形心重心计算公式
平面图形的形心计算公式
平面图形的形心计算公式
形心的公式：
c=[∫a(ρdA)]、ρA=[∫a(dA)]、A=Sy、A
Yc=[∫a(ρydA)]、ρA=[∫a(ydA)]、A=S、A
质心的公式：
Rc=m1r1+m2r2+m3r3+。
∑m
形心：
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形
心是针对抽象几何体而言
的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
质心：
质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心
不一定要在有重力场的系统中。
扩展资料：
质心:物体质量中心。
重心:物体重力中心。
重力G=mg,其中m是物体
质量,g为一常数。
重心和质心一般情况下是重合的。
判断形心的位置：
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可
以很方便的确定圆形、圆环形、正方形。
的形一个对称轴的截面，其形心
一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。
空间区域形心的竖坐标z
空间区域形心的竖坐标z
高数形心坐标公式
高数形心坐标公式是X=∫∫∫xdv/V,Y=∫∫∫ydv/V，Z=∫∫
∫zdv/V，面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而
言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，
质心和形心重合。
n维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的
两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平
均。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。
形心：物体的几何中心。(只与物体的几何形状和尺寸有关，与
组成该物体的物质无关)。
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言
的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质
心和形心重合。
判断形心的位置：当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是
该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形形
的形心。
直角梯形的形心计算公式
直角梯形的形心计算公式直角梯形是一种梯形，其中一个角是直角。
该梯形有两个平行边，其中一个边长较短，我们称之为上底，另一个边长较长，我们称之为下底。
形状中心是一个点，它在梯形的两个对角线的交点处。
为了计算直角梯形的形状中心，我们需要先确定梯形的各个边的长度。
然后，应用形心的定义，我们可以找到形状中心的坐标。
接下来，我将详细说明如何计算直角梯形的形状中心。
假设直角梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
步骤1：计算梯形的中线长步骤2：计算梯形的对角线长度使用勾股定理，我们可以计算出梯形的对角线长度。
其中一条对角线是直角三角形的斜边，所以可以将直角梯形划分为两个直角三角形。
对于上底长为a和高为h的三角形，斜边的长度为d1=√(a^2+h^2)。
同样，对于下底长为b和高为h的三角形，斜边的长度为d2=√(b^2+h^2)。
步骤3：确定形状中心的横坐标形状中心的横坐标可以通过使用下面的公式计算：X=(d2^2*a+d1^2*b)/(d1^2+d2^2)。
步骤4：确定形状中心的纵坐标形状中心的纵坐标可以通过使用下面的公式计算：Y=(d1*d2*h)/(3*(d1^2+d2^2))。
步骤5：形状中心的坐标通过步骤3和步骤4得到的横坐标和纵坐标，我们可以确定形状中心的坐标为(X,Y)。
这就是计算直角梯形形状中心的公式。
我们可以使用此公式来确定给定参数的直角梯形的中心坐标。
请注意，这些公式的推导基于基础几何原理和勾股定理。
总结：直角梯形的形状中心的计算公式如下：横坐标：X=(d2^2*a+d1^2*b)/(d1^2+d2^2)纵坐标：Y=(d1*d2*h)/(3*(d1^2+d2^2))其中a：上底长b：下底长h：高c：中线长，c=(a+b)/2d1：上底长为a和高为h的三角形斜边长，d1=√(a^2+h^2)d2：下底长为b和高为h的三角形斜边长，d2=√(b^2+h^2)这些公式可以帮助我们计算直角梯形的形状中心，从而更好地理解和分析直角梯形的形状特征。
梯形形心公式
梯形形心公式是几何学中比较重要的公式之一，它可以用来求出一个梯形的形心坐标。
下面，我们将逐一介绍这个公式，以及它的应用。
1. 什么是梯形
梯形是一个四边形，它有两条平行边和两条非平行边。
它的两个非平行边之间的距离称为梯形的高，平行边之间的距离称为梯形的上底和下底。
2. 梯形形心公式
梯形形心公式是指，一个梯形的形心坐标可以通过它的两个对角线的交点来确定，公式为：
x = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4
y = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4
其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)、(x4, y4)分别是梯形的四个顶点的坐标。
3. 梯形形心公式的应用
梯形形心公式可以用来求解一个梯形的形心坐标，这对于一些需要确定梯形的重心位置的问题是非常有帮助的。
例如，在制作机器人或机械臂时，需要确定它们的重心位置，这时就可以使用梯形形心公式来计算。
4. 梯形形心公式的证明
梯形形心公式的证明比较复杂，需要用到数学知识，这里就不再赘述。
不过，我们可以简单地解释一下它的原理。
梯形形心公式基于一个定理，即一个平面图形的形心坐标可以通过对它的所有小面积和坐标的乘积进行加权平均得到。
因此，在计算梯形的形心坐标时，可以将梯形分为两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的形心坐标，最终再取加权平均值得到梯形的形心坐标。
5. 总结
通过本文的介绍，我们了解了梯形形心公式的定义、应用和原理。
虽然这个公式不是很常用，但它在一些特定的领域中是非常重要的。
在学习数学时，了解这些公式的定义和应用，可以帮助我们更好地理解知识，提高自己的数学水平。
三角形的形心位置公式
三角形的形心位置公式三角形的形心，也叫重心，是三角形三条中线的交点。
对于这个看似有点复杂的概念，咱们可得好好说道说道。
先来说说三角形中线是啥。
想象一下，你有一个三角形，比如一个锐角三角形，就像你在公园里看到的滑梯的那个斜坡的形状。
从三角形的一个顶点向它的对边中点连线，这条线就是中线。
三角形有三条边，所以就有三条中线。
那形心位置公式是咋来的呢？这就得从一些有趣的小实验说起。
有一次，我在课堂上给学生们准备了一个小活动。
我拿出一块硬纸板，剪成了一个三角形。
然后我让同学们在三角形的三个顶点处分别钻一个小孔，再用细绳穿过小孔，把三角形吊起来。
神奇的事情发生了，当我们把三角形吊起来静止时，那根细绳所在的直线正好就是三角形的一条中线。
我们重复了三次，分别在不同的顶点吊起三角形，发现三条中线总是会相交于一点，这个点就是形心。
那形心位置公式到底是啥呢？对于平面直角坐标系中的三角形，如果三个顶点的坐标分别为 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，那么形心 G 的坐标就是((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) 。
咱们来具体分析分析这个公式。
比如说有个三角形，三个顶点坐标分别是 A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
那形心 G 的横坐标就是 (1 + 3 + 5) / 3 = 3，纵坐标就是 (2 + 4 + 6) / 3 = 4 ，所以形心 G 的坐标就是 (3, 4) 。
这个公式有啥用呢？在实际生活中用处可大啦！假设你是个建筑师，要设计一个三角形的屋顶结构，知道了形心的位置，就能更好地确定支撑点，让屋顶更稳固。
又比如在物理学中，研究三角形物体的重心位置，对于分析物体的平衡和运动状态很重要。
再回到咱们的学习中，理解和掌握这个形心位置公式，对于解决数学问题，尤其是和三角形相关的几何问题，那可是如虎添翼。
不过，刚开始接触的时候，可能会觉得有点头疼，但只要多做几道练习题，多想想那个吊三角形的小实验，慢慢地就会发现其中的乐趣和规律。
《重心和形心》课件
在这份PPT课件中，我们将探讨重心和形心的概念、计算方法以及应用。这 两个概念不仅在物理领域中扮演关键角色，也在各个设计和优化领域中发挥 作用。
什么是重心和形心？
1 重心
物体所受重力的集中点，也是物体平衡的关键点。
2 形心
物体所有小部分形状、质量加权后得到的点，也是物体对应的简化物体的重心。
形心
• 物体质心位移估计 • 物流、仓储布局优化 • 结构设计优化
总结
1 重心和形心的重要
性
重心和形心都是描述物 体重量分布的重要点。
2 计算重心和形心要
考虑的因素
计算重心和形心需要应用
范围
重心和形心的应用涉及 到各个领域的设计和优 化。
如何计算重心和形心？
1 重心
2 形心
若物体均匀，则重心位于物体中心。若物 体不均匀，则可以通过挂钟实验或测量法 计算重心位置。
若物体有规则形状，则可以使用公式计算 形心位置。若物体没有规则形状，则可以 通过分割成若干个规则形状再计算每个形 状的形心位置后加权平均得到。
重心和形心的应用
重心
• 汽车平衡设计 • 物体挂钩位置确定 • 反击点位置确定
三角形形心推导公式
三角形形心推导公式咱们先来说说三角形形心这玩意儿。
三角形形心，这可是个在数学里有点小神秘又挺重要的概念。
想象一下，有一块形状不规则的三角形土地，咱要在这上面建个仓库，得找个能让货物运输到三个顶点距离总和最小的位置，这个神奇的位置就是三角形的形心。
要推导三角形形心的公式，咱们得从三角形的重心说起。
还记得小时候玩跷跷板不？如果两边重量不一样，重的那边就会往下沉。
三角形的重心就好比是让这个三角形在跷跷板上能平衡的那个点。
咱们先来看一个简单的三角形 ABC 。
假设三个顶点的坐标分别是A(x₁, y₁) ，B(x₂, y₂) ，C(x₃, y₃) 。
为了找到形心，咱们先找重心。
重心的坐标可以通过这样的公式来计算：重心 G 的横坐标是 (x₁ + x₂ + x₃) / 3 ，纵坐标是 (y₁ + y₂ +y₃) / 3 。
那形心和重心有啥关系呢？其实在质量均匀分布的情况下，重心就是形心。
咱们来举个例子感受一下。
有一次我在纸上画了一个大大的三角形，然后开始琢磨怎么找它的形心。
我拿尺子量来量去，算来算去，搞得自己头都有点大。
最后发现，按照公式算出来的结果和我自己瞎琢磨的还真差不多，那一刻我就觉得这数学公式还真神奇，能让这么复杂的问题变得简单明了。
那为什么会有这样的公式呢？咱们来仔细想想。
把三角形分成很多小份，每一份的质量可以看作是均匀分布的。
对于每一份来说，它的重心就在它的几何中心。
然后把所有这些小份的重心加起来，再除以份数，不就得到了整个三角形的重心，也就是形心嘛。
再深入一点说，这其实就像是把一堆苹果平均分到三个篮子里，怎么分才能让每个篮子看起来差不多重，这里面就有数学的智慧啦。
总之，三角形形心的推导公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们一步一步来，多想想多琢磨，就能明白其中的道理。
就像我们解决生活中的很多难题一样，只要有耐心，有方法，总能找到答案。
希望大家以后看到三角形形心的问题，都能轻松应对，不再头疼啦！。
矩形形心公式
矩形形心公式矩形形心公式，这可真是个有趣的话题！咱们先来说说啥是矩形形心。
简单来讲，矩形形心就是矩形这个几何图形的重心。
那矩形形心公式到底是啥呢？其实啊，矩形形心的横坐标就是矩形两条对边中点连线的中点横坐标，纵坐标也是同理。
举个例子来说，就像咱们盖房子的时候，如果要在一块矩形的地面上放一个很重很重的东西，让这块地面受力均匀，就得找到这个矩形的形心。
比如说有一块长 10 米、宽 6 米的矩形地面，那它的形心横坐标就是 10÷2 = 5 米，纵坐标就是 6÷2 = 3 米。
我记得有一次，我带着一群小朋友在操场上做游戏。
游戏的内容就是让他们通过测量和计算，找出操场上几个矩形区域的形心位置。
有个小朋友特别可爱，他拿着尺子量来量去，可认真啦，结果算出来的形心位置偏差有点大。
我就走过去，耐心地给他讲解，告诉他要先找到对边的中点，然后再计算。
最后他终于算对了，那兴奋的小表情，真让人觉得可爱极了。
在数学的世界里，矩形形心公式虽然看起来简单，但是用处可大着呢！比如在工程设计中，如果要设计一个均匀分布压力的平台，就得知道矩形支撑面的形心位置，这样才能保证平台的稳定性。
在物理学中，计算矩形薄板的转动惯量，也需要用到矩形形心的位置。
咱们再深入想想，矩形形心公式其实也是数学中一种寻找平衡和对称的方法。
就像我们的生活，也需要找到那个“形心”，才能保持平衡和稳定。
比如说，我们每天要安排学习、休息和玩耍的时间，如果能找到那个“形心”，就能让生活既充实又不累。
而且啊，掌握了矩形形心公式，对于我们理解更复杂的几何图形的性质也很有帮助。
就像搭积木一样，先把基础的矩形弄明白了，再去挑战更难的形状，就会容易很多。
总之呢，矩形形心公式虽然只是数学海洋中的一小滴，但它的作用可不容小觑。
希望大家都能真正掌握它，让它成为我们解决问题的好帮手！。
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网 络 教 程
第十讲 重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。
教学难点：对计算形心公式的理解。
教学内容：
§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。
2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。
二、 重心座标的公式：
(1)、重心座标的公式
三、物体质心的坐标公式
在重心坐标公式中，若将G=mg，Gi＝mig代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下：
四、均质物体的形心坐标公式
若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ρgVi，代入
重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；
∑Ai.yi＝A.yc＝Sx
则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：
1、对称法
凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对
称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。
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2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用
的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法
利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图
(2）、称重法
对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的
位置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。
设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出
B端的约束力FB,
则由 ∑MA(F)=0 FB.L－G.xc＝0
xc＝FB.L/G
(3)、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分
割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的
形心位置。此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：
(4)、负面积法：
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例
例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:
方法一（分割法）：
根据图形的组合情况，可将该截面分割成
两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形
的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，
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Ⅱ的面积和形心坐标分别为
A1=120mm×12mm＝1440mm2
x1＝6mm
y1＝60mm
A2＝（80-12）mm×12mm＝816mm2
x2＝12mm＋（80-12）/20=46mm
y2＝6mm
即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。计算简图如图。
A1＝80mm×120mm＝9600mm
2
x1＝40mm y1＝60mm
A2=－108mm×68mm＝－7344mm2
x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm
y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。
例2 试求如图所示图形的形心。已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。
解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出xc，将图形看成由
三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为
（1）、半径为R的半圆面：
A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝15700mm2
y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝42.4mm
(2）、半径为r2的半圆面
A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝1400mm2
y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)＝－
12.7mm
（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：
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A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2
y3＝0
(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得
即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）