直线与抛物线的位置关系教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

一、教材分析及教学对象分析

从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲

线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用•鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应

的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的

系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的

部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课采用类比的方法研究“直线与抛

物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用

二、教学目标

1知识与技能掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长

三、教学重点直线与抛物线的位置关系及其判断方法

四、教学难点直线与抛物线的位置关系的判断方法

五、教学方法多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类则分别为没

有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做相离、相切、相交•类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？提问的目的：

1、类比直线与圆的位置关系得出直线抛物线的三种位置关系；

2、“直线与圆只有一个交点叫做相切”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

二、新课推进

2.我们先来判断下列直线与抛物线的位置关系，体会我们所使用的方法

（1）y 一-1 与y = x2；

（2）x=0 与y2= x；

（3）y =1与y2 = x ；

（4）y = x 与y = x .

提问的目的：由于给定的直线方程与抛物线方程都比较简单，有一部分同学会利用“几何图

形判断法”，一部分同学会利用“代数方法”（在这里体现为“解方程组”），通过这两种方法

都可以判断出直线与抛物线的位置关系.有了这样一个简单的题组训练，我们来看下面这样

一个问题即例6.

本环节的疑问：可否通过以上几个例子总结直线与抛物线的三种位置关系：相离（无交点）；相切（只有一个交点且直线不平行于抛物线的对称轴）；相交（两个交点或直线平行于抛物

线的对称轴），同时强调位置关系中“抛物线”与“圆”的区别

三、新课讲授

2

例6已知抛物线的方程为y2 =4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k. k为何值时，直线l

2

与抛物线y2=4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

例题设计思路及目的：在本例中，学生会沿用上述四个例子的方法即几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定（几何画板演示）；若利用解方程组的方法，也行不通.这必然会导致学生在认知上的冲突，面对这样一个新的问题，我们该如何去解决呢？此处引

导学生分析：判断公共点个数的问题我们还有必要去解出方程组吗？那么直线与抛物线的公共点个数情况与对应的方程组有什么关系呢？（根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在

抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解；直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与

抛物线方程组成的方程组就有几个解），这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的

个数的问题，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思

想、数形结合的思想•

那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y ）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（利用预设幻灯片展示各种可能的消元方

法，通过比较得出最好的一种消元方法）•消元后的方程ky2 -4y • 4（2k 1） = 0①这

样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数

提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型

也不同•若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点•若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由

于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号•当判别式厶• 0时，

方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式抡-0 时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当

•> ：：：0

时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点•该环节体现了转化

的思想与分类讨论的思想•

根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，并且利用几何画板从图形上解释k的

各种取值情况所对应的直线与抛物线的位置关系，同时让学生总结出“直线与抛物线的位置

关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切•后一种反映在代数上是一元二次方程

的两根相等（根的判别式人-0）,所利用的方法叫代数方法•教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤• 课堂练习1变式训练在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，

叫两个同学共同解题，解

题结束后做相应的点评• 要点一：求直线的方程要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

已知抛物线的方程为y2=4x，直线丨过定点p（0,i），斜率为k • k为何值时，直线丨与抛物2

线y2 =4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

2思考题：关于弦长和中点弦的问题