二元函数求偏导数公式
方向导数和偏导数的存在关系
方向导数和偏导数的存在关系一、引言在微积分中，方向导数和偏导数是两个重要的概念。
它们都是用来描述函数在某一点上的变化率，但是在定义和计算方法上有所不同。
本文将深入探讨方向导数和偏导数的存在关系，从而更好地理解它们在数学和物理中的应用。
二、方向导数的定义方向导数是用来衡量函数在某一点上沿着某一给定方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处沿着单位向量u=<a, b>的方向导数的定义如下：D_u f(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + ah, y0 + bh) - f(x0, y0)] / h其中，a和b是单位向量u的分量。
三、偏导数的定义偏导数是用来衡量函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处关于x的偏导数定义如下：∂f/∂x(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)] / h类似地，关于y的偏导数定义如下：∂f/∂y(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)] / h四、方向导数与偏导数的关系方向导数和偏导数之间存在着一定的关系。
事实上，当单位向量u与坐标轴方向平行时，方向导数与偏导数是等价的。
具体来说，如果u=<1, 0>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂x(x0, y0)如果u=<0, 1>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂y(x0, y0)这是因为当u与坐标轴方向平行时，函数在该方向上的变化率就等于在该方向上的偏导数。
五、方向导数的计算方法方向导数的计算方法比较简单，可以通过求函数在给定方向上的导数来得到。
假设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，且方向向量u=<a, b>是一个单位向量，则方向导数可以通过以下公式计算：D_u f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · u其中，∇f(x0, y0)是函数f(x, y)在点P(x0, y0)处的梯度向量。
函数求偏导
函数求偏导一、函数求偏导的基本概念函数求偏导是多元函数微积分中的重要知识点。
在多元函数中，每个自变量都会对函数的值产生影响，而函数求偏导则是把其中一个自变量视为常量，而将其他自变量作为自变量，从而求出函数对该自变量的导数。
对于一个二元函数 f(x,y)，如果要对其求关于 x 的偏导数，那么就需要将 y 视为常量，而对 x 进行求导。
表示该偏导数的符号是∂f/∂x，其中∂表示偏导数的符号。
二、函数求偏导的求解方法1.先将函数对自变量逐一求导∂f/∂x = df/dx (y为常量)2.将常数视为0对于一些常量符号，比如常数1，变量1等，都需要视为0。
如果有一个二元函数f(x,y) = x + y，想要对其求偏导数，则：∂f/∂x = 1 + 0 = 13.对合成函数求导对于合成函数，需要使用链式法则进行求导。
具体方法是，先对外层函数求导，再乘上内层函数对该自变量的导数。
如果有函数 f(u,v)，u = g(x,y)，v = h(x,y)，想要对 f 对 x 求偏导数，则有：∂f/∂x = ∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x同理，对于三元函数，也可以使用链式法则进行求导，公式如下：u，v，w 均为中间变量。
三、函数求偏导的实例应用1.经济学中的边际分析在经济学中，函数求偏导用于分析边际效应。
全部生产成本 C(x) 是一个关于生产数量 x 的函数，那么单位成本是 C(x)/x。
想要分析当生产数量 x 增加 1 个单位时，单位成本会发生怎样的变化，就需要求出该函数对 x 的偏导数∂C/∂x，即单位成本的边际成本。
2.物理学中的速度加速度在物理学中，关于时间 t 的位置函数是一个多元函数，想要求出物体在某一时刻的速度和加速度，就需要求出该函数对时间 t 的偏导数。
二维空间内的位置函数为 r(t) = (x(t),y(t))，则该函数对时间 t 的偏导数就是速度 v(t) = dr/dt = (dx/dt,dy/dt)，而对速度 v(t) 求导数，就可以得到加速度 a(t) = dv/dt = (d^2x/dt^2,d^2y/dt^2)。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
二阶偏导数公式详解 性质及公式是什么
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导办法与一元函数导数的求法是一样的。
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其概念域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
假如△z 与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。
同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假如极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。
记作fy(x0,y0)。
二阶偏导数的性质(1)假如一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假如总有f(x)0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：假如一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数能够求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，1.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；2.若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸。
二级偏导数公式
二级偏导数公式二级偏导数是微积分中的一个重要概念，它在多元函数的求导过程中扮演着重要的角色。
通过求取二级偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质和特点。
我们来回顾一下一元函数的导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点处的变化率，即函数值随着自变量的微小变化而产生的变化。
而对于多元函数，由于存在多个自变量，所以就需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点处在特定自变量方向上的变化率。
对于二元函数而言，它有两个自变量，所以存在两个偏导数。
我们用∂f/∂x 表示函数f对自变量x的偏导数，用∂f/∂y表示函数f对自变量y的偏导数。
这两个偏导数分别表示函数f在x方向和y方向上的变化率。
而二级偏导数则是对一级偏导数再次求导。
在二元函数中，我们可以通过求取一级偏导数的偏导数来得到二级偏导数。
二级偏导数的求取可以帮助我们更全面地了解函数的性质。
具体地说，对于二元函数f(x, y)，我们可以先求取它对x的一级偏导数，即∂f/∂x。
然后再对∂f/∂x关于x进行求导，即求取它的偏导数。
这就是二级偏导数∂²f/∂x²。
同理，我们还可以求取∂f/∂y的一级偏导数，即∂²f/∂y²。
而对于∂f/∂x和∂f/∂y的混合偏导数，我们可以先求取其中一个的一级偏导数，再对它进行另一个自变量的求导，即求取二级偏导数。
通过求取二级偏导数，我们可以获得更多有关函数的信息。
比如，二级偏导数可以帮助我们判断函数的凹凸性质。
如果二级偏导数为正，那么函数在该点附近是凸的；如果二级偏导数为负，那么函数在该点附近是凹的。
此外，二级偏导数还可以帮助我们求取函数的极值点，从而找到函数的最大值或最小值。
二级偏导数在多元函数的求导过程中起着重要的作用。
它可以帮助我们更全面地了解函数的性质和特点，从而更好地应用于实际问题的求解中。
无论是在物理学、经济学还是工程学等领域，二级偏导数都具有广泛的应用价值。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
求二元函数全微分的一般步骤
求二元函数全微分的一般步骤
求二元函数(x,y) 的全微分的一般步骤如下：
1. 假设函数f(x,y) 是可微的（即存在一阶偏导数），则全微分为
df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy。
2. 对函数f(x,y) 求偏导数：\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partial
f}{\partial y}。
3. 将偏导数代入全微分公式中。
例如：df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial
x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(\frac{\partial f}{\partial
x}\right)_{y}dx+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x}dy。
4. 对于可微函数，根据Schwarz 定理，\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}，因此可以根据需要交换二阶偏导数的顺序。
5. 求出全微分df(x,y)，然后根据需要进行求值或积分。
需要注意的是，二元函数的全微分是一个标量，而不是一个向量或矩阵。
因此，全微分可以被视为多元微积分中的一般化的微分形式。
第二节 偏导数
第二节 偏导数教学目的：理解偏导数的概念；会求多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数。
教学重难点：二元函数的偏导数概念；求函数的偏导数．教 法：讲授课 时：2一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。
对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x xz==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x x z ==, 或),(00y x f x 例如 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000. 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂, 00y y x x y z ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数：如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x . x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0. 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y .y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0. 求法：求xf ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数；求y f ∂∂时，只要把x 暂时看作常量而对y 求导数．偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0, 其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．例1 求z =)ln(xy 的偏导数. 解 求x z ∂∂时，把y 看作常量，求yz ∂∂时，把x 看作常量，因此 )ln(211)ln(21xy x y xy xy x z =⋅⋅=∂∂, )ln(21xy y y z =∂∂. 例2 求z =x 2+y 2－xy 在点(1, 3)处的偏导数．解 先求偏导函数y x x z -=∂∂2, x y yz -=∂∂2. 131221-=-⋅=∂∂==y x x z , 513221=-⋅=∂∂==y x y z .例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z yz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂. z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例4 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 求证：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pT T V V p .证 因为 V RT p =, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, pR T V =∂∂; R pV T =, RV p T =∂∂; 所以 12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pVRT R V p R V RT p T T V V p 例4说明偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商．例5 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y xy x y x xy y x f 在（0，0）可导，因为0)0,0()0,0(=∆-∆+xf x f ，0)0,0()0,0(=∆-∆+y f y f 所以 0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ． 但函数),(y x f 在点(0, 0)并不连续．由例5可知，对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义：f x (x 0, y 0)是过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点M 0处的切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0)过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线⎩⎨⎧==0),(x x y x f z 在点M 0处的切线T y 对y 轴的斜率．二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念．设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f xz x =∂∂, ),(y x f y z y =∂∂, 那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f xz x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f yz y z y yy =∂∂=∂∂∂∂. 其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数． 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数． 例6．求z =x 3ｙ-3x 2y 3的.二阶偏导数解 3263y yy x x z -=∂∂, 2239y x x yz -=∂∂; 32266y xy xz -=∂∂, y x y z 22218-=∂∂; 222183xy x y x z -=∂∂∂＝xy z ∂∂∂2. 定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以 22y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂, 222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u , 其中222z y x r ++=.证：32211rx r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂ 因此 )31()31()31(523523523222222rz r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=rr r r z y x r . 提示： 6236333223)()(r x r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂. 例7和例8中的两个方程都叫拉普拉斯方程（Laplace ），是数学物理方程中的重要方程。
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二元函数求偏导数公式
二元函数求偏导数的公式如下：
对于二元函数f(x,y)，在点(x,y)处的偏导数分别是：
1.对于自变量x，偏导数用符号"∂f/∂x"表示，可以简写为"f'x"或"fₓ"，表示
在x方向上对f求偏导数。
2.对于自变量y，偏导数用符号"∂f/∂y"表示，可以简写为"f'y"或"fₙ"，表示
在y方向上对f求偏导数。
具体地，二元函数的偏导数计算公式如下：
1.对于函数f(x,y)，在点(x,y)处的偏导数fₓ(x,y)可以表示为：
fₓ(x,y) = limδ→0 [f(x+δ, y) - f(x, y)] / δ。
2.对于函数f(x,y)，在点(x,y)处的偏导数fₙ(x,y)可以表示为：
fₙ(x,y) = limδ→0 [f(x, y+δ) - f(x, y)] / δ。
其中，lim表示极限，δ是趋于0的趋近方式，可以通过将一个很小的数赋值给δ来计算偏导数。