全同粒子体系

第六章 全同粒子体系

§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现

Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。

经典理论的预言是M M M z

≤≤-，连续变化。实验结果是：

.B z M M ±= e

B m e M 2

≡

(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。

Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：

,2

±=z S

这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为

.2B e

z e z M m e S m e M ==-

= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧

S ，自旋磁矩算符记为s M ∧

，则

.∧

∧

-=S m e M e

s

2. 电子自旋的描述

自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符

z

y x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵

.1001

,00,

0110⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=z y x i

i σσσ

则

.2

σ

=∧

S

Pauli 矩阵的主要性质是：

,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换

,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵

显然，z

S ˆ的对应于本征值2

±的本征矢量是：

,01,

2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z

.10,

2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-=-v S z

3. 带有自旋的电子波函数

现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。由叠加原理，

-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21

,),(),(21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。对于这种波函数，原先的公式需要稍加修正。记

(

)

,),(),,(),(21t r t r t r

*

*

+ψψ=ψ

那么，(1)归一化是：

(

).12

2

21=⋅ψ+ψ=⋅ψψ⎰⎰+

ττd d

(2)空间几率密度是：

.),(2221ψ+ψ=ψψ=+t r w

(3)自旋状态的几率是：

.2,22221ττd W d W ⋅ψ=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅ψ=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎰⎰ (4)算符的平均值是：

⎰⋅ψψ=+,ˆτd G

G G ˆ是22⨯矩阵而且矩阵元是与()∇- i r ,有关的算符。

一类特殊的二分量波函数是自旋和轨道非耦合的状态：

,),(),(0⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅ψ=ψb a t r t r

0ψ只是复函数

⎰=⋅ψ,12

0τd

.12

2

=+b a

§6.2 角动量的合成

我们在很多情况下会遇到角动量合成(相加)的问题。 1. 一般的角动量

设J ˆ

是一个角动量，那么它的一般性质是：

,ˆ]ˆ,ˆ[z

y x J i J J = 和x z y x →→→的轮换. 由此不难证明：

.,,,ˆˆˆˆ,0]ˆ,ˆ[22222z y x i J J J J J J z

y x i

=++==

所以，角动量的本征态是2

ˆJ 和z

J ˆ的同时本征态。可以证明，从上面的对易关系出发，我们可以得到2

ˆJ 和z

J ˆ的本征值如下： 2ˆJ

的本征值是2)1( +j j , ,2

3,1,21,0=j z

J ˆ的本征值是 m , .,,1,j j j m --= 它们的同时本征态记为m j ,，即

,)1(,ˆ22m j j j m j J

+= .,,ˆm j m m j J z

= 我们看到，以上的本征值系列既包括了轨道角动量的),2,1,0( =j ，也包括了自旋的)2/1(=j 。 2. 角动量合成的一般规则

设1ˆ

J 和2ˆJ 是两个互相独立的角动量，这意思是说，它们的分量分别满足上面的对易关系，

而它们互相之间是对易的：

[].,,,,

0ˆ,ˆ21z y x k i J J k

i

==

1ˆ

J 和2ˆJ 的矢量和记为

,ˆˆˆ21J J J += 即是.,ˆˆˆ21 x

x x J J J += 那么首先，J ˆ

仍然是角动量，即它的分量也满足上面的对易关系。其次，我们可以构造22

212ˆ,ˆ,ˆ,ˆJ J J J z 的同时本征态，它们的本征值之间满足下面的关系： ,,,1,212121j j j j j j j --++=

或 .2121j j j j j +≤≤-

这个合成法则是量子力学中的重要法则。在直观上，这是矢量相加的三角形法则的结果，因为三角形的三条边c b a ,,必然满足关系

.c b a c b +≤≤-

所以上述关系又称为三角形关系。