1999年高考数学试题(广东)及答案

1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（广东卷）

第I 卷（选择题 60分）

参考公式：

三角函数的积化和差公式

()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

1

sin sin

正棱台、圆台的侧面积公式 ()l c c S +'=2

1

台侧

其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式

()

h S S S S V +'+'=31

台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高

一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60

题目要求的。

（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

（A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S （C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S

（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{}

,4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

（3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于

（A ）a （B ）1

-a （C ）b （D ）1

-b

（4）函数()()()0sin >+=ω?ωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数

()()?ω+=x M x g cos 在[]b a ,上

（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是

（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos （6）在极坐标系中，曲线??

?

?

?-

=3sin 4πθρ关于 （A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称（C ）点??

?

??3,2π中心对称 （D ）极点中心对称

（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正

三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123 （8）若()

,3

23322103

x a x a x a a x +++=+则()()2

312

20a a a a +-+的值为

（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2

（9）直线0323=-+y x 截圆42

2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为

（A ）

6π （B ）4π （C ）3π （D ）2

π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2

3

=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为

（A ）

2

9 （B ）5 （C ）6 （D ）215

（11）若,22

sin ??? ??<<-

>>παπ

αααctg tg 则∈α

（A ）??? ??--4,2ππ （B ）??

? ??-0,4π （C ） ???

??4,0π （D ）??? ??2,4ππ

（12）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，

软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有

（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种

第II 卷（非选择题 90分）

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）设椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1

l 的距离，则椭圆的率心率是_____。

（14）在一块并排10龚的田地中，选择2龚分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一龚，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6龚，则不同的选龚方法共有_____种（用数字作答）。 （15）若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____。

（16）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________。

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分） 解不等式.04lg 22lg 3=+<-x x （18）（本小题满分12分）

设复数.sin 2cos 3θθi z +=求函数()??

?

?

?

<

<-=20arg πθθz tg y 的最大值以及对应的θ值。 （19）（本小题满分12分）

如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面

ABCD 所成的角为.,45a AB =ο

（I ） 求截面EAC 的面积；

（II ） 求异面直线11B A 与AC 之间的距离； （III ） 求三棱锥BAC B -1的体积。

（20）（本小题满分12分）

右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（I ） 输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率 不超过0r 。问冷轧机至少需要安装多少对轧锟？

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟，所有轧辊周长均

为1600.mm 若第k 对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，庇点的间距为.

L 为了便于检修，请计算L 、L 、L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。

已知函数(

)x f y

=的图象是自原点出发的一条折线，当()Λ,2,1,01=+≤≤n n y n 时，该图象是斜率为

n b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()()Λ,2,1==n n x f n 定义。

][输入该对的带钢厚度

从该对输出的带钢厚度

输入该对的带钢厚度一对轧锟的减薄率-=

（I ） 求1x 、2x 和n x 的表达式； （II ） 计算n n x ∞

→lim ；

（III ） 求()x f 的表达式，并写出其定义域； （22）（本小题满分14分）

如图，给出定点()()1,00,≠>a a a A 和直线1:-=x l ，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C 。求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（广东卷）参考答案

一、选择题（本题考查基本知识和基本运算）。

（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B （6）B （7）B （8）A （9）C （10）D （11）B （12）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

（13）

2

1

（14）12 （15）[)+∞,9 （16）n m n m ⊥?⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥?⊥⊥⊥n m n m ,,

三、解答题

（17）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。

解：设y x =-2lg 3，原方程化为 022

=+-y y ， 解得 2,1=-=y y 因为 02lg 3≥-x ，所以1-=y 舍去。

由

22lg 3=-x

得 2lg =x 所以 100=x

经检验，100=x 为原方程的解。

（18）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查 综合运用所学数学知识解决问题的能力。

解：由2

0π

θ<

<得.0>θtg

由θθsin cos 3i z +=得().3

2

cos 3sin 2arg θθθtg z tg ==

故 ()z tg tgy arg -=θ

θ

θ

θtg tg tg 3

2

132+-= ,231θθtg tg += ∵

,6223

≥+θθ

tg tg ∴ .12

6

23

1≤

+θθ

tg tg 当且仅当

??

? ??

<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号。

所以当26arctg

=θ时，函数y 取得最大值

.12

6

（19）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、

空间想象能力及运算能力。

（1） 解：连结BD 交AC 于O ，连结EO ∵ 底面ABCD 是正方形，∴ DO ⊥AC 又 ∵ ED ⊥底面AC ， ∴ EO ⊥AC

∴ ∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角。 ∴ .45ο

=∠EOD

.45sec 2

2,2,22a a EO a AC a DO =?===

ο 故 .2

22

a S EAC =? （II ）解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ， 又A A 1⊥,11B A

∴ A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线。 ∵ 11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO ， ∴ 11B D ∥EO

又O 是DE 的中点，∴ E 是D D 1的中点，11B D =2EO=2a

∴ D D 1.2221a DB B D =-=

异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a

III ．解法一：如图，连结11B D

∵ D D 1=DB=.2a ∴ 11B BDD 是正方形 连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q

∵ D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1，∴ D B 1⊥EO 又 AC ⊥EO ，AC ⊥ED ∴ AC ⊥面11B BDD ，

∴ D B 1⊥AC ，∴ D B 1⊥面EAC ∴ Q B 1是三棱锥

EAC B -1的高。

由DQ=PQ ，得.23

4311a D B Q B ==

∴ .4

22322313

21a a a V EAC B =??=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.4

23

a 解法二：连结O B 1，则112EOB A EAC B V V --=

∵ AO ⊥面11B BDD ，

∴ AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .2

2a =

在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则

.4

32

1a S EOB =

? ∴ .422243312321a a a V EAC

B =???=- 所以三棱锥EA

C B -1的体积是.4

23

a

（20）本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知

识和方法解决实际问题的能力。

（1） 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧绲后厚度为().10n

r a -为使输出带钢的厚度不超过

β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

()β≤-n

r a 01即().10a

r n β≤-

由于(),0,010>>-a

r n

β对比上式两端取对数，得().lg 1lg 0a r n β≤-

由于(),01lg 0<-r 所以()

.1lg lg lg 0r a

n --≥

β

因此，至少需要安装不小于

()

01lg lg lg r a

--β的整数对轧辊。

（II ）解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两 疵点间带钢的体积为

()?-?k

r a 11600宽度()

,%20=r 其中

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()?-?4

1r a L k 宽度

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得 ()=-?k

r a 11600()

4

1r a L k -?(),%20=r

即 .8.016004

-?=k k L

由此得 (),20003mm L = (),25002mm L = ()mm L 31251=

钢体积相等，因宽度不变，有

(),2.0116003-?=L

所以 ().20008.01600

3mm L ==

同理 (),25008.032mm L

L ==

().31258

.021mm L

L ==

填表如下

（21）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。 （I ） 解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图 象是斜率为10

=b 的线段，故由

()()10

011=--x f x f 得.11=x 又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图象是斜率为b 的线段，故由

()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=- 得.1

12b

x +=

记.00=x 由函数()x f y =图象中第n 段线段的斜率为1

-n b ，故得

()().11

1---=--n n n n n b x x x f x f 又 ()()1,1-==-n x f n x f n n ，∴ .2,1,11

1

Λ=??

? ??=---n b x x n n n

由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为

.1b

因,1≠b 得()∑=----??? ??-=+++=-=n

k n n k k n b b b b b x x x 11

11,11111Λ即 .1

11

-???

??-=

-b b b x n n

（II ） 解：由（I ）知.1

11

-??? ??-=

-b b b x n n 当1>b 时，111lim lim 1-=-?

?? ??-=-∞→∞

→b b b b b x n n n n ； 当10<

（III ） 由（I ）知：

当10≤≤x 时，.x y =即当10≤≤x 时，()x x f =； 当1+≤≤n y n 时，即1-≤≤n n x x x 时，由（I ）可知，

()()().,2,1Λ=-+=n x x b n x f n n

由（II ）知：

当1>b 时，()x f y =的定义域为??

????

-1,

0b b ；

当10<

（22）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点 轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。

解法一：依题意，记()(),,1R b b B ∈-则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=

设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等。根据点到直线的距离公式得.12

b

bx y y ++=

①

依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x a

b

y -+-= 由0≠-a x ，得().1a

x y a b -+-

= ②

将②式代入①式得()()(),1112

2222

???

???-+-=?????

?-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[]

.01212

22=++--y a ax x a y

若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--001212

2

；

若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式。 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--001212

2

因为0≠a ，所以().01111222

2

a x a a y a a a a x <≤=-+?

?

?

??-?

?? ??

-- 由此知，当10<a 时，方程③表示双曲线一支的弧段；

解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足。 （i ）当|BD|≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<

由CE ∥BD 得 ().1a k

a y

EA DA CE BD +-=

?= ∵ ∠COA=∠COB=∠COA -∠BOD=π-∠COA-∠BOD ，∴ 2∠COA=π-∠BOD

()()BOD tg BOD tg COA tg COA

tg COA tg ∠-=∠-∠-∠=

∠π,1222

().1,a x

a y OD BD BOD tg x y COA tg +-==∠=∠ ∴ (),1122

2a x a y x

y x y

+--=-?

整理得 ()()().001212

2a x y a ax x a <<=++-- （ii ）当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式。

综合（i ），（ii ），得点C 的轨迹方程为()()().001212

2a x y a ax x a <≤=++--

以下同解法一。