武大水力学习题第2章水静力学
流体静力学习题-第2章 水静力学讲解
题目
如图所示，利用三组串联的U型水银测压计测量 高压水管中的压强，测压计顶端盛水。当M点压强等 于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上。当 最末一组测压计右支水银面在0-0平面以上的读数为h 时，求M点的压强？
解题步骤
解：
当点压强等于大气压强
水
时，各支水银面均位于 0 M
解：
已知断面1上作用着大气压， 因此可以从点1开始，通过 ， 等压面，并应用流体静力学 基本方程式，逐点推算，最 后便可求得A点压强。
， 因2-2、3-3、4-4为等压面，根据静压强公式可得
p2 H g(1 2 )
p3 p2 g(3 2 )
p4 p3 H g(3 4 ) p A p5 p4 g(5 4 )
题目
如图所示，盛同一种液体的两容器，用两根U形差 压计连接。上部差压计内盛密度为ρA 的液体，液面
高差为hA ；下部差压计内盛密度为ρB 的液体，液面 高差为hB 。求容器内液体的密度ρ。 （用ρA 、ρB 、 hA 、 hB 表示）。
A
hA
ρ
ρ
hB
B
解题步骤
解： 由图可知１－１、２－２ 为等压面，
299.3kPa
题目
如图所示为一复式水银测压计，已知
1 2.3m 2 1.2m 3 2.5m 4 1.4m 5 1.5m
试求水箱液面上的绝对压强p0 = ?
解题步骤
解：
由图可知，1断面水银柱上
pa
方敞口，作用着大气压。
同时2-2、3-3、4-4为等压 面，根据静压强公式可得 各断面的绝对压强为
由于水银柱和水柱之间为空气，密度可忽略不
计，则p2= p3，得
pA ghA H gh pB ghB
水力学第二章(3)
主要内容： §2-6 作用在曲面上的静水总压力
§2-7 浮体的平衡与稳定 §2-8 在重力与惯性力同时作用下 液体的相对平衡
2.6
作用在曲面上的静水总压力
在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、
弧形闸墩、弧形闸门等。
A′ B′
作用在曲面上静水总 压力分解为水平分力
θ
和铅直分力分别计算，
δ
T
2 T Px p 2 r
p T r
图 2.6.4
5 3
A
r
1 . 5 10 4 10 5 10
2
1 . 2 10 ( kN/m
4
2
)
2.7
浮体的平衡与稳定
2.7.1 浮力及物体的沉浮
y
z
浸没于液体中的物体受到的x轴方向静水总压力应 为零
Px 左 = Px 右
(a)
(b)
(c)
图 2.7.2
不稳定平衡：重心C在浮心D之上，重力与浮力组 成使物体继续倾斜的力矩，这种状态下的平衡为 不稳定平衡。
随遇平衡：当重心C与浮心D重合时，潜体在液体 中的方位是任意的，称为随遇平衡。
(a)
(b)
(c)
注意：要使潜体处于稳定平衡状态，必须使其重 心位于浮心之下。
图 2.7.2
Z
图 2.6.1
静水总压力的铅直分力
作用在曲面AB上的静水总压力的铅直分力Pz
Pz
dP sin
A
hdA sin
AZ
h ( dA ) Z
A′ B′
h(dA)z是微小曲面和它在自
由水面延长面上的投影之间
第2章 水静力学
2)压强的其它单位： P工程= Kgf/cm2 =at ; meterH2O;mmHg.
压强的表示方式
1）以应力单位表示:压强用单位面积上受力的大小， 即应力单位表示，为：N / m 2 或Pa，kPa，可记为 kN / m2 2）以大气压表示:工程中：1工程大气压＝98kPa 3）水柱高表示:由于水的容重为常量，水柱高h 的数值反映了压强的大小。 p
命题：推导液体中微小六面体所受力的平衡微
分方程?
1)设正交六面体中心点O’(x,y,z)静水压强为p, 各边 长为dx,dy,dz； 2)分析六面体上的表面力—静压力:由连续性假设和 泰勒级数展开式，可得X方向上M和N点的压强：
1 p pM p dx 2 x 1 p pN p dx 2 x
(h
)
三者关系： 1 P工程=1.0Kgf/cm2=10mH2O=98KPa 1 P标准 = 101.3KPa =760mmHg=10.336mH2O
第2章 水静力学
§2-1 静水压强及其基本特性
二 静水压强基本特性
1.静水压强的方向与受压
面垂直并指向受压面。
A
2 静水压强的大小与受压面方位 无关。也即，作用于同一点各方 向的静水压强大小相等。
5) 同理，可推导出Y,Z方向的平衡方程；=>液 体平衡的微分方程(2-4).
2. 液体平衡微分方程的积分
从液体平衡微分方程(2-4)出发，积分求方程解： 将式（2-4）依次乘以任意的dx、dy、dz并将它们相加得
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
第二章
水静力学
§2-1 静水压强及其特性 §2-2 液体平衡微分方程及其积分 §2-3 重力作用下静水压强的分布规律 §2-4 几种质量力作用下液体的相对平衡 §2-5 作用于平面上的静水总压力 §2-6 作用于曲面上的静水总压力 §2-7 浮力及物体的沉浮
水力学_第2章静水力学
c
A
P g sin S x g sin yc A ghc A pc A
31
水力学
上式表明：任意形状平面上的静水
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点C 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
2.静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
32
水力学
第 二 章 水 静 力 学
定义：在静止液体内部 ，将压强相等的各点连 成的面称等压面。
由于在等压面上p C，则dp 0
则等压面方程为f x dx f y dy f z dz 0
特性：等压面上各点质量力与等压面正交。
f .ds f x dx f y dy f z dz 0
由z z0 , p p0代入上式得C p0 gz0
p p0 g ( z0 z )
p p0 gh
p A pB gh
17
水力学
第 二 章 水 静 力 学
p z C g
上式是重力作用下水静力学基本方程之
一。它表明：当质量力仅为重力时，静止液
第 二 章 水 静 力 学
则可得出： y D
利用惯性矩平行移轴定理： I x I c yc2 A
34
水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
2 Ic yc A Ic yD yc yc A yc A
35
水力学
2.6.2 矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
12
水力学
上式为液体的平衡微分方程式。它是
第 二 章 水 静 力 学
欧拉（Euler)于1755年首先得出的，又称 为欧拉平衡微分方程。它反映了平衡液体
水力学第2章
本章研究的问题： 流体处于静止状态下的力学规律及 其在工程中的应用。
思考1
挡水墙的静水压强按什么规律分布?
挡水墙所受的总压力是多少?
思考2
提升闸门需要多大的力?
思考3
珠穆朗玛峰顶上的压强只有0.3个大气压，空气密 度只有海平面空气密度的0.4倍。这是为什么?
思考4
我们证明，当图中的四面 体缩成一点时，四个面上 的压应力相等。
作用在四面体内的流体 的外力和为零。 其静力平衡方程为：
1 1 1 p x yz i p y zx j p z xy k 2 2 2 1 pn dAn n xyz f 0 6
1 p x yz pn dAn cos(n, x ) 2 1 f x xyz 0 6
p1 p2 γh
例1：用复式水银压差计测量密封 容器内水面的相对压强，如图所 示。已知：水面高程z0=3m,压差计 各水银面的高程分别为 z1=0.03m, z2=0.18m, z3=0.04m, z4=0.20m,水 银密度ρ ′=13600kg/m3 ，水的密 度ρ =1000kg/m3。试求水面的相对 压强p0。 (书上P29的例2-2) 解：
方程的几何意义：静止液体中任一点的位置水头和压 强水头之和为常数。
§2-4
液柱式压差计
一.U形管压差计：
点1的压强：p1 界面3的压强：
p3 p1 ( z1 z3 )
界面4的压强：
p4 p1 ( z1 z3 ) ' ( z4 z3 )
点2的压强：
p2 p1 ( z1 z3 ) ' ( z 4 z3 ) z 2 z 4 )
第2章 水静力学
第二章 水静力学目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。
难点：压力体的绘制 全部内容均为重点水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。
§2-1 静水压强及其特性 一、定义P ∆—面积ω∆上的静水压力 （N ）平均静水压强ω∆∆=Ppa 点的静水压强)(/lim 20a P m N d dpP p ωωω=∆∆=→∆二、静水压强的特性1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。
2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
yzp⊿⊿⊿zxxpp ynpxzynACBnzyxpppp,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆spyxpzxpzypnzyx212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆zyxZzyxYzyxX616161ρρρ沿x方向力的平衡方程：61),cos(21=∆∆∆+∆-∆∆zyxXxnspzypnxρ612121=∆∆∆+∆∆-∆∆zyxXzypzypnxρ1=∆+-xXppρ取微分四面体无限缩至o 点的极限表面力质量力C pz C z p dz gdz dp =+→'+-=→-=-=γγγρ或 γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。
对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p >< ，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。
液面压强0p 由γh 产生的压强（3） p 随h 作线性增大。
（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强， 取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。
（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。
水力学系统讲义第二章(2)-水静力学
平面AB位于坐标平面xoy内，与水平面的夹角为θ， 其面积为A，只需计算相对压强引起的总压力。
O(x)
O
x
θ
y
yC yD
A dA
dP
hD hC h=ysinθ dA
C
C
D
D
B
y
总压力的大小
O(x)
O
x
θ
y
yC yDA dA源自dPhDhC h=ysinθ
dA
C
C
D
D
B
y
在AB平面内任取一微小面积元dA，其在水面以下的深度为h,
133.28kN/m2
例2.4.2 量测容器中A点压强真空计如图所示,已
知h=5m,当地大气压强pa=98kN/m2(绝对压强),求A 点的绝对压强,相对压强及真空度。
解: 1,2两点在同一等压面上,故
p2 p1 pa
又 p2 p3 h
pA p3 p2 h pa h
作用点D到O的距离为
y'
yD
z
1
16
1 z
1
1 2
力对O取矩得
P左 y'
P右
1 2
2
解得 z 3.375m
图2.4.7
因此，压力表读数为-3.998kN/m2
（2）A、B、C三点压强水头是否相等
A点压强
G
pA
h1
p0
h3
0.26 3.998 0.148(m水柱) 9.8
3 2 1
p0 h1=26cm
Z
水
第2章 水静力学
第2章 水静力学水静力学的任务是研究液体平衡的规律及其实际应用。
静止液体质点之间的相互作用，以及它们与固体壁面之间的作用，是通过压强的形式来表现的。
因此，水静力学的研究是以压强为中心，阐述静水压强的特性、静水压强的分布规律，以及静止液体对物体表面的总压力。
在工程实际中会遇到很多水静力学问题。
例如，许多水工建筑物(如坝、闸门等)的表面都直接与液体接触，要进行这些建筑物的设计，首先必须计算作用于这些边界上的水压力。
水静力学是水力学的基础理论，本章讨论液体的平衡微分方程、静水压强分布规律、平面和曲面上的静水总压力等问题，同时还介绍液体相对静止的有关知识。
2.1静水压强及其特性2.1.1静水压力与静水压强1. 静水压力在日常生活和生产活动中，人们会得知液体对于与之接触的表面会产生一种压力作用。
如图2–1所示，在水库岸边的泄水洞前设置有平板闸门，当拖动闸门时需要很大的拉力，其主要原因是水库中的水体给闸门作用了很大的压力，使闸门紧贴壁面所造成的。
液体不仅对与之相接触的固体边界作用有压力，就是在液体内部，一部分液体对相邻的另一部分液体也有压力作用。
在水力学中，把静止液体作用在与之接触的表面上的压力称为静水压力，常以字母P表示。
在我国法定计量单位中，静水压力的单位为N 或kN 。
2. 静水压强在图2–1所示的平板闸门上，取微小面积△A ，令作用于△A 上的静水压力为△P ，则△A 面上单位面积所受的平均静水压力称为△A 面上的平均静水压强。
当△A 无限缩小至趋于点M 时，比值AP ∆∆的极限值定义为M 点的静水压强，常以字母p 表示，即 AP lim p A ∆∆=→∆0 （2–1）图2–1在我国法定计量单位中，静水压强的单位为Pa 或kPa 。
2.1.2 静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：1. 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面静水压强的这个特征是显而易见的。
静止液体不能承受任何切应力，因为液体一旦受到切应力的作用就会发生连续不断的变形运动。
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第二章水静力学一、相对压强必为正值。
( )二、图示为一盛水容器。
当不计瓶重时, 作用于地面上的力等于水作用于瓶底的总压力。
( )3、静水总压力的压力中心确实是受力面面积的形心。
( )4、二向曲面上的静水总压力的作用点确实是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点。
( )五、一个任意形状的倾斜平面与水面的夹角为。
那么该平面上的静水总压力P=gy D A sin。
(y D为压力中心D的坐标，为水的密度，A 为斜面面积) （）六、图示为二块置于不同液体中的矩形平板，它们的宽度b，长度L及倾角均相等，那么二板上的静水总压力作用点在水面以下的深度是相等的。
( )7、作用于两种不同液体接触面上的压力是质量力。
( )八、静水压强仅是由质量力引发的。
( )九、在一盛水容器的侧壁上开有两个小孔A、B，并安装一U 形水银压差计，如下图。
由于A、B两点静水压强不等，水银液面必然会显示出h 的差值。
( )10、物体在水中受到的浮力等于作用于物体表面的静水总压力。
( )1一、选择以下正确的等压面: ( )(1) A A (2) B B (3) C C (4) D D1二、压力中心是( )(1) 淹没面积的中心； (2) 压力体的中心；(3) 总压力的作用点；(4) 受压面的形心。
13、平稳液体中的等压面必为( )(1) 水平面； (2) 斜平面； (3) 旋转抛物面； (4) 与质量力相正交的面。
14、图示四个容器内的水深均为H，那么容器底面静水压强最大的是( )(1) a ; (2) b ; (3) c ; (4) d 。
1五、欧拉液体平稳微分方程 ( )(1) 只适用于静止液体； (2) 只适用于相对平稳液体；(3) 不适用于理想液体； (4) 理想液体和实际液体均适用。
1六、容器中盛有两种不同重度的静止液体，如下图，作用在容器A B 壁面上的静水压强散布图应为 ( )(1) a (2) b (3) c (4) d17、液体某点的绝对压强为 58 kP a，那么该点的相对压强为 ( )(1) kP a； (2) kP a； (3) -58 kP a (4) kP a。
1八、图示的容器a 中盛有重度为ρ1的液体，容器b中盛有密度为ρ1和ρ2的两种液体，那么两个容器中曲面AB 上压力体及压力应为 ( )(1) 压力体相同，且压力相等； (2) 压力体相同，但压力不相等；(3) 压力体不同，压力不相等； (4) 压力体不同，但压力相等。
1九、有一倾斜放置的平面闸门，当上下游水位都上升 1 m 时〔虚线位置〕，闸门上的静水总压力。
( )(1) 变大； (2) 变小； (3) 不变； (4) 无法确信。
20、有一水泵装置，其吸水管中某点的真空压强等于 3 m 水柱高，本地大气压为一个工程大气压，其相应的绝对压强值等于( )(1) 3 m 水柱高；(2) 7 m 水柱高；(3) －3 m 水柱高；(4) 以上答案都不对。
2一、液体中，测管水头 (z + p/ρg) 的能量意义是______________________。
2二、液体中，位置高度z 的能量意义是_______________；压强高度p/ρg 的能量意义是_______________。
23、真空压强的最小值是__________________；真空压强的最大值是___________________。
24、比重为的物体放入比重为的液体中，那么出露部份体积与整体积之比为__________________。
2五、容器A、B别离以加速度a和等角速度ω运动，如下图。
别离绘出液面下深度h处的等压面形状，并标明该等压面上任一质点的质量力F的方向。
2六、绘出图中曲面上的的压力体图，并标出水压力铅直分力的方向。
27、绘出图示圆柱体上水平压强散布图和压力体图。
并标出水压力铅直分力的方向。
2八、三个圆球各充满液体后的测压管液面如图示，试绘出各球面的压力体图，并标出力的方向。
2九、绘出图中AB曲面上水平压强散布图和压力体图，并标出水压力铅直分力的方向。
30、压力水箱上角装有一圆柱体压力表读数为 kPa，箱中盛满水。
试绘出作用于圆柱面ABC上的水平压强散布图和压力体。
3一、有一圆柱形容器，顶部设一通气管，如下图。
已知圆柱半径R= m，通气管中的水面与容器顶盖齐平。
容器以等角速度ω=2π s-1绕铅垂中心轴旋转，求容器顶盖的总压力P。
（NP=）937.913二、一封锁容器如下图。
容器中水面的绝对压强p0=。
中间插入一两头开口的玻璃管。
当空气恰好充满全管而不流动时，求管伸入水中的深度h。
（=h m ）33、在物体上装置一个直径很小的盛水 U 形管，以测定物体作直线运动的加速度（如图）。
假设L ＝，h＝ m，求物体的加速度a 。
（a= m/s2）34、一等宽度折角形闸门，折角α=120︒，如下图可绕A 轴转动，如图所受。
已知L= 2 m。
不计门重及摩擦力，求闸门开始自动倾倒时的水深h。
（h= m ）3五、一曲面的形状为 3/4 个圆柱面，半径 R = m ，宽度(垂直于纸面)为1 m 。
圆心位于液面以下h = m ，如图所受。
容器中盛有密度为 ρ1=816 kg/m 3的液体，其深度 h 1= m ，其下为密度ρ2=1000 kg/m 3的液体。
(1) 绘制曲面的水平分力的压强散布图和垂直分力的压力体图。
(2) 求作用于曲面的静水总压力的大小和方向。
（kN 15.68P x ==； kN 33.58P z =；=P kN ；=θ︒）3六、盛有液体的容器以等加速度 a 垂直向上运动，如下图。
试导出液体中任一点压强 p 的表达式。
（h ga g p z a g p a )1()(++++-=ρρ）37、一容器左侧盛油，右边盛水，上、下各接一水银压差计。
各液面标高如下图。
已知油的密度ρ=816 kg/m 3。
求容器顶部压差计液面高差h 。
（h = m ）3八、图示为一直径D 的圆球(不计重量)在密度别离为ρ1和ρ2的两种液体作用下处于平稳状态。
试导出D 与ρ1，ρ2，h 1，h 2之间的关系式。
（ gg )gh gh (3D 211122ρ+ρρ-ρ=）3九、一矩形水箱，箱中盛有液体，水箱沿倾斜角为θ的斜面以加速度a 向下滑动(如图)。
试确信箱内液体表面的形状。
（液面方程为0=g)z -sin a (x )cos (a θ+θ ；液面对水平面的倾斜角θθ=βasin -g cos a x z =tan ）40、图示为一空心弯管，下端插入水中，其水平段长度R =30 cm 。
当弯管绕铅直z 轴作等角速度旋转时，管内水面上升至下游水面以上h =20 cm 。
求角速度ω。
（=ω rad/s ）4一、在石油库斜壁的圆孔上装有一直径D = m 的半球形盖(如图)。
半球形盖中心O 点在液面下的深度H =4 m 。
斜壁与液面的夹角α=30︒，石油的密度ρ=900 kg/m 3。
求螺栓a 、b 上的总拉力。
（）4二、杯式水银真空计如下图。
已知杯的直径D =60 mm ，管的直径d =6 mm 。
杯顶接大气时，测压管液面读数为零。
杯顶封锁时，假设测得测压管读数h =300 mm ，求杯中气体的真空压强。
（=0p kPa ）43、用U 形水银测压计测量A 点的静水压强，其读数为h ( mm )，如下图。
令A 点压强不变，假设将U 形管下将高度H ( mm )。
那么水银测压计读数放大为h +∆h( mm )。
试证明: ∆h=H/。
44、蜡块A 沉醉在充满油和水的容器中，如下图。
已知蜡块密度ρn =960 kg/m 3，油的密度ρ0=900 kg/m 3。
试确信蜡块沉没在水中和油中的体积占百分之几。
（V 6.0V 2=；V 4.0V 1=）4五、在盛满液体的容器壁上装有一个均质圆柱体，如下图。
由于圆柱体浸在液体中，必受到一个向上的浮力作用。
假设摩擦力很小，在浮力产生的力矩的作用下，此圆柱体可绕O 轴不断转动，这种说法对不对？什么缘故?4六、二个置于水平面上的容器，一为圆柱形，一为圆锥形。
容重视量不计，水面均为大气压强。
当水深 H 和 底面积 A 均相等时，问：(1) 容器底部所受的静水压强是不是相等？(2) 底面所受的静水压力是不是相等？(3) 桌面上受的压力是不是相等？什么缘故？47、 一圆锥形开口容器，下接一弯管。
当容器空着时，弯管上读数如下图。
问圆锥内充满水后，弯管上读数为多少？ （h= ,l=）48、 图示一倒U 形差压计，左侧管内为水，右边管内为相对密度（即比重）9.0s 1=的油。
倒U形管顶部为相对密度8.0s 2=的油。
已知左管内A 点的压强2A m /KN 98p =，试求右边管内B 点的压强。
（p B =）49、 一容器如下图，当A 处真空表读数为22cm 汞柱高，求E 、F 两管中的液柱高21h ,h 值。
并求容器左侧U 形管中的h 值。
（h 1=126cm , h 2= , h=）50、两液箱具有不同的液面高程，液体重度均为'γ，用两个测压计连接如图，试证： 212211'h h h h +γ+γ=γ 5一、密闭容器盛水如图，已知m 3h =，,m 2h ,m 5.2h A B ==求容器内点A ，点B 及液面上的相对压强及绝对压强，并求图中所示y 值。
（p A =-19600pa , p B =24500pa , p 0=-29400pa ；绝对压强: p A =78400pa , p B =122500pa , p 0=63600pa ；y=3m ）52、 如下图为一铅直安装的煤气管。
为求管中静止煤气的密度，在高度差m 20H =的两个断面安装U 形管测压计，内装水。
已知管外空气的密度3a m /kg 28.1=ρ，测压计读数为mm 115h ,mm 100h 21==。
与水相较，U 形管中气柱的阻碍能够忽略。
求管内煤气的密度。
（m 3）53、试按图示复式水银测压计的读数计算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p 。
已,m 3.2h ,m 2.1h ,m 5.2h ,m 4.1h ,m 3H 4321=====水银的相对密度6.13s =。
（）54、如下图为双液式微压计，A ，B 两杯的直径均为mm 50d 1=，用U 形管连接，U 形管直径mm 5d 2=，A 杯内盛有酒精，密度31m /kg 870=ρ，B 杯内盛有煤油32m /kg 830=ρ。
当两杯上的压强差0p =∆时，酒精与煤油的分界面在0-0线上。
试求当两种液体的分界面上升到0‘-0’位置、mm280h =时p ∆等于多少？（） 55、一水箱装置如图，箱底高出地面m 3h 2=，箱中水深m 2h 1=，其表面压强以绝对压强计为个工程大气压，要求：（1）以地面为基准面，求出A 、B 两点的单位位能与单位压能，并在图上标明；（2）以水箱中水面为基准面，求出A 、B 两点的单位位能与单位压能，并在图上标明。