高中数学一轮复习随堂训练第3讲《函数的奇偶性及周期性》人教版必修1
人教版高考数学一轮总复习课件-函数的奇偶性与周期性75页PPT
39、勿问成功的秘诀为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
人教版高考数学一轮总复习 课件-函数的奇偶性与周期性
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
高中数学函数的奇偶性与周期性练习(无答案)新人教版必修1
函数的奇偶性与周期性1 •函数奇偶性的定义设函数y= f(x)的定义域为A如果对于任意的x€ A,都有_________________ ，则称f(x)为奇函数；如果对于任意的x € A都有 _________ ，则称f (x)为偶函数.2 •奇偶函数的性质(1) f (x)为奇函数? f ( - x) =- f (x) ? f ( - x) + f (x) = __________ ；f (x)为偶函数? f (x) = f( -x) = f(| x|) ? f(x) -f ( -x) = _____________ .⑵f(x)是偶函数？f(x)的图象关于________ 轴对称；f(x)是奇函数？f(x)的图象关于__________ 对称.(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______ 的单调性.3•函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x + T) = __________ ，则称f(x)为_____ 函数，其中T称作f (x)的周期•若T存在一个最小的正数，则称它为 f (x)的___________ .⑵性质：①f(x + T) = f(x)常常写作f(x +》=f (x- §•②如果T是函数y = f (x)的周期，贝U kT( k € Z且k丰0)也是y= f (x)的周期，即f(x+ kT) = f (x).1③若对于函数f (x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+ a) =- f (x)或f(x+ a)= ------------- 或f(x+ a)=T x (a是常数且0)，贝U f(x)是以_____ 为一个周期的周期函数.基础练习1、已知函数f (x) = ( m- 1)x + (m-2)x + (m —7m^ 12)为偶函数，则m的值为____________ .2、如果定义域为［3 —a, 5］的函数f(x)为奇函数，那么实数a的值为_________ •3、(2015 •江西改编)已知函数f(x)是(—8,+^ )上的偶函数，若对于x> 0,都有f(x + 2) = f (x)，且当x € ［0,2)时，f (x) = log 2( x + 1)，则f( —2 012) + f(2 011) = __________ .x + 1 x + a4、设函数f (x)=------------------------- 为奇函数，则a = _________ .x5、若函数y= f (x)是R上的偶函数，且在(一8, 0］上是增函数，且f(a) < f(2)，则实数a的取值范围为例题讲解探究点一函数奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性./1-x 1 1 —(1) f(x) = (x + 1) 1 + x；(2) f(x) = x(尸+ 2)；(3) f(x) = log 2(x + x + 1 )；⑷f(x)=2 小x + x, x<0,2—x + x, x>0.变式迁移1判断下列函数的奇偶性.(1) f(x) = x2-x3；(2) f (x) = x2- 1 + .1 - x2；(3) f(x) = |x爲一3探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用1 例2函数y = f (x )(x 丰0)是奇函数，且当 x € (0,+^)时是增函数，若 f ⑴=0，求不等式f ［x (x —㊁川。
高三数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版
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考点(kǎo diǎn)1 判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝ x＋1x；
(3)f(x)＝|x＋12－|－x22；
(4)f(x)＝xx11－ ＋xx
x<0， x>0；
(5)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (6)f(x)＝22xx＋ －11.
奇函数；对于y＝loga
1＋x 1－x
，f(－x)＝loga
1－x 1＋x
＝－loga
1＋x 1－x
＝－f(x)
为奇函数．
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考点(kǎo 利di用ǎn(l)ìy2òng)函数的奇偶性求函数解析式
例 2：设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1 ＋3 x)，那么当 x∈(－∞，0)时，求 f(x)的解析式．
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从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
∴f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)． 故 f(x)为奇函数(hánshù)．
(4)∵函数(hánshù)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．
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2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性 课件(38张)
;
3.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
(+)
第3节
函数的奇偶性与周期性
[课程标准要求]
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果
∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) ,则称
关于 y轴 对称
任意的x∈R恒成立,所以(-x)3 (a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成
立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.
答案:1
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+a,则a=
当x<0时,f(x)=
.
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若 f(x+a)=
()
(4)若 f(x+a)=-
,则函数的一个周期为 2a.
()
,则函数的一个周期为 2a.
3.对称性的四个常用结论
以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数 f(x)是以 2
为周期的周期函数,f()=f(-2)=f(-)=.
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性课件
板块二 典例探究·考向突破
考向 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]； (2)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)； (3)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， . 解 (1)由于 f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是 关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(2)定义域是 R，关于原点对称， 且 f(－x)＝log2(－x＋ x2＋1) ＝log2x＋ 1x2＋1＝－log2(x＋ x2＋1) ＝－f(x)，故 f(x)是奇函数． (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原 点对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－ x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
命题角度 2 利用奇偶性求参数值 例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)为 偶函数，则 a＝___1_____. 解析 解法一：由题意得 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)＝f(－x) ＝－xln( a＋x2－x)，所以 a＋x2＋x＝ a＋1x2－x，解得 a ＝1. 解法二：由 f(x)为偶函数有 ln (x＋ a＋x2)为奇函数， 令 g(x)＝ln (x＋ a＋x2)，有 g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
命题角度 3 利用奇偶性求解析式 例 4 f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2 ＋3x＋1，求 f(x)的解析式．
解 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋ 1＝－2x2－3x＋1.
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 函数的奇偶性和周期性
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
第二章 函数与基本初等函数来自高考调研高三数学（新课标版·理）
5．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
当a≠0时，g(a)＝a2， g(－a)＝a2＋2|a|， 显然g(a)≠g(－a)， g(a)≠－g(－a)， ∴此时g(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(3)方法一：f(x)的定义域为R， x＞0时，－x＜0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)， x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)， x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)， ∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
x＋1 【答案】 (1)f(x)＝0
x－1
(2){x|－12＜x＜14} (3)x＝1
x>0 x＝0 x＜0.
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究2 奇偶函数的性质主要体现在： ①若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)； 若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)． ②奇偶函数的对称性． ③奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．
第二章 函数与基本初等函数
高考调研
高三第一轮复习 函数的性质(周期性与奇偶性)
函数的性质函数的奇偶性、周期性和对称性【提纲挈领】主干知识归纳 1.函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），则f （x ）叫做偶函数；同理如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （-x ）=-f （x ），则 f （x ）叫做奇函数. 2. 周期性(1)周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件： ①T ≠0；②f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期． 3. 对称性奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称.方法规律总结 1．函数奇偶性的判断（1）定义法：一般地，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．因此，判断函数的奇偶性，首先应考察函数的定义域．若函数()f x 的定义域不关于原点对称，则()f x 既不是奇函数也不是偶函数；若函数()f x 的定义域关于原点对称，则应进一步考察()f x -是否等于()f x ±．若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数．（2）图象法：若函数图象关于原点对称，则是奇函数；函数图象关于y 轴对称，则是偶函数.（3）性质法：在公共定义域内：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.2．周期性结论：若)()(x f m x f -=+恒成立，则)(x f 是周期为m 2的函数；若)(1)(x f m x f =+恒成立，则)(x f 是周期为m 2的函数；3.对称性：若)()(x b f x a f -=+恒成立，则)(x f 关于2b a x +=对称；若c x b f x a f 2)()(=-++恒成立，则)(x f 关于),2(c ba +对称. 【指点迷津】【类型一】函数的奇偶性【例1】：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12；(2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)； (3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x (x <0)－x 2＋x (x >0)；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.【解析】(1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12＝－x ⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12 ＝x ⎝⎛⎭⎫2x 2x －1－12＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3，或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．又∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )． ∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数． (5)函数f (x )的定义域为R .当a ＝0时，f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2. ,f (a )≠f (－a )，且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2) ＝2()|a |－122＋72≠0，∴f (x )是非奇非偶函数．∴当a ＝0时，f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． 【例2】：已知()()f x x ∈R 为奇函数，当0x >时，()(5)1f x x x =-+，求()f x 在R 上的表达式.【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f =．当0x <时，0x ->，故有 []()5()1(5)1f x x x x x -=---+=-++.∵()f x 为奇函数，∴ ()()(5)1f x f x x x =--=+-．∴(5) 1 (0),()0 (0),(5) 1 (0).x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩【类型二】函数的周期性【例4】：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图像关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值．【解析】(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图像关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图像关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝1＋x2B．y＝x＋1 xC．y＝2x＋12x D．y＝x＋ex【解析】A选项定义域为R，由于f(－x)＝1＋(－x)2＝1＋x2＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋12－x＝12x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝1e x－x，所以是非奇非偶函数．答案：D2．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1>0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x2)－f(x1)x2－x1>0(x1，x2∈[0，＋∞))，∴f(x)是[0，＋∞)上的增函数，∴f(1)<f(2)＝f(－2)<f(3)．答案：B3．(2014·高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3【解析】∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C4．(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.答案：15．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.【解析】∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －16．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. 解析：由g (x )＝f (x )＋9，故g (－2)＝f (－2)＋9＝3，∴f (－2)＝－6. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－6，∴f (2)＝6. 答案：67．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．【解析】由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎨⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，解得－1≤m <12.8．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【解析】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0 ，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． 【二级目标】能力提升题组 1. 函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．答案：C2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2【解析】∵f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4，∴f (8)＝f (0)＝0. 答案：B3. 已知f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋4，g (1)＝2，则f (－1)的值是________．解析：∵g (x )＝f (x )＋4，∴f (x )＝g (x )－4，又f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－g (1)＋4＝2. 答案：24．若偶函数f (x )对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则f ()152＝________.【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2，∴f()152＝f ()8－12＝f ()－12＝f ()12＝log 212＝－1. 答案：－1 5．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝__________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)， ∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数． ∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016. 答案：2 0166．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图像关于x ＝1对称； ④f (x )的图像关于x ＝2对称．【解析】∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4，②正确．∴f (4)＝f (0)＝0(∵f (x )为奇函数)，即①正确， 又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图像关于x ＝1对称，∴③正确， 又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图像不关于x ＝2对称，∴④错误． 答案：①②③【高考链接】1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图像关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图像如图所示，由f (x －1)>0，得－2＜x －1＜2，即－1＜x ＜3.答案：(－1,3)2 .(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ()23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12【解析】∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )．∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ()23π6＝f ()4π－π6＝f ()－π6，f ()－π6＋π＝f ()－π6＋sin ()－π6，∴f ()5π6＝f ()－π6－12.∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ()5π6＝0，∴f ()23π6＝f ()－π6＝12.故选A.答案：A3．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)【解析】因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x －1＞0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C. 答案：C。
人教A版高中数学必修一：函数奇偶性一轮复习.pptx
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zxxkw
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2.3函数的奇偶性
要点回顾
1.函数的奇偶性
(1) 如 果 zxxkw 对 于 函 数 f(x) 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 _f_(_-x_)_=_f_(x_)_，那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 _f_(-_x_)_=_-f_(_x_) ，那么函数f(x)就叫做奇函数.
题型二 函数奇偶性的应用
例3已知定义域为R的函数f(x)= (1)求a，b的值；
2x b是奇函数. 2x1 a
(2)若zxxkw对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
求k的取值范围.
解： (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
即 -1 b 0解得b 1, 2a
课时对点练
练习1： 判断下列各函数的奇偶性：
(1) y 3x 3x 2
(2) y 3x 3-x
(3 f (x) lg 1 x
)
1 x
easy
例2已知函数f(x)对一切实数x，y，都有
f(x+y)=f(x)+f(y)，
（1）求证： f(x)是奇函数； （2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
其中f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)是恒等式！
(2)利用函数的图象判定.
题型一 函数奇偶性的判断
例1判断下列各函数的奇偶性：
zxxkw
（1）f(x) (x 1) x 1 x 1
(2) f ( x) 1 x2 x3 3
题型一 函数奇偶性的判断
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性［考纲解读］ 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)［考向预测］从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有错误!f（－x)＝f(x)，那么函数f（x)就叫做偶函数关于错误!y轴对称奇函一般地，如果对于函数f关于错误!原点数（x)的定义域内任意一个对称x，都有错误!f（－x）＝－f（x），那么函数f（x)就叫做奇函数2．周期性（1）周期函数：对于函数y＝f（x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有错误!f(x＋T)＝f（x）,那么就称函数y＝f(x）为周期函数,称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个错误!最小的正数，那么这个错误!最小正数就叫做f（x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0”是“函数f（x）在区间［a，b]（a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(）(2）若函数f（x）是奇函数，则必有f（0）＝0。
()（3）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称．（）（4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．(）(5）已知函数y＝f（x)是定义在R上的偶函数，若在（－∞，0)上是减函数，则在（0，＋∞）上是增函数．()(6)若T为y＝f（x)的一个周期,那么nT（n∈Z）也是函数f(x）的周期．()答案（1）√(2)×(3)√（4）√（5)√（6）×2．小题热身（1)下列函数中为奇函数的是(）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝｜ln x｜D．y＝2－x答案A解析A是奇函数,B是偶函数,C，D是非奇非偶函数．(2）若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1）＝1,f(2)＝2,则f(3）－f(4）＝________。
人教版高考数学一轮总复习课件-函数的奇偶性与周期性共75页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
人教版高考数学一轮总复习课件-函数 的奇偶性与周期性
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、
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第3讲 函数的奇偶性及周期性
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足-则f(6)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 B
【解析】 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(6)=f(4+2)=--
又f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.
∴f(6)=0.
2.函数sinR),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
A.3 B.0 C.-1 D.-2
【答案】 B
【解析】 设sinx,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.
∵f(a)=g(a)+1=2,
∴g(a)=1.
∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足当时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于……
( )
A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5
【答案】 D
【解析】 由f(x得f(x那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5),
而时,f(x)=x-2,
所以f(1.5)=-0.5.
综上,知f(6.5)=-0.5.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时-则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 当x>0时故此时的解集为
当x<0时,-x>0,∴f(.
又∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴.∴.
∴即.
∴x<-1.
∴不等式的解集是.
5.设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为
[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为.
【答案】 [-2,7]
1.对于定义在R上的任一奇函数f(x),均有( )
A.f(x B.
C.f(x)f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0
【答案】 A
【解析】 ∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)f(.
2.(2012山东济南月考)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是
( )
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】 D
【解析】 由奇函数的定义验证可知②④正确.
3.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则
f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
【答案】 B
【解析】 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下.
4.f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数
的最小值是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.7
【答案】 D
【解析】 ∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,
∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,
则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0.
又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5).
∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)
上解的个数的最小值为7.
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)
【解析】 ∵f(x-4)=-f(x),∴T=8.
又f(x)是奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0,
∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0.
又时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数
同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)<0.如图.
∵f(-25)=f(-
∴f(-25)
( )
A.f(-1)>f(2) B.f(-1)
【答案】 A
【解析】 由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3).
又f(x)在上为单调增函数,
∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).
7.已知函数3是偶函数,则m= .
【答案】 -2
【解析】 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则-2.
8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时则当x<0时,f(x)= .
【答案】
【解析】 ∵f(x)为奇函数,x>0时
∴当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x
即x<0时.
9.若函数f(x)=log是奇函数,则a= .
【答案】
【解析】 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即log|a|)=0.
则|a|=1,且因此.
10.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若且F(-2)=5,则
F(2)= .
【答案】 -1
【解析】 ∵f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x).
∴F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-(--af(2)-(2)+2=4.
又F(-2)=5,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1.
11.已知函数f(x)= 是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知
所以故实数a的取值范围是(1,3].
12.已知函数.
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(1)=2,试判断f(x)在上的单调性.
【解】 (1)当a=0时x),函数f(x)是偶函数.
当时常数R),
取得f(-1);
f(-1)-f
∴.
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时.
任取且.
则
.
由于且
∴.
∴.
故f(x)在上是单调递增函数.
13.函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
【解】 (1)依题意得
即
∴.
(2)证明:任取
. 14.若定义在R上的函数f(x)对任意的R,都有成立,且当x>0时
∵
∴.
又
∴.
∴.
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1
(1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,解不等式.
【解】 (1)证明:定义在R上的函数f(x)对任意的R,都有成立,
令则
令
则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,
∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.
∴g(x)=f(x)-1为奇函数.
(2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数,
∴f(-x)-1=-[f(x)-1].
任取R,且则
∵
∴.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴.
∴.
∴f(x)是R上的增函数.
(3)∵且f(4)=5,
∴f(4)=f(2).
由不等式得
由(2)知,f(x)是R上的增函数,
∴.∴.
∴.
∴不等式的解集为.