一阶电路零状态响应
4-2 一阶电路的零状态响应101107
t
uC(t) Us Us/R
0.95Us
0.632Us 0.368Us/R
有跳变 0
2
3
t
Req C
U s t 电容电流 iC (t ) e R eq
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 一阶RL电路
t ≥ 0+ 时等效电路
t ≥ 0+
t ≥ 0+ 时等效电路
10Ω 5Ω 10A iL 5Ω + u -
t ≥ 0+ 时等效电路
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 习题
图示电路在换路前已处于稳态，t=0时打开开关S，求t>0时的电 容电压uC(t)和电流i(t)。
i(t)
2Ω
2Ω
+ uC(t) －
S
2A
2Ω 0.3F
① 只要求出了响应的稳态值（强制分量）和电路的时间 常数，就可根据一般形式式写出电路的零状态响应。
② 零状态响应的一般形式只适用于初始值为零的响应。
uC i e （t ≥0+） Req
t
t
i L u e （t ≥0+） Geq
t
电路原理
§4-2 一阶电路的零状态响应∙ 一般形式
diL (t ) Geq L + iL (t ) I s dt t L （t ≥0 ） i L i 1 e （t ≥0+） L Geq L + Req
u i L e （t ≥0+） Geq
t
Geq=1/Req
一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应在动态元件初始储能为0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。
明显，这一响应与输入形式有关。
最简洁最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。
1、RC 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，问i 、u R 、u C 如何变化？物理过程分析：依据以前学问，uC ( 0+ )＝uC ( 0－)＝u C ( 0 )＝0 。
这就是说，在t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在R上，那么电流i (0 + )＝U 0 / R 。
但是，电流一经流淌，必定在电容极板上产生电荷积累，q＝Cu C 0。
然而，总电压U0 不变，R 上压降必定减小，从而电流i ＝uR/R 减小…… 。
最终，uC →U0，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。
数学求解：t 0这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。
作如下代换后，求解：结论：uC 随时间呈指数增长，最终趋于uC。
而uR 则相反，uC ＋uR ＝U0 。
电流i(t) 从U0 / R开头衰减，最终趋于0，快慢取决于τ。
特殊留意：在整个充电过程中，电源供应的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：使人惊异的是：不论C 和R 的取值有多大，充电过程中，电源供应的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被R 消耗掉了，即充电效率仅有50％。
2、RL 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。
问i 、u R 、u L 随时间如何变化？物理过程分析：依据以前学问，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0+ ) ＝i ( 0－)＝i ( 0 ) ＝0 。
也即：u R( 0 + ) ＝R i ( 0 + )＝0此刻，U 0 全部降落在L 上，即：u L( 0+ ) = U0换句话说，L 相当于开路。
但是，电流一经流淌，必定在R 上产生压降，总电压U0不变，故L 上压降必定减小。
一阶电路的零状态响应
退出开始§3-5一阶电路的零状态响应内容提要一阶RL 电路的零状态响应一阶RC 电路的零状态响应X零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励t 合上开关S 0C Ch Cpu u u 解的形式为：t d t充电曲线1()(1e)0tu t U t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：返回X(0)S t ()L t i000时电感无初始储能：充电曲线 (1e ) 0ti t I t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以看出因此，只要知道了该变量的X（充电）过渡过程与时间常数的关系t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的63.2%。
工程上常取t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。
t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。
时间常数影响过渡过程的快慢：时间常数 越小，过渡过程越快；时间常数 越大，过渡过程越慢；以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线X根据电路，利用公式杂电路，利用戴维南定理将除动态元件以外的电路用()C u t +- t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电容开路，所以电容电压的稳态值为：解：例题1已知电路在闭合后的解（续）()()()tu t u e 1+)t1F2()u t 1+-(0)S t t=0时，开关闭合。
电路再所以电解：例题2解（续）t i +-V10010020R 2R 3t=0时，开关闭合。
电源左右两部分可看成独立的两部分。
电路再达稳态，电感解：例题3已知电路在求开关R 2R3与电容连接的等效电阻为：解（续）(1)零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的z.s.r 。
X(2)零状态响应线性：激励增长k 倍，响应也增长k 倍。
电路课ke7.3一阶电路的零状态响应
uL LdiL iL + iR = iL + = + iL = IS R Rdt (iL (0− ) = 0)
diL ⇒ LG + iL = IS dt
i
' L '' L
特解（稳态分量） 特解（稳态分量）
i = iL (∞) = IS
' L
i
通解（暂态分量） 通解（暂态分量）
i = Ae
'' L
− t
US = 2×10 = 20 V
u
–
iL
t>0
+ Req 2H US － iL
uL
–
τ = L/ Req = 2 / 20 = 0.1s
iL (∞) = US / Req = 1A
+
uL
–
iL (t) = iL (∞)(1− e
uL(t ) = USe
−10t
−10t
Us −10t −10t )= (1− e ) A = (1− e ) A Req
Z
ϕ
R
ωL
=0时 开关K打开， t>0后 例4 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压 5Ω Ω 解 这是一个RL电路零状态响应 这是一个RL电路零状态响应 2A RL + 问题，先化简电路， 问题，先化简电路，有： 10Ω Ω 10Ω Ω K + 2H
Req = 10 + 10 = 20Ω
7.3 一阶电路的零状态响应
The first-order circuit’s zero-state response 零状态响应
(Outer power source) 电路在零初始状态 零初始状态下 仅由外施激励源引起的的响应。 外施激励源引起的的响应 电路在零初始状态下，仅由外施激励源引起的的响应。 K(t=0) R US +u –
一阶电路的零状态响应和全响应基础知识讲解
tt0
uC US (1 e RC ) (t t0 )
O t0
t
i
US
t
e RC (t)
R
i
US R
tt0
e RC (t
t0
)
注意：
tt0
uC US (1 e RC ) (t t0 )
t
uC US (1 e RC ) (t t0 )
二者的区别 !
结论： 零状态网络的阶跃响应为 y(t)(t) 时， 则延时t0的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).
一阶电路的零状态响应和 全响应基础知识讲解
一阶电路的零状态响应（续）
1. RC电路的零状态响应 2. RL电路的零状态响应 3. 正弦电源激励下的零状态响应(以RL电路为例) 4. 阶跃响应
4. 阶跃响应
Ri
+
US (t)
–
+
C uC
–
uC (0)=0
t
uC US (1 e RC ) (t)
e2t A
-
0
.6
3
2
e-2(t
-0.
5)
A
(0 t 0.5) (t 0.5)
另解：直接分段求解。
10k
+
uS
10k
iC 100F
uS (V) 10
0 0.5 t (s)
分段表示式
波形 iC(mA) 1
0.368
e2t A
(0 t 0.5)
iC
-
0
.6
3
2
e-2(t
-0.
5)
A
(t 0.5)
i
US
t
一阶电路的全响应和零响应区别
一阶电路的全响应和零响应区别
引起电路响应的因素有两个方面,一是电路的激励,而是动态元件储存的初始能量.当激励为零,仅由动态元件储存的初始能量引起的响应叫零输入响应；当动态元件储存的初始能量为零,仅由激励引起的响应叫零状态响应；两个同时引起的响应叫全响应. 零状态响应是指在t=0-时，电容器的电压为0，电感器的电流为0；
零输入响应是指在t=0-时，电源的输入为0；下面早点介绍一阶电路的全响应。
全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。
1.RC电路的全响应的分析
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC''
得RC电路的全响应的通式：
2.RC电路的全响应通式的两种分解方式
（1）全响应(complete response)
= 强制响应(forced response)+自由响应(natural response)
= 稳态响应(steady-state response) +暂态响应(transient response)（2）全响应= 零状态响应+ 零输入响应
全响应小结:
（1）全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质；
（2）零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；
（3）零输入响应与零状态响应均满意齐性原理，但全响应不满意。
rc零状态响应公式
rc零状态响应公式1. 一阶RC电路零状态响应公式推导。
- 对于一阶RC电路，设电路的输入为阶跃电压u_s = Uvarepsilon(t)（varepsilon(t)为单位阶跃函数），初始时刻电容电压u_C(0 - )=0。
- 根据KVL（基尔霍夫电压定律），u_R+u_C = u_s，又因为i = C(du_C)/(dt)，且u_R = Ri，所以RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其解u_C(t)由齐次方程的通解u_Ch(t)和非齐次方程的特解u_Cp(t)组成。
- 对于齐次方程RC(du_C)/(dt)+u_C = 0，其特征方程为RCs + 1=0，解得s=-(1)/(RC)，所以齐次通解u_Ch(t)=Ae^-(t)/(RC)。
- 非齐次方程的特解，由于u_s = Uvarepsilon(t)为常数，所以特解u_Cp(t)=U。
- 那么u_C(t)=u_Ch(t)+u_Cp(t)=Ae^-(t)/(RC)+U。
- 利用初始条件u_C(0 + ) = u_C(0 - ) = 0，可得0 = A+U，即A=-U。
- 所以一阶RC电路零状态响应的电容电压公式为u_C(t)=U(1 - e^-(t)/(RC))，电流i = C(du_C)/(dt)=(U)/(R)e^-(t)/(RC)。
2. 二阶RC电路零状态响应（以串联RLC电路为例简单说明）- 对于串联RLC二阶电路，其电路方程为LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = u_s。
- 在零状态下u_C(0 - ) = 0，i(0 - )=(du_C)/(dt)(0 - ) = 0。
- 设u_s = Uvarepsilon(t)，先求齐次方程LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC(du_C)/(dt)+u_C = 0的通解。
- 其特征方程为LCs^2+RCs + 1 = 0，解得s_1,2=frac{-R±√(R^2)-4L/C}{2L}。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
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S (t = 0)
IS 2Ω
iL 2H
3
② I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 1A ③ I s = 10 A ， iL ( 0+ ) = 5 A 解： τ =
L = 1S R
iL = e − t + 2 (1 − e − t ) = 2 − e − t (A) t>0
① iL ( ∞ ) = I s = 2 A
R 2 C
Us
uc
uc ( 0+ ) = U s uc ( ∞ ) = U s
2V
4Ω
6V
2 = 1A 2 6 = 1A iL ( ∞ ) = 2+4
无过渡过程
无过渡过程 纠错 例 6-5 单刀双掷开关画错了。 例 2 求开关动作后电路中的电流iL。 ① I s = 2 A ， iL ( 0+ ) = 1A
− t RC
+ uC特
求uC特： 令uC特 = B, 代入方程中得B = U s = uc (∞), (t > 5τ 新稳态)。 ∴ uC = A′e 求A′ +Us ∴ A′ = −U s
− t RC
uc
US
O
uc特
uc
0 = A′ + U s
− t RC
∴ uc = U s (1 − e
2.求其他响应
§6-3 一阶电路的零状态响应
一、RC 电路的零状态响应（充电电路） （直流激励下）
1.求换路后uC.
S(t=0)
R Us
i c (t )
C
uc
duC ⎧ + uC = U s ⎪ RC ① 列方程 ⎨ dt ⎪ =0 ⎩uC (0 + ）
− t RC
② 解方程： uC = uC通 + uC特 = A′e
零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。 三、RL 电路全响应
iL ( t ) = iL (∞) + [iL (0+ ) − iL (∞)]e = iL (0+ )e
− t
−
t
τ
τ
+ iL(∞)(1 − e τ )
L R
−
t
τ=
例 1 分析换路后电路有无过渡过程
2Ω iL ( 0+ ) =
1H
R 1
② uc (∞)，iL (∞) ： t ≥ 5τ 只剩下此分量，故为稳态分量 注意：零输入响应强制分量为零
结论：动态电路一旦被激励，它将以两种方式作出响应。它以自由响应的形式揭示了自身
的特性，它以强制响应的形式表达了激励的特性。
§7-5 一阶电路全响应（线性动态电路叠加定理）
一、一阶电路的全响应（计算 uc ）
⎧ RC ⎪ 1． τ = ⎨ L ⎪ ⎩R
2．新稳态
⎧C Req 是从 ⎨ 看进去的戴维宁等效电阻 ⎩L
Ns2 直流
uc (∞ )
uc特 = uc (∞)戴维宁电压源 iL特 = iL (∞ ) 诺顿电流源
Ns2
uoc
iL (∞)
Ns2
直流
Ns2
isc
四、零状态响应的各分量
1.自由分量（暂态分量）
uR ( ∞ ) = 0
R
Us
4. uc (τ ) = U s (1 − 0.368 ) = 0.632U s 5.能量关系： Ws =
∫
∞
0
U s idt = CU s 2 发
1 ΔWR = CU s 2 2
耗能
在充电过程中，电源提供的能量，一半贮存于电容，一半被电阻消耗
(
)
四、全响应的三要素
1. uc、iL
⎧ ⎪uc ( 0+ ) 1 ⎨ 从换路前求 ○ ⎪ ⎩uL ( 0+ )
2.求其它响应 f (t ) ：
⎧ RC ⎪ 2 τ = ⎨ L 换路后 ○ ⎪ ⎩R
3 ○
⎧ ⎪u c ( ∞ ) 换路后稳态 ⎨ ⎪ ⎩i L ( ∞ )
法①先求 ⎨
⎧uc ⎧uc 再找 f (t )与独立变量 ⎨ 的关系 ⎩ iL ⎩iL
− t RC − t
τ
⎧us ⎩s =⎡ ⎣uc ( 0+ ) − uc ( ∞ ) ⎤ ⎦e
u c 是常数 uc ↓ uc ↑
u c,i
uc
Us
U0
− t
τ
uc ( 0 + ) = uc ( ∞ ) ⎧> ⎪ uc ( ∞ ) uc ( 0 + ) ⎨ ⎪ ⎩< uc ( ∞ )
uc,i
Us =U 0
−
t RC
∴ uC = U S + (U 0 − U S ) e
⑴
= U 0e 二、全响应分析
−
t RC
+ U s (1 − e
−
t RC
)
⑵
2
1.全响应=稳态（强制）响应+暂态（自由）响应 三要素法： f ( t ) = f ( ∞ ) + ⎡ ⎣ f ( 0+ ) − f ( ∞ ) ⎤ ⎦e 条件：直流激励下，任意响应 1 稳态响应= U s = uc ( ∞ ) ∝ ⎨ ○ i 2 暂态响应= (U 0 − U s ) e ○
② iL ( ∞ ) = I s = 10 A ， iL = e − t + 10 1 − e − t = 10 − 9e − t ( A)
(
)
t >0
③ iL ( 0+ ) = 5 A ， iL ( ∞ ) = 10 A ， iL = 5e − t + 10 1 − e − t = 10 − 5e − t ( A) t > 0
) = uc (∞)(1 − e
)
t >0
−
US
uc通
t
i (t ) = C
t duc U −t 1 − RC = −CU S (− )e = s e RC dt RC R
− t RC
Us
US
R
uR
i t
u R ( t ) = Ri = U s e
3.波形
O
注意 uc ( ∞ ) = U s
ic ( ∞ ) = 0
法②直接求，注意 f ( 0+ ) 从 0 + 电路求， f ( ∞ ) 从换路后稳态电路求， τ 求法不变。
4
二、RL 电路的零状态响应
R
iL
C u c
Is
G
Us
L
RC
duc + uc = U s dt
− t
KVL
GL
diL + iL = I s dt
− t
KCL
uc = U s (1 − e τ )
iL = I s (1 − e τ )
1
τ = RC
τ = GL
三、零状态响应的两要素（ 对换路后t ≥ 0电路计算 ）
t uc通 − τ ＝Ae iL通
uc = uc通 + uc特 ， iL = iL通 + iL特
⎧与零输入响应性质同，与激励无关，故为自由响应分量 ⎨ ⎩t > 5τ 时此项 → 0，故为暂态响应分量 ⎧us ，随激励的性质变化，故为强制分量 ⎩is
2 强制分量（稳态分量） ① uc特，iL特 ：正比于激励 ⎨
已知开关动作时电容电压 uc ( 0+ ) = U 0
Us
s t =0
R
ic (t )
C
uc
duc ⎧ + uc = U s ⎪ RC dt 1.列方程： ⎨ ⎪u c ( 0 + ) = U 0 ⎩
2.解方程： uc = Ae
− t RC
+US
∵U 0 = A + U s → A = U 0 + U s
uc
U0
uc,i
Us
uc ic
τ
ic
0
t
0
t
0
τ
t
2.全响应=零输入响应+零状态响应（条件：任意激励下线性电路任意响应） 1 零输入响应 ∝ uc ( 0+ ) ，是初值的线性函数； ○ 2 零状态响应 ∝ ⎨ ○ i
⎧us ⎩s
，是激励的线性函数；
结论：全响应是二者的叠加即激励和初始状态共同作用的结果；