编号42 1.4.1-1.4.2全称与存在量词 (1) (1)
1.4.1-1.4.3_全称量词与存在量词
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 解：┐p:存在两个等边三角形，它们不相似。 假
2）p:x R,x2 +2x+2=0；
2 x R , x 2x 2 0 解：┐p：
真
练习: P26 A组
作业: P27 B组
谢 谢大家！
再见
1.4.1 全 称 量 词
想一想？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2）与4）之间有什么关系？ 1) x 3 2)2 x 1 是整数 3)对所有的 x R, x 3 4)对任意一个 x Z , 2 x 1是整数
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做 全称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例题分析
例1 判断下列全称命题的真假. ⑴所有的素数都是奇数； ⑵ x∈R， x2+1≥1 ； ⑶对每一个无理数x，x2也是无理数； ⑷每个指数函数都是单调函数. 假 真 假 真
1.4.2 存 在 量 词
想一想？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2 ）与4 ）之间 有什么关系？ 1)2 x 1 3； 2) x能被2和3整除； 3)存在一个 x R, 使2 x 1 3； 4)至少有一个x Z , x能被2和3整除。
x M,p(x)
3)x R , x 2 x 1 0
2
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 它的否定
p : x M,p(x)
p : x M,p(x)
1.4.1(2)全称量词与存在量词精品文档19页
短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑
中通常叫做存在量词．用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题，叫做特称命题.
例如: 有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数.
常见的存在量词还 有“有些” “有一 个” “对某个”
特称命题 “存在M中的一个x0, 使p(x0)成立” 可用
符号简记为: x0M,p(x0),
全称量词与存在量词
高二数学 选修 1-1
第一章 常用逻辑用语
全称量词
• 一、复习引入
• 1、“或”、“且”、“非”的定义、记法、读法；
• 2 、“或”、“且”、“非”的真值表及规律。
p
q
p∨q p∧q 非p
真
真
真
假
假
真
假
假
• 3、一些关键词的否定。
> < 是 都 至少 至少 至多 至多 一个 n个 一个 n个
书本P23，练习； 《作业手册》P75
谢谢！
读作 “存在一个x0属于M, 使p(x0)成立”.
例2.判断下列特称命题的真假:
(1)有一个实数x0, 使x02+2x0+3=0;
假命题
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;假命题
(3)有些整数只有两个正因数.
真命题
要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一 个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个 元素x，使命题p(x)为假.
练习：判断下列语句是不是全称命题或者特称命
题，如果是，用量词符号表达出来. （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数； （3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向吗？
1.4.1 全称量词与存在量词
• 1.理解全称量词和全称命题的概念、表示方法。 • 2.理解存在量词和存在命题的概念、表示方法。 • 3.会判定全称命题和存在命题的真假。
思考与探究1
下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有 什么关系？
(1) p(x)： x>3； (2) q(x)： 2x+1是整数； (3)对所有的实数 x ，x>3； ______ (4)对任意一个整数 x ，2x+1是整数。 _________
含有全称量词的命题,叫作全称命题.
全称命题举例： 正方形都是矩形。
你能举出一个吗？
全称命题的表示方法：
含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),… 表示，变量x的取值范围用M表示，
全称命题“对M中任意一个x，p(x) ”可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，p(x)”。
———需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
思考与探究2
1.下列语句是否是命题?
(1)有一个实数 x，x>3； _______ (2)至少有一个整数 x， 2x+1是整数。 _____________ 可以判断真假，是命题。
2.“有一个” 、“至少有一个”的含义是什么
个体或部分
常见的存在量词还有 “有些”“某个”“有 的”等 。 短语“有一个”、“至少有一个”表示个体或部分的含义，
x0 M，p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M，p(x0)”。
例如：(1)有一个实数x，x>3；
x∈R，x>3。 记为：
(2)至少有一个整数x， 2x+1是整数
x∈Z， 2x+1是整数。 记为：
1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词【选题明细表】知识点、方法题号全称量词与存在量词 1全称命题与特称命题3,6,8全称、特称命题的真假2,5,9,10全称、特称命题的应用4,7,11,12,13【基础巩固】1.下列量词中是存在量词的是( B )(A)任意一个 (B)至少有一个(C)都是(D)全部2.(2019·烟台市高二期末)命题p:∀a∈R,3a≥2a;命题q:∃x0>0,使得x0-1+ln x0=0,则下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∨(﹁q) (D)(﹁p)∧﹁q)解析:当a<0时,3a<2a,故命题p是假命题.显然∃x0=1>0,使得x0-1+ln x0=0,故命题q是真命题;故(﹁p)∧q是真命题,故选B.3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( D )(A)p是假命题 (B)q是真命题(C)p∧(﹁q)是真命题(D)(﹁p)∧q是真命题解析:对于命题p:∀a∈R,且a>0,有a+≥2,显然p为真命题,故A错;对于命题q:∃x0∈R,sin x0+cos x0=,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,]而∉[-,]所以q是假命题,故B错;所以利用复合命题的真假判定,p∧(﹁q)是真命题,故C正确;(﹁p)∧q是假命题,故D错误.故选C.6.给出下列四个命题:①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是.解析:①②④是全称命题,③是特称命题.答案:①②④7.(2019·衡水中学高二期中)若命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则实数m的取值范围是.解析:因为命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,所以Δ≤0,即m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.所以实数m的取值范围是[2,6].答案:[2,6]8.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;(2)存在一条直线,其斜率不存在;(3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有惟一解;(4)存在实数x0,使得=2.解:(1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2α+cos2α=1”,是真命题.(2)是特称命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.(3)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有惟一解”,是假命题.(4)是特称命题,用符号表示为“∃x0∈R,=2”,是假命题.【能力提升】9.(2019·济南市高二期末)给出下列3个命题:命题p:若a2≥20,则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆.命题q:∀m∈(-∞,0),方程0.1x+msin x=0总有实数解.命题r:∃m∈(1,3),msin x+mcos x=3.那么,下列命题为真命题的是( D )(A)p∨r (B)p∧(﹁q)(C)(﹁q)∧(﹁r) (D)(﹁p)∧q解析:由方程x2+y2+ax+5=0化为(x+)2+y2=-5表示一个圆,则-5>0,a2>20,因此p是假命题.由∀x∈R,0.1x>0,-msin x∈[m,-m],可知:∀m∈(-∞,0),方程0.1x+msin x=0总有实数解,因此q是真命题.若m∈(1,3),则msin x+mcos x=m sin (x+)<3,因此r是假命题.那么,命题为真命题的是D.故选D.10.下列命题中是假命题的是( D )(A)∃m∈R,使f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减(B)∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点(C)∃α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+sin β(D)∀ϕ∈R,函数f(x)=sin(2x+ϕ)都不是偶函数解析:因为f(x)为幂函数,所以m-1=1,所以m=2,所以f(x)=x-1,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,故A中的命题为真命题;因为y=(ln x)2+ ln x的值域为[-,+∞),所以∀a>0,方程(ln x)2+ln x-a=0有解,即函数f(x)有零点,故B中的命题为真命题;当α=, β=2π时,cos(α+β)=cos α+sin β成立,故C中的命题为真命题;当ϕ=时,f(x)=sin(2x+)=cos 2x为偶函数,故D中的命题为假命题.11.已知函数f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,若f(a2-sin x)≤f(a+1+cos2x)对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.解析:由函数的单调性得3≥a2-sin x≥a+1+cos2x对任意x∈R均成立,即对任意x∈R均成立,然后转化为函数的最值问题,即解得-≤a≤-.答案:[-,-]12.(2019·洛阳市高二期中)设命题p:“∀x∈R,x2+2x>m”;命题q:“∃x0∈R,使+2mx0+2-m≤0”.如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,求实数m的取值范围.解:当p为真时,∀x∈R,x2+2x>m,有Δ=4+4m<0,解得m<-1,当q为真时,∃x0∈R,使+2mx0+2-m≤0,所以Δ=4m2-4(2-m)≥0,解得m≤-2,或m≥1,又因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p,q一真一假,当p真q假时,-2<m<-1,当p假q真时,m≥1,所以实数m的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞).【探究创新】13.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∃x0∈R,使f(x0)<0的充要条件是+bx0+c<0有解,即b2-4c>0,4c<b2,所以当c<0时一定有4c<b2,即∃x0∈R,使f(x0)<0.反之当∃x0∈R,使f(x0)<0时,只要4c<b2即可,不一定c<0.故选A.。
1.4.1全称量词与存在量词的意义
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解析：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0， 所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是真命题．
(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶
数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题． (3)由于使x2＝3成立的实数只有± 3 ，且它们都不是 有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以 “∃x∈Q，x2＝3”是假命题．
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自测自评 1．下列命题： (1)今天有人请假； (2)中国公民都有受教育的权利； (3)每一个中学生都要接受爱国主义教育；
(4)有人既能写小说，也能搞发明创造；
(5)任何一个数除0都等于0. 其中全称命题的个数是( C ) A．1 C．3 金品质•高追求 B．2 D．不少于4个 我们让你更放心！
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判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命 题中是否含有全称量词或特称量词．有些全称命题在文字 叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题时要注 意．
金品质•高追求
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祝
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 金品质•高追求 我们让你更放心！
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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 精讲优练课型 Word版含答案
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课时自测·当堂达标1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0,使≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0,使>2【解析】选B.A是全称命题;B中x0=0时,=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.2.下列命题是真命题的是( )A.a>b是ac2>bc2的充要条件B.a>1,b>1是ab>1的充分条件C.∀x∈R,2x>x2D.∃x0∈R,<0【解析】选B.对于选项A,若c=0,由a>b得到ac2=bc2,故不正确;对于选项B,由于a>1,b>1是ab>1的充分条件,成立;对于选项C,由于x=2,2x=x2,因此错误;对于选项D,由于>0恒成立,故可知D错误.3.下列四个命题中真命题是( )p1:∀x∈(0,+∞),≥p 2:∀x∈(0,1),lo x≤lo xp 3:∃x0∈(0,+∞),≤lo x0p4:∃x0∈,≥lo x0A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】选A.因为命题p2中,应该是∀x∈(0,1),log x>log x命题p4中,∃x0∈,≥log x0,不存在满足不等式的x0,错误.4.命题p:∃x0∈R,使>x0;命题q:∀x∈,0<sinx<1,下列是真命题的是( ) A.p∧(¬q) B.(¬p)∨(¬q)C.p∨(¬q)D.(¬p)∧q【解析】选C.当x0=0时,20>0,即命题p为真命题.∀x∈,0<sinx<1恒成立,即命题q 为真命题.则p∨(¬q)为真命题.5.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立.(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立.(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.【解析】(1)∀x∈R,x2+x+1>0;真命题.(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.(4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.关闭Word文档返回原板块。
1.4.1_全称量词与存在量词(1)
若p真q假，则有 0a1a2，即0a1
若p假q真，则有 aa10或a2，即a2
2021故/10/a10的取值范围是(0，1] ∪[2，+∞）
24
七、作业 1.课本P27 A组 3 B组
2. 已知命题 p：函数 y log 0.5 (x 2 2x a) 的定义域为
R，命题 q：函数 y (5 2a) x 是减函数。若 p 或 q 为
（6）p：有一个素数含三个正因数.
解：
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）﹁p：存在一个四边形的四个顶点不共圆;
（3）﹁p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.
2021/10/10
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四、例题讲解
例1 写出下列命题的否定: （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. （4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
（1）基本形式： xM,p(x)
（2）意义：对 任 意 x 属 于 M ， 有 p (x )成 立 （3）真假性的判断：
只要有一个x值不成立，即为假命题
特称命题：
（1）基本形式： x0M ,p(x0)
（2）意义：存 在 x 0 属 于 M ， 使 p (x 0 )成 立 （3）真假性的判断：
只要有一个x值成立，即为真命题
真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是
2021/10/10
25
七、练习：
1.指出下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们
的真假.
（1）所有的抛物线与x轴都有两个交点； 全称，假
(经典)1.4.1全称量词与存在量词教学提纲
（1）p:y=sin x是周期函数； （2）p:3<2； （3）p：空集是集合A的子集.
（4）1的平方是正数； （5） 1和2的平方是正数；
小结： 一些常用词语的否定：
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
都是
否定词语 不等于 不大于 不小于
存在量词: “有”、“有的”、“有些”等。 其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物 E，E是F。”
全称命题：其公式为“所有S是P”。 全称命题，可以用全称量词，也可以用
“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来 表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如 “人类是有智慧的。”
特称命题 :其公式为“有的S是P”。 特称命题使用存在量词，如“有些”、
“很
少” 等，也可以用“基本上”、“一般”、 “只是
有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性
通 常 ， 将 含 有 变 量 x 的 语 句 用 p (x ) 、 q (x ) 、 r (x ) 表 示 ， 变 量 x 的 取 值 范 围 用 M 表 示 。
全 称 命 题 “ 对 M 中 任 意 一 个 x ， 有 p ( x ) 成 立 .
概念： 一般地，对一个命题的全盘否定，就得
到一个新的命题， 记作： p
读作：“非p”或者“p的否定”.
p 命题真假的判断：
若p是真命题，则 p 必是假命题；若p是假命题， 则 p 必是真命题.
p
p
真
假
假
真
你真我假
注: （1）“非”的理解：相似于集合中“补集”的概念
（2）“命题的否定”与“否命题“是两个不同的概 命题否定为非p，而否命题既否定原命题结论，又 否定原命题的条件。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词
第十二页，共二十五页。
【备用例 1】 用符号“∀ ”或“∃ ”表示下面含有量词的命题,并判断真假.
存在实数
x0,使得
x02
1 2 x0
3
=
3 4
.
解:∃
x0∈R,
x02
1 2x0
3
=
3 4
.
因为对∀ x∈R,x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
所以 1 ≤ 1 < 3 . x2 2x 3 2 4
在逻辑中通常叫做存在量词.
梳理(shūlǐ) 存在量词有:存在一个、至少有一个、有些,用符号“
∃”表示.含有存在
量词的命题,叫做特称命题.“存在集合M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号简记
为
∃x0∈M,p.(x0)
名师点津:全称量词相当于日常语言中“所有”“一切”“任意一个”等;存在量词相当于日
方法技巧 (1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个元素(yuán sù)x验
证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即 可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个x=x0,使得 p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每个元素x都不能满足p(x),即在
第二页，共二十五页。
新知 探求 (xīn zhī) 课堂 探究 (kètáng)
第三页，共二十五页。
新知探求(tànqiú)
素养养成
知识点一 全称量词(liàngcí)与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈(tán tán)你对全称量词的含义的理解.
1.4.2全称量词和存在量词
五、体验高考：
1.(2014 年福建文 5) 命题“ x [0, ), x 3 x 0 ”的否定是 ( C ) A. x (0, ), x 3 x 0 B. x ( ,0), x 3 x 0 3 C. x0 [0, +), x0 x0 0 3 D. x0 [0, +), x0 x0 0 2 2.命题“ x R, x x ”的否定是 ( D ) A. x R, x 2 x B. x R, x 2 x C. x R, x 2 x D. x R, x 2 x
一、问题探究
含有一个量词的命题的否定 小结归纳： 一般地 ,对于含有一个量词的全 称命题的否定 ,有下面的结论: 全称命题 p: x M , p( x ) 它的否定 p : x M , p( x ) 全称命题的否定是存在性命题 .
一、问题探究
词语 词语 的否 定 词语 词语 的否 定 是 不是
一、问题探究
含有一个量词的命题的否定 练习 1 写出下列命题的否定： 2 (1) p : x R, x 2 x 2 0； (2) p :有的三角形是等边三角形； (3) p :有些函数没有反函数； (4) p :存在一个四边形，它的对角线互相 垂直且平分； (5) p :不是每一个人都会开车； (6) p : 在实数范围内，有些一元二次方程 无解 .
三、课堂练习
练习 1 写出下列命题的否定： (1) 若 x 2 4 ，则 x＞ 2； (2) 若 m≥ 0,则 x 2 x m 0有实数根； (3) 可以被 5 整除的整数，末位是 0； (4) 被 8 整除的数能被 4 整除 .
三、课堂练习
练习 2 写出下列命题的非命题与否命 题，并判断其真假性： (1) 若 x＞ y,则 5x＞ 5y； 2 2 (2) 若 x x 2,则 x x 2； (3) 正方形的四条边相等； 2 (4) 已知 a , b 为实数， 若 x ax b 0 有 2 非空实解集，则 a 4b 0.