一阶电路零输入响应零状态响应全响应
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RC一阶电路的响应测试
RC一阶电路的响应测试RC 一阶电路的响应测试一、实验目的1. 测定RC 一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。
2. 学习电路时间常数的测量方法。
3. 掌握有关微分电路和积分电路的概念。
4. 进一步学会用示波器观测波形。
二、原理说明1. 动态网络的过渡过程是十分短暂的单次变化过程。
要用普通示波器观察过渡过程和测量有关的参数，就必须使这种单次变化的过程重复出现。
为此，我们利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号，即利用方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；利用方波的下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。
只要选择方波的重复周期远大于电路的时间常数τ，那么电路在这样的方波序列脉冲信号的激励下，它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程是基本相同的。
2.图6-1（b）所示的RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数τ。
3. 时间常数τ的测定方法:用示波器测量零输入响应的波形如图6-1(a)所示。
4. 微分电路和积分电路是RC 一阶电路中较典型的电路，它对电路元件参数和输入信号的周期有着特定的要求。
一个简单的RC 串联电路，在方波序列脉冲的重复激励下，当出信号电压与输入信号电压的积分成正比。
利用积分电路可以将方波转变成三角波。
从输入输出波形来看，上述两个电路均起着波形变换的作用，请在实验过程仔细观察与记录。
三、实验设备四、实验内容实验线路板的器件组件，如图6-3 所示，请认清R、C 元件的布局及其标称值，各开关的通断位置等。
少量地改变电容值或电阻值，定性地观察对响应的影响，记录观察到的现象。
2. 令R = 10KΩ ，C = 0.1μF ，观察并描绘响应的波形，继续增大C 之值，定性地观察对响应的影响。
3. 令C = 0.01μF ，R = 100Ω ，组成如图6-2(a)所示的微分电路。
在同样的方波激励信号（U V m = 3 ， f = 1KHZ ）作用下，观测并描绘激励与响应的波形。
4-4一阶电路的全响应 三要素法
t
t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e
分析一阶电路全响应的三要素法
Su s1RL i 图6.15 例6.3图R Ru s 2分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。
所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即te f f f t f )]()0([)()(（6-36）式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
初始值)0(f ，稳态值)(f 和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。
1、求初始值)0(f 的要点：(1)求换路前的)0()0(L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(u 或)0(i 。
2、求稳态值)(f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。
3、求时间常数的要点：(1)求0t 时的；(2) eqeq R LC R ,；(3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求eq R 。
[例6.3]图 6.15所示电路原已处于稳态，0t 时开关闭合。
已知82s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源401s u V 激励时的电感电流L i 。
[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以2)0(322R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为)0(L i 2)0(L i A 换路后电感两端的等效电阻为321213R R R R R R eq 所以时间常数为。
电工学实验一阶过渡过程
利用方波信号可以代替电源的开关同时观察一阶 过渡过程的零输入和零状态两个过程：由方波的 上升沿引起的响应为零状态；由方波的下降沿引 起的响应为零输入响应；
用方波观察一阶过渡过程的条件：方波的周期要 大于5倍的时间常数。
时间常数的物理意义是当输入响应衰减到初始值 的36.8%或零状态上升到稳态值的63.2%时所需要 的时间。
电工学实验
一阶过渡过程
一阶过渡过程
一阶电路是由一个储能元件（电容或电感）和 电阻组成的电路，它的KVL或KCL是由一阶常系 数微分方程来描述的。理论课上已经学会了用 数学的方法求出它们的解。
零输入响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
零状态响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
信号源 示波器共地
改变R=470Ω再次测量 时间常数
一阶过渡过程的观察-RL电路
CH1
CH2 方波Us=2Vp-p
f=1kHz
R=100Ω
L=10mH
测量时间常数
信号源 示波器共地
在坐标纸上画出 电感和电阻两端 电压波形
改变R=1KΩ再次 测量时间常数
实验数据记录
RC电路 C=0.2μF RL电路 L=10mH
用示波器测量相位差
1. 将显示方式按钮“ALT”按下；
2. 两个通道的输入耦合方式拨到接 地状态，调节扫描线的位置于中 央；
3. 再将两通道的输入耦合方式拨到 AC状态；
4. 测量两个波形的相位差格数X；
5. 测量一个波形完整周期的格数 XT；
6. 计算相位差: φ=
No
Image
R=100Ω R=470Ω R=100Ω R=1KΩ
用方波观察一阶过渡过程的条件：方波的周期要 大于5倍的时间常数。
时间常数的物理意义是当输入响应衰减到初始值 的36.8%或零状态上升到稳态值的63.2%时所需要 的时间。
电工学实验
一阶过渡过程
一阶过渡过程
一阶电路是由一个储能元件（电容或电感）和 电阻组成的电路，它的KVL或KCL是由一阶常系 数微分方程来描述的。理论课上已经学会了用 数学的方法求出它们的解。
零输入响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
零状态响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
信号源 示波器共地
改变R=470Ω再次测量 时间常数
一阶过渡过程的观察-RL电路
CH1
CH2 方波Us=2Vp-p
f=1kHz
R=100Ω
L=10mH
测量时间常数
信号源 示波器共地
在坐标纸上画出 电感和电阻两端 电压波形
改变R=1KΩ再次 测量时间常数
实验数据记录
RC电路 C=0.2μF RL电路 L=10mH
用示波器测量相位差
1. 将显示方式按钮“ALT”按下；
2. 两个通道的输入耦合方式拨到接 地状态，调节扫描线的位置于中 央；
3. 再将两通道的输入耦合方式拨到 AC状态；
4. 测量两个波形的相位差格数X；
5. 测量一个波形完整周期的格数 XT；
6. 计算相位差: φ=
No
Image
R=100Ω R=470Ω R=100Ω R=1KΩ
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
一阶电路的零输入响应零状态响应
2 0
WR
i2Rdt
0
0(I0eL/tR)2Rdt
I02R
0
e
2t
L/Rdt
I02R(L2/ReR2tC)| 0
1 2
LI 0 2
上页 下页
例1 t=0时 , 打开开关K，求uv。 电压表量程：50V
K(t=0) R=10
10V
+
uV
–
V RV 10k
有一过渡期
0
t1新的稳定状态 t
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
US
uL L
–
iU S R, uL0
K US
i
R+
uL L
–
K 断开瞬间
i0, uL
注意工程实际中的过电压过电流现象
上页 下页
换路
支路接入或断开 电路结构、状态发生变化
电路参数变化
过渡过程产生的原因
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
(2) 由换路定律
容 开 路
+ 10V
－
i 10k iC (0+)
0＋等效电路
uC(0)uC(0)8V
+
8V
(3) 由0＋等效电路求 iC(0＋)
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
一阶电路的零输入响应和零状态响应
0
US R
0.368 Us R
ic
t
+ US -
t0
t
R
ic C + uc -
由上可以看出：
1) 不跃变的uc(t)的零状态响应是从
+ US -
t0
零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由
电路观察看出。在上面的电路中， uc 的稳态值
为 2)
uc () US ， 所以电容电压的零状态响应
2 0.8
4
+ u 0.01 F 2i1 + -
i1(A)
t(s)
二、RL电路的零状态响应
t=0 IS iL b a
R
iL + L uL -
+ L uL -
IS R
t 0, iL (0) =0
以 iL 为变量的微分方程:
L diL iL I s R dt iL ( 0 ) 0
utuchc?usriccuc0?ttutcp?式中uch是齐次解形式由特征根确定即?trctstchkekeketu?????0?tucpt是特解其形式与外加激励相同对于直流激励ucp应为常数故令qtucp?将它代入微分方程得scpuqtu??t??scuketu??式中待定常数k由uc0确定在上式中令t00???scuktusuk???tsccerudtducti???以及t0063u063ususucric0?te1sutcut?????ic0ttrusrus368
st
因特征方程为
1 RCS 1 0 则 S RC t uc (t) Ke RC
在上式中令 t=0，得K= uC(0) =U0
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t
uc (t) uc () [uc (0 ) uc ()] e
1t
R0 I se RC V
t0
第四章 动态电路的时域分析
电路的放电电流根据三要素公式：
RC
y() ic () 0
y(0 )
iC (0 )
R0 I S Rt
ic (t) ic () [ic (0 ) ic ()] e
+ U-
+
uR -
L
+-ui LL
iL (0 ) 0
iL (0 ) iL (0 ) 0
t=0 ( U 0 iL(0 ) 0 )
iL
()
t
U R
L
R
iL (t) iL () [iL (0 ) iL ()]e
U
Rt
eL
A
t0
R
第四章 动态电路的时域分析
第四章 动态电路的时域分析
3.3 一阶电路的零输入响应、
零输入响应:
零状态响应和全响应
外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的u和i。
零状态响应： 电路初始储能为零，换路后仅由外加激励所产生的响应。
全响应： 假若电路的初始状态不为零，同时又有外加激励电源的 作用，这时电路的响应称为完全响应。
第四章 动态电路的时域分析
s
t
C
C
C
C
0 3e1066 t 3e1.7105t V(t 0)
第四章 动态电路的时域分析
1
iC
(
t
)
C duC
dt
2.55
e1.7105t
+ 6V
-
A
t=0
2
S u1C+-
C
5μF
2
3
i2( t )
uC 3
e1.7105t
A
iL uL
U (1 R L di
dt
Rt
e L)
t
Ue Ue
Rt
R L
t
uR iL R U (1 e L )
2. iL、uL、uR变化曲线
U iL
u
R
U
O
t
O
uR
uL
t
第四章 动态电路的时域分析
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
s iR
t 0
+
_U
C
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC
U0e
t RC
U
(1e
+
_ uC
零状态响应
uC
U
Ue
t RC
全响应
uC
U0e
t RC
U
(1
e
t RC
)
(t 0)
第四章 动态电路的时域分析
t
q(t)
uc (t)
ic (t)
uc (t) R
t q() 0 uc () 0 ic () 0
第四章 动态电路的时域分析
电容的电压根据三要素公式：
RC
y() uc () 0
y(0 ) uC (0 ) uC (0 ) R0IS
iL (0 ) I0
iL (0 ) iL (0 ) I0
iL () 0
L
R
t
iL (t) iL () [iL (0 ) iL ()]e
Rt
I0e L A t 0
第四章 动态电路的时域分析
电感电压：
uL (t)
L
diL (t) dt
t
1 2
+ 6V
- t=0
Su1C+ C
2
3
- 5μF
1
2
C
2
uC
+
-
5 f
3
求稳态值 uC
求时间常数
uC 0
由右图电路可求得
R0C
u (t)
23 23
u ()
5
u
106 (0 )
6 u
106
()e
t
uc (t) uc () [uc (0 ) uc ()] e
1t
U (1 e RC )V t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律 稳态分量
uC
U
Ue
t RC
uC
+U
电路达到
稳定状态 时的电压
o
uC
t
仅存在 于暂态 过程中
-U
暂态分量
uC
U
(1 e
t
y f (t) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
s iR
t 0
+ _U
+
C _ uC
s iR
t 0
+ _U
+
C _ uc
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC
Байду номын сангаас
U0e
t RC
U
(1e
t RC
)
(t 0
零状态响应
ic
(t
)
ic
()
[ic
(0
)
ic
t
(]e
1
t
e 16
A
4
t0
或者
ic
(t)
C
duc (t) dt
1 4
t
e 16 A
t0
第四章 动态电路的时域分析
t RC
)
U
(1
e
t
)
(t 0)
第四章 动态电路的时域分析
电流 iC 的变化规律
iC
C duC dt
U
t
e
R
t0
uC 、 iC变化曲线
uC
U
(
1
e
t RC
)
iC uC
U
U R
uC
iC t
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零状态响应
电感电流根据三要素公式：
SR
t
y f (t) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
• 试求图示各电路的零状态响应uC(t)，t≥0。
第四章 动态电路的时域分析
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
t
yx (t) yx (0 )e t 0
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
图b求出
ic
(0
)
1 4
A
第四章 动态电路的时域分析
（2）求稳态值
t 时，C可视为开路
uc () 10i 5
又 5i 20i 10i 5
i 1A 5
代入上式
uc () 2 5 3V
ic () 0A
第四章 动态电路的时域分析
（3）求 值
由电路求出
10i 20(i0 i) 5i
i0
5 4
i
u0 10i
Ri
u0 i0
10i 5i
8Ω
4
RiC 8 2 16S
第四章 动态电路的时域分析
（4）代入三要素公式得出
uc
(t
)
uc
()
[uc
(0
)
uc
t
()]e
t
3 2e 16V t 0
3、 时间常数
令: RC 单位: S
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢。
物理意义：
t
t
uC (t ) uC (0 ) e R0 I S e , (t 0)
当t=τ时
uC ( ) uC (0 ) e1 0.368uC (0 )
时间常数 等于电压
RI 0e L / R
(t 0)
电阻电压：
t
uR (t) uL (t) RI 0e L/ R
(t 0)
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是RL电路的时间常数。
第四章 动态电路的时域分析
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
t
yx (t) yx (0 )e t 0
3.3 一阶电路的零输入响应、 零状态响应和全响应
3.3.1 一阶电路的零输入响应: 一、一阶RC电路的零输入响应
实质：RC电路的放电过程。
第四章 动态电路的时域分析
定性分析：
uC (0 ) R0IS
wc
(0
)
1 2
C ( R0 I
S
)2
uC (0 ) uC (0 ) R0IS
所需的时间。