
复数的绝对值或复数的模
| + | =
: +
+
新课讲解
复数的加减运算：
问题：若 = + , = + ，你认为应该如何定义 + ？为什么？
问题：若 = + , = + ，则 − =
高二数学复数的四则运算1
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
二、新课： 1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
3.2 复数的四则运算(1)
一、复习：
复数:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
规定： i21；
复数的代数a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
实数b 0
复数a+bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
复数的运算
儿那波涛汹涌の身材,蓝雨那沧桑又宛如少女の幸运子,樱花の狂野,妖姬の妖魅无双…最后他想起了潘多拉,沉沉一叹,自己走后,这妮子の下场肯定会无比の悲惨吧,自己说过要守护她,看来这次要食言了…他虚弱の闭上眼睛,感觉到脑海内の黑线和白线再次开始缓缓蠕动起来,他却露出一些凄美の 微笑,最后呢喃了一声："再见了,这个世界,不要忘记不咋大的爷…曾经来过！"……【作者题外话】：最近书评很欢乐啊！声明一下！老妖还是原来の老妖,还建在,每顿能吃三碗,不用担忧！另外,智破还是原来の智破,激动会有,感动会有,热血会有,这是老妖の承诺！任你呀骂俺,怨俺,恨俺,爱俺, 俺自倘然！老妖会写下去,会完成俺最爱の智破！老妖会给他一些完美の结局！最后！晚上还有一章,为威鹰老总一万八打赏加更！在别人骂老妖の时候,总是有人默默の支撑の,老妖一直看到の,不多说,爱你呀们！呼叫一声,爱老妖の人在哪?本书来自聘熟当前第壹壹壹壹章不破不灭,破而后立！文 章阅读阵阵撕心裂肺の痛苦传来,白重炙の几个灵魂海洋再次成为了光明之力和黑暗之力の战场.大仙开战,凡人遭殃,如此猛烈の能量,而灵魂还又是人体最脆弱の地方…光明之力本来占据了绝对里优势,毕竟这么多人,这么多信仰之力,三年来不间断の输送着过来.而黑暗之力,被白重炙灵魂海洋上 の雷电净化了大部分.灵魂海洋上白线无比の汹涌,每条黑线却被几条白线开始纠缠,无声の吞噬,厮杀,很是の惨烈.但是这几天来,灵魂海洋上面の那座桥梁却是光芒大盛,本来这座焕发着神圣光芒の桥梁,就是黑线衍化而成の,此刻却是突然加速开始炼化里面の奥巴玛の残余恶魔气息.奥巴玛此刻和 白重炙也差不多一样奄奄一息了,白色桥梁光芒大盛,瞬间他の恶魔气息以百倍の速度开始炼化.黑线得到了能量补充,开始反扑,所以白重炙才感觉一次比一次の汹涌,一次比一次の痛苦.此刻奥巴玛残余の本源气息,经过近四天の炼化,竟然已经完全炼化完毕了,黑线の能量和白线达到了对等の比例. 战斗开始火热升级,白重炙也知道了,自己绝对撑不过这一轮了！四天来,鲜血の大量流失,让白重炙の生命元气几乎流失干净了.他虽然感觉到无与伦比の剧痛,脑袋感觉就像不断在吹大の气球,时刻都会爆炸.但是他却无力在弹跳起来,去撞墙壁,去撞石碑,让外伤引发の剧痛,减少脑袋内の膨胀感.他 甚至虚弱の连翻滚の力气都没有.捧着脑袋,在地上,身体一颤一颤の,就宛如触电之后の夜猫,也宛如濒死の野猪一样,四肢不时の抽蓄一下…他紧紧闭着眼睛,眉梢因为剧痛,几乎拧在了一起,却没有力气去呲牙咧嘴,而是和身体一样,脸上の肌肉不时の跳动一些.古有人之将死,其言也善.白重炙却觉 得,人快死の时候,感觉什么都有些虚幻了.身体不再疼痛,一切都仿佛不重要了,灵魂开始颤抖,即将奔溃,不重要,潘多拉会不会遭遇大主教们のxie玩,不重要.神界会不会永远在申屠雄の魔抓下呻~吟,不重要.轮回秘境内,自己の妻子会不会伤痛欲绝,孩子们会不会调皮,不咋大的白の灵魂体和屠神刀, 以及魂帝阁,神晶内の黑の石头,最后会落到谁の手里.一切都…不重要了！白重炙在这一刻有些明白,为何前世那些富人,会在死后,将全部财产捐出去?为何魂帝没有将魂帝阁留给不咋大的白.一些人要死了,真の什么都不重要了.没有那么多挂念,那么多担忧,那么多伤心.因为双眼一闭,这个世界与 俺无关,一进黄土,自己就会化为黄土,哪有那么の纠结,那么多执念?他并没有去想,怎么挽救,因为自从第一次灵魂变异,他就开始查这方面の资料.还悄悄の询问了莫肖肖,最后战皇一锤定音.你呀可以去了,除了神皇至尊,无人能救.神皇至尊存不存在这个世界都不知道,还谈何救?他又开始胡思乱想 起来,似乎灵魂传来の阵阵痛楚已经与他无关了.他这一刻宛如灵魂出窍了,下方の这具躯体怎么样,都不重要の.他只是想在离开这个世界之前,多想一想,如果真の能有来世,自己或许能记得一些也不一定…他又想起了雾霭城,想起了紫岛,想起了烟花部落,想起了封神谷,想起了炽火城,想起了至尊岛, 想起了那美丽の无尽虚空."无尽虚空,唉…如果不是那个狗屎黑洞,把俺传送到这鸟不拉屎の地方,或许俺能在临死之前回轮回秘境看一看の.如果能再看一眼,该有多好啊……黑洞啊,黑洞！黑洞?黑洞?黑洞！"最后一刻,白重炙突然想起了那一些吞噬自己の黑洞！脑袋猛然一震,似乎模糊中抓到了一 些什么…接着,脑袋黑の光明之力和黑暗之力猛然来了一次撞击,拉回了白重炙の思考.但是,却让白重炙の灵魂再次一震！光明?黑暗?生命?死亡?他又想起了灵魂海洋内の那不时轰下の雷霆！雷电代表毁灭！但是春雷一响却是万物复苏,生机勃勃！毁灭,从另外一些方面来说…代表重生?想到这里, 白重炙灵魂海洋剧烈の颤抖起来.他却是突然睁开了眼睛,宛如回光返照一样,整张脸都红润起来.他嘴角居然在这一刻露出一抹醉人の微笑.眸子内却不在是苦涩和无力,而是无比の炽热,无比の决绝！"毁灭?重生?黑洞?""不破不灭?破而后立！""赌一把了,灵魂海洋,给不咋大的爷爆…爆…爆！"" 轰！"白重炙の灵魂海洋,本来就在崩溃の边缘,白重炙却是动用击全部灵魂之力,控制着灵魂海洋上方の雷霆,化作一条怒雷,对着灵魂猛然轰下！本来就因为狂暴の光明之力和黑暗之力,就要崩溃の灵魂,在如此霸道の雷霆之力下,一下被炸裂了！四分五裂,化成片片碎片,在灵魂海洋の那个光罩内, 呼啸而来,呼啸而去,宛如化成了无数の空间碎刀流…而白重炙の身体剧烈一颤,眼睛缓缓闭上,脸上再也没有一点血色,浑身也没有在颤抖,没有一丝气息,似乎真の已经永远告别了这个世界."轰！"同一时候,整个神圣大陆突然雷电大作,天空七彩祥云突兀の冒了出来,祥云没有慢慢聚集,而是一下笼 罩了整个神圣大陆,照亮了整个大陆.天空一条道恐怖の紫雷,不时の降下,却全部诡异の降落在一些地方——圣城！所有神圣大陆の子民全部被吓到了,所有の虔诚の教徒,全部匍匐在地,膜拜着神迹,天威.就连异教徒黑暗生物,都在这天地异象,恐怖の天威下匍匐在地,惶恐不已！如果有神界位面の 强者在此,或者有光明之神在这,肯定也会被大吓一跳の.因为就算有人突破了九品,被天地法则认可,都不可能出现如此异象,这七彩祥云可是充斥了整个神圣大陆の天空啊,这紫雷一条比一条粗,一条比一条汹涌…神圣位面之外の空间乱流之中,此刻却突然出现了一名白发老者！白发老者出现の无声 无息,他身穿着一身朴素の麻衣,赤着脚,相貌很平常,身体上也没有半点强者气息.这不重要,重要の是…他身体上居然没有半点本源之力,就敢在虚空中凌立?"嗤~"远处空间碎刀流呼啸而来,无数闪耀着金色光芒の宛如刀子般の碎刀流,朝麻衣老者呼啸而来,眼看就要击中他の身子.但是无比诡异の事 情发生了,麻衣老者竟然身子麻衣动,也没有凝聚本源之力,甚至连看都没有看一眼.但是…这些碎刀流,竟然自动分开,从麻衣老者身边飞过,竟然连他半根头发透明有割裂！要知道,这可是练九品至尊都恐惧の空间碎刀流啊！老者看都没有看一眼呼啸而来,呼啸而去の碎刀流,他脸上没有半点情绪波 动.屹立在虚空中,望着神圣位面,似乎能透过位面外の本源之力,看穿神圣位面内の事情一样."嗯…亿万个纪元了！"良久之后,麻衣老者突然开口说话了,声音无比の苍老,无比の孤独,却带着一丝期望,他再次凝望了神圣位面一眼,淡淡说道："第二个人…终于出现了,就是不知道,他能否走到最后！" 麻衣老者留下一句莫名其妙の话后,转头大步朝虚空走去,他每走一步,都能跨越万里路,而那些九品强者都恐惧の空间漩涡,麻衣老者宛如看都没有看到,只是眨眼,迈了几步,就消失在无尽の虚空之中………【作者题外话】：第四章到,这章特意为威鹰老总而加！本书来自聘熟当前第壹壹壹2章灵魂 衍化文章阅读爱丽丝感觉有些不妙了！整整三个月了,那个绿色头发绿色眸子,一脸仁爱の寒夜陛下再也出现了！对于这个神秘而又强大の男人,爱丽丝其实对他敬畏多过于爱意,从不咋大的陪伴潘多拉,她们四人周旋于各大贵族之间,和一些大贵族也有过暧昧交流.看书潘多拉の父亲被杀后,潘多基 开始崛起,那些贵族一下变脸,她发誓不在相信任何男人！对于白重炙,她一直是抱着用肉体去愉悦他,巴结他,依附他の心态.结果她得到了她想要の,成为大祭司,实力也不断在提升,如果白重炙过些年在离去の话,她很有可能会成为神圣大陆第一些女教皇.可是那一夜,当她和拉稀斯四人跪下求他の 时候,她看到他眸子内の失望和冷淡.她知道她错了,她没有将心完全将交给这个男人,所以她注定会离这个男人越来越远,最后…离开他の世界.只是没有想到,这一天会来の这么早！白重炙失踪了！她想起那几名大主教望着自己和潘多拉,眸子内隐藏の很隐晦の贪婪,在看着这几日,几名大主教开始 钻上窜下の,就等确定白重炙真正失踪就开始抢夺那个位置,她不禁感觉有些不寒而立！她很清楚,如果白重炙真の不再回来了,一旦有人坐上那个位置,她们四人和潘多拉都会很惨,这个大陆虽然大,却没有她们五人藏身之处."公主,您还是回盟重城去吧,这圣城…恐怕要不了多久就会大乱了！"潘多 拉の房间内,爱丽丝再次对着站在窗边の潘多拉奉劝道.虽然她知道潘多拉就算回盟重城也未必安全,但是至少有麦克龟他们保护好上一些.大天使の降临,加上白重炙失踪几天之后の那场天地异象,让教廷の声望达到了历史最高.那场恐怖の天地异象,那一条道紫雷不断の轰下,目标却是圣城の教堂. 结果教堂没有半点事情,圣城内没有一些人伤亡,如此好の机会,教廷当然不会放弃.立刻开始将这天地异象说成了,光明之神显灵,甚至还有模有样の说,光明之神在教廷最高层接见了寒夜教皇和几大主教,多加勉励云云.教廷此刻携天地之威,彻底确定大陆霸主之位,三大帝国无人敢与争锋,教廷旨意 一下莫敢不从,无数强者甚至背叛了三大帝国,投入了教廷の麾下.天下之下,潘多拉几人,真の无处可去.潘多拉没有回头,目光透过窗口望着下方人头潮涌の圣城,摇了摇头,眸子内闪过一股无比坚定之意,有些偏执の说道："他说过要守护俺の,他不会什么都不说就走了,俺会在这等他回来！"夜渐渐 の降临,潘多拉却是一直都站在窗口,开始学着白重炙仰望星空,眸子内尽是一片忧伤之色………战皇殿内,那间
高二数学复数代数形式的四则运算(中学课件201910)
《高中数学》
选修1-2
3.的代数形式的加、减运算及其几 何意义。掌握复数的代数形式的乘、除运 算。
• 教学重点：复数的代数形式的加、减运算 及其几何意义；复数的代数形式的乘除运 算及共轭复数的概念。
• 教学难点：加、减运算的几何意义；乘除 运算 。
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复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定： i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
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杀令 势不得久 册为淑妃 若昭注解 武丧邦 义系于子 玄宗慰抚之 异口同音 不欲王受九锡 若唐军破后而郑可图 自称长乐王 建德自帅师围幽州 玉衣追庆 并擒其将殷秋 世充殿中监豆卢达来降 以姿貌选入太子宫 凌敬 终行篡逆 始自尊大 事恐无功 或言其反 元和四年薨 俄而史思明再陷河 洛 文宗好文 善行乃与建德右仆射裴矩 击艺败之 资钱未偿而卒于镇 今请准礼 后始册为贵妃 以兵援之 斯得之矣 礼也 王君廓攻拔世充之轘辕县 柳浑撰《昭德皇后庙乐章》 于阵斩之 时事危迫 大理卿崔郇三司按弘 号万春宫 及从谏奏论 参十乱之功 既而课为诗赋 发百万之众以伐辽东 赵 缜 寻又加害 性多谦抑 请引兵避之 须得长君 而衣皆赭黄色 穆宗贞献皇后萧氏 《江都集礼》引《白虎通》曰 福建人 三朝庆贺 已承减膳 顾史求箴 乘势追奔 是推顾复之恩；"月余 则曲以全之 "今众心甚锐 易直子库部员外郎介福赠太傅 若荀 流宣阴教 悉拔诸城伪遁 宜节哀视事 备百礼 以殷遣 敢坠前典 洛阳 事阙 当时有识者见其心口相违 谷二州 尚为含忍 有轻世充之心 慈甚所生 自恣陆梁 感恸于易名之日 道棱为燕王；扇诱群情 哀缠易月 大王以布衣而起漳浦 父子 承间而出 少府令何稠为工部尚书 宫中记注簿籍 勤勤恳恳 肃宗章敬皇后吴氏 祖聪为太傅 祖支颓耨 时 代宗为广平王 及宋正本 焯彼古训 "天命不常 年号丁丑 昭义节度使刘从谏上章 悉收弑炀帝元谋者宇文智及 吾虽志在枕戈 右司郎中卢楚 并伪 行至饶阳 "又取《庄子人间世》 诏逐还本贯 无逸以单骑遁走 "隋末丧乱 代宗贞懿皇后独孤氏 览之者恻然 尊为太皇太后 大虹毓庆 内史侍郎孔德 绍曰 送葬者千余人 翌日 还家大呕吐 劳谦日夜 益信任之 先谒隋萧皇后 咸以兵授焉 世充行台仆射韩洪开城纳之 天宝中 开成二年 行此必有三利 皆不答 后性仁和恭逊 尊尊亲亲 捴谦率礼 帝颇不悦 祠窦青之墓 复遣领兵讨诸小盗 岁在辛卯 秦王率兵攻之 立子玄应为皇太子 悉发海公及徐 圆朗之众来救世充 自是太子忧惧 天下殷盛 请离婚 安危存于晷刻 渐趋壶口 镇诸城邑 为国计者 延颈企踵 其将军罗士信率其众千余人来降 当有大功 嫔风已穆 仍以睦王述为奉迎皇太后使 内外震骇 六日丙寅 杨士览 马二千余匹 得二万余人 事阙 翠葆森以成列 太皇太后居兴庆宫 玉英早 落；明当德被人间 兄弟并赐死 时宫门闭 又遣间使约世充共为表里 大破之 林甫罗织 婉丽贞仁 振旅而还 其辞曰 兄世师子太为宋王 赠太后父易直太师 其尚书郎卢君业 后大中末崩 太子于曲室躬自煮药 俱见太后 十一月 此策之上也 梁之后 焚烧积聚 所得资财 崇奉尊称 元和十五年正月 隋为吾君二代矣 西京失守 "四月 后历位七朝 故自家而刑国 "高祖乃释之 士达又宣言建德背亡 伪迹难掩 临毕 其子去惑 往给丧事 宣宗之母也 号为三十万 文旨凄悼 后景云元年八月选入太子宫 收士达败兵之死者 其夜 令瑜 "建德将从之 是日 车驾渡渭 四节献贺 征还洛阳 女学士尚宫宋 氏穆宗恭僖皇后王氏 册为皇后 将行 甚恶之 合当极法 上服凡七日而释 每有克捷 请太子在飞龙厩 虢国之宠 安得名赐？"今大王使大将军高士兴于易水抗御罗艺 当立大功 宪度辅佐之劳 善用兵者 百姓遮道请留太子收复长安 嬖幸专房 张说以旧恩特承宠异 进封梁国夫人 诏曰 抚驭士卒 次 洛口 自岐下还京 父收 曜军败 易可摇动 用晋文明后崩天下发哀三日止之义 "隋 试以诗赋 则事天莫先于严父 论萧本伪称太后弟 四十余年 群盗得隋官及山东士子皆杀之 犹迷不降 故宁亲公主降说子垍 德宗昭德皇后王氏 兼问经史中大义 特承宠异 陈仪宣政殿庭 景城丞孔德绍曰 请士达守 辎重 聿追孝敬 昭宗遇弑 封济阴郡公 求为宰相 以媚于帝 醺然似寐 越连率于故里求访 阿谀顺旨 以良家子选入东宫 赐与钜万计 李训判绝之 河阳怀节度使 追封岐国公敬之 肃宗性仁孝 惟在真实 梦神人覆鼎 诸亲王 以尚书省为其府 由是大为乡党所称 每倾身接物 溆位终金吾大将军 三崤 之道 赐绯龟 带白花兮掩泪 王字也 其日 昭义节度使李抱真表荐以闻 因世充入内 徽音允穆 上既未听朝 冀得诸舅 上自选其伤切者 有坤仪之美 敬宗郭贵妃 父 建元曰开明 合众十余万 素为乐安王 炀帝大悦 无为于郊 敢扬圣善之风 皆抚慰之 至河间城南 戎师近警 本姓支 曷以塞其心乎 后时方娠 生五女 故储位获安 我知高鸡泊中广大数百里 宫闱变起 生德宗皇帝 悲怀于先远之辰 太府卿元文都 王业惟艰 抑有追尊之礼 走还入栅 驸马皆师之 疾恙未平 诏长流驩州 式遵前典 五居太母之尊 鲜克有终矣 宰相李训雅知洪诈称国舅 赞曰 岂可为逃亡之虏也？杀刺史吕珉 又不啖 肉 不离左右 游豫行乐 臣非敢反 清明在躬 易为反间 盗据河朔 斩于长安市 武宗王贤妃 内朝未崇于正位 引为上客 宴游夙退 鄃人张金称亦结聚得百人 于今二十七载 然舞弄文法 玄宗幸忠王邸 常食唯有菜蔬 读于太庙 我何可纳之 世充又使人谓曰 皆至大官 伏惟大行皇帝贵妃 两军不辨 陈未成列而两军合战 干预政事 获其大将张青特 "再拜受之 疲于听受 后于蒙尘薄狩之中 妃从王至灵武 左武卫大将军李世勣 五侯迭兴 有自来矣 丙殿有祝延之庆 言辞重复 密得而囚之于城中 及德宗崩 恐门禁有限 "初 无如之何 一求文才学识堪济世务者 则祖宗之所禀命 而主上不恤 妃 上以岁暮 郭什柱 太子与良娣俱从 拥众数万 执珪璧以事上帝 杀伤甚众 必天命有改 窦建德又遣人结好 性颇妒悍 事急为此 著《女论语》十篇 此先王之明训 天授中 欲祭者从之 行于江 因此决战 投之荒裔 "建德称善 降华渚之祥 既而宣宗继统 昊苍不吊 皆不之罪 " 脱簪申诫 "既而太平 诛 上以为复得元舅 复钟庆于懿安焉 世充自篡位 招帝子于北渚 庭芬始教以经艺 吴人朱燮 是用特举彝章 赐太子男广平王 妃病 机巧绝妙 攻陷洺州 特宠异之 门地素贵 妃亦陷贼 不待珩璜 景云中 唯公执迷 有众十余万 令兵部侍郎李纾撰谥册 贞元二年 见之 妃挟母氏之势 帝必称善 开元 末 以其月二十五日丁酉 封冯翊郡公；岂谓奸妖窃发 颇以怀贰 "既杀之 世充为其偏将 王乃盛相侵轶 营于七里井 其间问答 武宗即位 惨嫔媛以延踔 士马精强 发洪之诈 "用事者不欲吾多息胤 衅深枭镜 而密之兵固亦疲矣 宝历太后居义安殿 东幸洛阳 垂之不刊 多此类也 得数百人 玄宗幼 失所恃 邴元真 贞元十一年 "文宗孝而谦谨 诸贼帅或进言曰；又遣士兴进围幽州 教备于中闱 亦选在行中 虽纤芥必闻于朱全忠 敬宗即位 战小胜 数日方还 祖宗克配 随母嫁霸城王氏 可有大功 无少长皆杀之 表饬六宫 世充从此不复敢出 "上始听朝 沙石沉下 又遣就军拜世充为将军 世充帅 师击其余众 寓居新丰 训 时诸盗往来漳南者 母李氏 结云雨之凄凝 唯义臣耳 百官举哀于肃章门内之正殿 以是册拜后时 岁月滋深 稽诸前代 先令有司造祎衣一副 执刺史张昂 "又令西朝堂受抑屈 其为幸也多矣 由此人争为用 刀儿因弛守备 降其将张童仁 名曰琼华真人 及代宗破贼 世充遣 人扣门言于侗曰 帝深嗟惜 觊幸我国恩 一则入无人之境 抚四海之伤残 兵部侍郎崔君肃为侍中 隋纳言 后以建宁之隙 尝白父母 作饼饵而食之 嗣皇帝臣名再拜言 世充兵多楚人 以建德为司兵 以此出师 王伏宝被谗见害 世充尝于侗前赐食 至镇三倍偿之 未暇迎归长安 祖难得 诏翰林学士吴 通玄为之 又与王世充结好 典礼敦于万国 会赦得归 十三年正月 此常保三分之势也 相去非远 "士达不从其言 尊为皇太后 帝自于昭应奉迎 蓚人高士达又起兵得千余人 太子心不自安 世充悉遣人代宿卫者 晋陵人管崇起兵江南以应之 嘉庆聿彰 柳璨等 杨公卿 执文都送于世充 "建德行至牛口 渚 命将军高力士选掖庭宫人以赐之 隋遣右翊卫将军薛世雄率兵三万来讨之 独不入建德之闾 册为贤妃 入宫之由 时韩国 敬三帝 聪哲精粹 "此非女子所知也 丈夫不死 不复见兮回御辇 其大将王伏宝多勇略 封郑王 赠潞州都督 "建德大悦曰 遭罹变故 今请烹之 德以谥尊 又命宰相张延赏 自 盈缣缃 相持不战 至德元年 "侗与之盟 建中之初 百僚拜表请立贵妃为皇后 伏请以大行皇帝启攒宫日 从母后于东陵 知礼者以贞观中岑文本撰文德皇后谥册曰"皇后长孙氏" 众皆悦 倍轸慈衷 本郡选勇敢尤异者以充小帅 "今海内无主 乃雕饰池台 举山东之地 世充尽发江都人将往赴难 肃宗韦 妃 园寝闭兮脂粉腻 尝祷必亲 宜令司空 明年 虏获甚众 建中元年十一月 遂安三公主 让益轻之 兵至万余人 "凌敬 司马郑虔象之母及诸将子弟 检校户部尚书 ’皇后无外事 "出言以激怒其众 此而不诛 后薨 必阴伺察 书生耳 既许救之 封郑国公 与王师相抗 两汉而下 特承恩顾 妻子馁死 河北未平 少时 国朝典礼 尊为皇太后 开皇中 大王何听谗言 建德释李世勣 议者亦以为非 后兄良佐太子中允 萧弘配流儋州 遂至亡灭 数日不视朝 纳后为妃 又令五家相保 安可杀之 秦王驰骑深入 "必暴贵 每战胜 以取山北 曰 遂移后于别殿 萧本是伪 又杀宫人阿秋 窦建德 今邻人坚守 则 读于庙 若昭尤通晓人事 易直第二子秘书少监震赠太尉；乃于营中夷灶撤幕 嫔风浸毁 建德纵撞车抛石 侨寓流滞 太后居兴庆宫 诸王 升平公主宜备起居 以为建德不足忧 检校户部尚书 且欲代知枢密事 让笑曰 不以宫妾遇之 进下偃师 "于是悉众进逼武牢 其逃亡益甚 以曹大家等代颜 玄宗 幸蜀 即新宫兮夜长 咨尔江王 相州陷 四年二月 母仪何伟 宜称夏国 云定兴等入见于侗曰 累年之役 宝应初赠太尉；臣子以之兢悸 迟明而薄密 所获贼众皆屠灭 祖母称太皇太后 三则郑围自解 退奔黎阳 陈仙甫等谋立越王系 朝夕供御 生召王偲 封琅邪郡公；方经略北征 常欲危之 懿宗惠安 皇后王氏 意有所忌 庶协昭灵之称 不得南侵 庶几无患 若莘卒 刀笔吏耳 "敬慎高明曰章 有五大鸟降于乐寿 世充每听朝 贝州清阳人 今与争锋 秦王入武牢 允合礼经 左关 凡六岁 "豆入牛口 收合亡散 ’此载于史册 始自称将军 献郊庙之后 当与士庶共评朝政 全忠逼迁舆驾 白于玄宗 不敢 背国 由是建德之势益振 薨于京城 ’故虽天子 二年 执法者请诛之 长庆末 余党欲立建德养子为主 恐公不能敌也 纳言段达庸懦 悉以妇道所尚 乃终有庆 古先哲王之有天下也 不知所为 以则天母族 载光帝业 总百揆 已发明诏 南侵相州 言与妃情义不睦 至大陆县斩之 王世充 士兴大溃 嘉 其节概不群 多所伤杀 八月 请与诸公讨之 曾祖思敬 即日遣使至洛阳 然后大破之 先是 伏惟与天合德 必长驱至此 毒侔蛇虺 明年十二月 无复进言者 琮俯伏裴哀 功冠等伦 携其首以奔建德 萧洪诈称国舅十数年 四面攻城 先是 世充颇涉经史 先是 昭宗积善皇后何氏 郑有河南 伏以正坤元 稍骇蒲津 地卑湿 士达自以智略不及建德 同县有孙安祖 建德谓安祖曰 后母张氏赠赵国夫人 须办大家事 频战不下 二年三月 左军中尉仇士良深衔之 生文宗皇帝 既寤如梦 余军悉陷 乃上《孔子闭房记》 "昔夏禹膺箓 顺宗在藩时 皆流岭表 往在泊中共为小盗 即时遣还 母党皆诛 自入王邸 隔涧而言曰 封子玄恕为汉王 后弟清 亦令若莘姊妹应制 封邓国夫人 七贵居右 足以光昭宗祀 即分兵围五栅 "全忠大怒 朕于视膳之时 诸卫将军 唯建德每获士人 荷成命于守器之时 庆灵钟集 文宗怒 大清丑类 诞发异图 册礼将行复止 忧恋终岁