一阶RC电路零输入响应的求解
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
一阶RC电路的零状态与零输入响应
2022/9/10
2022/9/10
一 四、一过阶渡R过C程电路零输入响应的实例
解： 在开关由位置1拨向位置2的瞬间，电容电压不能越变，因此可得
uC (0 ) uC (0 ) 6V
将连接于电容两端的电阻等效为一个电阻，其阻值为
R 8 6 3 10k 63
的电流为 I0 US R1，
电感中储存一定的 能量。在 t 0，开 关S由位置1拨向位 置2处。
一 三、一过阶渡R过L程电路的零输入响应的分析
一阶RL电路的零输入响应的定性分析
在换路的瞬间，由于电感的电流不能突变，即 iL (0 ) iL (0 ) I0 ， 此时电阻 端电压 uR (0 ) I 0 R 。根据KVL可知，电感上的电压立即从换路前的零值突变
得到如图(b)所示电路，其时间常数为
RC 10103 5106 5102 s 0.05s
uC
t
U0e
6e V 20t
iC
U0
t
e
R
- 6 e20t 10 10 3
0.6e20t mA
一 四、一过阶渡R过C程电路零输入响应的实例
例：电路如下图所示，t 0 时开关由位置1拨向位置2，求 t 0 时
而电阻消耗的能量为
Q
0 uC dq
U 0
S
CuC
duC
1 2
CU
2 S
WR
i 2 Rdt
0
U
2 S
0R
2t
e RC dt
1 2
CU
2 S
由此可见，在充电过程中电源所提供的能量，一半储存在电容的电场中， 一半消耗在电阻上。且电阻上消耗的能量与R无关，充电效率总是50%。
一阶电路零状态响应
S (t = 0)
IS 2Ω
iL 2H
3
② I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 1A ③ I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 5 A 解： τ =
L = 1S R
iL = e − t + 2 (1 − e − t ) = 2 − e − t (A) t>0
① iL ( ∞ ) = I s = 2 A
R 2 C
Us
uc
uc ( 0+ ) = U s uc ( ∞ ) = U s
2V
4Ω
6V
2 = 1A 2 6 = 1A iL ( ∞ ) = 2+4
无过渡过程
无过渡过程 纠错 例 6-5 单刀双掷开关画错了。 例 2 求开关动作后电路中的电流iL。 ① I s = 2 A ， iL ( 0+ ) = 1A
− t RC
+ uC特
求uC特： 令uC特 = B, 代入方程中得B = U s = uc (∞), (t > 5τ 新稳态)。 ∴ uC = A′e 求A′ +Us ∴ A′ = −U s
− t RC
uc
US
O
uc特
uc
0 = A′ + U s
− t RC
∴ uc = U s (1 − e
2.求其他响应
§6-3 一阶电路的零状态响应
一、RC 电路的零状态响应（充电电路） （直流激励下）
1.求换路后uC.
S(t=0)
R Us
i c (t )
C
uc
duC ⎧ + uC = U s ⎪ RC ① 列方程 ⎨ dt ⎪ =0 ⎩uC (0 + ）
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
一阶电路的零输入响应基础知识讲解
R
现象 ：电压表坏了
10V
L
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两
端电压u12。 解
iL(0 ) iL(0 )
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
6
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
t>0
iL() 10A
iL (t ) 10(1 e100t )A
10A
+
2H uL Req
iL –
uL(t ) 10 Reqe100t 2000e V 100t
例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端
电压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
K(t=0)
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
解 R=10 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e t/ t 0
L 4 4104 s
RV 10k
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
iL
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
储能大 放电电流小
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
总结rc一阶电路的零输入响应
总结rc一阶电路的零输入响应
RC一阶电路是电子电路中常见的一个电路，它指由一电阻(R)和一电容(C)串联组成的电路。
在电路中加入一个电源后，由于这种电路的特性，电容器会在电路上开始充电，从而转化为一个开环档位，对于这个开环档位，可以对它的零输入响应进行详细的分析。
零输入响应是指在没有输入信号的情况下，电路的输出变化情况。
在RC一阶电路中，当没有输入信号时，可以将电路简化为一个纯电容充放电的过程，其响应的特性主要由电容器本身的性质决定。
电容器的充放电过程可以用微积分的方法求解，具体表现为：
Q(t)=C*Vc(t)
其中Q(t)表示电容器储存的电量，C是电容量，Vc(t)是电容电压。
由上式可以得到Vc(t)=Q(t)/C，代入一阶RC电路中的基尔霍夫第二定律中，可以得到如下微分方程：
Vc(t)/R + C*dVc(t)/dt = 0
将该微分方程分离并积分后，可以得到如下的零输入响应方程式：
其中，Vc(0)表示电容电压初值。
上述方程说明，当RC电路没有输入信号的时候，其输出变化的过程受到电容器充放电的影响，根据RC电路的特性，电容器的电压呈指数级下降。
而速度由RC的参数决定。
需要注意的是，由于电容器的电压馈入电路，导致电路内部存在电势差，所以在实际电路中还会存在一定的漂移电流。
漂移电流会影响电容器储存电荷的过程，从而影响RC电路的响应速度，需要在电路设计过程中加以注意。
研究RC一阶电路的零输入响应，对于理解RC一阶电路的基本特性非常重要。
了解了这个基本特性后，我们可以在实际电路应用中更加轻松地设计和优化RC电路，以便更好地满足设计要求。
RC一阶电路的响应实验
实验RC一阶电路的响应及其应用一、实验目的1. 测定RC一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。
2. 学习电路时间常数的测量方法，了解微分电路和积分电路的实际应用。
3. 进一步熟悉示波器的使用，学会用示波器测绘图形。
二、原理说明一阶电路的过渡过程是由于电路中有一个电容或电感逐步储存或释放能量的渐变过程引起的，该过渡过程是十分短暂的单次变化过程，对时间常数τ较大的电路，可用慢扫描长余辉示波器观察光点移动的轨迹。
然而能用一般的双踪示波器观察过渡过程和测量有关的参数，必须使这种单次变化的过程重复出现。
为此，我们利用信号发生器输出的矩形脉冲序列波来模拟阶跃激励信号，即令方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；方波下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。
只要选择方波的重复周期Ｔ与电路的时间常数τ满足一定的关系，它的响应和直流电源接通与断开的过渡过程是基本相同的。
1. RC电路的过渡过程其电路组成和响应波形如图11-1所示。
状态响应图11-1RC一阶电路及其响应波形零输入响应：设ｕC(0)＝Uo，开关由1→2，换路后ｕC(t)＝Use－t/τ，ｔ≥０,零状态响应：ｕC(0)＝0，开关由2→1，换路后ｕＣ(t)＝Us（1－e－ｔ／τ），ｔ≥０RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数τ（τ＝RC）。
2. 时间常数τ的测定用示波器测定RC 电路时间常数的方法如下：在RC 电路输入矩形脉冲序列信号，将示波器的测试探极接在电容两端，调节示波器Y轴和X轴各控制旋钮，使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线如图11-2所示。
根据一阶微分方程的求解得知当t ＝τ时，ｕC(τ)＝0.632Us 设轴扫描速度标称值为Ｓ(s /cm)，在荧光屏上测得电容电压最大值U cm＝U s＝a(cm)在荧光屏Y轴上取值ｂ＝0.632×ａ(cm)在曲线上找到对应点Ｑ和Ｐ，使PQ＝ｂ测得OP＝n (cm)则时间常数τ＝Ｓ(s/cm)×n(cm)亦可用零输入响应波形衰减到0.368Us时所对应的时间测取。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章第1部分
在本次课中，我们将介绍三相交流发电机 的原理、三相电压的特点、对称三相电路的 分析方法等。
相关知识点与学习目标
本课涉及三相电压的形式及其特点、三相电源的联 接方式、对称三相电路的特点 3个知识点，通过本课 学习，应懂得应用实践中将多个正弦电源组合应用的 必要性，理解三相电压的形式及其特点，掌握三相电 源星形联接、三角形联接的方法及其特点
三．对称Y-Y联接三相电路
三相负载也有星形 接法。星形电源常 与星形负载联接 （Y-Y联接） 对称三相电源和对称 三相负载相联接，称 为对称三相电路
若每相负载都相同，称 为对称负载
各相负载的电流称为相电流，端线中的 电流称为线电流 Y-Y联接三相电路中，线电流等于相 电流
三相电源向外 引出了四根导线， 所以这种输电方 式为三相四线制
在对称YY电路中， 负载中点与 电源中点是 等电位点 （解释，见 书P105） ， 各相电路相 互独立，三 相电路可归 结为单相 （通常为A 相）的计算 （例题、下 一例题 ）
因为负载中点与电源中点是等电位点， 所以在对称Y-Y电路中，流过中线的电流 为0，如同开路（解释），中性线在许多 场合下可以不要。 这种输电方式称为三相三线制
第3章三相电路的应用与电路的暂态分析
本章内容为次重点教学内容，对应教材第3、 4章； 学习本章应重点理解三相电压的形式及其 特点，能对简单的三相电路进行计算；理解 动态电路初始值、时间常数、零输入响应、 零状态响应、全响应等动态电路分析基本概 念，能运用三要素法求解简单电路，懂得安 全用电的此相 隔120°。当转子以角速度ω顺时针 旋转时，将在三相绕组产生频率相 同、幅值相同，彼此间的相位相差 120°的三相电压
三相电 压的时间 表达式 三相电 压的相量 表达式
转 子
定 子
三个频率相同、幅值 相同、彼此相位相差 120°的电压，称为对 称三相电压
相电流可由相电压相量求出，根据基尔霍夫 电流定律的相量形式，可以写出线电流与相电 流间的关系（解释），由此可做出电流相量图 如上（MATLAB仿真分析图
可见，线电 流也是一组 对称正弦量， 线电流滞后 相电流30O
线电流相电流有 效值关系
【例1】(书P109-例3.3.2)
六．本部分的重点 重点：
必须指出，三相电源各绕组作三角形联接时，每相始端、 末端应联接正确，否则三个相电压之和不为零，在回路内 将形成很大的电流而烧坏绕组
五．对称△-△联接三相电路
三相对称△-△联接三相电路 如下图 但线电流 并不等于 相电流
由于每相负载直接联接 在每相电源的两端线之间， 所以三角形联接的线电压 等于相电压
上一课内容回顾
三相电源有星形、三角形两种联接方式，三相负载也存在星形、 三角形两种联接方式，负载星形联接的三相电路线电流等于相电 流，电压相量图如左上： 在对称Y-Y三相电路中，负载中点 与电源中点是等电位点，流过中 线的电流为零，每相电路相互独 立，对称Y-Y三相电路可归结为单 相的计算
一．三相电压的产生
三相电压由三相 交流发电机产生 其发电原理是电磁感 应（变化的磁场产生 变化的电场）
转子是一个磁极，当转子 以角速度ω顺时针旋转时， 产生变化的磁场，将在三 相绕组产生感应电压
定 子 定子的槽 中嵌有三组 绕阻，每组 称为一相， 分别称为A 相、B相和 C相 工艺上保证定子与转子之间磁 感应强度沿定子内表面按正弦 规律分布。在各相绕组的始端 和末端间产生随时间按正弦规 律变化的感应电压
四．三相绕组的三角形联接
如果将发电机的三个 定子绕组的始端，末 端顺次相接再从各联 接点向外引出三根导 线，称为三角形联接 相量图如
三角形接法没有中点， 对外只有三个端子 一般情况下， 三角形联接的 三相电源电压 是对称的，所 以，回路电压 相量之和为零
图3-1-7
显然，三角形联接的三相电 源的线电压、相电压相同
电压源的连接方式
对称三相负载连接
二．三相绕组的星形联接
三相电源相当于三 个独立的正弦电源
在实践应用中，三相发 电机的三相绕组一般都要 按某种方式联接成一个整 体后再对外供电
A、B、C三端分别向外引出 三根导线，称为端线，俗称 火线 如果把发 电机的三个 定子绕组的 末端联接在 一起，对外 形成A、B、 C、N四个 端，称为星 形联接
三相电压的特点、对称三相电路的分析
七．思考题1 思考题2
第三章第2部分
在本次课中，我们将介绍三相电路的功率、 三相电路的计算、发电、输电及工业企业配 电及安全用电等。
相关知识点与学习目标
本课涉及对称三相电路的计算、工业企业配 电与安全用电2个知识点，通过本课学习，能对 简单的对称三相电路进行计算，了解工业企业 配电及安全用电知识。
义如式3-1-1 ，相量 图如图3-1-2
相电压、线电压都是同 频率的正弦量，相量图 如图3-1-5（MATLAB 仿真分析图）（解释）
图中假定相电压有效值为 220V
端线A、B、C之间的电压（火线 与火线之间的电压）称为线电压， 其有效值用UAB、UBC、UCA表示， 一般通用Ul表示。 可见，三相线电压也是一组对称正 弦量，线电压超前相电压30O ，有
中点N引出的导线称 为中线或零线
星形联接的三相电源（简称星形电源） 的每一相电压（火线与零线间的电压）称 为相电压，其有效值用UA、UB、UC表示， 一般通用Up表示。
相电压的定义如 式3-1-1 ，相量图 如图3-1-2
A、B、 C三 端端 线俗 称火 线
中点N引出的导线称 为中线或零线 相电压的有效值用UA、 UB、UC表示，一般通用 Up表示。相电压的定
三相电路中的电源一般都是对称的
三相电 压的时间 表达式
对称三相电压的相量图及波 形如图3-1-2、图3-1-3
三相电压的相 量表达式
上述三相电压到达正幅值（或相应零值）的先后次序称为 相序。
图3-1-2示三相电压的相序为A→B→C，称为正序或顺序。与
此相反，如B相超前A相120°，C相超前B相120°，这种相序 称为负序或逆序。今后如无特殊声明，均按正序处理 由相量式知，上面定义的三相电压的相量和为0