几何证明初步单元说课稿
第11章几何证明初步单元说课稿
一、单元知识树：
二、设计说明：
（一）地位和作用：
本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形的基础上安排学习的，在这之前，学生已经积累了一定的观察、实验、归纳、猜测、交流与反思等数学活动经验，探索出了一些基本的平面图形的性质和判定方法，具有了一定的作图、表达的技能和合情推理的能力。因此学习平面图形的性质证明，体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，已势在必然！
本章只是几何证明初步，目的在于使学生掌握基本的证明格式，体会通过合情推理探索的某些结果，运用演绎推理加以证明，从而获取数学结论的过程，这是继续学习平行四边形、圆以及
高中数学知识的重要基础。
二、教材说明
本章包括定义与命题、为什么要证明、什么是几何证明、三角形内角和定理、利用全等三角形证明的定理、反证法共6节。全章以演绎几何为主，将以前在实验与探究等教学活动中，通过合情推理发现的角、平行线、三角形等几何图形的性质和判定方法，除列出了8条基本事实作为公理外，凡《标准》中规定须证明的定理，在本章中都通过综合法推理谁的格式给予论证，对学生进行规范的命题证明的训练。
对已知发现的数学事实为什么要证明，这一直是初学者感到困惑的问题，尽管《标准》中作为要求提出让学生“知道证明的意义和证明的必要性”，然而几乎所有教材都没有明确回答这个问题。本教科书为回答这个问题，单设一节“为什么要证明”。通过从观察、实验、归纳、类比等活动中得到的结论不一定都正确的事例，引导学生探究、交流，使其感悟证明的意义及证明的必要性。接着本章又独设“什么是几何证明”一节，将《标准》列出的8条基本事实以及等式、不等式的基本性质看成本套教科书的公理，其他命题的真实性都要由公理、定义、已证实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实。该节以证明“两直线平行，同旁内角互补”“对顶角相等”为例，介绍了几何证明的一般步骤，目的是使学生了解综合法证明几何命题的格式，并为本节第3课时证明“同位角相等，两直线平行”和引出原命题、逆命题的概念打下基础。这两节的安排是本套教科书的特色之一。
由于三角形的有关知识是“空间与图形”领域中的核心内容，是研究图形相等或不等的重要工具。为此，本章安排了11.4节“三角形的内角和定理”、11.5节“几何证明举例”，内容包括了三角形内角和定理及其推论、全等三角形、直角三角形、角平分线、线段的垂直平分线等《标准》列出的有关定理。这样设计的意图是，既可以使学生体验全等三角形是证明图形性质的有力工具，又为学生学会综合法证明选取了良好的素材。
对一个几何命题，当用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一种间接证法。有关反证法的思想前面已有所孕伏，如“两条直线相交，只有一个交点”，根2不是有理数的证明步骤，进一步开拓思路，知道更多的证明方法。教科书通过几何和代数中论证过程比较简明的例题，使学生领会什么是反证法，并且归纳出反证法证明的一般步骤。
要求学生掌握有理有据地推理证明，准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书对本章内容做了比较细致的安排。
（1）注意减缓坡度，循序渐进，开始阶段，注意了控制题目的难度，有的练习只要填写依据，其他的证明题都可借助图形和公理、定理直接推出结论，书写容易规范化。这一阶段要求学生通过模仿例题做证明题，让学生熟悉证明的步骤和方法。然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进。每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。（2）在不同阶段，安排要求不同的训练项目，围绕重点，提出明确要求，便于教师掌握。第二阶段从三角形内角和定理，开始接触添加辅助线，要求学生初步体会辅助线的作用，会通过转化，独立地进行推理论证；而到了“几何证明举例”，则让学生会证明两个三角形全等，并通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等。这一阶段证明方向明确，证明过程也并不复杂，目的是让学生感受演绎的思想方法，培养和提高推理能力。
三、重点、难点和关键
本章的重点：知道利用反例可以判断一个命题是错误的；学会用综合法证明的格式，会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。
难点：区分命题的条件和结论，推理论证能力的培养，以及反证法是本章教学的难点。
解决难点的关键是，按照教科书的安排，一步一步地，循序渐进地、由简到繁地引入推理证明，培养推理论证能力。
四、课时安排
11.1 定义和命题1课时
11.2 为什么要证明1课时
11.3 什么是几何证明 2课时 11.4 三角形内角和定理 2课时 11.5 几何证明举例 4课时 11.6 反证法 1课时 回顾与总结 2课时 共计13课时
五、教法与学法：
1、本章中的许多内容，学生在以前已经历过探索过程，在教学中要把握好教学的起点，注意与学生已学知识的衍接，既要做到温故知新，又要注意避免不必要的重复，以提高教学的效益。
2、从本章开始，引入了符号推理，给出了命题的意义、结构、推理证明的步骤，并要求会写出命题的已知求证，会进行简单命题的推理证明，这是几何证明中的演绎推理的入门，力求恰当地把握的每一节的推理论证的要求，不可操之过急，教学中，注意尊重学生的差异，注意发挥学生的潜能。
3、推理证明是本章的学习重点，因此在教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如：明确命题的条件和结论，正确地写出已知和求证。会用数学的符号语言进行表达，有效地实现符号语言与图形语言的转化，明确每一步推理的依据，并能准确表达推理的过程。教师在教学时应引导学生分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明训练，逐渐使学生掌握综合法证明的思路和方法，在教学时，教师要注意给学生留出独立思考的时间和空间。
4、在本章的教学中，应使学生体验：（1）除公理外，一个命题只有经过严格、规范的证明才认为它是正确的。（2）证明的基础是有关概念的定义、规定的公理、以及已经证明的定理，这意味着我们以前所熟悉的一些结论，未必都能做为推理证明的依据。
5、掌握和体验证明的基本方法，需要证明一定数量的命题，但要避免过份追求证明题的数量及证明技巧，仅扣《标准》要求，控制证明题的难度。
六、附：单元达标测试题
八年级上几何证明初步单元达标测试题
一、选择题：
1、下列四个命题的逆命题为真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．等边三角形是锐角三角形
B ．若|a|>|b|，则a>b
D ．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
2、下列命题中，真命题是（ ）
A ．有两边相等的平行四边形是菱形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．四个角相等的菱形是正方形
D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3、指出下列语句中，①直角大于锐角；②∠AOB 是钝角？③1290∠+∠=?，那么∠1与∠2互为余角；④两条平行线不相交．是命题的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
4、△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（ ）
A ．若∠A =∠C －∠
B ，则∠
C =90o
B ．若∠
C =90o，则222c b a =+
C ．若∠A =30o，∠B =60o，则AB =2BC
D ．若2
()()a b a b c +-=，则∠C =9
5、已知四个命题：(1)如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；(2)一个数的倒数等于它本身，则这个数是１；(3)一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；
(4)如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有
Ａ．１个 Ｂ．２个
Ｃ．３个 Ｄ．４个
6、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判定它是矩形的题设是（ ）
A 、AO = CO ，BO = DO
B 、AB = B
C ，AO = CO C 、AO = CO ，BO = DO ，AC ⊥B
D D 、AO = CO = BO = DO
7、下面有三种说法，其中说法错误的有（ ）
①平行四边形两组对角分别相等； ?②一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形； ③一组对角相等并且一组对边平行的四边形是平行四边形。
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
8、 E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是（ ）
A 、对角线相等
B 、一组对边平行而另一组对边不平行
C 、对角线互相垂直
D 、对角线互相平分
9、A 、B 、C 、D 四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A 说：“是C 或D 打碎的。”B 说：“是D 打碎的。”C 说：“我没有打破玻璃窗。”D 说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（ ）
A 、A
B 、B
C 、C
D 、D
10、7、在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则BC ∶AC ∶AB=（ ）
A 、1∶2∶3
B 、1∶4∶9
C 、1∶2∶3
D 、1∶3∶2
二、填空题：
1．命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是__________，它是一个________（填“真”或“假”）命题．
2．若a ∥b ，c ⊥a ，则c 与b 的位置关系是_______．
3．如图1，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，∠C=62°，∠CAD=32°，则∠ADB=_____°．
图1 图2 图3
4．如图2，AB ∥CD ，∠2-∠1=60°，则∠2=______．
5．命题“对顶角相等”的题设是________，结论是________．
6．如图3，五角星五个角∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 的和是______．
7．如图4，有下列结论：①∠A>∠ACD ；②∠B+∠ACB=180°-∠A ；③∠A+∠ACB∠B ．其中，正确的是______（填上你认为正确的所有的序号）．
HEC>∠B ．其中，正确的是______（填上你认为正确的所有的序号）．
2
1
a b c
图4
图5
8、在同一平面内有三条直线a
、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②c∥b；③a⊥b；
④a∥c；⑤a⊥c。以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成你认为正确的命题
（只需填写序号，至少写出两个）；
9、用反证法证“一个三角形至少有两个锐角”时应先假设 .
10、图5：如图，直线a、b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，
求证：a不平行b
证明：假设，
则（），
这与相矛盾，所以不成立，所以a不平行b。
三、解答题：
1、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求四边形ABCD的面积．
2如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，求证：AB2=AP2+BP·PC．
3．如图，BD⊥CD，EF⊥DC于F，∠A=100°-∠α，∠ABC=80°+∠α，其中∠α为锐角，?求证：∠1=∠2．
4．证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．
已知：
求证：
证明：
沪教版八年级数学上册几何证明单元测试题
《几何证明》章节测试 （全卷共三个大题,满分150分,考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6个小题,每小题4分,共24分） 1．下列命题： 甲：没有交点的两条直线叫做平行线 乙：斜边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等,其中（） （A）甲、乙都是真命题（B）甲、乙都是假命题 （C）甲是假命题,乙是真命题（D）甲是真命题,乙是假命题 2.下列命题中正确的命题有（） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN 是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点 4.线段外有两点 (在同侧)使,,, ,则=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 5. 如图,中,的垂直平分线交于.交于, 则图中60°的角共有( ) A．6个 B.5个 C.4个 D.3个 6．在中,,是的平分线,,垂足为, 的周长等于（）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题12个小题,每小题4分,共48分） 7．命题是由和组成的; 8．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式 ; AB,C D AB CA CB =DA DB =80 ADB ∠= 10 CAD ∠=ACB ∠ ABC ?90,30, ACB A AC ∠=∠=AC E AB D ABC ?90 ACB ∠=, AC BC =AD BAC ∠DE AB ⊥E DBE ? AB AC AD AD CD +
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
八年级第一学期第十九章《几何证明》测验卷
八年级第十九章《几何证明》单元测试卷 【此试卷由梅陇中学唐丽娟老师提供】 班级__________姓名__________成绩_________ 一.填空（每题2分，共28分） 1、真命题的逆命题 是真命题。（填“一定”或“不一定” ） 2、在直角三角形中，两个锐角的平分线所夹的钝角的度数是 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=20cm ，那么AB= cm 。 4、直角三角形的周长为(2+6)cm ，斜边上的中线长为1cm ，那么两直角边的和 为 cm 。 5、在△ABC 中，∠C=90°，CD 是中线，∠BCD=15°，那么∠A= (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6、在等腰△ABC 中，腰AB 的垂直平分线交BC 于G ，已知AB=10cm ，△BGC 的周 长为17cm ，那么底边BC = cm 。 7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，且AC=10，AD:DC=3:2，则点D 到AB 的距离为 。 8、在Rt △ABC 中，两锐角比为1:2，斜边与较小直角边的和为21cm ，那么斜边 的长为 cm 。 9、命题“如果a=b ，那么a 2=b 2”的逆命题是 。 10、定理“等腰三角形的两底角相等”的逆定理是 。 11、等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,则这三角形最大的角是 °。 12、在Rt △ABC 中，CE 是斜边AB 上的中线，CD 是高，如果AB=10cm ，DE=2.5cm ，那么∠DCE= 。 13、在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD 是AB 边上的高，那么AD=2 1 。 14、已知等边三角形ABC 的顶点B 、C 的坐标分别为（0,0）(4,0),则顶点A 的坐 标 。
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
青岛版八年级数学下册第11章几何证明初步单元检测题B卷
青岛版第11章几何证明初步单元检测题B卷 一、选择题40分 1．下列命题中，真命题是（） A．互补的两个角若相等，则两角都是直角 B．平角是直线 C．不相交的两条直线叫平行线 D．和为180°的两个角叫做互补角 2．如图，AB∥CD,AF 分别交AB、CD于A、C并且CE平分∠DCF,∠1=800，则等于（） A．40° B．50° C．60° D．70° （2）（3） 3．如图，，那么等于（） A．180° B．360° C．540° D．720° 4．下列结论中不正确的是（） A．如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么这条直线与另一条也平行 B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线与另一条也垂直 C．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么这条直线与另一条也相交D．以上结论中只有一个不正确 5、在△ABC中，AC=BC＞AB,点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两 个顶点构成△PAB, △PBC,△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（） A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 6、△ABC中，∠C=900，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,垂足为点E,若AB=10 则△DBE周长为（） A．10 B.8 C.12 D.9 7.如图点D在AB上，点E在AC上并且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无 法判断△ABE≌△ACD的是（）
A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC 8、如图∠1=∠2，PM ⊥OA 于点M,则P 点到OB 的距离等于（ ） A.OA 的长 B.OP 的长 C.PM 的长 D.都不正确 9、如图所示，AB 的垂直平分线为MN ，点P 在MN 上，则下列结论中，错误的是（ ） A 、PA=PB B 、OA=OB C 、OP=OB D 、ON 平分∠APB 10、如图，直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC,BE 平分∠ABC ，交AD 于点 E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ） A 、AB=BF B 、AE=EB C 、AD=DC D 、∠ABE=∠DFE (9) （10） 二、填空题32分 11、在△ABC 中，（1） ，则∠B= 度； （2 ） ，则∠B= 度； （3） ， 则∠B= 度． 12、将命题“钝角大于它的补角”写成“如果…那么”的形式： 13、如图，已知：DE ⊥AB ，且∠A=∠D=290 则∠ACB= N A P M O B A F E D C B E B D O 2 1 P B M A （7） （8）
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/f616136224.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/f616136224.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/f616136224.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
青岛版数学八年级上册第五章《几何证明初步》单元测试3
《几何证明初步》单元测试题 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列语句中，不是命题的是（ ） A ．若两角之和为90°，则这两个角互补 B ．同角的余角相等 C ．作线段的垂直平分线 D ．相等的角是对顶角 2. 下列语句中属于定义的是（ ） A ．直角都相等 B ．作已知角的平分线 C ．连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 D ．两点之间，线段最短 3. 下面关于定理的说法不正确的是（ ） A ．定理是真命题 B ．定理的正确性不需要证明 C ．定理可以作为推理论证的依据 D ．定理的正确性需证明 4. 如图，在等边△中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，结论：①；②； ③；④△≌△．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到∥的是（ ） 第6题图
A ．∠1=∠2 B. ∠2=∠4 C. ∠3=∠4 D ．∠1+∠4=180° 7.如图，∥，，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图,在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ， 下列结论不一定成立的是（ ） A.AB =AD B.CA 平分∠BCD C.AB =BD D.△BEC ≌△DEC 9. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OT ⊥AB 于O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO =30°，则∠DOT 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10. 图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列选项正确的是（ ） A ．∠2=∠4+∠7 B ．∠3=∠1+∠6 C ．∠1+∠4+∠6=180° D ．∠2+∠3+∠5=360° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 写一个与直角三角形有关的定理 . 12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一 个四边形，则∠1+∠2= 度． 13. 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80°， 则∠B =______度． 14. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，那么这个三角形的最大内角 是______度. 第10题图 第12题图 第9题图
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
八年级上册几何证明题专项练习
八年级上册几何证明题专项练习 1．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB． 2．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 4．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 5．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．
6．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF． 9．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 10．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD．
11．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 12．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 13．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE． 15．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
上海东昌东校数学圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
上海东昌东校数学圆 几何综合单元测试卷（含答案解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）证明：连接CM ， ∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴ ． 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，． ∴545(x )x 5)12152- =--（，∴，解得10 OD 3 = ． 又∵D 为OB 中点，∴ 1552 4 +∴D 点坐标为（0，154)． 连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有
解得． ∴直线AD 为 ． ∵二次函数的图象过M （5 6 ，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x= 154 ． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15 4 交于点P ， ∴PD+PM 为最小． 又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点． 当x= 15 4时，45y (x )x 5)152 = --（． ∴P 点的坐标为（15 4，56 ）． （3）存在． ∵ ，5 y a(x )x 5)2 =--（ 又由（2）知D （0，154)，P （15 4，56 ）， ∴由 ，得 ，解得y Q =± 103 ． ∵二次函数的图像过M(0，5 6 )、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D （0，15 4 )，∴，解得a= 512 ． ∴二次函数解析式为 ． 又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103 ． ∴当y Q =103 时，，解得x= 1552-或x=1552 +； 当y Q =5 12 - 时，，解得x= 15 4 ．
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
青岛版八年级上册数学《第5章 几何证明初步》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年青岛新版八年级上册数学《第5章几何证明初 步》单元测试卷 一．选择题 1．下列语句中，不是命题的是（） A．延长线段AB到C B．自然数都是整数 C．有两条边相等的三角形是等腰三角形 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．如图，能推出AD∥BC的条件是（） A．∠1＝∠4B．∠1＝∠B C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4 3．下列说法不正确的是（） A．若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．在同一个平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 4．下列说法中，正确的个数有（）个 ①平面内，过一点作一条直线的平行线，只能作一条； ②平面内，过一点与一条已知直线垂直的直线只有一条； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ④两点之间的距离是指连接两点的线段． A．1B．2C．3D．4 5．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（） A．CE∥FG
B．CE＝FG C．A、B两点的距离就是线段AB的长 D．直线a、b间的距离就是线段CD的长 6．三角形的三个内角中，最小的角不大于（） A．50°B．30°C．60°D．90° 7．△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B，则△ABC的形状是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定 8．在A，B，C三个盒子中分别装有红、黄、蓝颜色的小球中的一种，将它们分别给甲、乙、丙三个人．已知甲没有得到A盒；乙没有得到B盒，也没有得到黄球；A盒中没有装红球，B盒中装着蓝球．则丙得到的盒子编号和小球的颜色分别是（） A．A，黄B．B，蓝C．C，红D．C，黄 9．5个选手P，Q，R，S，T举行一场赛跑．P胜Q，P胜R，Q胜S，并且T在P之后，Q 之前跑完全程．谁不可能得第三名（） A．P与Q B．P与R C．P与S D．P与T 10．如果l1∥l2，l2∥l3，l3∥l4，那么l1与l4的关系是（） A．平行B．相交C．重合D．不能确定 二．填空题 11．如图，如果∠B＝∠1＝∠2＝50°，那么∠D＝． 12．填空完成推理过程： 如图，∵AB∥EF（已知） ∴∠A+＝180°（） ∵DE∥BC（已知） ∴∠DEF＝（） ∠ADE＝（）
一个不等式的七种证明方法
一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)
=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法