高中数学教学案——全称量词与存在量词(含答案)
高中数学(全称量词与存在量词-量词否定)教案3 新人教A版选修2-1 教案
全称量词与存在量词（二）量词否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究∃问题2：写出命题的否定（1）p ：∃x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B =四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。
统编通用版高考数学全套电子教案之人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)
有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“
x ”表示，读作“对任
意 x ”。
归纳整理本节课所 学知识
2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。
一般用符号简记为“ x M , p ( x) ”。读作“对任意的 x 属于 M，有 p
（x）成立。（其中 M为给定的集合， p( x) 是关于 x 的命题。）例如“对
D ．每个函数都有反函数
2．将“ x2+y2≥ 2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（
）
A ． x, y R ，都有 x 2 y 2 2xy
B ． x, y R ，都有 x2 y 2 2 xy
C． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2 xy
D． x 0, y 0 ，都有 x2 y 2 2xy
D ．不存在这样的 α 和 β，使 cos(α +β ) ≠ cosα cosβ － sinα sinβ
5．下列全称命题中真命题的个数是（
）
①末位是 0 的整数，可以被 2 整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1
B．2
6．下列存在性命题中假命题的个数是（
式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在” 量词，记作 x ， y 等；
，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在
4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式： “对 M 中的所有 x，p(x) ”的命题，记为 : x M , p( x)
是不同的
区 等于 . 别
否定词 : 不等于、不大于、不小于、不是、不都是
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
高中数学教师用书全称量词与存在量词含答案
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P21～P26的内容，回答下列问题．（1)观察教材P21“思考"中的4个语句:①这4个语句中是命题的有哪几个？提示：(1)（2)不是命题;(3)(4)是命题．②语句(3）和语句（1)之间有什么关系？提示：语句(3)在语句（1）的基础上，用短语“对所有的"对变量x进行限定．③语句(4）和语句(2）之间有什么关系？提示：语句（4)在语句(2）的基础上,用短语“对任意一个”对变量x进行限定．（2)观察教材P22“思考”中的4个语句：①这4个语句都是命题吗？提示:（1)（2)不是命题;（3)（4）是命题．②语句（3)和语句（1）之间有什么关系？提示:语句(3)在语句（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定．③语句（4)和语句（2）之间有什么关系？提示：语句（4）在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定．（3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定．提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形；命题(2）的否定：存在一个素数不是奇数；命题（3）的否定：∃x0∈R,x20－2x0＋1<0．(4）写出教材P25“探究”中三个命题的否定．提示：命题（1)的否定：所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定：每一个平行四边形都不是菱形;命题（3）的否定:∀x∈R，x2＋1≥0．2．归纳总结，核心必记（1)全称量词和全称命题形式“对M中任意一个x，有p（x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p（x)(2）存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0）成立"，可用符号简记为∃x0∈M,p（x0)(3）含有一个量词的命题的否定[问题思考](1）命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．(2）命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？提示：是全称命题,且是假命题．(3）下列命题是特称命题的有哪些？①有一个平行四边形是菱形;②任何一个平行四边形是菱形；③某些平行四边形是菱形；④有的平行四边形是菱形．提示：①③④．（4）全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？提示:全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．（1)全称量词：，全称命题: ;（2)存在量词：,特称命题：；(3)全称命题及其否定的形式：，特称命题及其否定的形式: ．［思考］判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．讲一讲1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题:(1）凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；（3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1;（4）有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[尝试解答] （1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．（2)含有存在量词“有的”,故是特称命题．（3）含有全称量词“任意”,故是全称命题．（4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤（1）首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．（2）若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题．（3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．练一练1．下列语句是特称命题的是( ）A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n,使n能被11整除C．x〉7D．∀x∈M,p（x）成立解析：选B B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1)负数没有对数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除,又能被5整除;(3）∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；（4)∃x0∈Z，log2x0>0。
全称量词和存在量词【课时教学设计】高中数学新教材必修第一册
1.5.1 全称量词与存在量词一、 教学内容 全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的定义及符号简记，判断全称量词命题、存在量词命题的真假。
二、教学目标（1）通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义.（2）能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题.（3）掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法.三、教学重点与难点教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别.教学难点：正确使用全称量词命题、存在量词命题.四、教学过程设计（一）复习回顾，问题导入 问题1：我们已经学习过命题，什么是命题？师生活动：学生独立思考后回答。
追问1：3x >是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。
追问2:对所有的,3x R x ∈>是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
追问3：21x +是整数，是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。
追问4：对任意一个,21x Z x ∈+是整数，是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
追问5：本来不是命题的陈述句，是如何变成了命题的？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
设计意图：让学生明确命题时可以判断真假的陈述句，在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它不是命题，但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以是它变成一个命题。
我们把这样的短语称为量词。
从而引出本节课的内容。
（二）探究交流，获取新知探究一:全称量词与全称量词命题定义问题2：对所有的,3x R x∈>，对任意一个,21x Z x∈+是整数，这两个都是命题，是因为变量前加了“所有的”、“任意一个”，这两个词语有什么含义呢？师生活动：学生先独立思考后回答。
追问：表示某个范围内的整体或全部的短语还有哪些呢？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。
设计意图：通过以上问题，引出全称量词的定义。
全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科教师上课日期上课时间课题9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.知识点二、存在量词与特称命题1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1；(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1为真命题．(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝13∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.类型二 含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。
高中数学(必修第一册)-1.5-全称量词与存在量词(精讲)学案(含解析)
1.5 全称量词与存在量词(精讲)考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：①x R ∀∈10+>；②2,0x N x ∀∈>；③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【一隅三反】1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )A ．2,x R x x ∃∈>B ．2,x R x x∀∈>C ．20,320x x x ∃<-+<D ．2,20x R x x ∀∈++>3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈x=D ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )A ．x ∃∈Z ，143x <<B ．x ∃∈Z ，22310x x -+=C ．x ∀∈R ，210x -=D ．x ∀∈R ，2220x x ++>考点二 命题的否定【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是( )A ．x R ∀∈，210x +>B ．x R ∃∈，210x +>C ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：(1):p x ∃∈R ，210x +≥；(2)p ：所有自然数的平方都是正数；(3)p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；(4)p ：有些分数不是有理数.【一隅三反】1．(2021·全国高三其他模拟)命题“22,26x x ∀>+>”的否定( )A ．22,26x x ∃≥+>B ．22,26x x ∃≤+≤C ．22,26x x ∃≤+>D ．22,26x x ∃>+≤2．(2021·四川遂宁市)设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为( )A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.3．(2021·黑龙江大庆市)命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是( )A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤4．(2021·浙江高一期末)命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是( )A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥考点三 求含有量词的参数【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【一隅三反】1．(2021·全国高三专题练习(文))若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.3．(2021·江西)已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.4．(2021·福建高一期末)若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______5．(2021·河北)已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案与解析考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：①x R ∀∈10+>；②2,0x N x ∀∈>；③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，x R ∀∈110≥>，故命题成立；对于②，显然当0x =时满足x ∈N ，但20x =，故命题为假；对于③，显然0x =时满足x ∈N ，200≤成立，故命题为真；对于④，22x =的实数根为x =，是无理数，故命题为假.综上，真命题的个数为2.故选：B.【一隅三反】1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =【答案】ACD 【解析】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确，故选：ACD2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )A ．2,x R x x ∃∈>B ．2,x R x x∀∈>C ．20,320x x x ∃<-+<D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】AD【解析】对选项A ，当2x =时，满足2,x R x x ∃∈>，故A 为真命题；对选项B ，当12x =时，不满足2,x R x x ∀∈>，故B 为假命题；对选项C ，2320x x -+<，解得12x <<，所以不满足20,320x x x ∃<-+<，故C 为假命题.对选项D ，因为22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以满足2,20x R x x ∀∈++>，故D 为真命题.故选：AD3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈x=D ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件【答案】AB【解析】对于A ，2210x x --=，解得1x ==0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确；对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x =不正确，所以C 不正确．对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确．故选：AB ．4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )A ．x ∃∈Z ，143x <<B ．x ∃∈Z ，22310x x -+=C ．x ∀∈R ，210x -=D ．x ∀∈R ，2220x x ++>【答案】AC 【解析】A. 由143x <<，得1344x <<，故错误；B.由22310x x -+=得：12x =或1x =，故正确；C. 由210x -=得：1x =±，故错误；D. 由()2222110x x x ++=++>，故正确；故选：AC考点二 命题的否定【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是( )A ．x R ∀∈，210x +>B ．x R ∃∈，210x +>C ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“2,10x R x ∃∈+≤”的否定是“2,10x x ∀∈+>R ”.故选：A【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：(1):p x ∃∈R ，210x +≥；(2)p ：所有自然数的平方都是正数；(3)p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；(4)p ：有些分数不是有理数.【答案】(1):p x ⌝∀∈R ，210x +<；(2):p ⌝有些自然数的平方不是正数；(3):p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；(4):p ⌝一切分数都是有理数.【解析】(1):p x ⌝∀∈R ，210x +<；(2):p ⌝有些自然数的平方不是正数；(3):p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；(4):p ⌝一切分数都是有理数.【一隅三反】1．(2021·全国高三其他模拟)命题“22,26x x ∀>+>”的否定( )A ．22,26x x ∃≥+>B ．22,26x x ∃≤+≤C ．22,26x x ∃≤+>D ．22,26x x ∃>+≤【答案】D【解析】因为原命题“22,26x x ∀>+>”，所以其否定为“22,26x x ∃>+≤”，故选：D.2．(2021·四川遂宁市)设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为( )A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.【答案】A【解析】命题0:p x R ∃∈，200310x x -+<，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则p ⌝为：x R ∀∈，2310x x -+…．故选：A ．3．(2021·黑龙江大庆市)命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是( )A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.4．(2021·浙江高一期末)命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是( )A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C 考点三 求含有量词的参数【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【答案】(1)1k ≤(2)5【解析】(1)由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.(2)当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤.故答案为：5【一隅三反】1．(2021·全国高三专题练习(文))若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.【答案】(]3,0-【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题.当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意；当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-.故答案为：(]3,0-.3．(2021·江西)已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >4．(2021·福建高一期末)若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______【答案】[1,2]-【解析】依题意可得，命题等价于2220x mx m +++≥恒成立，故只需要()2=4420m m ∆-+≤解得12m -≤≤，即[]1,2m Î-故答案为：[]1,2-5．(2021·河北)已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)412m -≤≤；(1)存在，08m ≤≤【解析】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+(1)若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素，假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-，解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤.(2)存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，则B ⊆A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤，所以m 的取值范围为08m ≤≤.。
2024年新高一数学初升高衔接《全称量词与存在量词》含答案解析
第05讲 全称量词与存在量词模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念；2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法；3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定.知识点 1 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”．2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（2）符号表示：通常，将含有变量x 的语句用()p x ，()q x ，()r x ，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∀∈．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来．如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ．3、判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可．知识点 2 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等．2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．（2）符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∃∈【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题．3、判断存在量词命题真假只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个命题为真，否则为假．知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定1、命题的否定：（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p 的否定可用“p ⌝”来表示，读作“非p ”或p 的否定．（2）命题的否定与原命题的真假关系：p 的否定与p “一真一假”命题p p⌝真假假真（3）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个2、全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式(),x M p x ∀∈(),x M p x ∃∈否定形式(),x M p x ∃∈⌝(),x M p x ∀∈⌝结论全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，230x -<B ．0x ∃>，230x -≥C ．0x ∀≤，230x -<D ．0x ∀>，230x -≥【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．Q x ∀∈，31Q x -∈B ．存在一个菱形是正方形C ．每个命题都可以判断真假D ．所有等边三角形的三条高都相等【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（ ）A ．能被5整除的整数都是偶数B ．有的偶数是质数C ．梯形的对角线相等D ．某些平行四边形不是菱形【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．有些自然数是13的约数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得0x ≤考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（ ）A ．x ∃∈R ，21x =B ．x ∃∈R ，使得210x +≠成立C ．x ∀∈R ，2210x x -+>D ．所有的菱形都是平行四边形【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（ ）A ．R,||11x x ∀∈+>B ．1R,12||x x ∃∈+=C ．R,||1x x ∃∈<D ．2N ,(10x x *∀∈->）【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C ．{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数D ．存在x ∈R ，使得212x x+<【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）A ．2R,10x x x ∃∈+-=B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对任意的R a ∈，都有2210a a -+>D ．菱形的两条对角线相等考点三：全称量词命题的否定例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为（ ）A ．2,x x ∃∈∉R Q B ．2,x x ∃∉∈R Q C ．2,x x ∀∈∉R QD ．2,x x ∀∈∈Q R【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“x Q Q ∀∈∈”的否定是（ ）A ．x Q Q ∀∉∈B ．x Q Q ∃∈∉C ．x Q Q∀∈∉D ．x Q Q∃∈∈【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是（ ）A ．*N x ∃∈，220x x -≥B ．*N x ∀∈，220x x -≥C ．*N x ∃∈，220x x ->D ．*N x ∀∈，220x x ->【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“1x ∀≤，2350x x -+>”的否定是（ ）A ．1x ∃>，2350x x -+≤B ．1x ∃≤，2350x x -+≤C ．1x ∀>，2350x x -+≤D ．1x ∀≤，2350x x -+≤考点四：存在量词命题的否定例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为（ ）A ．2,320x x x ∀∈+-=R B ．2,320x x x ∀∈+-≠R C ．211,320x x x ∃∉+-=R D ．2111,320x x x ∃∈+-≠R 【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“N n ∃∈，2n n >”的否定为（ ）A ．N n ∀∈，2n n >B ．N n ∃∈，2n n ≤C ．N n ∀∈，2nn ≤D ．N n ∃∈，2nn =【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（ ）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（ ）A ．1x ∀≥，10x +<B ．1x ∃≥，10x +<C ．1x ∀≥，10x +≥D ．1x ∃<，10x +<考点五：根据全称量词命题的真假求参数例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“2R,40x x x a ∀∈-+≠”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a <-D ．4a ≥-【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.若p 为假命题，则实数a 的值可以是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．3-【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．()(),012,-∞+∞ B ．(](),012,∞∞-+ C ．()0,12D ．[)0,12【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．27a >B ．12a ≤C ．12a <D ．27a ≥考点六：根据存在量词命题的真假求参数例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“0x ∃∈R ，220x x a ++=”是真命题，则实数a 的取值范围是.【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则a 可能的取值有（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,-∞-B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．⎡-⎣一、单选题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．同位角相等C ．任何实数都存在相反数D ．存在实数没有倒数2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．存在一个实数的平方是负数B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个四边形的内角和都是360°D ．x ∃∈R ，2x x=3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“2Z,2x x ∃∈+为偶数”，下列说法正确的是（ ）A ．该命题是假命题B ．该命题是真命题C ．该命题的否定为：2Z,2x x ∃∈+不是偶数D ．该命题的否定为：2R,2x x ∃∈+不是偶数4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是（ ）A ．不存在2R,10x x x ∈++>B ．2R,10x x x ∃∈++≤C ．2R,10x x x ∃∈++>D ．2R,10x x x ∀∈++≤5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p ：,22n n ∃∈-N 是素数，则p ⌝为（ ）A ．,22n n ∀∉-N 不是素数B ．,22n n ∃∈-N 不是素数C ．,22n n ∃∉-N 不是素数D ．,22n n ∀∈-N 不是素数6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，“,2x M x ∀∈<”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．{}0x x <B ．{}01x x ≤≤C ．{}13x x <<D ．{}1x x ≤二、多选题7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）A ．至少有一个x ∈R ，使2210x x ++=成立B ．对任意的x ∈R ，都有2210x x ++=成立C ．对所有的x ∈R ，都有2210x x ++=不成立D ．存在x ∈R ，使2210x x ++=成立8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（ ）A ．存在整数,x y ，使得243x y +=B ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax +-=无实数根C ．1x ∀∈≠D ．*2N ,252n n n ∃∈++能被2整除三、填空题9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题2:140p x x ∃>-<，，则p ⌝是.10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为.11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为．四、解答题12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++≤.13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合{}27A xx =≤≤∣，{}3421B x m x m =-+≤≤-∣，且B ≠∅．（1）若:,p x A x B ∀∈∈是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:,q x B x A ∃∈∈是真命题，求实数m 的取值范围．第05讲 全称量词与存在量词模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念；2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法；3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定.知识点 1 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”．2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（2）符号表示：通常，将含有变量x 的语句用()p x ，()q x ，()r x ，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∀∈．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来．如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ．3、判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可．知识点 2 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等．2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．（2）符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为(),x M p x ∃∈【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题．3、判断存在量词命题真假只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个命题为真，否则为假．知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定1、命题的否定：（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p 的否定可用“p ⌝”来表示，读作“非p ”或p 的否定．（2）命题的否定与原命题的真假关系：p 的否定与p “一真一假”命题p p⌝真假假真（3）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个2、全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式(),x M p x ∀∈(),x M p x ∃∈否定形式(),x M p x ∃∈⌝(),x M p x ∀∈⌝结论全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，230x -<B ．0x ∃>，230x -≥C ．0x ∀≤，230x -<D ．0x ∀>，230x -≥【答案】D【解析】命题“0x ∃>，230x -<”为存在量词命题，其否定为：0x ∀>，230x -≥.故选：D【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．Q x ∀∈，31Q x -∈B ．存在一个菱形是正方形C ．每个命题都可以判断真假D ．所有等边三角形的三条高都相等【答案】ACD【解析】根据全称量词命题的概念，选项ACD 都是全称量词命题，选项B 是存在量词命题.故选：ACD 【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（ ）A ．能被5整除的整数都是偶数B ．有的偶数是质数C ．梯形的对角线相等D ．某些平行四边形不是菱形【答案】BD【解析】AC 是全称量词命题，BD 是存在量词命题．故选：BD.【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．有些自然数是13的约数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得0x ≤【答案】AD【解析】对选项A ，有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A 正确.对选项B ，正方形是菱形表示：所有正方形是菱形，是全称命题，故B 错误.对选项C ，能被6整除的数也能被3整除表示：一切能被6整除的数也能被3整除，是全称命题，故C 错误.对选项D ，存在x ∈R ，使得0x ≤，“存在”是存在量词，故D 正确.故选：AD考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（ ）A ．x ∃∈R ，21x =B ．x ∃∈R ，使得210x +≠成立C ．x ∀∈R ，2210x x -+>D ．所有的菱形都是平行四边形【答案】C【解析】对于A ，显然1x ∃=，使21x =成立，故A 为真命题；对于B ，显然1x ∃=，使得210x +≠成立，故B 为真命题；对于C ，显然1x ∃=时，2210x x -+=，故C 为假命题；对于D ，显然所有菱形均是平行四边形，故D 为真命题.故选：C【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（ ）A ．R,||11x x ∀∈+>B ．1R,12||x x ∃∈+=C ．R,||1x x ∃∈<D ．2N ,(10x x *∀∈->）【答案】BC【解析】对于A ，R x ∀∈，||0x ≥，所以||11x +≥，选项A 是假命题；对于B ，1x =±时，112||x +=，所以选项B 是真命题；对于C ，由||1x <，得11x -<<，所以选项C 是真命题；对于D ，1x =时，2(10x -=），所以选项D 是假命题．故选：BC ．【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C ．{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数D ．存在x ∈R ，使得212x x+<【答案】ABC【解析】对于A ，x ∃∈R ，0x ≤，如0x =，A 正确；对于B ，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B 正确；对于C ，{|x x x ∃∈是无理数}，5x +是无理数，如x C 正确；对于D ，2221(1)0x x x +=-≥-恒成立，即不存在x ∈R ，使得212x x +<成立，D 错误.故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）A ．2R,10x x x ∃∈+-=B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对任意的R a ∈，都有2210a a -+>D ．菱形的两条对角线相等【答案】AB【解析】对于A ，方程210x x +-=的判别式21450∆=+=>，故A 正确；对于B ，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B 正确；对于C ，()222110a a a -+=-≥Q ，故C 错误；对于D ，菱形的对角线不一定相等，故D 错误.故选：AB.考点三：全称量词命题的否定例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为（ ）A ．2,x x ∃∈∉R QB ．2,x x ∃∉∈R QC ．2,x x ∀∈∉R QD ．2,x x ∀∈∈Q R【答案】A【解析】命题2:,p x x ∀∈∈R Q 的否定为：2,x x ∃∈∉R Q .故选：A.【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“x Q Q ∀∈∈”的否定是（ ）A ．x Q Q ∀∉∈B ．x Q Q∃∈∉C ．x Q Q ∀∈∉D ．x Q Q∃∈∈【答案】B【解析】“x Q Q ∀∈∈”的否定是“x Q Q ∃∈∉”.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是（ ）A ．*N x ∃∈，220x x -≥B ．*N x ∀∈，220x x -≥C ．*N x ∃∈，220x x ->D ．*N x ∀∈，220x x ->【答案】C【解析】命题“*N x ∀∈，220x x -≤”的否定是：*N x ∃∈，220x x ->.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“1x ∀≤，2350x x -+>”的否定是（ ）A ．1x ∃>，2350x x -+≤B ．1x ∃≤，2350x x -+≤C ．1x ∀>，2350x x -+≤D ．1x ∀≤，2350x x -+≤【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“21,350x x x ∀≤-+>”的否定是“21,350x x x ∃≤-+≤”.故选：B.考点四：存在量词命题的否定例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为（ ）A ．2,320x x x ∀∈+-=RB ．2,320x x x ∀∈+-≠R C ．211,320x x x ∃∉+-=R D ．2111,320x x x ∃∈+-≠R 【答案】B【解析】命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为“2,320x x x ∀∈+-≠R ”.故选：B【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“N n ∃∈，2n n >”的否定为（ ）A ．N n ∀∈，2nn >B ．N n ∃∈，2n n ≤C ．N n ∀∈，2nn ≤D ．N n ∃∈，2nn =【答案】C【解析】命题“N n ∃∈，2n n >”是特称量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“n ∃∈N ，2n n >”的否定为：n ∀∈N ，2n n ≤.故选：C 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是（ ）A ．20,251x x x ∀><-B ．20,251x x x ∃>≥-C ．20,251x x x ∀≤≥-D ．20,251x x x ∃≤>-【答案】C【解析】命题“20,251x x x ∃≤<-”的否定是“20,251x x x ∀≤≥-”.故选：C 【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（）A ．1x ∀≥，10x +<B ．1x ∃≥，10x +<C ．1x ∀≥，10x +≥D ．1x ∃<，10x +<【答案】A【解析】命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是1x ∀≥，10x +<．故选：A ．考点五：根据全称量词命题的真假求参数例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“2R,40x x x a ∀∈-+≠”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a <-D ．4a ≥-【答案】A【解析】易知：2R,40x x x a ∃∈-+=是上述原命题的否定形式，故其为真命题，则方程240x x a -+=有实数根，即Δ16404a a =-≥⇒≤．故选：A ．【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.若p 为假命题，则实数a 的值可以是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．3-【答案】BC【解析】若命题p 为真命题，则Δ440a =+<，解得1a <-，则当命题p 为假命题时，1a ≥-.故选：BC 【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．()(),012,-∞+∞ B ．(](),012,∞∞-+ C ．()0,12D ．[)0,12【答案】D【解析】若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则当0a =时，不等式为120>对R x ∀∈恒成立；当0a ≠时，要使得不等式恒成立，则20Δ4480a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<综上，a 的取值范围为[)0,12.故选：D.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ）A ．27a >B ．12a ≤C ．12a <D ．27a ≥【答案】B【解析】由命题()2:2,3,30a p x x ∀->∈为真命题，即不等式23a x <在()2,3x ∈上恒成立，当()2,3x ∈，可得221831x <<，所以12a ≤.故选：B.考点六：根据存在量词命题的真假求参数例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“0x ∃∈R ，220x x a ++=”是真命题，则实数a 的取值范围是 .【答案】1a ≤【解析】0x ∃∈R ，220x x a ++=，为真命题，故440a ∆=-≥，解得1a ≤，故实数a 的取值范围是1a ≤.【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则a 可能的取值有（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】命题:p x ∃∈R ，210ax ax +-=为假命题，则x ∀∈R ，210ax ax +-≠.当0a =时满足题意；当0a ≠时，有()2Δ410a a =-⨯-<，解得40a -<<.综上有40a -<≤故选：ABC【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <【答案】A【解析】由题意得()2min 1a x >-，又()2min 11x -=-，此时0x =，故1a >-.故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,-∞-B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．⎡-⎣【答案】D【解析】由于命题p ：“x ∃∈R ，230x ax -+<”为假命题，所以(2120a a a ∆=-=+-≤，解得a -≤≤故选：D一、单选题1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．同位角相等C ．任何实数都存在相反数D ．存在实数没有倒数【答案】D【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，A 选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B 选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C 选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D 选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（ ）A ．存在一个实数的平方是负数B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个四边形的内角和都是360°D ．x ∃∈R ，2x x=【答案】C【解析】选项A ，B ，D 中，分别有“存在”，“至少”，“∃”这样的特称量词，所以选项A ，B ，D 都为特称命题，选项C ：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.故选：C.3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“2Z,2x x ∃∈+为偶数”，下列说法正确的是（ ）A ．该命题是假命题B ．该命题是真命题C ．该命题的否定为：2Z,2x x ∃∈+不是偶数D ．该命题的否定为：2R,2x x ∃∈+不是偶数【答案】B【解析】当2x =时，226x +=为偶数，故该命题为真命题，故A 错误，B 正确；该命题的否定为：2Z,2x x ∀∈+不是偶数，故C ，D 错误．故选：B.4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是（ ）A ．不存在2R,10x x x ∈++>B ．2R,10x x x ∃∈++≤C ．2R,10x x x ∃∈++>D ．2R,10x x x ∀∈++≤【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题可得命题“2R,10x x x ∀∈++>”的否定是“2R,10x x x ∃∈++≤”.故选：B.5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p ：,22n n ∃∈-N 是素数，则p ⌝为（ ）A ．,22n n ∀∉-N 不是素数B ．,22n n ∃∈-N 不是素数C ．,22n n ∃∉-N 不是素数D ．,22n n ∀∈-N 不是素数【答案】D【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以p ⌝为N,22n n ∀∈-不是素数.故选：D.6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，“,2x M x ∀∈<”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．{}0x x <B ．{}01x x ≤≤C ．{}13x x <<D ．{}1x x ≤【答案】C【解析】若“,03x M x ∃∈<<”为真命题，则A 错误，又“,2x M x ∀∈<”为假命题，则“,2x M x ∃∈≥”为真命题，则B,D 错误，则集合M 可以是{}13x x <<.故选：C 二、多选题7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）A ．至少有一个x ∈R ，使2210x x ++=成立B ．对任意的x ∈R ，都有2210x x ++=成立C ．对所有的x ∈R ，都有2210x x ++=不成立D ．存在x ∈R ，使2210x x ++=成立【答案】BC【解析】由全称量词命题的否定可知，BC 选项中的命题为全称量词命题，AD 选项中的命题不是全称量词命题.故选：BC.8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（ ）A ．存在整数,x y ，使得243x y +=B ．R a ∃∈，一元二次方程210x ax +-=无实数根C ．1x ∀∈≠D ．*2N ,252n n n ∃∈++能被2整除【答案】ABC【解析】对于A ，由,Z x y Î，得24x y +为偶数，而3是奇数，显然等式243x y +=不成立，A 错误；对于B ，对于一切实数a ，方程210x ax +-=中2Δ10=+>a ，此方程必有实数根，B 错误；对于C ，当0x =1=，C 错误；对于D ，2252(21)(2)n n n n ++=++，N n *∈，21n +是正奇数，当n 为正偶数时，2n +是正偶数，此时2252n n ++能被2整除，D 正确.故选：ABC三、填空题9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题2:140p x x ∃>-<，，则p ⌝是 .【答案】21,40x x ∀>-≥.【解析】命题2:140p x x ∃>-<，，故p ⌝是：21,40x x ∀>-≥.10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为 .【答案】0（答案不唯一）【解析】因为命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，所以命题“x ∃∈R ，使2250x x m +-=”是真命题，即方程2250x x m +-=有解，所以()2Δ5420m =-⨯⨯-≥，得258m ≥-，故实数m 的一个可能取值为0（满足258m ≥-即可）．11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为 ．【答案】(],1-∞【解析】若命题“R x ∃∈，使得220x x m -+=”是真命题，也就是“方程220x x m -+=有实数解”，∴0∆≥⇒440m -≥⇒1m ≤.四、解答题12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++≤.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）0:R p x ⌝∃∈，方程2000x x m +-=未必有实根，由于:R p x ∀∈，方程20x x m +-=必有实根，是真命题，因此p ⌝为假命题，（2）:R q x ⌝∀∈，使得210x x ++>.由于140∆=-<，所以210x x ++>恒成立，所以q ⌝为真命题13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合{}27A xx =≤≤∣，{}3421B x m x m =-+≤≤-∣，且B ≠∅．（1）若:,p x A x B ∀∈∈是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:,q x B x A ∃∈∈是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|4m m ≥；（2）3|2m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由于:,p x A x B ∀∈∈是真命题，所以A B ⊆．而B ≠∅，所以2173423421m m m m -≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤-⎩，解得4m ≥，故m 的取值范围为{}|4m m ≥．（2）因为B ≠∅，所以3421m m -+≤-，解得m 1≥．由q 为真命题，得A B ⋂≠∅，当A B ⋂=∅时，347m -+>或212m -<，解得32m <．因为m 1≥，所以当A B ⋂=∅时，312m ≤<；所以当A B ⋂≠∅时，32m ≥．故m 的取值范围为3|2m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．。
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§1.4.1 全称量词与存在量词
【学情分析】：
1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等；
4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈
存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x 0，q(x 0)”的命题，记为: ∃x 0∈M ，p （ x 0）
5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题. 6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； （2）过程与方法目标：
能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容； （3）情感与能力目标：
培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.
【教学重点】：
理解全称量词与存在量词的意义；
【教学难点】：
全称命题和特称命题真假的判定.
课后练习
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A ．所有奇数都是质数
B ．2
,11x R x ∀∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数 D ．每个函数都有反函数 2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥
B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥
C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥
D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤ 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A ．2
,10x R x ∀∈+= B ．2
,10x R x ∃∈+= C ．,sin tan x R x x ∀∈< D ．,sin tan x R x x ∃∈<
4．下列命题中的假命题是（ ）
A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β 5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A
§1.4.2 全称量词与存在量词
【学情分析】：
（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；
（2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题进行否定；
（3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
（2）过程与方法目标：
进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；
（3）情感与能力目标：
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力。
【教学重点】：
通过探究，了解含有一个量词的命题与他们的否定在形式上的变化规律，会正确的对含有一个量词的命题进行否定。
【教学难点】：
正确的对含有一个量词的命题进行否定。
课后练习
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除
C ．存在一个被5整除的整数不是奇数
D ．存在一个奇数，不能被5整除
2． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数
B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数
D. 至少有一个自然数的平方不是正数 3． 命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（ B ）
A ．存在一个三角形，内角和等于1800
B ．所有三角形，内角和都等于1800
C ．所有三角形，内角和都不等于1800
D ．很多三角形，内角和不等于1800 4． “2
2
0a b +≠”的含义是（ ）
A ．,a b 不全为0
B ． ,a b 全不为0
C ．,a b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
5. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2
＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）
A ．存在实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根；
B ．不存在实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根；
C ．对任意的实数m ，使得方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根； D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 6. “至多四个”的否定为 （ ） A ．至少有四个 B ．至少有五个 C ．有四个 D ．有五个 参考答案：
1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B。