数值计算方法试题及答案
《数值计算办法》试题集及参考答案
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
完整word版,数值计算方法试题及答案,推荐文档
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2.docx
《计算方法》期中复习试题、填空题:1、 已知f(1) =1∙0, f(2) =1.2, f(3) =1∙3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得3[f(x)dx^—、 1,用三点式求得f (I^ _________ 。
答案：2.367, 0.25 2、f(1)= -1, f(2) =2, f(3)二1,则过这三点的二次插值多项式中X2的系数为 __________ ，拉格朗日插值多项式为 _________________________ 。
1 1L 2(X)W (X V (X -3—3)二(X -I)(X -2)3、近似值X * =0.231关于真值X = 0.229有(2 ) 位有效数字;4、设f (X)可微,求方程x = f (x)的牛顿迭代格式是()X n - f(X n )X n 1 =Xn -答案1-f (X n)5、对 f(x)=x 3X 1,差商 f[0,1,2,3] =( 1 ), f[0,1,2,3,4] =( 0 )； &计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差；7、用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为&已知f(1) = 2, f(2) = 3, f ⑷=5.9 ,则二次 NeWtOn 插值多项式中 X 2系数为(0.15 )；I11.3-1 .31 I L f (x)dx L f (x)dx fc- [ f (—) + f( ------ )]11、 两点式高斯型求积公式O T(X)dx≈( 022.、32 3),代数精度为(5 );y=10+A 1+J T 一_^12、 为了使计算XT (XT)(X")的乘除法次数尽量地少，应将该表答案：-1，1y =10 (3 (4 -6t)t)t,t =xT_ ,为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为一 2001 -一 1999 改写为 .2001 J99913、 用二分法求方程f(x) =x 3∙ X" =0在区间［0,1］内的根,进行一步后根的所在区间为0.5 , 1, 进行两步后根的所在区间为 0.5 , 0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案要点
《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。
答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。
数值计算试题及答案
数值计算试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 牛顿-拉弗森方法C. 高斯消元法D. 蒙特卡洛方法答案：C2. 以下哪个不是数值分析中常用的插值方法？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 多项式插值D. 傅里叶变换答案：D3. 在数值积分中，梯形规则的误差项与下列哪个因素有关？A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 被积函数的一阶导数D. 被积函数的三阶导数答案：B4. 下列哪种方法不是数值微分的方法？A. 前向差分法B. 中心差分法C. 牛顿迭代法D. 后向差分法答案：C5. 以下哪个算法不是用于求解非线性方程的？A. 牛顿法B. 弦截法C. 牛顿-拉弗森方法D. 欧拉法答案：D6. 在数值分析中，下列哪个概念与误差分析无关？A. 截断误差B. 舍入误差C. 条件数D. 插值多项式的阶答案：D7. 以下哪种方法不是数值解常微分方程的方法？A. 欧拉法B. 龙格-库塔法C. 牛顿法D. 亚当斯法答案：C8. 在数值分析中，下列哪个概念与病态问题无关？A. 条件数B. 误差放大C. 稳定性D. 收敛性答案：D9. 以下哪种情况不会导致数值解的不稳定？A. 步长过大B. 初始条件不精确C. 算法本身稳定D. 计算精度过高答案：C10. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂法C. 牛顿法D. 蒙特卡洛方法答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，使用______方法可以提高插值的精度。
答案：牛顿插值2. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二阶3. 在数值微分中，使用______差分法可以提高微分的精度。
答案：中心4. 非线性方程的求解可以通过______法来实现。
答案：牛顿5. 常微分方程的数值解法中，______法是最基本的方法之一。
答案：欧拉6. 对于线性方程组的求解，______法是最基本的方法之一。
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。
三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。
（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。
（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。
（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算考试题及答案
数值计算考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 欧拉法C. 高斯消元法D. 龙格-库塔法答案：C2. 插值法中，拉格朗日插值法适用于哪种类型的数据点？A. 等间距数据点B. 非等间距数据点C. 任意分布的数据点D. 只有两个数据点答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与以下哪个因素无关？A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个方法不是求解非线性方程的迭代法？A. 牛顿法B. 割线法C. 二分法D. 线性规划答案：D5. 以下哪个是数值稳定性好的算法？A. 雅可比迭代法B. 高斯-塞德尔迭代法C. 逐次超松弛迭代法（SOR）D. 以上都是答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量一个矩阵______的量度。
答案：稳定性2. 线性插值法的基本思想是利用两个已知点确定一条直线，通过这条直线来估计未知点的值，其公式为：\[ y = y_0 + \frac{(y_1 -y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]。
答案：\[ y = y_0 + \frac{(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]3. 矩阵的LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即\[ A = LU \]。
答案：\[ A = LU \]4. 牛顿法求解非线性方程的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]。
答案：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]5. 辛普森法则是数值积分中的一种方法，其基本公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3} [f(a) +4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)] \]，其中h为区间[a, b]的划分长度。
《数值计算方法》试题集及标准答案（-）-
《数值计算⽅法》试题集及标准答案（-）-《数值计算⽅法》试题集及答案(-)-————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：《计算⽅法》期中复习试题⼀、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差；7、⽤⼆分法求⾮线性⽅程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式⾼斯型求积公式?1d )(xx f ≈(++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍⼊误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
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数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（），=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1), (2), (3), (4)三、1、2、（15(1)(1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,,,,六、（下列2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。
2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。
（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
（）４、矩阵的２－范数＝９。
（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。
（用）（）6、设，，且有（单位阵），则有。
（）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。
（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。
（）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差__________，__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。
３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵，则__________，__________。
5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。
6、设，，则（谱半径）__________。
（此处填小于、大于、等于）7、设，则__________。
三、简答题：（9分）1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生的序列是否收敛于？说明理由。
2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。
四、（10分）已知数值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。
六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当时，（2）（3）十、（选做题8分）若，互异，求的值，其中。
数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。
(2)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
(3)(3) (2分)设，则(4)(4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。
(5)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
(6)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。
(7)(7) (4分)设,则，。
(8)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64分)(1)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(2)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(3)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(4)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(5)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：(6)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(7)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，，，，(2)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(3)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
(4)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题的形式为,i=1,2,…,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,(5)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三一、（24分）填空题(9)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。
(10)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
(11)(3) (2分)设，则(12)(4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。
(13)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
(14)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。
(15)(7) (4分)设,则，。
(16)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64分)(8)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(9)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(10)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(11)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(12)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：(13)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(14)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，，，，(7)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(8)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
(9)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题的形式为,i=1,2,…,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,(10)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案一、一、填空题（每空1分，共17分）1、（ 10 ）2、（）3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）4、( 1 )、 ( )、( )5、 6 、6、 97、 0 8、9、 2 10、（）、（）二、二、选择题（每题2分）1、（(2)）2、（（1））3、（（1））4、（（3））三、1、（8分）解：解方程组其中解得：所以，2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），，故收敛；（2），，故收敛；（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，，Steffensen迭代：计算结果：，，有加速效果。
2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，SOR迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格—库塔法：，所以。
2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则代入条件得：六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：，2、解：所以主项：该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案一、一、判断题：（共10分，每小题２分）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）二、二、填空题：（共10分，每小题2分）1、、02、__二___3、__二___4、_16 、90__5、6、 =7、0三、三、简答题：（15分）1、1、解：迭代函数为2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。