【全国甲卷】2019版考前三个月高考数学通用练习知识方法篇专题8 概率与统计第39练含答案

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考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题2 不等式与线性规划第3练 Word版含答案

第3练 “三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.体验高考1.(2015·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.－1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0， ① B 正确等价于b ＝－2a ， ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3，③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④下面分情况验证，若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数.综上，故选A.2.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 答案 D解析方法一当x >2时， g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根. 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0，无解.所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.3.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].4.(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞) 解析如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(2015·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值.(1)证明由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}. 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.高考必会题型题型一函数与方程的转化例1 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点.由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0，3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合的方法解决.变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________. 答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点.题型二函数与不等式的转化例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称.若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，则当x ＞3时，x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 (13，49)解析由函数f (x －1)的图象关于点(1，0)对称可知，函数f (x )为奇函数.所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0，可化为f (x 2－6x ＋21)＜－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y ). 又因为函数f (x )在R 上为增函数，故必有x 2－6x ＋21＜－y 2＋8y ，即x 2－6x ＋21＋y 2－8y ＜0，配方，得(x －3)2＋(y －4)2＜4.因为x ＞3，故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＜4，x ＞3，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x 2＋y 2的最小值在点A 处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x 2＋y 2＞32＋22＝13，而最大值为圆心(3，4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x 2＋y 2＜(5＋2)2＝49，故13＜x 2＋y 2＜49.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.解设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立. ∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a ) ＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立. 又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3，1]. 题型三方程与不等式的转化例3 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围. 解方法一设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应有f (2)＜0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ＜－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋(m －1)×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1].方法二显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0＜x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].点评 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.变式训练3 若关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2，4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，＋∞)B.[－3，0]C.(0，＋∞)D.[0，3] 答案 B解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，可知两根必定一正一负，因此在[2，4]上有且只有一个实数根，设f (x )＝x 2＋ax －4，则必有f (2)f (4)≤0，所以2a (12＋4a )≤0，即a ∈[－3，0].故选B.高考题型精练1.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.2.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＝f (x 2)C.f (x 1)＞f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 A解析 f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0＜a ＜3.∴1－a2＞－1.∵x 1＜x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. 又∵a ＞0，∴f (x 1)＜f (x 2).3.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ＞0)，－1x(x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5，4]上图象交点的个数，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，由图可知两图象在[－5，4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.4.若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－34，0C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 B解析构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1， ∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1， x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，∴－34＜k ≤0.5.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B解析因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确.6.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A.(3，4)B.(2，＋∞)C.(2，5)D.(3，22) 答案 B解析作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线，当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m ＞0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x ＞0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2＞0，且m ＞0，解得m ＞ 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞).7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是______. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇒－32＜x ＜1. ∴解集为{x |－32＜x ＜1}. 8.已知奇函数f (x )在定义域[－2，2]上单调递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________.答案 [－1，1)解析由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，得f (1－m )＜－f (1－m 2).又f (x )为奇函数，∴f (1－m )＜f (m 2－1).又∵f (x )在[－2，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ＜1.1－m ＞m 2－1.∴实数m 的取值范围为[－1，1).9.已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为________.答案 10解析在同一直角坐标系中，分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图，结合图象知，共有10个交点.10.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是____.答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1＜0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a ＞0，且有4－a ＞0，故0＜a ＜4，不等式的解集为12＋a ＜x ＜12－a，14＜12＋a ＜12，则一定有{1，2，3}为所求的整数解集，所以3＜12－a≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916.11.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解方法一设方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0，即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.方法二函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2，1).12.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0).(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根.∴b 2－4a (b －1)＞0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a ＞0恒成立，∴有(－4a )2－4(4a )＜0⇒a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1.因此实数a的取值范围是(0，1).。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识课件方法篇专题8 概率与统计第37练精品

1 k 2
1k k 其通项公式为 Tk＋1＝(－3) C9(9x)9－k x 3 当 9－2k＝0，k＝6 时，为常数项， 1 6 9－6 6 常数项为(－3) 9 C9＝84.
1 k 9－k k ＝(－3) 9 C9 x
3 9 k 2
，
解析
1 60 (2)(1－2x)(1＋2 x)5 展开式中 x2 的系数为_____.
栏目索引
体验高考
高考必会题型高考题型精练
体验高考
1
2
3
4
1.(2015· 课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(
A.10 解析方法一 B.20 利用二项展开式的通项公式求解. C.30 √ D.60
)
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
2 3 2 含 y2 的项为 T3＝C2 ( x ＋ x ) · y. 5
解析
1
2
3
4
2.(2016· 四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(
)
√
A.－15x4
B.15x4
C.－20ix4
D.20ix4
解析
4 2 4 由题可知，含 x4 的项为 C2 x i ＝－ 15 x .选 A. 6
解析
1
1 7 3 x ＋ 3.(2015· 安徽) 的展开式中 x
故展开式中的常数项为－C3 6＝－20，故选 C.
解析
2 ax ＋ (2)(2016· 山东)若
1 5 5 －2 的展开式中 x 的系数为－80，则实数 a＝____. x
5 10 k 1 k 5－k k 2 C5 x ＝a x
解析

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。

A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3 函数与导数第9练

第9练顾全局——函数零点与方程的根[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.体验高考1.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数.当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去).所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.2.已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 f (x )在[0，2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0，2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0，2π]上的交点有3个.3.(2016·上海)设a ∈R ，b ∈[0，2π].若对任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 ∵对于任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则函数的周期相同，若a ＝3，此时sin(3x －π3)＝sin(3x ＋b )，则b ＝－π3＋2π＝5π3；若a ＝－3，则方程等价为sin(3x －π3)＝sin(－3x ＋b )＝－sin(3x －b )＝sin(3x －b ＋π)，则－π3＝－b ＋π，∴b ＝4π3.综上，满足条件的有序实数对(a ，b )为⎝⎛⎭⎫3，5π3，⎝⎛⎭⎫－3，4π3. 4.(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________. 答案 4解析令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.高考必会题型题型一零点个数与零点区间问题例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{2－7，1，3}D.{－2－7，1，3}(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)①－1 ②⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x . 当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3，令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3；当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3，令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有3个零点，其集合为{－2－7，1，3}.(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有1个零点时， 0<a <2. f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有1个零点，此时a <1， 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.点评确定函数零点的常用方法 (1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.题型二由函数零点求参数范围问题例2 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围. 解方法一 (换元法)设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根. 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－2 2 ]. 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1，x ≤0，lg x ，x ＞0，若关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－1，0)∪(0，＋∞)解析依题意，得a ≠0，令f (x )＝0，得lg x ＝0，即x ＝1.由f [f (x )]＝0，得f (x )＝1. 当x ＞0时，函数y ＝lg x 的图象与直线y ＝1有且只有一个交点，则当x ≤0时，函数y ＝ax －1的图象与直线y ＝1没有交点.若a ＞0，结论成立；若a ＜0，则函数y ＝ax －1的图象与y 轴交点的纵坐标－a ＜1，得－1＜a ＜0，则实数a 的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞).高考题型精练1.若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x在[0，103]上的根的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，所以f (－x )＝x 2，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝f ((x ＋1)－1)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数.据此在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上有3个根，故选C.2.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x ＞0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x ＞0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2.即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.4.定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2，3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫55，33 答案 D解析因为f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，所以f (1)＝f (－1)－f (1)，又因为f (x )是偶函数，所以f (1)＝0，所以函数f (x )是以2为周期的偶函数.函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点可化为函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上有三个不同的交点.作函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象如下图.结合函数图象知，⎩⎪⎨⎪⎧log a (2＋1)＞－2，log a(4＋1)＜－2，解得55＜a ＜33，故选D. 5.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B.1<x 1x 2<e C.1<x 1x 2<10 D.e<x 1x 2<10答案 A解析在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象如图.结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0，1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0，1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e 1-x ＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1，1)，e2-x ＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e 2-x －e1-x ＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1，0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1. 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)答案 D解析当x ＞0时，f (x )＝2x －1.令f (x )＝0，解得x ＝12；当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ，此时函数f (x )＝e x ＋a 在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程e x ＝－a 在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y ＝e x 在(－∞，0]上的值域为(0，1]，所以0＜－a ≤1，解得－1≤a ＜0.故选D.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，1)解析画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图，由于函数g (x )＝f (x )－m有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫34，1解析画出函数f (x )的图象如图.要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.9.(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.答案 (0，2)解析由f (x )＝|2x －2|－b ＝0 得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.10.已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32解析当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ，当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ，当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x－a ，….f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图象，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45.当x ＜0时，同理可得a ∈⎣⎡⎭⎫43，32. 综上，a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32. 11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈(0，1]，1－1x，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1)上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数.由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ， ∴1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 12.已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0).(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最大值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋a ，由函数f (x )在x ＝0处取得极值，则f ′(0)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1，即有f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1. 当x ＜0时，有f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，有f ′(x )＞0，f (x )单调递增.则在x ＝0处f (x )取得极小值，也为最小值，值为2. 又f (－2)＝e －2＋3，f (1)＝e ，f (－2)＞f (1)，即有最大值e －2＋3. (2)函数f (x )不存在零点，即为e x ＋ax －a ＝0无实数解.当x ＝1时，e ＋0＝0显然不成立，即有a ∈R 且a ≠0. 若x ≠1，即有－a ＝e xx －1.令g (x )＝e xx －1，则g ′(x )＝e x (x －2)(x －1)2，当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＜1或1＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减. 即在x ＝2处g (x )取得极小值e 2，你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云当x＜1时，g(x)＜0，则有0＜－a＜e2，解得－e2＜a＜0，则实数a的取值范围为(－e2，0).你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云。

2019考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识课件方法篇专题3 函数与导数第13练

专题3 函数与导数
第 13 练必考题型——导数与单调性
题型分析高考展望
利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性 .题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.
√
)
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析
1
2
3
4
1 3.(2016· 浙江)设函数 f(x)＝x ＋，x∈[0，1].证明： 1＋x
3
(1)f(x)≥1－x＋x2；
证明
4 4 1 －－ x 1 － x 因为 1－x＋x2－x3＝＝， 1－－x 1＋x
解析答案
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围.
点评
解析答案
变式训练 2
1 3 a 2 设函数 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0， f(0))处的
切线方程为 y＝1.
(1)求b，c的值；解 f′(x)＝x2－ax＋b，
f0＝1， c＝1，由题意得即 f′0＝0， b＝0.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4. 当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数.
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)

2019版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做压轴大题突破练(一)

压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M .(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1，2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点.试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解 (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线，∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ③ 设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k－2，同理可求得y 2＝－4k－2. ∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k－2)＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .(1)解依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0).因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0，1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1. 又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0，所以OM →·NM →＝x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .3.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1).(1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积；(3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2.(1)解设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0. 设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)，则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1. (3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k m ， ∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m，∴P (－2k m ，1m). 又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2，2k ＋m )，PF 2→＝(1＋2k m ，－1m)，F 2N →＝(1，2k ＋m ). ∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m)·(1，2k ＋m ) ＝1＋2k m －1m(2k ＋m ) ＝1＋2k m －2k m－1＝0. ∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.(1)解由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ>0得0≤k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2.∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7，故所求范围是[－2，32). (3)证明由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1). 令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4 ＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1，故直线AN 恒过定点(1，0).。

(全国通用)2019版高考数学总复习考前三个月压轴小题突破练 3 与立体几何有关的压轴小题理.doc

（全国通用）2019版高考数学总复习考前三个月压轴小题突破练 3与立体几何有关的压轴小题理1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3＋4 B.2π＋43 C.π3＋4 D.π＋43答案 D解析由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，高h＝2，故其体积V 1＝12πr 2h ＝12π×12×2＝π；四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1. 故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝43.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋43.2.如图，正四面体D －ABC 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( )A.O－ABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为3 2D.异面直线AB和CD所成的角是90°答案 C解析①如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA，OB，OC两两垂直，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥BC.过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，可知BC⊥AM，∴M为BC的中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，∴N为底面△ABC的中心，∴O－ABC是正三棱锥，故A正确；②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；③由图可知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为63，则C错误；④异面直线AB和CD所成角是90°，故D正确.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF 沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC .设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为( )A.13B.24C.12D.23 答案 C解析如图，在矩形ABCD 中，过点D 作AF 的垂线交AF 于点O ，交AB 于点M .设CF ＝x (0＜x ＜1)，AM ＝t ，由△DAM ∽△FDA ，得AM AD ＝AD DF ，即有t ＝12－x，由0＜x ＜1，得12＜t ＜1.在翻折后的几何体中， ∵AF ⊥OD ，AF ⊥OM ，∴AF ⊥平面ODM ，从而平面ODM ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面ABC ，则DM ⊥平面ABC ，连接MF ，则∠MFD 是直线FD 与平面ABCF 所成角，即∠MFD ＝θ，而DM ＝1－t 2，DF ＝2－x ＝1t，则sin θ＝DMDF＝t 1－t 2＝－t 4＋t 2，由于14＜t 2＜1，则当t 2＝12时，sin θ取到最大值，其最大值为12.4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′－BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.3πB.32πC.4πD.34π 答案 A解析由图示可得BD ＝A ′C ＝2，BC ＝3，△DBC 与△A ′BC 都是以BC 为斜边的直角三角形，由此可得BC 中点到四个点A ′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S ＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. 5.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.2B.1C. 2D.22答案 C解析 ∵球心在面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径， ∴∠BAC ＝90°，底面外接圆圆心N 位于BC 的中点处， △A 1B 1C 1外心M 在B 1C 1中点上，设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt△OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴11ABB A S 矩形＝2×1＝ 2.6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( )A.36B.12 3C.24D.18 3 答案 B解析 ∵AD ⊥底面D 1DCC 1，∴AD ⊥DP ，同理BC ⊥平面D 1DCC 1，则BC ⊥CP ，∠APD ＝∠MPC ，∴△PAD ∽△PMC ， ∵AD ＝2MC ，∴PD ＝2PC ，下面研究点P 在面ABCD 内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0，0)，C (6，0)，C 1(6，6)，设P (x ，y )，∵PD ＝2PC ，∴x 2＋y 2＝2(x －6)2＋y 2，化简得(x －8)2＋y 2＝16(0≤x ≤6)，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 点坐标为(6，23)时，CP ＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P －BCD 的体积V ＝13×18×23＝123，故选B.7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP ＝x ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f (x )，则函数f (x )的图象最有可能的是( )答案 A解析球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：①当x ＝1时；②当x ＝12时；③当x ＝2时.①当x ＝1时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，且为函数f (x )的最大值；②当x ＝12时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半；③当x ＝2时，以A 为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×16×2π×2＝2π＜3π2，对照选项可得A 正确.8.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A.33 B.233 C.433 D.533答案 C解析由条件知直径SC 所对的圆周角∠SBC ＝∠SAC ＝90°，由已知∠ASC ＝∠BSC ＝45°， ∴△SBC 与△SAC 是全等的等腰三角形，设球的球心为点O ，∴BO ⊥SC ，AO ⊥SC ，即SC ⊥平面AOB ，由条件OA ＝OB ＝2，则△OAB 为等边三角形， ∴V S －ABC ＝13S △OAB ·SC ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×sin 60°×4＝433.9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球O 的体积为32π3，其中BB 1＝2，则三棱锥O －ABC 的体积的最大值为( ) A.1 B.3 C.2 D.4 答案 A解析由题意设外接球的半径为R ，则由题设可得43πR 3＝323π，由此可得R ＝2，记长方体的三条棱长分别为x ，y ，2，则2R ＝x 2＋y 2＋4，由此可得x 2＋y 2＝12，三棱锥O －ABC 的体积V ＝16xy ×1＝16xy ≤16×x 2＋y 22＝1，当且仅当x ＝y ＝6时“＝”成立.故选A. 10.(2017·浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD ，AB ＝BD ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝ 2.现将△ABD沿BD 折起，当二面角A －BD －C 处于⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－528，28B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤28，528C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，28 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，528答案 D解析如图所示，取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，∴∠AEC 即为二面角A －BD －C 的平面角，而AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE ·cos∠AEC ＝4－23cos∠AEC ，∠AEC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴AC ∈[1，7]，∴AB →·CD →＝22cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·(BD →－BC →)＝－2＋AB ·BC ·AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1－AC 22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12，设异面直线AB ，CD 所成的角为θ， ∴0≤cos θ≤122·52＝528，故选D.11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球的表面积为______________.答案13π3解析根据题意可知，三棱锥B －ACD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为1，高为 3.由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，∴正三棱柱AD ′C ′－BDC 的外接球的球心为O ，外接球的半径为r .球心到底面的距离为32，则球的半径满足r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1312，∴外接球的表面积为4πr 2＝13π3.12.如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′，DD ′分别交于M ，N 两点，设BM ＝x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长L ＝f (x )，x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′－MENF 的体积V ＝h (x )为常数. 以上结论正确的是______________. 答案 ①②④解析 ①因为EF ⊥BB ′，EF ⊥BD ，BB ′∩BD ＝B ，所以EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′成立；②因为AC ∥EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③因为MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋1， f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1，所以f (x )在[0，1]上不是单调函数； ④V C ′－MENF ＝V F －MC ′E ＋V F －C ′NE ＝13·14＋13·14＝16，故h (x )为常数.13.在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1，设M 是底面△ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M －PAB ，三棱锥M －PBC ，三棱锥M －PCA 的体积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8，则正实数a 的最小值为____________. 答案 1解析依题意，12＋x ＋y ＝13×12×3×2×1＝1，即x ＋y ＝12，∴1x ＋a y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋y x＋ax y ≥2(1＋a ＋2a )＝2(a ＋1)2，由题设2(a ＋1)2≥8，解得a ≥1，故正实数a 的最小值为1.14.(2017·江西南阳一中月考)如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为__________.答案26解析 ∵AD ⊥平面ABC ， ∴DA ⊥AB ，AD ⊥BC ， ∵AE ⊥DB ，又AD ＝AB ＝2， ∴DE ＝ 2.又∵BC ⊥AC ，AC ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∴平面BCD ⊥平面ACD ，∵AF ⊥DC ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，AF ⊂平面ACD ， ∴AF ⊥平面BCD ， ∴AF ⊥BD ，又AE ⊥BD ， ∴BD ⊥平面AEF ，由AF ⊥EF ，得AF 2＋EF 2＝AE 2＝2≥2AF ·EF ，即AF ·EF ≤1， ∴S △AEF ≤12，当且仅当AF ＝EF ＝1时“＝”成立，∴三棱锥D －AEF 体积的最大值为13×2×12＝26.。

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第39练概率的两类模型[题型分析·高考展望] 概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120 答案 C解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2.(2015·山东)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 21⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14 答案 A解析由－1≤log 21⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.3.(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析由图形知C (1，2)，D (－2，2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.4.(2016·课标全国乙)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34 答案 B解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.5.(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56B.25C.16D.13 答案 A解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 高考必会题型题型一古典概型问题例1 (1)(2016·课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815B.18C.115D.130 答案 C解析第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： ①选取的2位学生都是男生；②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.解 ①设4位男生的编号分别为1，2，3，4，2位女生的编号分别为5，6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4). 所以选取的2位学生全是男生的概率为P 1＝615＝25.②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种. 所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P 2＝815.点评求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A .(2)分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m .(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝mn 求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.变式训练1 (2016·北京)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15B.25C.825D.925答案 B解析从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.题型二几何概型问题例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22 C.π6D.4－π4(2)在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78B.34C.12D.14 答案 (1)D (2)B 解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，所以选D.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0⇒a 2＋b 2≥π得所求概率为 1－14π2π2＝34.点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A 的概率P (A )只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.变式训练2 (1)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14B.13C.23D.12(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.答案 (1)D (2)2e2解析 (1)由PB →＋PC →＋2P A →＝0，可得PB →＋PC →＝－2P A →，由向量加法的几何意义可知点P 在△ABC 的中线AD 上，且PB →＋PC →＝PE →，如图所示，由共线向量定理知PE →＝2PD →＝－2P A →，所以PD →＝－P A →，所以P 为AD 的中点，所以△PBC 的面积是△ABC 面积的12，根据几何概型可知黄豆落在△PBC 内的概率是P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选D.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x)⎪⎪⎪10 ＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.高考题型精练1.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B.13C.14D.16 答案 B解析从1，2，3，4中任取2个不同的数共有6(种)不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，故所求概率为26＝13，选B.2.(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521B.1021C.1121D.1 答案 B解析从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.3.(2016·课标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310 答案 B解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.4.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，10]内的概率为( ) A.π40B.1010C.110D.π4 答案 A解析设这两个数为x ，y ，则0≤x ≤10，0≤y ≤10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x 2＋y 2∈[0，10]，在正方形中形成的阴影面积为10π4，因此所求概率为10π4102＝π40，选A.5.设a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，现随机地抽出一对有序实数对(a ，b )使得函数f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点的概率为( ) A.527B.516C.554D.19 答案 A解析因为a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，所以(a ，b )所在区域面积为9，f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点，等价于4x 2＋4bx ＋a 2＝0有解，即是b ≥a 2，此时(a ，b )所在区域如图阴影部分，其面积为3－⎠⎛12(a 2－1)d a ＝3－(13a 3－a )⎪⎪⎪21＝53，由几何概型概率公式得到函数f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点的概率为539＝527，故选A.6.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为( ) A.6－π2B.6－π12C.1－π12D.2－π12答案 C解析因为三角形的面积为12×3×4＝6，离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为12×π×12＝π2，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝6－π26＝1－π12，故选C.7.(2016·四川)从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________. 答案 16解析从2、3、8、9任取两个数分别为记为(a ，b )，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况，所以P ＝212＝16. 8.若袋中5个外形相同的小球，其中红球2个，白球3个，现从中任取2个球，则取出的球中有红球的概率为________. 答案710解析 5个外形相同的小球，记其中的2个红球为1，2，3个白球为a ，b ，c .从中任取2个球，共有10种可能的结果，其中没有红球有3种可能的结果. 所以有红球的概率为1－310＝710.9.(2016·上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________. 答案 16解析甲同学从四种水果中选两种，选法有C 24种，乙同学的选法有C 24种.两同学相同的选法有C 24种，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为C 24C 24C 24＝16. 10.一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b 且c >b 时称为“凹数”.若a ，b ，c ∈{4，5，6，7，8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是________.答案 13解析根据题意，当且仅当a >b 且c >b 是称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A 35＝60(种)取法，在{4，5，6，7，8}中任取3个不同的数组成“凹数”有以下3种取法，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 24＝12(种)；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 23＝6(种)；将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 22＝2(种)；根据分类加法计数原理，可得共有12＋6＋2＝20(种)，所以构成“凹数”的概率为2060＝13.11.甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙闯关成功的概率为15，每人闯关成功得2分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求团体总分为4分的概率；(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率.解记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A 、B 、C ，则由已知条件得P (A )＝13，P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝15.(1)∵P (A ·B )＝P (A )·P (B )，∴P (B )＝12.同理，P (C )＝25.(2)∵每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功， ∴两人都闯关成功的概率 P 1＝23·12·25＋13·12·25＋13·12·35＝310，即团体总分为4分的概率P 1＝310.(3)团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分，团体总分为6分，需要三人都闯关成功，三人闯关都成功的概率P 2＝13·12·25＝115.由(2)知团体总分为4分的概率P 1＝310，∴团体总分不小于4分的概率P ＝P 1＋P 2＝310＋115＝1130.12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p ，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q .(1)求p 和q 的值；(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.解 (1)∵14＋14＋13＋p ＝1，∴p ＝16，又∵4q ＝1，∴q ＝14.(2)最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在C 、D 、E 三处相遇).设在C 、D 、E 三处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E ，则p C ＝(16×16)×(14×14)＝136×16，p D ＝2(16×14)×2(14×14)＝16×16，p E ＝(14×14)×(14×14)＝116×16，∴p C＋p D＋p E＝132(118＋13＋18)＝372304，即所求的概率为372304.。

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