精选部编版数学八年级上 第13章-第10课 13.4最短路径问题 练习(教师版)
数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步练习题
数学人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题同步练习题解答题有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A?B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．【答案】见解析【解析】试题分析：根据两点之间线段最短，做出点D关于AB 的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点.试题解析：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB 于点E，则点E就是所求的点．解答题已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？【答案】见解析【解析】试题分析：分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2与OA、OB的交点即为乙、丙的位置.试题解析：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M 处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．解答题如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．【答案】见解析【解析】试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．解答题七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?【答案】见解析【解析】试题分析：作出小明关于OP的对称点A′，连接AA′，与OP交点即为满足条件的点.试题解析：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.解答题公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【答案】见解析【解析】试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．解答题如图，牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD。
最新人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题习题课件
E ， F 分别是 BC ， DC 上的点 ， 当△ AEF 的周长最小时 ， ∠ E70° D．80°
7．(10分)如图，已知M，N分别是∠AOB的边OA上任意两点． (1)尺规作图：作∠AOB的平分线OC； (2)在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM＋PN的值最小．(保留 作图痕迹，不写画法)
解：连接DE交AC于点P，得PB＝PD，则点P即为所求，作图略
5．(5分)如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别
是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB
的度数是( B )
A．25 ° B．30° C．35° D．40°
6．(5分)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，
，则AQ＋PQ＋BP即为所求的最短路径
3．(6分)如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A， B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
解：做点A关于直线的对称点A'，连接A'B交直线于点P，则点P即为 飞机场所在的位置，作图略
4．(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，在AC上确定一点 P，使PE＋PB最短，请在图上画出点P的位置．(不写作法，保留作图痕 迹)
解：(1)作图略
(2)作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P
，则MN的长度即为PM＋PN的最小值
【综合运用】
8．(10分)如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河
边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
解：分别作点A关于草地边界的对称点A'，点B关于河岸的对称点B'
，连接A'B'分别交草地边界和河岸于点Q，P，此时A'Q＝AQ，B'P＝BP
初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（）A. 10B. 11C. 11.5D. 13【答案】A【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【解答】∵直线m垂直平分AB，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是6+4＝10．选A．2.【答题】如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝5，则EP+CP的最小值为（）A. 2B. 4C. 5D. 7【答案】C【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【解答】作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝5，即EP+CP的最小值为5，选C．3.【答题】如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（）A. PA＝PCB. PA＝PEC. ∠APE＝90°D. ∠APC＝∠DPE【答案】D【分析】作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC＝∠DPE．【解答】如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．由对称性可知：∠EPD＝∠FPD，∵∠CPA＝∠FPD，∴∠APC＝∠DPE，∴PA+PE最小时，点P应该满足∠APC＝∠DPE，选D．4.【答题】如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1，∠2的数量关系正确的是（）A. ∠1+∠2＝90°B. 2∠2-∠1＝30°C. 2∠1+∠2＝180°D. ∠1-∠2＝90°【答案】D【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到∠1＝∠O+∠OPM，∠OPM＝∠1-∠O＝∠1-30°，由轴对称的性质得到∠OPM＝∠OPM′，∠OPM′＝∠QPN，于是得到∠QPN＝∠1+30°，由于∠3＝∠O+∠2＝30°+∠2，∠NQN′＝∠QPN+∠2＝∠1-30°+∠2，∠NQN′＝2∠3，即可得到结论．【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∵∠1＝∠O+∠OPM，∴∠OPM＝∠1-∠O＝∠1-30°，∵∠OPM＝∠OPM′，∠OPM′＝∠QPN，∴∠QPN＝∠PQO+30°∵∠3＝∠O+∠2＝30°+∠2，∠NQN′＝∠QPN+∠2＝∠1-30°+∠2，∠NQN′＝2∠3，∴∠1-30°+∠2＝2（30°+∠2），∴∠1-∠2＝90°．选D．5.【答题】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF ＝9，则AC为（）A. 14B. 13C. 12D. 10【答案】C【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝18，求得EG＝12，于是得到结论．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝9，∴BG＝2BF＝18，∴EG＝12，∵CE＝CG＝6，∴AC＝BC＝12，选C．6.【答题】如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 6B. 10C. 15D. 16【答案】C【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．【解答】如图：连接AD交EF于点M，∵等腰△ABC的底边BC长为6，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，∴AM＝CM，此时△CDM的周长为：CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+CDCD的长为3固定，∴根据两点之间线段最短，△CDM的周长最小．∵S△ABC BC•AD，∴6•AD＝36，∴AD＝12，∴AD+CD＝12+3＝15．选C．7.【答题】如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、OP2、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP，BP，则∠APB的度数为（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 150°【答案】B【分析】依据轴对称的性质，即可得到∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，进而得出∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，再根据∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O，即可得出结论．【解答】由轴对称可得，OP＝OP1、AP＝AP1，而AO＝AO，∴△AOP≌△AOP1（SSS），∴∠APO＝∠AP1O，∠AOP＝∠AOP1，同理可得，∠BPO＝∠BP2O，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴∠OP1P2+∠OP2P1＝90°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝∠AP1O+∠BP2O＝90°，选B．8.【答题】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A. 118°B. 121°C. 120°D. 90°【答案】A【分析】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为【解答】如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．选A．9.【答题】如图，∠AOB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）A. β-α＝30°B. β-α＝40°C. β+α＝180°D. β+α＝200°【答案】D【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP ＝∠AQN′＝∠AQN，KD∠OQN＝180°-20°-∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，由此即可解决问题．【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∵∠OQN＝180°-20°-∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，∴α+β＝180°-20°-∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．选D．10.【答题】已知：如图，∠AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝______．【答案】【分析】根据题意和轴对称的性质，利用勾股定理可以得到P1P2的长，从而可以得到△PMN的周长．【解答】连接OP1，OP2，由题意可得，OP1＝OP，OP2＝OP，∠P1OB＝∠POB，∠POA＝∠P2OA，∵∠AOB＝45°，OP＝2，∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP2＝2，∴P1P2＝2，∵PN＝P1N，PM＝P2M，∴PM+PN+MN＝P2M+P1N+MN＝P1P2＝2，即△PMN的周长＝2，故答案为：2．11.【答题】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值是______．【答案】5【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC BC•AD2×AD＝4，解得AD＝4，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值＝（CM+MD）+CD＝AD BC＝42＝4+1＝5．故答案为：5．12.【答题】如图，等边△ABC中，作∠ABP＝18°交AC于点P，Q为边BC上一点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝______°．【答案】48【分析】过B点作PQ′⊥BC于Q′，根据角的和差关系求出∠PBQ′，再根据直角三角形的性质求出当BP+PQ的值最小时∠BPQ的度数，从而求解．【解答】过B点作PQ′⊥BC于Q′，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠ABP＝18°，∴∠PBQ′＝60°-18°＝42°，∴当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝90°-42°＝48°．故答案为：48．13.【答题】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是______．【答案】10【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【解答】∵直线m垂直平分AB，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是6+4＝10．故答案为10．14.【答题】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是______．【答案】160°【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠AA″A′＝80°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝100°，∴∠AA′M+∠A″＝80°．由轴对称图形的性质可知：∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°．故答案为：160°．15.【答题】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝6，E是AC边上的中点，M是AD边上的动点，则EM+CM的最小值是______．【答案】6【分析】连接BE，交AD于M，则BE就是PE+PC的最小值，根据等边三角形的三线合一的性质从而证得BE＝AD＝6．【解答】如图所示：∵AD是BC边上的中线，∴AD等边三角形ABC的边BC上的高，∴AD是BC的垂直平分线，连接BE，交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，∵E是AC的中点，∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高，∴BE＝AD，∵等边三角形ABC的边BC上的高为6，∴BE＝AD＝6．∴EM+CM的最小值是6．故答案为：6．16.【答题】如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是______．【答案】6【分析】先连接CF，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【解答】连接CF，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB＝EC，当B、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝6，∴EF+BE的最小值为6，故答案为：617.【答题】如图，牧马人从A地出发，先到草地边MN的某处点C牧马，再到河边EF的某处点D牧马，然后回到B处，若从A到B走的是最短路径，CA与DB 的延长线交于点H，设锐角∠1＝α，则∠2的的大小为______（用含α的式子表示）．【答案】180°-2α【分析】作A于MN的对称点A′，B关于EF的对称点B′，连接A′B′交MN于C，交EF于D，此时AC+CD+BD的值最小．【解答】作A于MN的对称点A′，B关于EF的对称点B′，连接A′B′交MN于C，交EF于D，此时AC+CD+BD的值最小．∵∠2＝180°-（∠ACD+∠BDC）∠ACD＝180°-2∠NCD，∠BDC＝180°-2∠NDC，∴∠2＝180°-[360°-2（∠NCD+∠NDC）]＝180°-[360°-2（180°-∠1）]＝180°-2∠1＝180°-2α，故答案为180°-2α．18.【题文】用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）在直线m上求作一点P，使得PA+PB最短．【答案】见解答【分析】作点A关于直线m的对称点A′，连接BA′交直线m于点P，点P即为所求．【解答】如图，点P即为所求．19.【题文】如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：（1）画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△A′B'C′；（2）画出△ABC中BC边上的高线AD；【答案】见解答【分析】（1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点和三角形高的定义画图；【解答】（1）如图，△A′B'C′为所作；（2）如图，AD为所作；20.【题文】如图所示，有两个村庄A，B在一公路CD的一侧，如果把A，B村庄的位置放在格点图中．（1）请作出A点关于CD的对称点A′；（2）若要在公路CD上修建一个菜鸟驿站P，使得驿站到两个村庄的线段距离和最小，请作出P点的位置．【答案】见解答【分析】（1）直接利用对称点的性质进而得出答案；（2）直接利用轴对称设计求最短路线的方法得出P点位置．【解答】（1）如图所示：A′点即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．。
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
13.4 课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。
八年级数学上册 13.4课题学习最短路径问题课件2_6-10
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于 直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是 （ A） A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1BA1 交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最
短.
M
Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ， 而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
” 说完，马倒下死了。大家都推得满头大汗，鞋袜尽沾污泥，而有一个聪明人，光站在一旁指挥： “向这边，向这边，我看到了，轮子差不多要上来了。既然如此，何必一定要将他人的优点充作自已的，而把自已的缺点推给别人呢。
综艺在线观看 https:///index.php/vod/type/id/3.html
“想不想听月下演唱会?”阿土笑着问。” 一天，狐狸到处找吃的，实在饿极了，他一把抓住鸭子。，它继续向前走着，忽然看见了它的好朋友小牛，小牛见小木桥上有一个洞，于是拿来工具认认真真地修补起来
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
13.4 课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，使从A 到B 的路径AMMNNB 最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30°6.A。
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第13章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题
互动课堂理解
利用轴对称求最短路径 【例题】 如图,在△ABC中,BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D,EF 垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P使PB+PD 最小,则这个最小值为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 分析根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B 关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出 结论.
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
2.在直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使得它到A,B两点 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ).
关闭
C
答案快乐预习感知1源自233.已知点A(-2,1),B(3,2),在x轴上求一点P,使AP+BP最小,下列作法正 确的是( ). A.使点P与O(0,0)重合 B.连接AB并延长交x轴于点P,点P即为所求 C.过点A作x轴的垂线,垂足为P,点P即为所求 D.作点A关于x轴的对称点A',连接A'B,交x轴于点P,点P即为所求
13.4 课题学习 最短路径问题
快乐预习感知
1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我 们称它们为 最短路径 问题.
2.在解决最短路径问题时,我们通常利用 轴对称 、 平移 等 变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选 择.
关闭
D
答案
谢谢聆听
互动课堂理解
解析: ∵BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D, ∴AD=6. ∵EF垂直平分AB, ∴点A,B关于直线EF对称.
人教版数学 八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 课后练习题
一、单选题1. 如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN 的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．1.52. 某开发商的经适房的三个居民小区A、B、C在同一条直线上，位置如图所示．其中小区B到小区A、C的距离分别是70m和150m，现在想在小区A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程的和最小，那么超市的位置应建在（）A．小区A B．小区B C．小区C D．AC的中点3. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是24，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边上的中点，点为线段上一动点则周长的最小值为( )A．12 B．14 C．16 D．244. 如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在()A．点A B．点B C．点A，B之间D．点C5. 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．以上结论都不对二、填空题6. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在侧面B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？请你设计一种最短的爬行路线.下面是班内三位同学提交的设计方案：根据以上信息，你认为________同学的方案最正确，理由是______________________．7. 有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为_____．8. 如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线，E是AD上的一个动点，F 是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，的最小值是______．三、解答题9. 如图所示，点为（其中为锐角）内的一点，，分别为点P关于，的对称点，连接，交于点M，交于点N，已知．连接，．(1)求的周长．(2)若一动点从点P出发，到达上一点，再从这点出发到达上一点，然后又回到点P，所经过的最短路程是多少？请说明理由．10. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积．（3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小．（在图上直接标记出点P的位置）11. 如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A处发现一只虫子在D处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI方向爬行，蚂蚁预想在点I处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.。
人教版八年级数学上册练习13.4 课题学习 最短路径问题 课后训练
课后训练基础巩固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，因为AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.。
数学人教八年级上册《13 .4课题学习 最短路径问题》习题2
《13．4课题学习最短路径问题》习题
1、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
2、如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂部到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使厂部到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，
（1）若要使油库分别到两个加油站距离最短，应在何处设置加油站？
（2）若要使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短，应如何设置？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.4课题学习最短路径问题课时练习
一、选择题
1．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴
的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）
A．50 B．505 C．505－50 D．505＋50
2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的
距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
4．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝6，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长
最小为（ ）．
A．62 B． 6 C．621 D．6
5．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（ ）．
A．（21，－4） B．（32，0） C．（34，0） D．（23，0）
二、填空题
6．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个
动点，设AP＝x，DP＝y，92522yxa，则a的最小值是______．
7．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的
周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED
的最小值是_____．
9．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，
则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．
三、解答题
11．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上
取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
12．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B
的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到
加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．D
5．C
6．10
7．100°
8．5
9．（0，－41）
10．2；2＋213
11．（1）如图所示．
画法：
①作点M关于射线OP的对称点M'，
②连接M'N交OP于点A．
③作点N关于射线OQ的对称点N'，
④连接N'M交OQ于点B．
（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．
12.如图