一阶微分方程习题课1

dy P( x )y Q( x )y n dx
( n 0,1)
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1 n ,
(5) 全微分方程
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
d y d y dt d y 令 t = x – 1 , 则 dx d t dx d t
d y 3t 2 y 2 dt 2ty
(齐次方程)
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y 2 ( x 3 y ) d x (1 3 x y 2 ) d y 0
2 2 y x d x d y 3 y ( yd x xd y ) 0 变方程为 2 y 两边乘积分因子
解法 令
x X h, 化为齐次方程． y Y k， （其中h和k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
dy P( x )y Q( x ) dx 齐次． 当Q( x ) 0, 当Q( x ) 0, 非齐次.
解法
齐次方程 分离变量法
非齐次方程 常数变易法 积分因子法
(4) 伯努利(Bernoulli)方程
提示: (1) 因 e
y3 x
e e x , 故为分离变量方程:
y3
y e
2 y3
d y ex dx
通解
1 y3 eБайду номын сангаас ex C 3
(2) x y x 2 y 2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y x
(分离变量方程)
(2) 将方程改写为
dy 1 y3 y d x 2 x ln x 2x
(伯努利方程) 令 z y 2
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y (4) y 2 ( x 3 y ) d x (1 3 x y 2 ) d y 0
提示: (1) 原方程化为
du u ln u 令u=xy,得 dx x
（1）公式法
1 P Q 若 ( ) f ( x) Q y x 1 Q P 若 ( ) g( y ) P x y
（2）观察法
f ( x ) dx 则 ( x) e ;
g ( y ) dy 则 ( y) e .
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
注意： 全微分方程
P Q y x
解法 （1）直接凑微分法
（2）线积分法
（3）偏积分法
(6) 可化为全微分方程的方程
若 ( x , y ) 0 连续可微函数，且可使方程
( x , y ) P ( x , y )dx ( x , y )Q( x , y )dy 0 成为全 微分方程.则称 ( x , y ) 为方程的积分因子.
（3）分组求积分因子法
（7）一阶隐式方程 dy F x, y , 0 形式 dx
dy y f ( x, ), 或 1. dx dy , 解法 令 p dx
2.
解法
dy x f ( y , ), dx
dy dy F ( x, ) 0 或 F ( y, ) 0 dx dx

y x
2
y x
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
x 0 时， y 1
1 (3) y 2x y 2

y x
dx 2 2 x y , 调换自变量与因变量的地位 ,化为 d y
用线性方程通解公式求解 .
6x 3 3x y 2 (4) y 2 3x y 2 y 3
一阶微分方程习题课
一、主要内容 1、七种类型的一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的微分方程 g( y )dy f ( x )dx 解法
g( y )dy f ( x )dx
(2) 齐次型方程 解法
dy y f( ) dx x
y 作变量代换 u x
可化为齐次的方程
dy ax by c f( ) dx a1 x b1 y c1
方法 1 方法 2
这是一个齐次方程 . 化为微分形式
y 令u x
( 6x 3 3x y 2 ) d x ( 3x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
例3. 求下列方程的通解:
(1) x y y y ( ln x ln y )
(2) x 2dy 2 y 2dx 0;
齐次 可分离
伯努利
1 2 (3) (1 xy )dx ( x x )dy xdx ydx ; 2 可分离 全微分
(4) xy y 2 xy ;
齐次
伯努利
例2. 求下列方程的通解
2 2 1 y3 x ( 2 ) x y x y y; (1) y 2 e 0; y 3 2 1 6 x 3 x y (3) y ; ( 4) y 2 . 2 3 2x y 3x y 2 y
x d x y 2 d y 3 ( yd x xd y ) 0
参数法
三个标准类型: 可分离变量方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量
代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
二、典型例题
例1. 判断下列方程的类型
(1) ( x y )dx xdy 0; 齐次 线性 全微分