一阶电路的零输入响应.
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应.
零状态响应
全响应
t t uC U 0e RC U (1 e RC ) (t 0) t U (U 0 U )e RC (t 0)
稳态分量
稳态值
初始值
暂态分量
结论： 全响应 = 稳态响应 +暂态响应
第四章 动态电路的时域分析
例1：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。 t=0时S闭合，试求：t >0时电容电压uC和电流iC、 1 2 i1和i2 2 。 C + 1 解：用三要素法求解 Su+ 6V 3 C 求初始值 uC (0 ) - 5μ F t=0 由t=0-时电路
+
uR -
U e A R
R t L
t0
第四章 动态电路的时域分析
U i L (1 e ) R t R t di L uL L Ue Ue dt R t uR i L R U (1 e L ) uL、 uR变化曲线 2. i L、
R t L
第四章 动态电路的时域分析
(3) 求τ
R3 R4 3 6 R R2 2 4 R3 R4 3 6
RC 4 0.5 2 s
第四章 动态电路的时域分析
(4) 求uC和i。
uC 2 (6 2)e
t 2
2 4e V
t 2
t 2
t 2
第四章 动态电路的时域分析
3.3 一阶电路的零输入响应、 零状态响应和全响应
3.3.1 一阶电路的零输入响应: 一、一阶RC电路的零输入响应
实质：RC电路的放电过程。
第四章 动态电路的时域分析
定性分析：
一阶电路的零输入响应零状态响应
2 0
WR
i2Rdt
0
0(I0eL/tR)2Rdt
I02R
0
e
2t
L/Rdt
I02R(L2/ReR2tC)| 0
1 2
LI 0 2
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例1 t=0时 , 打开开关K，求uv。 电压表量程：50V
K(t=0) R=10
10V
+
uV
–
V RV 10k
有一过渡期
0
t1新的稳定状态 t
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
US
uL L
–
iU S R, uL0
K US
i
R+
uL L
–
K 断开瞬间
i0, uL
注意工程实际中的过电压过电流现象
上页 下页
换路
支路接入或断开 电路结构、状态发生变化
电路参数变化
过渡过程产生的原因
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+ uC(0－) －电
+
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC(0)8V
(2) 由换路定律
容 开 路
+ 10V
－
i 10k iC (0+)
0＋等效电路
uC(0)uC(0)8V
+
8V
(3) 由0＋等效电路求 iC(0＋)
rl一阶电路的零状态响应规律
rl一阶电路的零状态响应规律
rl一阶电路的零状态响应规律是指在电路中没有外部输入信号作用时，电路中电流和电压的变化规律。
对于rl一阶电路，其零状态响应规律可以用以下公式表示：
i(t) = i(0) * e^(-t/τ)
v(t) = R * i(0) * (1 - e^(-t/τ))
其中，i(t)为时间t时刻的电流值，i(0)为初始电流值，τ为电路的时间常数，R为电路中的电阻值，v(t)为时间t时刻的电压值。
从上述公式可以看出，rl一阶电路的零状态响应规律与时间常数τ有关，时间常数τ越大，则电路中电流和电压的变化越慢，反之则变化越快。
同时，初始电流值i(0)也会对电路的响应产生影响，且电压和电流的变化是相互关联的。
了解rl一阶电路的零状态响应规律对于分析和设计电路具有重要意义，可以帮助工程师更好地掌握电路的特性和行为，从而提高电路的性能和可靠性。
- 1 -。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
03-一阶电路暂态过程的三种响应知识点
一阶暂态电路暂态过程三种响应
1、三种响应
电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。
2、响应关系
（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始值引起的响应，其实质是储能元件的放电过程。
即有
换路条件U S =0、f （0+）≠0；表达式()(0)τ
-+=t f t f e 。
（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给储能元件的充电过程。
即有
换路条件U S ≠0、f （0+）=0；()()1τ-=∞-t
f t f e （）。
（3）全响应是指激励和初始储能共同作用的结果，将零输入和零状态响应叠加。
其数学表达式为
()(0)()(1)--ττ
+=+∞-t t
f t f e f e 全响应=零输入响应+零状态响应
τ
t e
f f f t f -∞-++∞=)]()0([)()(全响应=稳态分量+暂态分量式中，f (t )为待求量；f (∞)为稳态分量；f (0+)为初始值；τ为瞬间常数。
3、几种响应变化曲线
电路不同的响应所对应变化曲线，如图1所示。
图1电路响应的变化曲线。
零状态全响应三要素
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
Ａ＝４
L 0.1s
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL
L
di dt
24e V 10t
t0
解法二 全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
i() 2A
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t
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- 由换路定律:
电感用电 流源替代
iL(0＋)= iL(0－) =2A
uL(0 ) 2 4 8V
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求初始值的步骤:
1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0＋) 和 iL(0＋)。
3. 画0＋等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0＋时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。
iC (0 ) 0 iC (0 )
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例 2 t = 0时闭合开关k , 求K 10V
L uL
iL -
10V
解 先求 iL (0 )
4
电
感
短
路
0+电路 1
10V
4 2A
uL(0 ) 0 uL(0 ) 0
+
uL
10 iL(0 ) 1 4 2A
+ uS(t)
－
(t >0)
i
R+
uC C
–
i C duC dt
RC
duC dt
uC
uS
(t)
上页 下页
应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t)
( t ≥0 ) R i
+ uS (t) －
+
uL L
–
uL
L
di dt
di Ri L dt uS (t)
一阶电路的分析方法
uC (0 ) uC (0 )
注意
iL(0 ) iL(0 )
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
（2）换路定律反映了能量不能跃变。
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5.电路初始值的确定
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
例1 求 iC(0+)
10k
+
10V －
10k 40k
+
4. 由0＋电路求所需各变量的0＋值。
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例3 求 iC(0+) , uL(0+)
解
IS
L iL
R
+ uL –
电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发
生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p W t
t 0
p
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2. 一阶电路及其方程
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
应用KVL和电容的VCR得：
Ri uC uS (t)
t
f
(0 )
lim
t 0
f
(t)
t0
f
(0
)
lim
t 0
f (t)
t 0
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值
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(2) 电容的初始条件
i+ uC －C
t = 0+时刻
1
uC (t) uC (0 ) C
t
i( )d
0
0
uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0 i( )d
0
当 i() 为有限值时 uC (0 ) uC (0 )
结 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电 论 容电压（电荷）换路前后保持不变。
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(3) 电感的初始条件
i
+
uL L
–
t = 0+时刻
1
iL(t) iL(0 ) L
t
u( )d
i Us
US /R uL
前一个稳定状态
有一过渡期
0
t1新的稳定状态 t
过渡状态
上页
下页
(t →)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
US
uL L
–
i US R , uL 0
K US
i
R+
uL L
–
K 断开瞬间
i 0, uL
注意工程实际中的过电压过电流现象
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换路
支路接入或断开 电路结构、状态发生变化
0
i L (0
)
iL (0
)
1 L
0
0u( )d
0
当u () 为有限值时 iL(0 ) iL(0 )
结 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，电感 论 电流（磁链）换路前后保持不变。
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（4）换路定律
换路瞬间，若电容电流（或电感电压）保持为 有限值，则电容电压（或电感电流）换路前后 保持不变。
i
R+
US
uC C
–
i 0, uC US
uC
US
R?
US
i
有一过渡期
前一个稳定状态
0
t1新的稳定状态
过渡状态
t
上页 下页
(t = t2)
i
K 未动作前，电路处于稳定状态
K
R+
i 0, uC US
Us
uC
–
C K 动作后很长时间，电容放电完 毕，电路达到新的稳定状态
第三个稳定状态
i 0, uC 0
例 电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t =0）
i
i US / R2 i US (R1 R2 )
t
0 过渡期为零
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电容电路
(t=0) i
R+
US
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i 0, uC 0
C K 接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
( t → )
i
40k iC
+ uC
－ 10V k
－
uC (0 ) 8V
(2) 由换路定律
+ uC(0－) －电
容
开 路
+
10V －
i 10k iC (0+)
0＋等效电路
+
uC (0 ) uC (0 ) 8V
8V
(3) 由0＋等效电路求 iC(0＋)
－
iC
(0
)
10 10
8
0.2mA
电容用电 压源替代
uC
US
US
R
i
0
前一个 稳定状态
过渡 状态
t1
新的稳 定状态
t2
t 又有一过渡期
上页 下页
电感电路
(t=0)
i
K
US
R+
uL
–
K 未动作前，电路处于稳定状态
i 0, uL 0
L K 接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
( t → )
i
R+
US
uL L
–
i US R , uL 0
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应； 3. 一阶电路的全响应（三要素法）。
重点 初始条件的确定 三要素法
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7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路 含有动态元件电容或电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一 个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。
（1）根据KVL、KCL和VCR建立一阶微分方程 （2）求解一阶微分方程
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3. 电路的初始条件 (1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t = 0 时刻进行 0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
0－0 0＋
f (0 ) f (0 )