圆锥侧面积和全面积1
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九年级数学圆锥的侧面积和全面积教案
教案一：九年级数学圆锥的侧面积和全面积一、教学目标：1.理解圆锥的定义，掌握圆锥的侧面积和全面积公式的推导过程；2.能够应用所学知识解决与圆锥的侧面积和全面积相关的问题。
二、教学重难点：1.掌握圆锥的侧面积和全面积的公式的推导过程；2.在解决实际问题时，能够正确应用所学知识。
三、教学准备：1.教学课件、黑板、多媒体设备；2.学生准备的教材、笔记本和学习用具。
四、教学过程：Step 1 导入1.向学生介绍圆锥的概念，指出圆锥是由一个圆形底面和从底面上其中一点出发，既可以平行于底面，也可以不平行于底面的射线所围成的立体。
要求学生将圆锥的概念写在笔记本上，并画出一个圆锥的示意图。
Step 2 探究1.向学生提问：当圆锥的射线是和底面相交于一个点时，这种圆锥的形状是什么样的？请举例说明。
2.让学生通过观察和思考，探究这种特殊圆锥的性质，并让学生将结论写在笔记本上。
3.学生展示并讨论自己的结论，并与全班进行讨论。
Step 3 概念1.向学生介绍圆锥的侧面积和全面积的定义，并将其写在黑板上。
2.让学生记录下定义并理解其中的关键概念。
3.提醒学生要注意定义中的单位。
Step 4 推导1.向学生展示圆锥的侧面积公式的推导过程，并讲解每一步的原理和思路。
2.让学生跟随教师的步骤，将推导过程写在黑板上。
Step 5 计算1.以一个具体的圆锥为例，向学生展示如何计算圆锥的侧面积和全面积。
2.让学生逐步完成计算，并将结果写在纸上。
Step 6 实例1.给学生提供一些实际问题，要求他们运用所学知识解决问题。
2.学生独立完成问题，并将解答写在纸上。
3.学生进行互评，并讨论解题方法和答案的正确性。
Step 7 总结1.教师对本堂课的重难点内容进行总结，并强调学生在学习过程中需要注意的要点。
2.学生将本节课的重点内容整理为笔记。
五、课后作业：1.复习本节课的内容，确保对圆锥的侧面积和全面积的计算方法掌握透彻；2.完成课后作业，练习应用所学知识解决实际问题。
3.6-圆锥的侧面积和全面积
试一试：以直角三角形一条直角边所在的直线 为轴，其余各边旋转一周而成三角形以它的一条直 角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周 而成的面所围成的几何体.
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面
母
线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的 底面
图 23.3.6
l
2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm, 高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积 （ 取3.14，结果保留2个有效数 字）
3.已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表 面积为75 cm2,求这个圆锥的底面半径和母线的长.
解：∵轴截面△ABC是等边三角形 ∴AC=2OC 由题意，得
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；
便是对詹乌大王等人,鞠言也是笑脸相迎.毕竟,人家还没开始竞拍小善涅丹,就一个人花了伍百万善石了.看在伍百万善石の面子上,鞠言也不能给对方冷着一罔脸啊！吙阳大王关闭了洞府入口,而后也来到了拍卖会の会场.她来到鞠言身边,将情况大体说了一下,自然也告诉鞠言门票收入一共是四 千万善石.“诸位道友.”鞠言略微催动申历,声音传出.第三三二零章进行事第三三二零章进行事(第一/一页)混元之主和混元大王,全都看向鞠言.“废话俺就不多说了.”“现在就开始竞拍小善涅丹,本次拍品小善涅丹将会分组竞拍,每一组为拾颗小善涅丹.”“第一组小善涅丹,竞拍开始.诸位道 友,能够开始出价了,此次拍卖不设底价.”鞠言话音落下,随着手臂微微一动,一个比较大の玉瓶出现在鞠言手中.玉瓶之内,盛放着拾颗小善涅丹,能够令普通善王更快速更容易参悟本源道则.“一组拾颗小善涅丹?”“不设底价,该出价多少呢?”“也不知道,将会有几组小善涅丹要被拍卖.”“鞠 言大王拿出の小善涅丹效果非常好,之前他送给天蛛大王の伍颗小善涅丹,天蛛大王已经让他混元の善王用过,非常厉害.”“……”不少混元大王窃窃私语.碍事呐些混元大王在参加本次拍卖会之前,对小善涅丹の价格,已经有一个心理预期.可现在拍卖正式开始,他们倒是有些犹豫该出一个哪个样 の价格了.毕竟,小善涅丹呐种东西在联盟中已经很久很久没有出现过了,也难找一个基准进行对比.“伍百万善石.”天蛛大王第一个举手,报出了一个伍百万善石の价格.伍百万善石拾颗,就是伍拾万善石一颗.而鞠言炼制小善涅丹の物质成本,一炉才拾七八万善石.一炉小善涅丹,鞠言平均能成丹 接近八颗.也就是说,一颗小善涅丹の物质成本,也就两万多善石の样子.“陆百万善石！”“俺出陆百伍拾万善石！”“七百万善石.”在天蛛大王出价之后,立刻便有多名混元大王,将呐一组小善涅丹の竞拍价格,推高到了七百万善石.不过,出价の呐些混元大王,基本上都来自联盟中相对弱小の混 元空间.像詹乌混元几个混元空间,都没有对呐一组小善涅丹出价.他们都得到了消息,本次竞拍の小善涅丹,数量超过一百颗.也就是说,至少会有拾组小善涅丹将会被鞠言拿出来竞拍.他们,不着急,反正又不可能一个人吃掉全部の小善涅丹.“俺出八百万善石.”毕尚大王举起手,声音很高.毕尚大 王是联盟中实历较强の混元之主,他只差一类元祖道则,便可成为小圆满の混元大王.天蛛大王等人,都看了毕尚大王一眼,而后并未再开口加价.后面还有机会,呐第一组小善涅丹,就当是给毕尚大王一个面子了.“毕尚大王出价八百万善石,可还有道友继续加价?”鞠言环视全场.仍然没有人出 声.“好,那么俺宣布,今日拍卖の第一组小善涅丹,归属毕尚大王.”鞠言笑着说道：“恭喜毕尚大王.”毕尚大王站起身,对鞠言拱了拱手,又对四周の其他混元之主和混元大王拱了拱手.落尘大王,直接将呐一组小善涅丹送到毕尚大王面前,毕尚大王查看过后,便如数支付了八百万善石给落尘大 王.“拍卖继续,呐是第二组小善涅丹,数量仍然是拾颗.诸位道友,能够出价了.”鞠言一摆手,又是一个玉瓶出现在他手中.“伍百万善石！”“陆百万善石……”在人群之中,吙阳大王目光晶亮.别人可能不知道鞠言炼制小善涅丹の物质成本,但吙阳大王是知道の.西凉商会の分会长英毕,多次将材 料送到她の手中,而鞠言支付了多少善石给英毕会长,吙阳大王也清楚.所以她不用问鞠言,也能大概知道小善涅丹の物质成本是多少.当然,吙阳大王还不清楚鞠言大王炼制一炉小善涅丹能成丹几颗.“拾颗小善涅丹,八百万善石.一百颗,就是八千万善石.鞠言大王呐次拿出一百四拾颗小善涅丹拍卖, 若都是呐个价格成交,那总价可就超过一个亿の善石了.”吙阳大王心中快速算了一下.“若以后能炼制出大善涅丹,一颗大善涅丹,得卖出一个怎样の价格?任何一个混元大王,都不可能拒绝大善涅丹の诱惑啊！”“鞠言大王,怕是很快就能成为联盟中最富有の混元之主啊！”吙阳大王心中感慨.而 鞠言大王,呐才崛起多长事间?第二组小善涅丹,仍然是以八百万善石の价格成交,被玄冥大王拍走.“恭喜玄冥大王了.”鞠言对其道贺.“多谢鞠言大王给俺们提供小善涅丹.”玄冥大王满脸笑容说道,他有意の想与鞠言改善关系.至于思烺大王是死在鞠言大王手中,那又有哪个关系呢?思烺大王已 经死了,现在连思烺混元都属于鞠言大王掌控了.“下面俺们开始第三组小善涅丹の竞拍.”鞠言继续主持拍卖.“八百万善石！”在鞠言话音刚刚落下,第一个报价の声音就响起了,而出价の人,是苍幕大王带来の那个混元大王.“八百伍拾万善石.”凌工大王出价.如果是苍幕大王本人出价,那凌工 大王可能会考虑到苍幕大王の面子,从而放弃出价竞争.可现在,只是跟着苍幕大王来参加拍卖の一个普通混元大王出价,凌工大王便要争一下.那名苍幕混元の大王,看了凌工大王一眼,而后又看了看身边面无表情の苍幕大王,之后继续加价：“九百万善石！”呐一次凌工大王没有出价,摇了摇头放 弃了呐一组小善涅丹の竞拍.“恭喜呐位来自苍幕混元の道友,呐一组小善涅丹,归你了.”鞠言抬了抬手,向对方道贺.接下来第四组、第伍组和第陆组小善涅丹,接连拍卖出去.成交の价格,都在八百万善石到九百万善石の样子.而随着拍卖出去の小善涅丹越来越多,场内の气氛,倒是显得紧罔起来. 由于,余下の将要拿出来竞拍小善涅丹数量,越来越少了.大多数の混元大王,还都没有成功拍到小善涅丹.第三三二一章四组打包第三三二一章四组打包(第一/一页)僧多粥少！再不出手,可能就无法在本次拍卖中竞拍到小善涅丹了！随着拍卖の进行,会场中の吙药味也越来越浓了.在拍卖开始の事 候,各人彼此之间还会多少给一些面子,尤其是混元之主之间,竞争并不太激烈.可当再不争抢の事候就可能是空手而归の结果,谦让の心思自然就越来越淡薄了.“第七组小善涅丹开始竞拍.”鞠言一挥手,盛放拾颗小善涅丹の玉瓶出手.“一千万善石.”呐次喊价の,是托连军师.焦源盟主本人没有 参加本次拍卖会,而托连军师在呐里,自然就代表了焦源盟主.而托连军师一开口,就是一千万善石の出价.呐也是本次拍卖会到目前为止,最高の出价.前面陆组小善涅丹,价格都没有超过九百万善石.鞠言看了看托连军师,直接笑着说道：“托连军师,呐一组小善涅丹是你の了！”鞠言没有询问有没 有更高の出价,直接宣布了呐样の结果.“多谢鞠言大王.”托连军师拱手微微一笑.而场中の众人,面色各有不同,但没人说哪个.首先,托连军师の出价是目前拍出の七组小善涅丹中最高の价格.其次,托连军师代表の是焦源盟主.不管是哪位混元之主,也得给盟主面子.“第八组小善涅丹开始竞 拍.”鞠言再次挥手.“一千万善石.”呐次喊出价格の,仍然是托连军师.呐一次,詹乌大王等人都皱眉了.难道,托连军师呐是打算将余下の小善涅丹全部竞拍走不成?仍然没有询问有没有更高出价,鞠言宣布呐第八组小善涅丹被托连军师成功拍走.在拍卖第九组小善涅丹事,托连军师没有出价.而会 场内の众人,才都松出一口气.如果托连军师还要出价竞拍,那就不能继续沉默了,至少得要鞠言大王给他们竞价の机会,不能让托连军师直接出价买走小善涅丹.托连军师显然也没有那个意思,差不多也就行了,一组一千万善石,也算合适.“一千万善石！”坤焱大王举手出价.坤焱混元,只有坤焱大 王一个人参加拍卖会.“一千一百万善石！”紫羽大王抬手出价.呐已经是第九组小善涅丹了,再不争夺,怕是就没有机会从拍卖中带走小善涅丹了.“鞠言大王,不知本次拍卖,还有多少小善涅丹被拍卖?”詹乌大王坐不住了,他沉声问鞠言.“詹乌大王,俺只能说,数量已经不多了.”鞠言眯着眼睛, 笑着回应詹乌大王の问题.对鞠言の回答,詹乌大王并不满意,他正
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面
母
线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的 底面
图 23.3.6
l
2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm, 高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积 （ 取3.14，结果保留2个有效数 字）
3.已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表 面积为75 cm2,求这个圆锥的底面半径和母线的长.
解：∵轴截面△ABC是等边三角形 ∴AC=2OC 由题意，得
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圆锥侧面积公式是什么
圆锥侧面积公式是什么
圆锥的侧面展开是扇形，所以根据扇形的面积计算公式得到圆锥侧面积=πLR（L是圆锥的侧长，R是圆锥半径）。
圆锥侧面积公式是什么
1圆锥侧面积公式
圆锥的侧面积=母线的平方×π×（360分之扇形的度数）==1/2×母线长×底面周长=π×底面圆的半径×母线
其它相关公式：
圆锥的表面积=底面积+侧面积S=πr²+πrl （注l=母线）；
圆锥的体积=1/3底面积乘高或1/3πr^2*h。
2圆锥
定义
圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
注意：圆锥不是特殊的圆柱。
组成
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高；
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
圆锥的表面积和侧面积.ppt
救亡图存 的强烈愿望。
京张铁路 建成通车；民国以后，各条商路修筑
正轨。
二、水运与航空
1．水运
(1)1872年,
轮船招商局 正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空 (1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始 研制 。 (2)发展： 1918年，北洋政府在交通部下设“ 水上飞机
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
圆锥的侧面积和全面积
各小组展示课前自制的圆锥 模型，并由小组代表描述自己 制作圆锥的过程
圆锥的表面是由一个曲面（扇形） 和一个圆面围成的；那么怎样计算圆锥 的侧面积呢？
请你欣赏
圆锥
根据你以前的所学，说说你对圆 锥的一些认识。
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的全面积S全 = 侧面（扇形）的面积 + 底面圆的面积
=
rl +
r
2
= r (l
r)
h
l
r
做一做
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为
10cm 8cm，则这个圆锥的母长为_______
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，
母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为
2 2 _________ ，全面积为 _______ 240 cm 384 cm
1 2 S侧 rl 58 22.03 638.87cm 2 638.87×20＝12777.4 cm2 所以，至少需要12777.4 cm2的纸。
2
2
例题2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组
成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为 9 ，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古
例题1
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节 的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为 58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸 帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果 精确到0.1）
解：设纸帽的底面半径为 r ，母线长为 l， 2 58 58 2 则r cm， l 20 22.03cm
观察
圆锥的曲面（侧面）展开是扇形
圆锥的底面半径、高线、 母线长三者之间的关系:
h r l
2 2
2
h
l
r
填空：根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） 3 (1) a = 2, r=1 则 h=_______
5 (2) h = 3, r=4 则 a=_______
包，那么至少需要用多少 m2 的毛
毡?(结果取整数). 约为7927m2.
=
rl +
r
2
= r (l
r)
h
l
r
做一做
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为
10cm 8cm，则这个圆锥的母长为_______
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，
母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为
2 2 _________ ，全面积为 _______ 240 cm 384 cm
1 2 S侧 rl 58 22.03 638.87cm 2 638.87×20＝12777.4 cm2 所以，至少需要12777.4 cm2的纸。
2
2
例题2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组
成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为 9 ，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古
例题1
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节 的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为 58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸 帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果 精确到0.1）
解：设纸帽的底面半径为 r ，母线长为 l， 2 58 58 2 则r cm， l 20 22.03cm
观察
圆锥的曲面（侧面）展开是扇形
圆锥的底面半径、高线、 母线长三者之间的关系:
h r l
2 2
2
h
l
r
填空：根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） 3 (1) a = 2, r=1 则 h=_______
5 (2) h = 3, r=4 则 a=_______
包，那么至少需要用多少 m2 的毛
毡?(结果取整数). 约为7927m2.
圆锥侧面积和全面积课件
如图中a是圆锥的一条母线, 而h就是圆锥的高.
4.圆锥的底面半径、
高线、母线长三者之间
间的关系:
A
a2 h2 r 2
P
a h Or B
填空、根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1) a = 2, r=1 则 h=_______
(2) h = 3, r=4 则 a=_______
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析: 以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公
共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面
积就是求两个圆锥的侧面积。
A
C B
A
解：过C点作CD AB，垂足为D点
所以 CD AC BC 512 60
AB 13 13
底面周长为 2 60 120
D
▪ 先独立思考,再与同伴交流. ▪ 相信自己是第一个提供思路和
答案的智(勇)者.
约为3023.1m2.
手工制作、已知一种圆锥模型的底 面半径为4cm , 高线长为3cm。你 能做出这个圆锥模型吗?
P
ha
A的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面 积.
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
a h
A
Or B
议一议
生活中的圆锥侧面积计算
▪ 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆 柱组成的.如果想在某个牧区搭建15 个底面积为33m2,高为10m(其中圆锥 形顶子的高度为2m)的蒙古包.那么 至少需要用多少平方米的帆布?(结 果精确到0.1m2).
a
a a
例2.根据下列条件求圆锥侧面积展开 图的圆心角 （r、h、a分别是圆锥 的底面半径、高线、母线长）
4.圆锥的底面半径、
高线、母线长三者之间
间的关系:
A
a2 h2 r 2
P
a h Or B
填空、根据下列条件求值（其中r、h、a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1) a = 2, r=1 则 h=_______
(2) h = 3, r=4 则 a=_______
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析: 以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公
共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面
积就是求两个圆锥的侧面积。
A
C B
A
解：过C点作CD AB，垂足为D点
所以 CD AC BC 512 60
AB 13 13
底面周长为 2 60 120
D
▪ 先独立思考,再与同伴交流. ▪ 相信自己是第一个提供思路和
答案的智(勇)者.
约为3023.1m2.
手工制作、已知一种圆锥模型的底 面半径为4cm , 高线长为3cm。你 能做出这个圆锥模型吗?
P
ha
A的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面 积.
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
a h
A
Or B
议一议
生活中的圆锥侧面积计算
▪ 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆 柱组成的.如果想在某个牧区搭建15 个底面积为33m2,高为10m(其中圆锥 形顶子的高度为2m)的蒙古包.那么 至少需要用多少平方米的帆布?(结 果精确到0.1m2).
a
a a
例2.根据下列条件求圆锥侧面积展开 图的圆心角 （r、h、a分别是圆锥 的底面半径、高线、母线长）
圆锥的侧面积和全面积上
3.4.2 圆锥的侧面积和全面积
一、知识回顾 1、弧长计算公式
2、扇形面积计算公式
l nR
180
s nR2
360
或s 1 lR 2
图片欣赏
1.经历探索圆锥侧(全)面积计算公式的过程，发展学生 的实践探索能力. 2.了解圆锥的侧(全)面积计算公式后，能用公式进行计 算，训练学生的数学应用能力.
180
4
4
显然OC SO 因此马强的说法正确.
O′
A′
6.已知：在RtΔABC，∠C=90°，AB=13cm, BC=5cm. CD⊥AB于点D.求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全 面积.
A
旋转得到怎样的几何体？
D
C
B
分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体 是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体， 因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积.
a
h
24π cm2
A
O r
B 答:圆锥形零件的侧面积是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ24cm2 .
1.根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和全面积
（1）r=12cm, l=20cm
240π 384π
（2）h=12cm, r=5cm
65π 90π
2.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240
度的扇形.则这个圆锥的底面半径为__1_2_c_m__
的侧面积为_1_2_0__c_m__2_.
(3）已知圆锥底面圆的半径为2cm,高为 5cm，则这个
圆锥的侧面积为_6__c_m_.2
5
2
圆锥的侧面积
S扇形
na2
360
S侧 ra
na 2
ra
360
n
一、知识回顾 1、弧长计算公式
2、扇形面积计算公式
l nR
180
s nR2
360
或s 1 lR 2
图片欣赏
1.经历探索圆锥侧(全)面积计算公式的过程，发展学生 的实践探索能力. 2.了解圆锥的侧(全)面积计算公式后，能用公式进行计 算，训练学生的数学应用能力.
180
4
4
显然OC SO 因此马强的说法正确.
O′
A′
6.已知：在RtΔABC，∠C=90°，AB=13cm, BC=5cm. CD⊥AB于点D.求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全 面积.
A
旋转得到怎样的几何体？
D
C
B
分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体 是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体， 因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积.
a
h
24π cm2
A
O r
B 答:圆锥形零件的侧面积是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ24cm2 .
1.根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和全面积
（1）r=12cm, l=20cm
240π 384π
（2）h=12cm, r=5cm
65π 90π
2.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240
度的扇形.则这个圆锥的底面半径为__1_2_c_m__
的侧面积为_1_2_0__c_m__2_.
(3）已知圆锥底面圆的半径为2cm,高为 5cm，则这个
圆锥的侧面积为_6__c_m_.2
5
2
圆锥的侧面积
S扇形
na2
360
S侧 ra
na 2
ra
360
n
圆锥侧面积和全面积计算方法
圆锥侧面积和全面积计算方法内容：1．圆锥母线的概念．2．圆锥侧面积的计算方法．3．计算圆锥全面积的计算方法．4．应用它们解决实际问题．问题：1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．3.与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，•底面圆的半径为r，•如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，•因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？练习1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A．228° B．144° C．72° D．36°3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A 出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）A．63 B．332C．33 D．34．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．5．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的表面积是__________（用含 的代数式表示）6．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．7．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？8．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．9．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．。
圆锥的侧面积和全面积最新版
方厘米的纸？（结果精确到0.1 cm 2 ）
解：设纸帽的底面半径为 r cm，母线长为
l cm，
则 r 58
2
，l
582
2
202
22.03cm
S 侧 rl1 2 5 8 2 2 .0 36 3 8 .8 7 cm 2
638.87×20＝12777.4 cm2
2 r 12 , r 6 .
h 12 2 6 2 6 3 .
A
r O
B
tan r 3 , 60 . 2h 3
习题答案
1. （1）6 （2）150° （3） 4 3
2. 20＋3π（m）
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
解：设纸帽的底面半径为 r cm，母线长为
l cm，
则 r 58
2
，l
582
2
202
22.03cm
S 侧 rl1 2 5 8 2 2 .0 36 3 8 .8 7 cm 2
638.87×20＝12777.4 cm2
2 r 12 , r 6 .
h 12 2 6 2 6 3 .
A
r O
B
tan r 3 , 60 . 2h 3
习题答案
1. （1）6 （2）150° （3） 4 3
2. 20＋3π（m）
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
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母线
图 23.3.7
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
S侧=S扇形
l
h R r
S全=S侧+S底
prR pr 2
1 1 lR 2prR prR 2 2
探究新知 你能探究展开图中的圆心角n 思考： 与r、R之间的关系吗？ n ） R h
C. 4 3pcm2
D. 8 3pcm2
小结： 1.圆锥的侧面积和全面积
S 侧 S扇形 prR
S全 S 侧 S 底 prR pr 2
2. 展开图中的圆心角n与r、R之间的关系：
r n 360 R
勇攀高峰 （09年湖北）如图，已知RtΔABC中， ∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所 在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得 几何体的表面积是（ ）． 168 24 • A． p B． p
5
84 • C． p 5
12 D． p
3 2 pr 4
2.把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开， 可得到一个半径为24cm,圆心角为118 的扇形，求 该纸杯的底面半径和高度。（结果精确到0.1cm) 分析:利用等式：扇形的弧长=底面圆的周长，求出底面半径。 (1)解：设纸杯的底面半径为xcm, 118p 24 =2 p x 180 ∴x=7.9cm (2)高： 24 7.9 =22.7cm
分析：利用扇形的弧长公式求出弧AB和弧CD 的长度，再利用圆的周长公式求出纸杯的上 底半径 为3，下底半径为2. 解:⑴S侧=S扇形AOB-S扇形COD= ⑵长为18cm,宽为（1830p
6 3
O
）cm
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ 解： 将圆锥沿AB展开成扇形AB′B′， 则点CBBBB′ 将圆锥沿AB展开成扇形ABB′，解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABBDAB展开成扇形 则点C是BB′的中点，：过点B作 B ，⊥ ACC是是 ′的中 解 将圆锥沿 则点 ， 解 展开成扇形AB展开成扇形AB 则点C C 过点 将圆锥沿AB B 解： 的中点， 垂足为D . AB： 将圆锥沿 AC， ′， 则点C是 ，， 则点， 是B 垂足为D 垂足为 D. 形ABB 足为D. ′， 则点C是BB′将圆锥沿过点B作.BD ⊥AB展开成扇形ABBB ′的中点是BB 垂足为D 垂足为D. 垂足为D..r r ∠BAB′′= r ×360 ° =BAB r 360 120 B ×360 ° 120 ° C ∠ BAB = ×360 °120 °° = 120 AB′= = lr lr l r l BAB ′° 360 ° 120 ° 120 ∠° 120 ×360 Δ BAB = ∠BAB′= ×360∠BAD = 60°在Rt=ΔABC中， ∠BAD 6060ABAB3= = ∴∠BAD = 60 °在Rt ABC中， 60 .在= = ABC中， , , ll . l BAD = 60 ° AB = 3.. BAD ∠BAD Rt ° ° = . BAD = 60°在RtΔABC中， ∠ . , 3 ∠BAD =60 .在RtABC 60 ,BAD . ∴BAD 3中 ° ∠BAD =中 ， ∠BAD = 60 ° 中 , ∴∠BAD = 60 °在RtΔABC3 ，.在RtΔABC3，° AB = 3 60 , ABAB . BD = 3 60 ∴ BD = ， ∠BAD = 60° AB = 3. , BD 3 3 2 2 3 D= 3 2 3 3 3 BD = 2 ∴ BD = 3 ∴BD 2 3 33 3 答： 它爬行的最短路线是 3.3. 2 2 它爬行的最短路线是 答： 它爬行的最短路线是 3 23 2 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 2 3 3. 3 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 3. 2 22 3. 2
圆锥的侧面积全 面积（1）
图片欣赏
点击概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底 面是一个圆，侧面是一个曲面. 1.圆锥的高h 连结顶点与底面圆心的线段. 2.圆锥的母线R R 连结圆锥顶点和底面圆周上的任意 一点的连线段。 思考：圆锥的母线有几条？ r 3.底面半径r
h O
探究新知
圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间的关系:
R h r
2 2
2
R h O r
例如：已知一个圆锥的高为
6cm，半径为8cm，则这个圆
锥的母线长为_______ 10cm
探究新知 准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图． R h O r
图 23.3.7
探究新知 问题1: 1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什 么关系？ 相等 问题2： 2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？
分析：利用等式扇形的弧长=圆的周长列方程求解 解：
1 2p R 2p r 4
∴R=4r A C D B
2.某种规格的小纸杯的侧面是由一个半径为18cm, 圆心角为60度的扇形OAB，剪去一个半径为 12cm的同心扇形OCD所围成的（接缝不计）（1） 求纸杯的底面半径及侧面积；（2）要制作这样 一个纸杯的侧面，如果按图（2）所示的方式裁 剪，至
C
随堂练习
1.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r的半圆，求这个圆锥的全面积。
分析：圆锥的侧面积即是半圆的面积。 利用等式：半圆的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径。 解：设底面圆的半径为x p r=2 p x 1 所以x= 2 r 2 1 2 r ∴S全=S侧+S底=2 p r + p ( 2 ) =
C. 28pcm2
D. 15pcm2
做一做
生活中的圆锥侧面积计算
例1:圆锥形的烟囱帽的底面周长是 83cm, 高是10cm. 制作这样一个烟 囱，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （结果精确到0.1cm² ）
例2 :已知一个圆锥的轴截面△ABC是 等边三角形，它的表面积为75 πcm2， 求这个圆锥的底面半径和母线的长。
_ 2.1m
_
2m _ 4m A _ C _
先独立思考,再与同伴交流.
B
• 1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的 全面积.
5200p
• 2.有一扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一 个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
r=10, h= 20 2
变式引申
1.如图：在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形， 使之恰好围成右边的圆锥，设圆的半径为r,扇 形半径为R，试写出R与r之间函数表达式。
例7、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为 3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿 圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线 AC上，问它爬行的最短路线是多少？ A
随堂练习
.圆锥的侧面积为 8pcm ，其轴截面是一个 等边三角形，则该轴截面的面积为（ A ）
2
A. 4 3cm
2
B . 8 3cm
2
r n 360 R
O
r 当圆锥的轴截面是等边三角形时， 圆锥的侧面展开图是一个半圆
随堂练习 1.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为 20cm，则这个圆锥的侧面积为_________，全面 240p cm
2 2 积为__________ 384p cm
2.一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm， 高为4cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面 积为（ D A. 66pcm2 ） B.30pcm2
2 2
作业巩固
1.
一种太空囊的示意图如图所示，
太空囊外表面须作特别处理，以承 受重返地球大气层时与空气摩擦而 产生的高热。求该太空囊要接受防 高热处理的面积。 2.一个三角尺的两直角边长分别 为15cm和20cm,以它的斜边为 旋转轴旋转这个三角尺，便形 成如图所示的旋转体，求这个 p 旋转体的全面积（ 取3.14）