一阶电路的冲激响应和卷积积分

1 = e C
−
t RC
ε (t )
f ( t )δ ( t ) = f (0)δ ( t )
t t t − d − RC 1 − RC ic ( t ) = [e ε ( t )] = e RC δ ( t ) − e ε (t ) RC dt
t 1 − RC e ε (t ) = δ (t ) − RC uC R 阶跃响应
= ∫ 2 × 10 e × e
0
t
−6
−τ
− 2 ( t −τ )
dτ
= 2 × 10 e
−t
−6
−2t
∫
t 0
eτ dτ = 2 × 10 − 6 e − 2 t (e t − 1)
= ( 2e − 2e
−2 t
)ε ( t )V
例2
f 1 ( t ) = 2[ε ( t ) − ε ( t − 1)] 求 f1 ( t ) * f 2 ( t )
t −1
t
ic R
+
1 − RC uc ( t ) = e C
t
t≥0
+
C
+ uc
-
t uc 1 − RC ic ( t ) = − = − e R RC
t ≥ 0+
1 uc ( 0 ) = C
1 C
0 uC
t 1 − RC ε (t ) uc ( t ) = e C t 1 − RC ic ( t ) = δ ( t ) − e ε (t ) RC
e( k∆τ ) p( t − k∆τ ) ∆τ
响应 r ( t ) ≈ ∑ e( k∆τ ) h p ( t − k∆τ )∆τ
当 k→∞
激励 e ( t ) = lim
k →∞
k →∞
∑
k =0
k =0
e( k∆τ ) p( t − k∆τ ) ∆τ
脉冲
δ (t − τ )
冲 激
响应 r ( t ) = lim ∑ e( k∆τ )h p ( t − k∆τ )∆τ
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
0 t
= ∫ f1 ( t − ξ ) f 2 (ξ )( − dξ )
t
0
性质2 性质
= ∫ f 1 ( t − ξ ) f 2 (ξ )dξ = f 2 ( t ) * f 1 ( t )
0
t
f1 ( t ) * [ f 2 ( t ) + f 3 ( t )] = f1 ( t ) * f 2 ( t ) + f1 ( t ) * f 3 ( t )
1 L
1 − τt iL (t ) = e L
t≥0
+
R uL ( t ) = − i L R = − e L
− t
−
t
τ
t≥0
+
1 L
1 τ iL(t ) = e ε (t ) L
R τ uL(t ) = δ (t) − e ε (t ) L
− t
0 uL
t
δ (t)
t
R − L
§6-8 卷积积分
一. 卷积积分 定义 设 f1(t) , f2(t)
t 0
t < 0 均为零 令 ξ = t -τ τ ：0 t ξ: t 0
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
性质1 性质 证明
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = f 2 ( t ) * f1 ( t )
积
0 t 1 t’
t
0
t 1 t’
由图解过程确定积分上下限
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = 2[ε ( t ) − ε ( t − 1)] * e − t
τ e-(t-τ) τ e-(-τ)
2
1 0 0 1
t<0
τ
t t
0≤ t ≤1 t ≥1
f (t ) = 0
f ( t ) = ∫ 2e − ( t −τ )dτ = 2 − 2e − t
e (t )
e (0)
0
∆τ 2∆τ ∆
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆
t
e( t ) ≈ e(0)[ε ( t ) − ε ( t − ∆τ )] + e( ∆τ )[ε ( t − ∆τ ) − ε ( t − 2∆τ )] +L
= ∑ e( k∆τ )[ε ( t − k∆τ ) − ε ( t − ( k + 1)∆τ )]
τ
τ
f1(τ )
2
0
卷 移 乘
1
0
f2(-τ)
1
τ τ
1
0
f2(τ ) f1(-τ)
2
1
τ
1
f2(t-τ)
t’
-1
0
τ
t’-1
0 t 1 2 0 t
τ
f1(t-τ)
1
2
f1(τ) f2(t-τ)
-1
2 1
0 t
f2(τ) f1(t-τ)
1
t’
τ
1 t’
τ
-1
0 t
τ
f1(t)* f2(t)
f1(t)* f2(t) t
k =0
=∑
k =0
1 e ( k∆ τ ) [ε ( t − k∆τ ) − ε ( t − ( k + 1)∆τ )]∆τ ∆τ
单位脉冲函数的延时
= ∑ e( k∆τ ) p( t − k∆τ ) ∆τ
k =∑ e ( k∆ τ ) p ( t − k ∆ τ ) ∆ τ
证明： 证明：
ε (t )
f(t)
s(t) 零状态
δ (t )
零状态
h(t)
1 ∆
1 − ∆
1 1 f (t ) = ε (t ) − ε (t − ∆ ) ∆ ∆
∆
t
1 s( t ) ∆
1 − s( t − ∆ ) ∆
1 d h( t ) = lim [ s( t ) − s( t − ∆ )] = s(t ) ∆ →0 ∆ dt
C [ uc ( 0 ) − uc ( 0 )] = 1
0+ 0+
+ −
=0
电容中的冲激电流使电容电压发生跳变 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
0 0
1 uc (0 ) = C
+
=1
uC (0 − )
转移电荷） ∆q = ∫ − ic dt = ∫ − δ ( t )dt = 1 （转移电荷）
2. t > 0+ 零输入响应 （RC放电） 放电） 放电
积分 脉冲响应
h( t − τ )
冲激响应
当 k → ∞ , ∆ τ → d τ , k∆ τ → τ
r ( t ) = ∫ e(τ )h( t − τ )dτ
0
t
t 参变量 观察响应时刻 参变量(观察响应时刻 观察响应时刻)
τ 积分变量（激励作用时刻） 积分变量（激励作用时刻）
例1
已知： 已知：R=500 kΩ , C=1 µF , uC(0)=0 Ω + R C
iS
uC
–
i s = 2e − t ε ( t ) µ A
求： uC(t)
解：先求该电路的冲激响应 h(t)
i s = δ ( t ) µA
1 + uC (0 ) = C
uC(∞)=0 ∞
∫
1 i dt = − s 0 C
0+
∫
0+ 0−
10 −6 δ ( t )dt = = 1V C
τ = RC = 500 × 10 3 × 10 −6 = 0 .5 s
k =0
∆τ 2∆τ ∆
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆
t
→ e ( 0)h p ( t )∆τ
若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ) 第1个矩形脉冲 e( 0) p( t )∆τ 个矩形脉冲
第k个矩形脉冲 个矩形脉冲
e ( k∆ τ ) p( t − k∆ τ ) ∆ τ
→ e ( k∆ τ ) h p ( t − k∆ τ ) ∆ τ
uC ( t ) = R(1 − e
−
)ε ( t )
i s (t)=
ic = e
δ (t )
t − RC
−
t RC
ε (t ) (t
再求单位冲激响应 再求单位冲激响应 令
d uC ( t ) = R(1 − e dt
t − RC
)ε ( t ) = R(1 − e
0
t 1 − RC )δ ( t )+ C e ε ( t )
t 0
f 2 (t ) = e − tε (t )
参变量 积分变量
解
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
被积函数
图解说明 f2(t-τ)
f2(τ ) f2(-τ) f2(t-τ) 0 t
f2(τ-t)
τ τ τ
0 t f2(t-τ) 0 t
e (t )
e (0)
0
t k∆τ : 脉冲作用时刻 ∆
∆τ 2∆τ ∆ r(t)
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆ t
t
t ：观察响应时刻
0
∆τ 2∆τ ∆
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆