拉格朗日中值定理1

一拉格朗日中值定理1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。

拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。

在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。

拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。

发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。

著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。

最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。

下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.2.定理意义拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值。

其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数在两点、之间不存在垂直于x轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点，这一点的切线平行于直线AB。

在运动学中所具有的意义是，在任意的一个曲线运动过程中至少存在着一个时间点的速度等于这个曲线运动的平均速度。

二拉格朗日中值定理的应用在前人对微分中值定理的研究当中，统计经历了几百年的时间，由费马提出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。

在微积分当中，拉格朗日中值定理是一个非常重要的基础知识。

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

拉格朗日中值定理在属于微积分当中的微分中值定理中有着承前启后的作用，在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。

在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。

这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。

本文着重讲解的是拉格朗日中值定理各种的应用。

1.求极限例1. 求解。

分析：我们先将此式子的分子加上一个，然后再减去一个。

如，此时，容易看出应该构建的函数的形式，令，，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点μ，ξ在x和a之间，当时，有μ，ξ得ξξμμ例 2. 存在函数′′是连续的并且有′′,满足下列式子′μ①，求x→0 时μ的极限。

解：运用拉格朗日中值定理可以由式子①可以计算出函数′在闭区间[b,b+x]或者[b+x,b]的拉格朗日中值定理的形式′μ,继上式可以推得′μ′μ′′μμμ。

将这个结果带入式子①可以计算得出′′μ′′μ②运用泰勒展开公式把函数展开得以得到′′′μ③由式子②③可以综合计算得到，μ′′μμ′′μ然后求极限，所以μ′′μμ′′μμ′′′′。

例3：求出函数极限∞。

解：首先，我们先建立一个辅助函数，然后再求解。

令，此函数在闭区间[x,x+1]上面明显是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，因此存在一点ξ在此闭区间上面。

根据拉格朗日中值定理可以得出，ξξ因为点ξ是在闭区间[x,x+1]内的一点，所以，可以得到ξ那么在∞时，ξ∞，则∞，∞∞，通过夹逼定理就可以知道∞ξ所以，根据上面的计算，原函数∞ξξ∞ξ∞ξπ。

在运用拉格朗日中值定理求解极限的过程中，最主要的步骤就是找到函数和其定义域的取值范围此时假设为闭区间[a,b]，这个时候的拉格朗日中值定理公式就可以列为′ξ，这个式子的左边是这个函数在这个闭区间上面两个端点值的差与闭区间长度的比值。

因此公式在变成这种形式之后，就可以得出相应的函数与区间。

当极限形式为的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题。

在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题。

在面对一些题目时，这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数，去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这一函数与原函数紧密联系起来，再将构建的函数转化为原函数，从而运用拉格朗日中值定理去解决问题。

当遇到典型的极限形式为∞型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解。

但是在计算过程中会发现，如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，因此我们可以观察给出的式子中，然后构建出拉格朗日中值定理的基本形式，运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。

2证明等式例 4.假设函数在区间（-1,1）有意义，证明：。

证明：令，求得这个函数的导数′′′′我们可以根据题意求得′，因此，′根据常数的导数为0，可以得出，因此证明了原式成立。

例5：假设函数在闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上面是可导函数，证明：π。

证明：由于该函数闭区间上面是连续的，并且在开区间(0,1)上是可导函数，那么在该去间内存在着一点b，使得′又′，′因此，′′，得到′，则是一个常数函数。

在零点有，π所以，π。

根据拉格朗日中值定理可以推导出一个结论，如下所示。

假设函数在一个固定区间内可导，设这个可导区间为A，则在点x处于区间A中，就存在着的导函数等于，那么就证明在区间A中是一个常数。

利用拉格朗日中值定理去证明等式这是该定理十分重要的一项运用，在证明等式的过程中，用题目中给出的证明等式的式子去构建出类似于拉格朗日中值定理形式的式子。

在证明恒等式时，可以先假设这个恒等式两边的式子相减为0，构建出一个新的函数，然后根据常熟的导数为0来证明这个恒等式成立。

2.证明不等式例6.证明：，。

证明：先假设，在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理可以得到ξξ又因为ξ是存在于闭区间[0,x]内的，所以ξ。

ξ那么，。

例7.证明.证明：令，由题意可知，则函数在这个区域内是连续并且可导的函数，根据拉格朗日中值定理运算可以得到′ξ,则，可以得到ξ由于，则ξ所以就可以得到。

在求解不等式的时候，把异于其他式子的函数用拉格朗日中值定理表示出来，推算出相似的式子进行比较，然后证明原式的大小。

求解不等式的基本思想是，在拉格朗日中值定理中的公式形式为，存在一点ξ在开区间内，不管点ξ在该区间的哪一点，都可以根据拉格朗日中值定理计算出′的值域的取值范围，还可以利用导数′的两端点值，运用拉格朗日中值定理得出的′ξ就可以得到所需的不等式，此时′θ此时，，然后根据题意适当调节数值的大小，得到适当的式子就能证明不等式。

4.判断级数敛散性例8：证明函数∞发散。

证明：令，这个函数在区间（n,n+1）这个区域内满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此在这个区间之内至少存在着一点ξ，使得′ξξ因为点ξ在这个区间之内，因此ξ可以推导出，，，，…，，将上述所有的不等式相加可以得到。

∞∞∞因此，函数∞发散。

∞发散。

例9：证明函数（）证明：因为函数在闭区间[1,∞]上满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此闭区间[n,n+1]上存在着一点ξ使得，ξ又上一个例题已经证明了级数是发散的，所以此函数也是发散的。

5.研究函数在区间上的性质例10.证明：若存在一个函数在区间（a,b）（该区间是无穷或有穷区间）内存在这一个有界的导函数′，那么这个函数在在区间(a,b)是一致连续的。

证明：假设在时，存在′，那么存在着属于区间(a,b)的两点m、n，在这两点之间运用拉格朗日中值定理存在着′ξ那么，′，存在一点α，使βα，由于m、n这两点在区间(a,b)内，则有β，运用拉格朗日中值定理可以得到′ξα根据一致连续定理可以知道，函数在在区间(a,b)是一致连续的。

例11：函数，即′。

当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。

在，有′，。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。

当一个函数在某个确定的区间内，存在着′，在这个确定的区间内单调递增；′，函数在这个区间内是单调递减的。

在′时，那么这一点就是这个函数的极值点。

在例1中，当1<x<3，′，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。

拉格朗日中值定理将导数和函数运算连接在了一起，因此我们可以借用拉格朗日中值定理的导数形式去了解在函数在区间上面的性质。

函数在区间上面的性质包括了函数的单调性、连续性等。

例10是拉格朗日中值定理对连续性的证明，例11是利用拉格朗日中值定理对区间单调性的证明。

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间内连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。

6.估值问题在解决估值问题的时候，我们通常采用的泰勒公式来解决。

但是在有些特殊的情况下，可以采用拉格朗日中值定理更加简便。

例12.假设导函数′在闭区间[m,n]上是连续函数，并且。

证明：′。

证明：若函数是恒等于0的，那么这个不等式显然是正确的。

那么接下来考虑函数不恒等于的情况。

在区间[m,n]上存在着一点c，使得，然后，将闭区间[m,n]分为两个闭区间[m,c]、[c,n]，运用拉格朗日中值定理得到，′α、′β，那么′′αβ′αβ′β′α然后再把式子带入上面的式子，就可以证明′。

7.证明方程根的存在性例13.函数在闭区间内可导，并且此函数的值域在开区间(0,1)内，在开区间（0,1），不存在函数等于-1的情况，证明：方程在开区间(0,1)内存在唯一的实根。