平行线与等腰三角形知识讲解

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第09讲等腰三角形的性质和判定(解析版)

第09讲等腰三角形的性质和判定一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.四.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.例1．在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=（）A．40°B．70°C．50°D．60°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠C=∠B=70°，∴∠A=180°-70°-70°=40°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．例2．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B的度数．【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠C=35°，∴∠DAC=35°，∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．例3．已知：ABC 是等腰三角形，AB AC =，AD 是底边BC 上的高，下面结论不一定成立的是（）A ．BD CD=B ．BD AD =C ．AD 平分BAC ∠D ．B C∠=∠【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案．【解析】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：BD CD =，AD 平分BAC ∠，由等边对等角的性质可得B C ∠=∠，由等腰三角形的性质不一定有BD AD =，除非ABC 是等腰直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．例4．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，则下列结论中错误的是（）．A ．BAC C∠=∠B ．BD CD =C ．BAD CAD ∠=∠D ．B C∠=∠【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可．【解析】解：∵AB AC =，AD BC ⊥，由等腰三角形三线合一可得：BD CD =，BAD CAD ∠=∠，由等边对等角可得：B C ∠=∠，而BAC ∠和C ∠不一定相等，故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．例5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A+∠B＝∠CC．∠A＝55°，∠B＝70°D．∠A：∠B＝1：2【答案】C【分析】根据三角形的内角和进行判断即可．【解析】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；B、∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，选项错误；C、∵∠A＝55°，∠B＝70°，∴∠C＝55°，∴∠A＝∠C∴△ABC为等腰三角形，选项正确；D、∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A，∠B的度数不能确定，选项错误；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定定理及三角形内角和定理，理解掌握定理是关键．例6．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用等腰三角形的定义得到△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，接着根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝36°，然后判断△ABD和△BDC为等例则DE 的长为（A ．2【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得即可求解．【解析】解：∵=AB ∴CD =BD ，∴2ABC ABD S S =△△，∵DE AB ⊥，BF ⊥例例若B∠=例∵ADB AEC B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE (AAS )，∴BD =CE =3cm ，∴CD =DE +CE =4+3=7(cm )，故答案为：7．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD ≌△ACE ．例11．已知：如图，在ABC 中，B C ∠=∠．求证：ABC 是等腰三角形．【答案】见解析【分析】如图，作BAC ∠的角平分线AD ，证明()AAS ABD ACD ≌△△，得到AB AC =，即可得证．【解析】证明：如图，作BAC ∠的角平分线AD ，交BC 于点D ，则：12∠=∠，在ABD △和ACD 中，∵12B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABD ACD ≌△△，∴AB AC =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的判定．通过添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．例12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，过点D 作EF BC ∥，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，若9AB =，7AC =，求AEF △的周长．【答案】16【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得EBD △和CFD △都是等腰三角形，从而可得EB ED FD FC ==，，进而可得AEF C AB AC =+△，进行计算即可解答．【解析】解：∵BO 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵EF BC ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴EB ED =，同理可得，FD FC =，∴AE EF AF AE ED DF AF AE BE AF FC AB AC ++=+++=+++=+，∵9AB =，7AC =，∴16AB AC +=，∴AEF △的周长为16．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．例13．如图，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，AE //BC ，BF AE =．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)若4AF =，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE B ∠=∠，EAC ACB ∠=∠，再根据角平分线的定义可得DAE EAC ∠=∠，从而可得B ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）先根据三角形全等的判定证出ABF CAE ≅ ，再根据全等三角形的性质即可得．【解析】（1）证明：∵AE //BC ，DAE B ∴∠=∠，EAC ACB ∠=∠，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，DAE EAC ∴∠=∠，B ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴ 是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：,DAE B DAE EAC ∠=∠∠=∠，B EAC ∴∠=∠，在ABF △和CAE V 中，AB CA B EAC BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CAE ∴≅ ，AF CE ∴=，4AF = ，4CE ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．一、单选题1．如图，ABC 中，AB AC =，80B ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．50︒【答案】C 【分析】根据等边对等角可得B C ∠=∠，结合条件根据三角形内角和定理即可求解．【解析】解：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．2．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，故选C ．【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质是解决本题的关键．5．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．6．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边上的中点，54B ∠=︒，则DAC ∠等于（）A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．【解析】解：∵B∠=∴=AB AC，∴ABC是等腰三角形，∵AD平分BAC∠，∴AD是ABC的中线，∴132BD BC==；故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键．9．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，2C CDB ∠=∠，12AB ＝，3CD =，则ABC 的周长为（）A ．2B ．24C ．27D ．3【答案】C 【分析】根据题意在AB 上截取BE BC =，连接DE ，由SAS 可证CBD △≌EBD △，可得CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，可证ADE AED ∠=∠，可得AD AE =，进而即可求解．【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．11．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，下列结论：①DE DF =；②BE CF =；③BDE CDF ∠=∠；④BDE DAF ∠=∠．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D 【分析】根据三线合一得到AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，B C ∠=∠，根据角平分线的性质得到DE DF =，可判断①；证明BDE CDF ≌，可得BE CF =，BDE CDF ∠=∠，可判断②③；再根据余角的性质，结合BAD CAD ∠=∠，可判断④．【解析】解：∵AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，B C ∠=∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，故①正确，在BDE △和CDF 中，B C BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BDE CDF ≌△△，∴BE CF =，BDE CDF ∠=∠，故②，③正确；∵90BDE ADE ∠+∠=︒，90ADE DAE ∠+∠=︒，∴∠=∠BDE DAE ，又DAE CAD ∠=∠，∴BDE CAD ∠=∠，故④正确；∴正确的有①②③④，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．13．如图，等腰ABC 中AB AC =，AD BC ⊥，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC 的面积是26cm ，6cm BC =，则ADG △的周长最小值是（）A ．4.5cmB ．5cmC ．5.5cmD ．6cm【答案】B 【分析】连接GB ．利用三角形的面积公式求出AD ，由EF 垂直平分AB ，推出GB GA =，推出AG GD BG GD +=+，由BG GD BD +≥，推出3GB GD +≥，GB GD +的最小值为3，由此即可解决问题．【解析】解：如图，连接GB ．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴3BD DC ==，二、填空题15．如图所示，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，垂足为D ，则BCE ∠=______．【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到AE CE =，然后根据等边对等角得到30A ACE ==︒∠∠，最后根据角的和差计算求解即可．【解析】∵DE 垂直平分AC 交AB 于E ，30A ∠=︒∴AE CE=∴30A ACE ==︒∠∠∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．16．如图，在△ABC 中，高AD 、BE 交于H 点，若BH =AC ，求∠ABC 等于___度．【答案】45【分析】根据同角的余角相等求出∠CAD =∠HBD ，再利用“角角边”证明△ACD 和△BHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD =BD ，然后判断出△ABD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【解析】解：∵AD 、BE 是△ABC 的高，∴∠CAD +∠C =∠HBD +∠C ，∴∠CAD =∠HBD ，在△ACD 和△BHD 中，90CAD HBD ADC BDH BH AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BHD (AAS )，∴AD =BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABC =45︒．故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边上的中线，且BD ＝BE ，则∠ADE 是_____度．【答案】15【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ＝30°，∠ADB ＝90°，根据三角形内角和定理计算．【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠ADB ＝90°，∵BD ＝BE ，∴∠BDE ＝75°，∴∠ADE ＝15°，故答案为15．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握，即可解题.18．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，AB AD CD ==．若40BAD ∠=︒，则C ∠的大小为_____度．【答案】35【分析】在ABD △中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出ADB ∠的度数，然后利用ADB ∠是【答案】16【分析】设2DBC α∠=，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得据题意得出A ADE ∠=∠，则AE DE =【解析】解：设2DBC α∠=，∵BD BC=∴()11802C BDC DBC ∠=∠=︒-∠=∴90A C α∠=︒-∠=∵DE DB⊥∴90BDE ∠=︒∴()1809090ADE αα∠=︒-︒-︒-=∴A ADE∠=∠∴AE DE=∴BDE 的周长是11516BD DE BE BC AE EB BC AB ++=++=+=+=，故答案为：16．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，在ABC 中，65CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转能与AED △重合，若CD AB ∥，则CAD ∠=_________．【答案】50︒【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD =∠CAB ，根据旋转的性质可得AC =AD ，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CA D ．【解析】解：∵CD ∥AB ，∴∠ACD =∠CAB =65°，∵△ABC 绕点A 旋转得到△AED ，∴AC =AD ，∴∠CDA =∠ACD =65°，∴∠CAD =180°-2∠ACD =180°-2×65°=50°，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．21．如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若3BE =，4CD =，5ED =，则FG 的长为__．【答案】2【分析】根据平行线的性质得到EGB GBC =∠∠，DFC FCB ∠=∠，由角平分线的定义得到GBC GBE ∠=∠，FCB FCD ∠=∠，于是得到BE EG =，CD DF =，代入数据即可得到结论．【解析】解：∵ED BC ∥，∴EGB GBC =∠∠，DFC FCB ∠=∠，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，∴GBC GBE ∠=∠，FCB FCD ∠=∠，∴EGB EBG ∠=∠，DCF DFC ∠=∠，∴BE EG =，CD DF =，∵3BE =，4CD =，5ED =，∴EB CD EG DF EF FG FG DG ED FG +=+=+++=+，即345FG +=+，∴2FG =，故答案为2．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝BCA ＝44°，M 为△ABC 内一点；且∠MCA ＝30°，∠MAC ＝16°，则∠BMC 的度数为___．【答案】150°【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，延长CM 交BD 于O ，连接AO ，求出∠BAO =∠MAO ，计算∠ABO =∠AMO =46°，证明△ABO ≌△AMO ，得到OB=OM ，求出∠OMB 的度数即可得到∠BMC【解析】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，延长CM 交BD 于O ，连接AO ，∴∠OAC =∠MCA =30°，∠BAO =44°-30°=14°，∠OAM =∠OAC -∠MAC =30°-16°=14°，∴∠BAO =∠MAO ，【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．三、解答题23．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．24．如图，点D ，E 分别在BA ，AC 的延长线上，且AB AC =，AD AE =．求证：DE BC ⊥．【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．25．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．(1)求证△ABD≌△ACE；(2)当∠B等于多少度时，AB∥EC？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)60°，证明见解析【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE证得∠BAD＝∠CAE，再依据SAS即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行线的性质即可求得∠B 度数．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE；（2）解：∠B＝60°，证明如下：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠ACB＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE ＝∠B ＝60°，∴∠B ＋∠BCE ＝180°，∴AB ∥EC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．26．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是斜边上AB 上任一点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，CH AB ⊥于H 点，交AE 于G ．(1)求证：AH BH =；(2)请问AE 与EF 、BF 之间有怎样的数量关系？并说明理由；(3)求证：BD CG =．【答案】(1)见解析(2)AE EF BF =+，理由见解析(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可得证；（2）证明ACE CBF ≌V V 即可得到答案；（3）证明ACG CBD ≌，即可得证BD CG =．【解析】（1）证明： AC BC =，CH AB ⊥，AH BH ∴=；（2）解：AE EF BF =+，理由如下：AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒，90CAE ACE ∠+∠=︒，90ACE BCF ∠+∠=︒ ，CAE BCF ∴∠=∠，在ACE △和CBF V 中，AEC CFB CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ACE CBF ∴ ≌，CE BF AE CF ∴==，，AE CF CE EF BF EF ∴==+=+，即AE BF EF =+；（3）证明： ABC 是等腰直角三角形，CH AB ⊥，45ACG CBD ∠∠∴==︒，在ACG 和CBD △中，ACG CBD AC BC CAG BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ACG CBD ∴△≌△，BD CG ∴=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，是解题的关键．30．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且BD ＝BC ，求证：∠ABC ＝2∠ACD ．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE ⊥CD ，垂足为点E ．方法3：如图3，作CF ⊥AB ，垂足为点F ．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC ＝2∠ACD ，并写出其证明过程．【答案】证明见解析【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝2∠ACD．方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC＝2∠ACD．方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF＝2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠ABC＝∠ACF，进而得出∠ABC＝2∠ACD．【解析】解：方法1：如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°−∠ACD，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∴△BCD中，∠ABC＝180°−2∠BCD＝180°−2（90°−∠ACD）＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵BC＝BD，BE⊥CD，∴∠ABC＝2∠CBE，∴∠ABC＝2∠ACD；方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．∵∠ACB＝90°，∠BFC＝90°，∴∠A＋∠ABC＝∠BCF＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，即∠BCF＋∠DCF＝∠A＋∠ACD，∴∠DCF＝∠ACD，∴∠ACF＝2∠ACD，又∵∠ABC＋∠BCF＝∠ACF＋∠BCF＝90°，∴∠ABC＝∠ACF，∴∠ABC＝2∠ACD．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，注意等腰三角形的两个底角相等是解答本题的关键．(1)连接DM 并延长交BC 于N ，写出线段CN 与AD 的数量关系：；(2)写出直线BM 与DM 的位置关系：；(3)将ADE V 绕点A 逆时针旋转，使点E 在线段CA 的延长线上（如图②所示位置），（立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)CN AD=(2)BM DM⊥(3)成立，见解析【分析】（1）由90EDA ABC ∠=∠=︒可得DE BC ∥，再根据平行线的性质，推出()ASA EMD CMN ≌，证出CN DE =，因为AD DE =，即可得到CN （2）由（1）可知CN AD =，DM MN =，再由BA BC =，可得BD BN =形，且BM 是底边的中线，即可得到BM DM ⊥；（3）作DE CN ∥交DM 的延长线于N ，连接BN ，根据平行线的性质求出()ASA EMD CMN ≌，推出DBN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出【解析】（1）CN AD =，理由如下：如图1，∵AD DE =，AB BC =，45EAD AED ∠=∠=︒，45BAC BCA ∠=∠=︒，∴ABC 和ADE V 为等腰直角三角形，∴90EDA ABC ∠=∠=︒，∴DE BC ∥，∴DEM MCB ∠=∠，在EMD 与CMN 中，DEM NCM EM CM EMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMD CMN ≌，∴CN DE =，∵AD DE =，∴CN AD =；故答案为：CN AD =；（2）BM DM ⊥，理由如下：由（1）得：EMD CMN ≌，∴CN AD =，DM MN =，∵BA BC =，∴BD BN =，∴DBN 是等腰直角三角形，且BM 是底边的中线，∴BM DM ⊥；（3）BM DM ⊥仍成立，理由如下：如图2，作DE CN ∥交DM 的延长线于N ，连接BN ，∴45E MCN ∠=∠=︒，在EMD 与CMN 中，DME NMC EM CM E MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA EMD CMN ≌，∴CN DE AD ==，MN MD =，又∵18090DAB DAE BAC ∠=︒-∠-∠=︒，454590BCN BCM NCM ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴DAB BCN ∠=∠，在DBA 与NBC 中，DA CN DAB BCN BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DBA NBC ≌，∴DBA NBC ∠=∠，DB BN =，∴90DBN ABC ∠=∠=︒，∴DBN 是等腰直角三角形，且BM 是底边的中线，∴BM DM ⊥．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．32．如图，四边形OACB 中，OA OB ⊥，联结OC ，且OA OB OC ==，分别作OE AC ⊥于点E ，OF BC ⊥于点F ，垂足分别为E 、F ．(1)如图1，当OC 为AOB ∠的平分线时，试说明：OC EF ⊥；(2)如图2，延长BF 、OE 交于点D ，①直接写出线段CD 、OF 、BF 之间的数量关系______；②联结AD ，若8OF =，求四边形OADB 的面积．【答案】(1)见解析(2)①OF DC BF =+；②64【分析】（1）利用()SAS AOC BOC ≌和()AAS OEC OFC ≌得到OE OF CE CF ==，即可得出结论；（2）①利用三角形内角和性质得到ECD ∠的度数，从而得出OFD △是等腰直角三角形，由OF DF DC CF DC BF ==+=+即可得到结果；②根据()2AOD COD OFC OFB COD OFCAOBD S S S S S S S =+++=+四边形△△△△△△即可求解．【解析】（1）证明：∵OC 是AOB ∠是平分线，∴AOC BOC ∠=∠，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AOC BOC ≌，∴O C A O C B ∠=∠，∵OE AC OF BC ⊥⊥，，∴90OEC OFC ∠=∠=︒，在OEC △和OFC △中，OEC OFC OCE OCF OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴8OF DF OFD ==∠=，∵OF BC OB OC ⊥=，，∴90OFC OFB ∠=∠=︒，一、单选题1．（2016·山东滨州·中考真题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角18024492P ∴∠=︒-⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题3．（2019·四川成都·统考中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D ，E 都在边BC 上，BAD CAE ∠=∠，若9BD =，则CE 的长为_______.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【解析】因为△ABC 是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD ≅△ACE(ASA),所以BD=EC ，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.三、解答题4．（2019·江苏无锡·统考中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 相交于点0；求证：（1）DBC ECB∆≅∆（2）OB OC=【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由AB=AC 可得∠ECB=∠DBC ，继而根据已知条件利用SAS 进行证明即可；(2)由(1)根据全等三角形的对应角相等可得∠DCB=∠EBC ，继而可得答案.【解析】(1)∵AB=AC ，∴∠ECB=∠DBC ，在DBC ECB ∆∆与中BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC ECB ∆≅∆；(2)由(1)DBC ECB ∆≅∆，∴∠DCB=∠EBC ，∴OB=OC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.5．（2019·四川·统考中考真题）如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD CE =求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）3BEC ABE∠=∠【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接DE ，根据垂直的定义得到∠ADC ＝90°，根据直角三角形的性质得到DE ＝CE ，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解析】证明：（1）连接DE∵CD 是AB 边上的高∴CD AB⊥∴90ADC ∠=︒。

专题三角形中的重要模型-平分平行(平分射影)构等腰、角平分线第二定理模型(老师版)

专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。

A ．20︒B ．25︒【答案】B 【分析】根据作图可知AB 是CAE ∠【详解】解：∵12l l ∥，∴BCA ∠∵130BCA ∠=︒，∴50CAE ∠=︒例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，∵3AE =∴3AF =∵2DF =∴5AD AF DF =+=【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF 、△OEB 、△OFC 、△OBC 、△ABC 共5个，EF =BE +FC ；（2）有，△EOB 、△FOC ，存在；（3）有，EF =BE -FC ．ABC EBO模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图32【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出A ．1:1:1B ．1:2:3【答案】D 【分析】过点O 作OD BC ⊥于点条角平分线，根据角平分线的性质，OA ，OB ，OC 是ABC 的三条角平分线，ABC 的三边AB 、BC 、AC 长分别为111():():(222AB OF BC OD AC =⨯⨯⨯⨯证明：过C 作AD 的平行线交AB 于点E ．∵//EC AD ∴BD CD AB AE =::，∠1=∠3，∠∵AD 为∠BAC 的外角平分线∴∠1=∠2∴AE=AC ∴BD CD AB AC=::例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在（3）∵AD DE =，∴由（1）知：:1:1ABD EBD S S =，∵10BDE S ∆=，∴10ABD S =△，∵3,5AC AB ==，AD 平分BAC ∠，∴由（2）知：::5:3ABD ACD S S AB AC ==△△，∴6ACD S =，∴10616ABC S =+=△，故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．课后专项训练A．1B．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在△≌△，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接BOE BOK(ASA)∵,AE BD 是ABC 的角平分线，∴∴在,AOD AOK △△中，AD AO ⎧⎪∠⎨⎪⎩∵,AE BD 是ABC 的角平分线，OF AC ⊥，OF n =，∴OC 平分ACB ∠，OF OG OH n ==，且AB AC BC ++=∵111222ABC AOC AOB S S S S AB OG AB OF BC OH =++++△△△△∴11(ABC S OF AB BC mn mn =++=≠，故结论③错误；∴12AOBS AO BM=△，BOES EO BM△，∴1212BOEAOBOESS OA=△△∴13BE OEAB OA==，同理，ADAB，如图所示，1BE OE A．1个B．2个【答案】C【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；AEB ∵BE 平分ABC ∠，∴EM ∵CE 平分ACD ∠，∴EN 设ACE DCE x ∠=∠=，则1802BAC z ∠=︒-，∠FCA．EC＝EF B．FE＝FC【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠是等腰三角形，而可得A ．AD 是BAC ∠的平分线C ．点D 在线段AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】由作图可得：AD 30B ∠=︒，2,AB AC ∴=ACAC A BC5∠【答案】95【分析】根据角平分线的判定与性质可知【详解】解：过点D作DF1【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键．11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）（1）如图1，当AD 平分BAC ∠时，若5AB =，延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，如果AC 【答案】53/2139AD 是BAC ∠的角平分线，5AB =，3AC =，12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=(1)求证：CDM V 是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)1.8【分析】（1）根据题意和图形，可以求得（2）根据勾股定理可以求得BC 的长，设∵BD 平分ABC ∠，BCD ∠=∠设CD x =，则CM x =，DF x =∴6BC BF ==，∴AF AB BF =-在Rt ADF 中222AD AF DF =+【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得对等边求得CE CF =，从而求得【详解】证明：∵在ABC（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，个，故答案为：，最后依据三角形内角和求解即可．小明的解法如下：过点D 作DE AB ⊥于点∵AD 是BAC ∠的角平分线，且DE AB ⊥∴，1212ABD ADCAB DES AB S AC AC DF ⨯==⨯△△，的延长线交于点于【答案】(1)DE DF =(2)见解析(3)20(4)67【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可．(2)过点D 作DN AB ⊥于N ，过点D 作DM AC ⊥于M AP BD ⊥于点P ．仿照第一问的解答求解即可．(3)过点D 作DN AB ⊥于N ，证明ADC ADN ≌，直接利用证明的结论，列式计算即可．(4)先算2210AC AB BC =+=，后两次运用证明的结论，依次计算即可．AC ⊥，∵AD 是NAM ∠的角平分线，∴DM DN =．∴1212ABD ADCAB DNS AB SAC AC DM ⨯==⨯，1212ABD ADCBD S S CD ⨯=⨯（3）∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠∵DC DN AD AD =⎧⎨=⎩，∴ADC ADN ≌，∴∴12820AB AN BN =+=+=，故答案为：（4）解：∵90ABC ∠=︒，6AB =∵将ABC 先沿BAC ∠的平分线AD ∴6AB AE ==，BAD EAD ∠=∠∴4EC =，由（1）可得AB BD AC DC =∴13462DECS =⨯⨯=，同理可求：∴318677DEFS=⨯=，∴6FCGS =(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，ABC ，①画出BAC ∠的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用②若BAC ∠的平分线交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=；(3)如图③，E 是平行四边形延长，交AD 的延长线于点F ，连接,AE CF ，若ADE V 的面积为2，则CEF △②证明：如图，过点D 作DE ⊥∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE ∴1212ABD ACDAB DE S AB SAC AC DF ⋅==⋅，由共高定理，得：∴,EDF ECB EFD ∠=∠∠又∵AD BC =，∴DF AD ∴,DEF DEFS S =S ∴AC CD。

《平行线的有关证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《平行线的有关证明》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫命题.3.反例：要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.要点诠释：（1）命题一般由条件和结论组成.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）被人们公认的真命题叫公理.(4) 经过证明的真命题叫定理.3.证明:要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程就是证明.要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,•请举出反例.如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.【答案与解析】解：条件:等腰三角形的两条边长为5和7结论:等腰三角形的周长为17是假命题；反例:当腰长为7,底边长为5时,周长为19【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．举一反三：【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，•根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）A．直线的公理; B．直线的公理或线段最短公理C．线段最短公理; D．平行公理【答案】B【变式2】下列命题真命题是( )A．互补的两个角不相等 B．相等的两个角是对顶角C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．同角或等角的补角相等【答案】D2.叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答．【答案与解析】定理：三角形的内角和是180°；已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C；求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如下图，过点A作直线MN，使MN∥BC．∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（两直线平行，内错角相等）．∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定义），∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）．即∠A+∠B+∠C=180°．【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．类型二、平行线的判定与性质3.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.【解析】解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论：AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.4.如图，已知∠ADE ＝∠B，∠1 ＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题3】举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∴∠5＝∠3.又∠3=∠B,∴∠5＝∠B.∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).类型三、三角形的内角和定理及推论5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DA【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.【答案与解析】CB证明：如下图，连接AC ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠ACD=180°，∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°．∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°．∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°．即四边形ABCD的内角和等于360°.【总结升华】把不熟悉的多边形分成熟悉的三角形，利用三角形的内角和推导多边形的内角和是解题的关键，同理可以得到n边形的内角和公式为：（n－2）×180°.6.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB 上的一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：∠EGH＞∠ADE．【答案与解析】证明：∵ DE∥BC，∴∠ADE＝∠B．∵∠EGH＞∠B，∴∠EGH＞∠ADE（等量代换）．【总结升华】“三角形的内角和定理推论2”是证明角不等关系的重要依据之一．举一反三：【变式】在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.【答案】120°。

等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长11052=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；C A（2）例如，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x，则∠G=2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF．【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△A BCDE FG,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFEBFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ，即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

专题19 等腰三角形(归纳与讲解)(解析版)

专题19 等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.【类型】二、作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【类型】三、截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.【类型】四、加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.参考答案1．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.①点P和点Q同时出发，且速度相同，①BP＝CQ.①PF①AQ，①①PFB＝①ACB，①DPF＝①DQC.又①AB＝AC，①①B＝①ACB，①①B＝①PFB，①BP＝FP，①FP＝CQ.在①PFD和①QCD中，①DPF＝①DQC，①PDF＝①QDC，FP＝CQ，①①PFD①①QCD(AAS)，①PD＝QD.(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝E F.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝12BC，∴线段ED的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠A BE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∴∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.5．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS)． ∴∠EBF ＝∠A ，BF ＝AC.又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 与△CBD 中，⎩⎨⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS)．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A . 3B ．2C ．3D .3＋22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝4 cm .求BC 的长．【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE ＝8，求CE的长．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC 于点E.求证：CE＝2BE.【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.参考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8 cm.∴BC＝BD＋CD＝12 cm.3．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延长AD，BC交于点E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.6．证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠DEB＝90 °.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝12AB.点拨：由结论AC＝12AB和条件∠BAD＝30°，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为() A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB＝AC，BD⊥AC；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC ＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC ＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.[来源:学*科*网Z*X*X*K]10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC ＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C ＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D′的位置时，如图④， ∵AD′＝AC ，∴∠AD′C ＝(180°－∠BAC)÷2， ∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE ＝180°－(∠D′EC ＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC ＋∠AD′C) ＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2] ＝(∠BAC ＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE 的度数为20°或110°或70°.【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（） A ．9 B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=．故选：D ．【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在①ABC 中，①A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则①E 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出①C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：①①A＝40°，AB＝AC，①①ABC=①C=70°，①四边形ABCD是平行四边形，①①E=①C=70°．故选：D．【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为①BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定①ABC为等腰三角形的是（）A．①A=40°，①B=50°B．①A=2①B=70°C．①A=40°，①B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A.①C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；B、①①A=2①B=70°，①①B=35°，①①C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；C 、①C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；D 、①AB=3，BC=6，周长为14，①AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；故选C ．【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A B C ．D ．【答案】C【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案．【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒ ,CFO AEO ∴∠=∠ ,AFO AEO ∴∠=∠ 5,AE AF CF ∴=== 3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米．【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD == 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】①,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且①ABC 是等边三角形, ①①ADF①①DBE①①FEC①①DFE, ①①DEF 的面积是14．故选D ．【题型】八、含30°角的直角三角形例8、如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：① 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒= 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ①=2=2AB AC cm ，又①CAB =90°-①ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ， ①'∆BAB 为等边三角形， ①'==2BB AB ．故选：B ．等腰三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案．【详解】解：①DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4， ①EB ＝EA ＝4，①BC ＝EB ＋EC ＝4＋2＝6，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．如图，在ABC 中，5AC =，7BC =，9AB =，用图示尺规作图的方法在边AB 上确定一点D ．则ACD 的周长为（）．A ．12B ．14C ．16D ．21【答案】B【分析】根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线，可得CD BD = ，从而得到ACD 的周长为AC CD AD ++ ，即可求解．【详解】解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线， ①CD BD = ， ①9AB =，①9CD AD AD BD AB +=+== ， ①5AC =，①ACD 的周长为5914AC CD AD AC AB ++=+=+= ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 3．下列命题，错误的是（）A ．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B ．如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①BC ．等腰三角形两腰上的高相等D ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：A 、有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意； B 、如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①B ，正确，不符合题意； C 、等腰三角形两腰上的高相等，正确，不符合题意；D 、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，符合题意．故选：D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，属于基础性知识，比较简单．4．如图，点F ，E 在AC 上，AD CB =，D B ∠=∠．添加一个条件，不一定能证明ADE CBF ≌的是（）A ．AD BC ∥B ．DE FB ∥C ．DE BF =D ．AE CF =【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】A ：①AD BC ∥， ①A C ∠=∠，①在ADE 和CBF 中， A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()ADE CBF ASA ≌，正确，故本选项错误； B ：①DE FB ∥， ①AED CFB ∠=∠， ①在ADE 和CBF 中，AED CFB D BAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF AAS ≌，正确，故本选项错误； C ：①在ADE 和CBF 中， DE BF D B AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF SAS ≌，正确，故本选项错误；D ：根据AD CB =，D B ∠=∠，AE CF =不能推出ADE CBF ≌，错误，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，若1216AB BC ==，，则EF 的长为（）A ．8B ．15C ．16D ．24【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AO =CO ，①AOE =①COF ,根据平行线的性质得出①EAO =①FCO ,根据ASA 推出①AEO ①①CFO ，由全等得到OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ①AC 即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF =CF ，根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接AF ，CE ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AO =CO ，①AOE =①COF =90°， ①四边形ABCD 是矩形， ①AD ①BC ， ①①EAO =①FCO ，在①AEO 和①CFO 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩, ①①AEO ①①CFO （ASA ）， ①OE =OF ，又①OA =OC ，①四边形AECF 是平行四边形， ①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形， ①AE =CE ，设AE =CE =x ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AE =CE =x ，DE =16-x ，在Rt ①CDE 中，222CD DE AE +=,()2221216x x +-=，解得252x =， ①AE =252,①20AC =, ①12AO AC ==10,①152OE =, ①EF =2OE =15, 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF 是菱形是解题的关键．二、填空题6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．【答案】16.8【分析】过D 作DE ①AB 于E ，根据角平分线性质得出CD ＝DE ，再求出BD 长，即可得出BC 的长．【详解】解：如图，过D 作DE ①AB 于E ，①①C ＝90°， ①CD ①AC ， ①AD 平分①BAC ， ①CD ＝DE ，①D 到AB 的距离等于5.6cm ， ①CD ＝DE ＝5.6cm ，又①BD ＝2CD ， ①BD ＝11.2cm ，①BC ＝5.6＋11.2＝16.8cm ，故答案为：16.8．【点睛】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE CE ⊥于点E ，AD CE ⊥于点D ，请你添加一个条件__________，使BEC CDA ≌（填一个即可）．【答案】AC BC =（答案不唯一）【分析】两个三角形全等已具备的条件是：90ADC CEB ∠=∠=︒，ACD CBE ∠=∠，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件．【详解】解：添加的条件是AC BC =， BE CE ⊥，AD CE ⊥，90BEC ADC ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒ ，90ACB ACD ECB ∠=∠+∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在BEC ∆和CDA ∆中， 90BEC ADC ACD CBEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC CDA AAS ∴∆≅∆．故答案为：AC BC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．三、解答题8．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =．求证：AE CF =．【答案】见解析；【分析】根据矩形ABCD 的性质得出AB CD =，ABE CDF ∠=∠ ，再根据BE DF = ，用SAS 可直接证明出ABE CDF ≅，即可证明出AE CF = ．【详解】证明：ABCD 是矩形， ∴ AB CD = ,ABE CDF ∠=∠，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CDF ≅()SAS ，AE CF ∴= ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．等腰三角形（提升测评）一、单选题1．如图，点D 、E 分别为①ABC 的边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，CF ∥BA ，若①ADE 的面积为2，则四边形BCFD 的面积为（）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，证明ADEABC ；根据相似三角形的性质计算（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可求得S ABC 的面积；根据三角形全等的判定和性质定理，证明ADE ≌CFE ，可得S ADE =S CFE ，从而可得S 四边形BCFD = S ABC 即可．【详解】解：①D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点 ①DE 是ABC 的中位线 ①AE =CE ，DE ∥BC ，DE =12BC ①ADEABC①S ADE =21()2ABCS①S ADE =2 ①S ABC =8 又①CF ∥BA ①∠A=∠FCE在ADE 和CFE 中，A FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①ADE ≌CFE （ASA ） ①S ADE =S CFE①S ADE + S 四边形BCED =S CFE +S 四边形BCED ①S 四边形BCFD = S ABC =8故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相以三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．如图，Rt①ABC中，①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD ＝3，则①DBE的面积为（）A．10B．12C．9D．6【答案】C【分析】如图：过D作DF①AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：过D作DF①AB于F,①①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，①DF=CD=3①点E为AB的中点，AB＝12①BE=12AB=6①①DBE的面积为1163922BE DF=⨯⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出①DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．3．如图，Rt①ABC中，①C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP =CD 解决问题；【详解】解：当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．由作图可知：AE 平分①BAC ， ①①C =90°， ①DC ①AC ， ①DP ①AB ， ①DP =CD =5， ①PD 的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在CD 边上，GAE BAE ∠=∠，AG交BF 于点H ，连接,,EH EG CH ．下列结论：①AHE BCF △≌△；①GE BF ∥；①sin ABF ∠=①14GCH ABH S S =△△，其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】先证明①AHE ①①BCF （AAS ），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE BF ，即可判断①，由勾股定理可求BF 的长，即可求sin①ABF ＝sin①BFC ，即可判断①，由相似三角形的性质可求FH ，CH ，AO 的长，即可求出16GCHABHSS，即可判断①．【详解】解：如图，设BF 与AE 的交点为O ，设AB ＝4a ，①四边形ABCD 是正方形，①AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4a ，①ABC ＝①BCD ＝90°， ①E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ①CF ＝DF ＝2a ＝CE ＝BE ， ①①ABE ①①BCF （SAS ），①①BAE ＝①CBF ，BF ＝AE ，①AEB ＝①BFC ， ①①ABF +①CBF ＝90°＝①ABF +①BAE ， ①①AOB ＝90°＝①AOH ，又①①BAE ＝①GAE ，AO ＝AO ， ①①AOH ①①AOB （ASA ）， ①AH ＝AB ，①AOB ＝①AOH ＝90°， ①AE 垂直平分BH ，①BE ＝EH ，①ABE ＝①AHE ＝90°，①①AHE ＝①BCF ＝90°，AH ＝AB ＝BC ，①GAE ＝①BAE ＝①BCF ， ①①AHE ①①BCF （AAS ），故①正确； ①AH ＝AB ， ①①AHB ＝①ABH ， ①AB CD ， ①①ABF ＝①CFB ，①①CFB ＝①AHB ＝①CHF ， ①FG ＝GH ， ①HE ＝BE ＝CE ，①①CHE ＝①ECH ，①EHB ＝①EBH ，①①CHE ＋①ECH ＋①EHB ＋①EBH ＝2①CHE ＋2①EHB ＝180°， ①①BHC ＝①CHE ＋①EHB ＝ 90°， ①①GHC ＝①GCH ， ①CG ＝GH ， ①FG ＝GC ＝GH ＝a ，又①CE ＝BE ， ①GE BF ，故①正确；①BF ==，①sin①ABF ＝sin ①BFC ＝BC BF ==，故①正确；①①CHF ＝①BCF ＝90°，①CFH ＝①CFB ， ①①CFH ①①BFC ， ①CF CH FHBF BC CF == ，42CH FHa a ==，①CH =，FH =，①BH =，①sin ①ABF ＝AO AB ，①AO =， ①FG ＝GC ，①211122225GCHFCHS S a ==⨯=，①21132225ABHSAO BH a =⨯⨯==， ①16GCHABHSS=，故①错误，故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题5．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．【答案】【分析】连接AE ，利用ABE BCF △△≌转化线段BF 得到BF DE AE DE +=+,则通过作点A 关于BC 的对称点H ，连接DH 交BC 于点E ，利用勾股定理求出DH 的长即可．【详解】解：连接AE ，如图1，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠∠==︒，又BE CF =，ABE ∴①(BCF SAS ）． AE BF ∴=．所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE HE =，所以AE DE DH +=．在Rt ADH中，DH=∴+最小值为BF DE故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．6．正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF CE⊥交CD于点F，垂足为G，则EG=______．【分析】先证明①BFC①①CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求BF的长，由面积法可求EG．【详解】解：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，∠=∠=︒，DE＝2，BCD ADC∴==，90AD CD BC∴∠+∠=︒，90DCE DEC⊥，BF CE①①CGF＝90°，DCE CFB∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，BFC DEC∴△①CEDBFC△（AAS），2DE CF ∴==，CE BF =，BF ∴=CE ∴=1122BFCSBC CF BF CG =⨯⨯=⨯⨯，42∴⨯=，CG ∴，①EG ＝CE －CG【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BD 、DG ．(1)试判断ECF △的形状，并说明理由； (2)求BDG ∠的度数．【答案】(1)ECF △是等腰直角三角形，理由见解析 (2)45°【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义及平行线的性质证得45CEF F ∠=∠=︒，90ECF BCD ∠=∠=︒，再根据等角对等边得到EC FC =即可得到结论；（2）根据矩形性质和等腰直角三角形的性质证得BE CD =，DCG BEG ∠=∠，CG EG ，再根据全等三角形的判定与性质证明DCG BEG ≌△△得到DG BG =，DGC BGE ∠=∠，则有90BGD EGC ∠=∠=︒，进而求解即可．（1）解：ECF △是等腰直角三角形；理由如下：①四边形ABCD 是矩形，①AD BC ∥，AB CD ∥，90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，①DAE CEF ∠=∠，BAE F ∠=∠．①AE 平分BAD ∠，①45DAE BAE ∠=∠=︒，①45CEF F ∠=∠=︒，①EC FC =．又①90ECF BCD ∠=∠=︒，①ECF △是等腰直角三角形；（2）解：①四边形ABCD 是矩形，①AB CD =，AD BC ∥，①45BEA BAE ∠=∠=︒①AB BE =，即BE CD =．①EC FC =，90ECF ∠=︒，点G 为EF 的中点， ①12CG EF EG ==，1452ECG ECF ∠=∠=︒，90EGC ∠=︒， ①9045135DCG ∠=︒+︒=︒．①18045135BEG ∠=︒-︒=︒，①DCG BEG ∠=∠．在DCG △和BEG 中，DC BE DCG BEG CG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()DCG BEG SAS △≌△，①DG BG =，DGC BGE ∠=∠，①90BGD EGC ∠=∠=︒．又①DG BG =，①BGD △是等腰直角三角形①45BDG ∠=︒．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明DCG BEG ≌△△是解答的关键． 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，=AD DE ，CE AD DE BC ∥，∥，作BF CD ∥交线段DE 于点F ，连接AF ，求证：ΔΔDAF EDC ≅．【答案】证明见解析【分析】根据题意得到四边形BCDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF BC =，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出=DF CE ，即可利用SAS 证明ΔΔDAF EDC ≅．【详解】∥DE BC ，BF CD ∥，∴四边形BCDF 是平行四边形，=DF BC ∴，①CE AD ∥，=DAE CEB ∴∠∠，ADF DEC ∠=∠，①∥DE BC ，=DEA CBE ∴∠∠，AD DE =，=DAE DEA ∴∠∠，=CEB CBE ∴∠∠，=CE BC ∴，=DF CE ∴，在ΔDAF 和EDC ∆中，===AD DE ADF DECDF CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，ΔΔ()DAF EDC SAS ∴≅．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．。

等腰三角形、角平分线、平行线知二推一(2013年广州中考压轴题)

△OEC内部有三个等腰三角形。
马上CA和CE割线定理：CD*CE=CB*CA
ED x 5 1, AE 5 1
所以AE*ED=4
广州数学江志兴
（2）当OC＞时，CD所在直线于圆O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
E
E
2
D
D
2
2
A 2 O 2B C
A 2 O 2B C
方法二：连OE,OD得到径弦三角形，从 OE=OD=ED=DC，多等长想圆，马上知道 △EOC为直角三角形。从EO=2，EC=4，知道∠C=30°，从而计算出AE,AC
AEC周长 2
22 36
广州数学江志兴
（2）当OC＞2 2 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex D
（2）②本题第一个知识链接：过等腰三角形一腰上一点，作腰或底的平行线，都得到一个新年等腰三角形。
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex
a
D
Aa
a
axa
2
a
2 O 2 BC
（2）②本题第二个知识链接：等腰三角形平行线，角平分线，三者知二推一现在△AEC为等腰，OD平行AE，所以连接
，得OD为∠EOB的平分线！圆中有角平分线，就等于有弧中点，所以连 BD，必然有DB=ED=x,然后∠BDC四边形 AEDB的外角等于内对角∠A，所以这个
2013年广州中考压轴题
技巧知识点全剖析
已知AB是圆O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在圆O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD＝OA

等腰三角形性质定理(基础)知识讲解

等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【总结升华】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．5、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，AB CABAE CAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三：【变式】如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．【答案】（1）解：∵∠ABC=120°，CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．。

15.3.2 等腰三角形的判定

1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． (简称“等角对等边”)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
知1－讲
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即：等边
等角．
性判质定
（来自《点拨》）
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例1 如图，在△ABC中， P是BC边上一点，过点P 作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点 R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．
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（来自《点拨》）
总结
知1－讲
(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形的判定得出线段之间的长度关系，这是证几何题常用的方法．
总结
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(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是一个基本的图形，在以后学习平行四边形时会经常遇到．
∴OE＝BE，OF＝CF， ∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
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证明：又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°. ∴∠OEF＝∠OFE＝60°. ∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°. ∴△OEF是等边三角形．
（来自《点拨》）
1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是( ) B A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
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专题13.7 等腰三角形(知识讲解1)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练

专题13.7 等腰三角形（知识讲解1）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形定义1．如图在△ABC 中，AB ＝AC ，直线DE 垂直平分AB ，若△A=40°，则1802A ︒-∠（1）求△DBC 的度数，（2）若AB=12，BC=7,求△BCD 的周长【答案】（1）30° （2）19【分析】（1）由AB=AC ，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ABC 的度数，又由AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，可得AD=BD ，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=12，BC=7，AD=BD ，可得∠BCD 的周长等于AC+BC ．解：（1）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒， ∠18040702ABC ︒-︒∠==︒. 又∠DE 垂直平分AB ，∠DA DB =，∠40DBA A ∠=∠=︒，∠704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.（2）∠DA DB =，∠12BD DC AD DC AC AB +=+===，∠12719BDC C BD DC BC AC BC ∆=++=+=+=.答：DBC ∆的周长为19.【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质举一反三：【变式1】已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．【答案】22【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．解：当4为腰，9为底时，∠4+4＜9，∠不能构成三角形；当腰为9时，∠9+9＞4，∠能构成三角形，∠等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论.【变式2】已知一个等腰三角形的周长是12cm ，其中一边长是2cm ，求另外两边的长．【答案】5cm ，5cm【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．解：（1）若该等腰三角形的腰长为2cm ，则另外两边的长为2cm ，8cm ，根据三角形三边关系∠2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为2cm ，则腰长为()()125221cm ⨯-=，即另外两边的长为5cm ，5cm ，能构成三角形；综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为5cm ，5cm ．故答案为：5cm ，5cm ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目必须分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式3】如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，求BDC ∠的度数.【分析】由AB=AC ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC=∠C=70°，已知BD 是∠ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC 的度数，在∠BDC 中根据三角形内角和定理可求出∠BDC 的度数.解：∠AB=AC, ∠A=40°， ∠∠ABC=∠C=1(180-2︒∠A)= 70°， ∠BD 是∠ABC 的平分线， ∠∠DBC=12ABC ∠=35°，在∠BDC 中，∠BDC=180°-∠C -∠DBC=180°-35°-70°=75°.类型二、等腰三角形的性质与判定2．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得∠AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∠BD=CD ，∠ADB=∠EDC∠ADB EDC ∆∆≌，∠EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∠AB=2AD ，DEAD =∠AB=AE=EC∠∠AEC 是等腰直角三角形，故答案为45°.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.举一反三：【变式1】如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD△△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．解：证明：（1）∠AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形，理由如下：∠∠ABD∠∠ACE，∠∠ABD=∠ACE，∠AB=AC，∠∠ABC=∠ACB，∠∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∠∠OBC=∠OCB，∠BO=CO，∠∠BOC是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．【变式2】如图，△ABC ，△CDE 均是等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点E 在AB 上，求证：△CDA△△CEB ．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．解：∠∠ABC 、∠CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∠CE=CD ，BC=AC ，∠∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∠∠ECB=∠DCA ，在∠CDA 与∠CEB 中，{BC ACECB DAC EC DC=∠=∠=，∠∠CDA∠∠CEB ．【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．【变式3】如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ，D 为AC 中点，过点D 作DE△BC ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝DE ；（2）若△C ＝65°，求△BDE 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠A ，由平行线的性质可得∠C ＝∠ADE ，从而∠A＝∠ADE；（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.解：证明：（1）∠DE∠BC，∠∠C＝∠ADE，∠AB＝BC，∠∠C＝∠A，∠∠A＝∠ADE，∠AE＝DE；（2）∠∠ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，∠∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∠AB＝BC，D为AC中点，∠∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，∠DE∠BC，∠∠BDE＝∠DBC＝25°.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.类型三、等边对等角求角3．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC=72°．（1）用直尺和圆规作△ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出△ABC的平分线BD后，求△BDC的度数．【答案】（1）作图见解析（2）∠BDC=72°【解析】解：（1）作图如下：（2）∠在∠ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°，∠∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．∠AD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°． ∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC 的平分线：∠以点B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；∠分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 为半径画圆，两圆相较于点G ，连接BG 交AC 于点D ．（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC 的度数即可．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，△BAD=20°，求△C 的度数？【答案】∠C=40°【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC 可得∠DAC=∠C ，易求解．解：∠AB AD DC == ∠,B ADB CAD C ∠=∠∠=∠又ADB C DAC ∠=∠+∠∠2B C ∠=∠ ∠180BAC B C ∠+∠+∠=∠2180BAD C C C ∠+∠+∠+∠= ∠20BAD ∠= ∠解得=40C ∠【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.11．【变式2】如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=AE ，(1) 若△BAC=90°,△BAD=30°，求△EDC 的度数?(2) 若△BAC=a(a>30°),△BAD=30°，求△EDC 的度数?(3) 猜想△EDC 与△BAD 的数量关系?(不必证明)【答案】(1)∠EDC 的度数是15°；(2)∠EDC 的度数是15°；(3)∠EDC 与∠BAD 的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．解：(1)∠∠BAC=90°，AB=AC ， ∠∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=45°， ∠∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−30°=60°，∠AD=AE ， ∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=60° ∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=75°−60°=15°答：∠EDC 的度数是15°.(2)与(1)类似：∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=90°−12α，∠∠ADC=∠B+∠BAD=90°−12α+30°=120°−12α，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=α−30°，∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=105°−12α，∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=(120°−12α)−(105°−12α)=15°答：∠EDC的度数是15°.(3)∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质.【变式3】如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE．(1)若△ABC＝60°，△ADE＝70°，求△BAD与△CDE的度数；(2)设△BAD＝α，△CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．【答案】（1）20°，10°；（2）结论：α=2β，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠BAC-∠DAE，∠AED=∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；（2）α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=1802x︒-︒和∠AED=1802y︒-︒，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论．解：（1）∠AB=AC，∠∠B=∠C=60°，∠∠BAC=60°，∠AD=AE，∠∠ADE=∠AED=70°，∠∠DAE=40°，∠∠BAD=∠BAC -∠DAE=20°，∠∠AED=∠CDE+∠C ，∠∠CDE=70°-60°=10°．（2）结论：α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，∠∠ACB=∠ABC ， ∠∠ACB=180x 2︒-︒， ∠∠ADE=∠AED ， ∠∠AED=180y 2︒-︒， ∠β=∠AED -∠ACB=180y 2︒-︒-180x 2︒-︒=x y 2︒-︒=α2， ∠α=2β；【点拨】此题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．类型四、等边对等角证明4．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到∠AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．解：证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∠在ABC ∆中，AD 为中线，∠BD=CD ，在∠ADC 和∠GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∠AEF EAF ∠=∠，∠AF EF =.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．举一反三：【变式1】如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.解：证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∠DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∠DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证∠EDF 与∠CDG 全等．【变式2】如图，在ABC 中，,AC BC AD =平分BAC ∠交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C ∠的度数．【答案】90C ∠=︒【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x ∠=，再得到∠=∠=∠=BAC B EDB x ，证明2,C x ∠= 然后利用内角和定理求解即可．解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∠AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∠=∠．∠,==AE AC AD AD ，ADC ADE ∴≌，∠,,CD DE AED C =∠=∠∠AC CD AB +=，AE BE AB +=，∠CD BE =，∠DE BE =，∠B EDB ∠=∠．∠AC BC =，∠BAC B =∠∠．设∠=∠=∠=BAC B EDB x ，则2∠=∠+∠==∠AED B EDB x C ．∠在ABC 中，2180x x x ++=︒，解得45x =︒，∠90C ∠=︒．【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3】如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，根据D 为BC 的中点，得到BD CD =，再根据DE AB ⊥，DF AC ⊥，得到90BED CFD ∠=∠=，利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =．解：AB AC =，∴B C ∠=∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=，D 为BC 的中点，∴BD CD =，在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∠CFD △()AAS ，∠DE DF =．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的关键．类型五、三线合一求解5．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝80°，AD△BC ，AD ＝AB ，联结BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求△E 的度数．【答案】30°．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA ，再根据三角形外角的性质即可求解．解：∠AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD∠BC ，∠∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°， ∠AD ＝AB ，∠∠BDA ＝12×（180°﹣40°）＝70°， ∠∠E ＝∠BDA ﹣∠CAD ＝70°﹣40°＝30°．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量．举一反三：【变式1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E .（1）求证：ACD ∆△ECD ∆；（2）若BE EC =，求ADE ∠的度数.【答案】（1）见解析（2）120°.【分析】（1）由角平分线得出∠ACD ＝∠ECD ，再由∠CED ＝∠A 和公共边，根据AAS 证明ACD ∆∠ECD ∆即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BD ＝CD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠DCE ，因此∠ACD ＋∠DCE ＋∠B ＝90°，即可得到∠B 的度数，即可求解．解：（1）证明：∠CD 平分ACB ∠，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠DE BC ⊥，∠∠DEC ＝90°，∠∠DEA ＝∠C ，在ACD ∆和ECD ∆中，ACD ECD A DEC CD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠ACD ∆∠ECD ∆（AAS ）．（2）解：∠BE EC =，DE BC ⊥，∠DE 垂直平分BC∠BD ＝CD ，∠∠B ＝∠DCE ，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠∠ACD ＝∠ECD ＝∠B ，∠∠ACD+∠ECD ＋∠B ＝90°，∠∠B ＝30°∠∠BDE=90°-∠B=60°，∠∠ADE=180°-∠BDE=120°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于点D ，CE △AB 于点E ，AE ＝CE ，AD 与CE 相交于点F ．（1）求证：△AEF △△CEB ；（2）若AF ＝6，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先证明∠EAF ＝∠ECB ，再由ASA 证明∠AEF∠∠CEB 即可；（2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案．解：（1）证明：∠AD∠BC ，∠∠B+∠BAD ＝90°，∠CE∠AB ，∠∠B+∠BCE ＝90°，∠∠EAF ＝∠ECB ，在AEF ∆和CEB ∆中，AEF BEC AE CEEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠AEF CEB ∆∆≌（ASA ）；（2）解：∠AEF CEB ∆∆≌，∠6AF BC ==，∠AB ＝AC ，AD∠BC ，∠116322CD BD BC ===⨯=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式3】在等腰ABC 中，AB AC =，8BC =，100BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，4=AD ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求B 的度数；（2）求三角形BDE 的面积．【答案】（1）40°；（2）4【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；（2）根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD 是等腰∠ABC 底边BC 上的高，根据中线的性质求得答案即可．解：（1）∠AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠∠B ＝∠C ＝12（180°−∠BAC ）＝40°；（2）∠AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∠AD∠BC ，BD=CD=12BC=4， ∠点E 是AB 的中点，∠S ∠AED ＝S ∠BED ＝12S ∠ABD ＝12×12AD•BD ＝12×12×4×4＝4．【点拨】此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．类型六、三线合一证明6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上的中点，DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和F ．求证：DE=DF ．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质，可得DE=DF．解：连接AD∠AB=AC，点D是BC边上的中点∠AD平分∠BAC∠DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∠DE=DF【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE△AB交AD 的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】答案见解析．试题分析：由等腰三角形三线合一性质可得∠BAE=∠CAE，由CE∠AB可得∠E=∠BAE，进而可得∠E=∠CAE，所以AC=CE，又因为AB=AC，所以CE=AB即可证明.试题解析：证明：∠AB =AC ，AD 是BC 边上的高，∠∠BAE =∠CAE ，∠CE ∠AB ，∠∠E =∠BAE ，∠∠E =∠CAE ，∠CE =AC ，∠AB =AC ，∠CE =AB ．点拨：本题主要掌握等腰三角形三线合一性质记忆平行线的性质.【变式2】已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．【分析】连接AD ，根据等腰直角三角形的性质可得AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，从而得出45EAD C ∠=∠=︒，再利用SAS 证出ADE CDF ≌，即可得出结论．解：连接AD∠ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 中点，∠AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，∠45EAD C ∠=∠=︒，在ADE 和CDF 中EAD C AD A CF CD E ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=，∠ADE CDF ≌，∠DE DF =【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．【变式3】已知：如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，点D 在CB 边上，△DAB=△B ，点E 在AB 边上且满足△CAB=△BDE.求证： AE=BE.解：分析：由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE 可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE∠AB ，再由∠DAB=∠B 证得AD=BD 即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.详解：∠∠C=90°，∠∠CAB+∠B=90°，∠∠CAB=∠BDE ，∠∠BDE +∠B=90°，∠∠DEB=90°，∠DE∠AB ，∠∠DAB=∠B ，∠DA=DB ，∠AE=BE.点拨：由∠CAB=∠BDE 结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE∠AB 是解答本题的关键.类型七、根据格点画等腰三角形7．如图，在4×4方格中，按要求作出以AB为边，第三个顶点在格点上的等腰三角形ABC．（1）面积为2（2）面积为2.5（3）面积为（要求不与1、2图形全等）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1.5.【分析】（1）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（2）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（3）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案．解：（1）如图（1）所示：∠ABC即为所求；（2）如图（2）所示：∠ABC即为所求；（3）如图（3）所示：∠ABC即为所求．故答案为：1.5．【点拨】此题主要考查网格中三角形的综合问题，熟练掌握，即可解题.举一反三：【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下列要求画图：（1）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画等腰三角形ABC （只画一个即可）；（2）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形.【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析.【分析】（1）以AB为腰，找到C点使BC=AB，连接即可；（2）将AB绕A点顺时针旋转90°，将AB绕B点逆时针旋转90°，即可找到正方形的另外两个顶点.解：（1）如图所示，（2）如图所示，【点拨】本题考查等腰三角形和正方形的性质，根据图形的性质即可完成作图.【变式2】如图，在6×6的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：△仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；△保留必要的画图痕迹；△标注相关字母．（1）作CD AB ⊥，使得D 为格点．（2）在AB 上取一点E ，使得45AEC ∠=︒．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点D ，连接CD 即可．（2）取格点M ，N ，连接MN 交AB 于点E ，连接EC ，点E 即为所求．解：（1）如图，线段CD 即为所求．（2）如图，点E 即为所求．【点拨】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．类型八、找等腰三角形8．如图，在四边形ABCD 中，AB△CD ，△1=△2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD ，∠BCE【分析】（1）由“ASA”可证∠ABD∠∠EDC ，可得AB=DE ，BD=CD ，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得BD=CD ，AD=EC=BC ，可求解．解：（1）证明：∠AB∠CD ，∠∠ABD=∠EDC ．在∠ABD 和∠EDC 中，12ABD EDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD∠∠EDC （ASA ），∠AB=DE ，∠DE+BE=BD ，∠BD=CD ，∠AB+BE=CD ；（2）∠∠ABD∠∠EDC ，∠AD=EC ，∠AD=BC ，BD=CD ，∠AD=BC=EC ，∠∠BCD 是等腰三角形，∠BCE 是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点B ，连接AD ；（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，∠ABD 为等腰三角形【解析】【分析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可；（2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可.解：（1）作图如图所示：（2）根据全等三角形的性质可知：图中有∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，根据等腰三角形的定义可知：∠ABD为等腰三角形.【点拨】本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键．【变式2】（1）如图1,△ABC中,△C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB 的交点就是AB的中点；（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形．解：（1）如图,直线CE即为所求；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形.【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】要使∠ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况，分别根据题意作图解答即可.解：（1）如图所示：（2）点C的坐标分别有（﹣1，0），（1﹣，0），（1+，0）．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质.类型九、由等边对等角证明等腰三角形9．如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB△△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．试题解析：（1）证明：∠在∠ADB和∠BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，∠∠ADB∠∠BCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：∠∠ADB∠∠BCA，∠∠ABD=∠BAC，∠OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，△ABC 与△ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE //BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：OD =DB ．（2）若DE =5，求DB +CE 的值．【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∠DBO =∠OBC ，∠DOB =∠OBC ，再由等式的性质得到∠DBO =∠DOB ，由等角对等边即可得出结论；（2）根据（1）的结论，同理可得OE =EC ，即可得出结论．解：（1）∠BO 平分∠ABC ，∠∠DBO =∠OBC ．∠DE ∠BC ，∠∠DOB =∠OBC ，∠∠DOB =∠DBO ，∠OD =DB ．（2）根据（1）得：OD =DB ，同理可证：OE =EC ，∠BD +EC =DO +OE =DE =5．【点拨】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行等量代换是正确解答本题的关键．【变式2】如图，点A ，F ，D ，C 在同一直线上，BC ，EF 交于点M ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =.（1）证明：Rt Rt ABC DEF △≌△；（2）证明：MF MC =.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据AF=CD ，可以得到AC=DF ，然后再根据题目中的条件，即可证明Rt∠ABC∠Rt∠DEF ；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、等腰三角形的性质，可以得到结论成立．解：（1）证明：∠AF=CD ，∠AF+FC=CD+FC ，∠AC=DF ，∠∠B=∠E=90°，∠∠ABC 和∠DEF 都是直角三角形，在Rt∠ABC 和Rt∠DEF 中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABC∠Rt∠DEF （HL ）；（2）证明：由（1）知，Rt∠ABC∠Rt∠DEF ，∠∠BCA=∠EFD ，∠∠MCF=∠MFC ，∠MF=MC ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3】如图，AD△BC ，BD 平分△ABC ．求证：AB=AD ．【分析】根据AD∠BC ，可求证∠ADB=∠DBC ，利用BD 平分∠ABC 和等量代换可求证∠ABD=∠ADB ，然后即可得出结论．解：证明：∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠DBC ．∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD=∠DBC ．∠∠ABD=∠ADB ．∠AB=AD ．类型十、等角对等边证明线段相等10．如图，△AEF ＝△AFE ，AC ＝AD ，CE ＝DF ，求证：△C ＝△D ．【答案】见解析.【分析】先利用等角对等边得出AE ＝AF ，再根据SSS 证明∠AEC ∠∠AFD ，然后利用全等三角形的性质即可得出结论.解：证明：∠∠AEF ＝∠AFE ，∠AE ＝AF ，在∠AEC 与∠AFD 中AE AF AC AD CE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AEC ∠∠AFD （SSS ），∠∠C ＝∠D ．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.举一反三：【变式1】已知ABC ∆ 中，90ACB ∠=，CD AC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，交CD 于点F ，EG AB ⊥于点G ，说明EG CF =．【分析】根据角平分线的性质定理的得出CE=EG ，再根据等角对等边得出CF=CE ，即可得到结论．解：∠∠ACB=90°，AE 平分∠BAC ，EG∠AB ，∠CE=EG ，∠CAE=∠GAE ，∠AEC=90°-∠CAE ，∠CD∠AB ，∠∠ADF=90°，∠∠AFD=90°-∠FAD，∠∠AFD=∠AEC，∠∠CFE=∠AFD，∠∠CFE=∠CEF，∠CF=CE，∠CF=EG．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD△BC于点D．（1）若△CAD＝45°，求△BAD的度数；（2）若点M在边AC上，MN//AB交AD的延长线于点N．求证：AM＝MN．【答案】（1）∠BAD＝45°；（2）见解析∠=∠，从而可得出答案；【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得出BAD CAD∠=∠，然后通过等量代换得出（2）首先根据平行线的性质得出BAD ANM∠=∠，最后利用等角对等边即可证明．CAD ANM解：（1）∠AB＝AC，AD∠BC，BAD CAD∴∠=∠．∠∠CAD＝45°，∴∠=︒；BAD45（2）∠MN//AB，∴∠=∠．BAD ANM∠=∠，BAD CADCAD ANM∴∠=∠，∠AM＝MN．。

北师大版八年级数学下册等腰三角形(基础)知识讲解含答案解析

等腰三角形（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边, ∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧，两弧相交于点A;(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝180A角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

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学习资料
仅供学习与参考
练习：已知：如图，抛物线)0(22acaxaxy与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点
A、B，点A的坐标为（4，0）. （1）求该抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为
（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由.

（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE
的面积最大时，求点Q的坐标.

X

C

ADQB
O

y
5
6

4
2

2
4
6
8

∙
A
C

B
OD