方阵的特征值和特征向量
6.第六章特征值和特征向量应用例子
第六章 特征值和特征向量应用例子方阵的特征值和特征向量是两个应用十分广泛的概念，利用特征值和特征向量可以把变换AX X →表示成简单而易于想象的形式，利用特征值和特征向量可以求解工程技术中控制论的系统稳定问题、空间曲面和空间曲线的化简问题、微分方程组及差分方程组的求解等问题. 事实上，特征值和特征向量的应用是十分广泛的，远不止这些. 本章主要介绍特征值和特征向量在动力系统、人口流动、污染、遗传及微分方程组求解等方面的应用.例1 动力系统发展趋势设0.950.030.050.97A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，分析由100.6(0,1,2,),0.4k k k +⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ x Ax x 所确定的动力系统的长期发展趋势.解 第1步求A 的特征值，并找出每个特征空间的基. A 的特征方程是0.950.030(0.95)(0.97)(0.03)(0.05)0.050.97λλλλ-==----2 1.920.92λλ=-+由二次方程的求根公式得11λ=，20.92λ=.容易验证对应11λ=和20.92λ=的特征向量分别是135⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 和211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦v 的非零倍数.下一步把给定的0x 表示为1v 和2v 的线性组合，显然12{,}v v 是2R 的基，因此存在系数1c 和2c ，使得101122122[]c c c c ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦x v v v v （1）事实上1111202310.60[]510.40c c --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦v v x 110.600.1251530.400.2258--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2） 因为，式（1）的1v 和2v 是A 的特征向量，故1122,(0.92)A A ==v v v v ，容易算出每个k x ：101122A c A c A ==+x x v v 1122(0.92)c c =+v v 211122(0.92)A c A c A ==+x x v v 21122(0.92)c c =+v v 继续下去，有1122(0.92)(0,1,2,)k k c c k =+= x v v把式（2）的1c 和2c 代入上式，得310.1250.225(0.92)(0,1,2,)51kk k ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x当k →∞时，10.375(0.92)0,0.125.0.625kk ⎡⎤→→=⎢⎥⎣⎦x v例2 幂方法求矩阵的特征值和特征向量求方阵A 的特征向量要先解一元n 次方程||0λ-=I A 以求出特征根. 解一元n 次方程一般是很困难的，这就给求特征向量带来困难.幂方法求矩阵的特征向量的方法：从任何一个非零向量0X 出发（例如取0(1,,1))'= X ，不断地用A 左乘，得到0(1,2,)n n n == X A X ，并且用与n X 方向相同的某个n Y 代替（例如，将n X 除以它的各分量绝对值之和得到n Y ，则n Y 的各分量绝对值之和为1.）当n 无限增大时，如果nY 趋于一个极限位置 Y，则 Y 就是A 的特征向量（所属特征值通常是A 的所有特征值中绝对值最大的.）例如：10.50.40.3210.70.6,2.5 1.42 1.30.30.40.51⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 从0(1,1,1,1)'=X 开始，将10=X AX 除以各分量之和得到121,=Y X AY 除以各分量之和得到2Y . 一般地，如果已经得到k Y ，将k AY 除以各分量之和得到1k +Y . 这样就得到一系列的列向量1,,,n Y Y ，直到某个1||m m +-Y Y 小到可以忽略不计的程度，可以近似地认为1m m +=Y Y ，m m λ=AY Y ，则m Y 是特征向量，所属的特征值λ等于m AY 各分量之和. 这个过程很容易用计算机实现. 具体计算出各k Y 如下（为节省篇幅写成行向量形式）：(0.138365,0.27044,0.45283,0.138365),(0.131698,0.251377,0.480387,0.136538),(0.130463,0.248149,0.483933,0.137455),(0.130229,0.247579,0.484386,0.137806), (0.130184,0.247475,0.484443,0.137899),(0.130175,0.247456,0.484449,0.13792),(0.130173,0.247452,0.48445,0.137924),(0.130173,0.247451,0.48445,0.137925), (0.130173,0.247451,0.48445,0.137926),(0.130173,0.247451,0.48445,0.137926), 其中9Y 与10Y 已经看不出差别，可以认为是特征向量. 99λ=AY Y ，其中3.75697λ=是9AY 的各分量和，就是9Y 所属于的特征值.这个方法求出的是绝对值最大的特征值的特征向量.在科学计算中，这个方法叫做幂方法. 什么样的方阵可以用这个方法来求特征向量，是值得探讨的理论问题. 不过，只要计算机做出来的结果收敛，n Y 与1n +Y 的差别趋于零，就求出了一个特征向量.例3 人口流动模型假设一个大城市的总人口是固定的，人口的分布因居民在市区和郊区之间迁徒而变化，每年有6%的市区居民搬到效区去住，而有2%的效区居民搬到市区居住，假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在效区，问10年后市区和效区的居民人口比例是多少？50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述，把人口变量用市区和效区两个分量表示，即k k c k s x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ，其中k c x 为市区人口所占比例，k s x 为效区人口所占比例，k 表示年份的次序，0k =时的初始状态的人口变量为0000.3.0.7c s x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x一年后，市区人口为100(10.06)0.02c c s x x x =-+，效区人口1000.06(10.02)s c s x x x =+-，用矩阵表示为11100.940.020.30.2960.0.060.980.70.7040c s x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x Ax 从初始时间到k 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为2120.k k k k --==== x Ax A x A x 可算出11030500.29600.27170.25410.2508,,,.0.70400.72830.74590.7492⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x事实上，无限增加时间k ，市区和效区人口之比将趋向于一组常数0.25/0.75. 为了弄清为什么这个过程趋于一个稳态值，用MA TLAB 程序先求出A 特征值12=0.9200=1.0000λλ，，特征向量分别为10.70710.7071ξ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和20.31620.9487ξ-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 令1211,13-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ，它们分别与两个特征向量12,ξξ成比例并构成整数，由于110.940.0210.920.920.060.9810.92--⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Au u ， 220.940.02110.060.9833⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Au u ，由于1u 和2u 是属于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，因此是二维向量空间的基.初始向量0x 可以写成基向量1u 和2u 的线性组合0210.3110.250.050.250.05.0.731-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x u u因此0210.250.05(0.92).k k k ==-x A x u u式中的第二项会随着k 的增大趋于零，如果只取小数点后两位，则只要27k >，这第二项就可以忽略不计而得到27020.25|0.25.0.75k k k >⎛⎫=== ⎪⎝⎭x A x u。
5.1 特征值与特征向量的概念与计算
特征值λ所对应的齐次线性方程组 特征值λ所对应的齐次线性方程组(λI - A) X = 0 的基础解系所含解向量的个数称为λ 几何重数， 的基础解系所含解向量的个数称为λ的几何重数， 即特征值所对应线性无关特征向量的个数. 特征值所对应线性无关特征向量的个数
−1 1 0 的特征值和全部特征向量. 例 求矩阵 A = −4 3 的一个特征向量， 若α为A的属于特征值 λ 的一个特征向量，
⇔ 齐次线性方程 ( λ I − A) X = 0有非零解 α ,
⇔ λ I − A = 0.
设 Aα = λα (α ≠ 0)
. ⇔α 是(λI − A) X = 0的非零解
步骤： 求A的特征值与特征向量的 步骤：
(1) 求 λI − A = 0 相异的根： 1 , λ2 ,⋯, λk ; 相异的根： λ
2,4 是 A 的特征值 , α , β 分别是 A 对应于特征值
2，的特征向量 , 4
3 Aγ = ≠ kγ . −1
γ 不是 A 的特征向量 .
例
证明： 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 .
证 设 Aα = λα
则
(α ≠ 0) A2α = A( Aα) = A(λα) = λ( Aα) = λ2α
= λn − ( λ1 + λ 2 + ⋯ + λ n )λ n −1 + ⋯ + ( −1) n λ1λ 2 ⋅ ⋯ ⋅ λ n
2. 设 αi = λαi (i =1 2), 则 A ,
A(α1 +α2 ) = Aα1 + Aα2 = λα1 + λα2 = λ(α1 +α2 ).
设 Vλ = α | Aα = λα, α ∈ Rn
线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量
评 注 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：
Q
A
(α1
,α
2
L
,
α
n
)
=
(
λ1α1,
λ2α
2
,L,
λnα
n
)
=
[α1
,L,α
n
]
λ1
O
0
=
[α1 ,L ,α n
]
Λ
0
λn
⇔ [α1，L，αn ]−1 A(α1,L,αn ) = Λ （[α1，L，αn ]−1 存在要求α1，L，αn 线性无关）
A−1
→
1 λ
A∗
→
A λ
2．特征向量 ξ
2.1 性 质： 首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反
过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的 特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称 矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
0
1 0 0
评
注
ξ1
=
0 0
,
ξ2 = 10 ,
ξ3
=
10
⇒
正是三阶单位矩阵
E3 =
0 0
1 0
01 的三个列 (或行)向量，
1 0 0
这就是为什么在求形如
0 0
0 0
0 0
基础解系时，用
E
的列向量依次填补后面坐标分量的原因。
5考研基础复习(线性代数)特征值
由于 (λE A) x = 0 存在非零解的充分必要 条件为 | λE A |= 0 ， 所以 | λE A |= 0 为 A 的特征 方程， 的特征值（ 方程，它的根就是 A 的特征值（根）.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
特征值的性质 性质： （2）特征值的性质： ① 若 x ≠ 0 使 ： Ax = λx ， 则对 于 常 数 k （ k ≠ 0 ）有： A( kx ) = λ ( kx ) ；
k 1η 1 + + k n r η n r ，
为不全为零的任意常数. 其中 k 1 , , k n r 为不全为零的任意常数.
一、特征值的基本内容
2、方阵特征值和特征向量的计算 、
特别： 则知: 特别：若 | A |= 0 ，则知: λ = 0 是 A 的一 特征值， 个特征值，且：
Ax = 0 的基础解系就是 A 的属于特
Ax = λ x
非零列向量 x 称为 A 的属于特征值 λ 的 特征向量. 特征向量.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
Ax = λx 等价于 ： (λE A) x = 0 . 称矩阵 等价于：
λE A 为 A 的特征矩阵， 的特征矩阵， 的特征多项式. 行列式 f A (λ ) =| λE A | 称为 A 的特征多项式.
此时, 为正交矩阵, 此时 , 令 P = ( β 1 , β 2 , , β n ) 则 P 为正交矩阵 , P 1 AP = P T AP = diag{λ1 , λ 2 , , λ n } . 使:
一、特征值的基本内容
5、实对称矩阵及其性质 、
② 当 A 的特征值有重根 λ 时，需要先将重 根对应的特征向量正交化，再单位化， 根对应的特征向量正交化，再单位化， 则由所有特征值对应的单位正交化的特 征向量可构造得所求正交矩阵 P .
第七章-方阵的特征值与相似对角化
一、n 维向量的定义及运算一、n 维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间第一节方阵的特征值及其特征向量第二节相似矩阵第三节实对称阵的相似对角化一、方阵的特征值及其特征向量的概念一、方阵的特征值及其特征向量的概念二、方阵的特征值及其特征向量的计算二、方阵的特征值及其特征向量的计算三、方阵的特征值及其特征向量的性质三、方阵的特征值及其特征向量的性质对11=λ，解方程组0)1(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−000110101211121112r A E ， 所以A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .对22−=λ，解方程组0)2(=−−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−0000001111111111112r A E 得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值22−=λ的全部特征向量为：,,(10101111212111R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=且不同时为零）对21=λ，解方程组0)2(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−0001101012111211122r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .所以A 的对应于特征值21=λ的全部特征向量为 ),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==对132−==λλ，解方程组0)(=−−x A E ， 由 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−000000111111111111r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值132−==λλ的全部特征向量为：R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=21212211,(101011且不同时为零）推论1、方阵A 可逆Ù|A|≠0ÙA 的特征值全不为零。
5.3矩阵特征值和特征向量
推论 : n 阶矩阵 A 可逆 A 的 n 个特征 , ,n 全不 1
T Th 2 :A 而特征值相同 . 与 A的特征多项式相同，从 T A E A T AE E
Th 3: A 的属于不同特征值的特 征向量线性无关 .
Th 3 即：设 , 是方阵 A 的 m 个特征值 , 1, 2, m
那么 p A 的对应于特征值 . i 便是 i的特征向 ( 若 ,则 p ; i 为实数 i 可取实向量
若 ,则 p .) i 为复数 i 为复向量
则由方程 ( A E ) x 0 可求得非零解 x p i i,
1 3 A . 的特征值和特征 例1 求矩阵 1 3 3 1 2 ( 3 ) 1 E 解 A的特征多项式为 A 1 3 2 ( 4 )( 2 ) ， 8 6 所以 A 的特征值为 2 , 4 . 1 2 ( A 2 E ) x 0 , 当 2 时 , 对应的特征向量应满足 1 x 3 2 1 0 即 x1 x2 0 , 1 解得 x x , , 1 2 x x 0 . x 1 3 2 0 1 2 2 1 所对应的特征向量可取 为 p1 k 1 , k 0.
n n . A ( ii ) 令 0 （ 1 ） （ 1 ） 1 2 n 1 2 n
n1
n 12
设 n 阶矩阵 A ( a ) 的特征值 ,2 , ,n , A的迹， 称为 ij 1 记为tr(A) 可证明 ( i ) a a a ; 1 2 n 11 22 nn ( ii ) A . a1 1 a1 2 a1n 1 2 n
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
2
1 0 1
,
1
2 2.
0
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
k 2 , k 3是不全为零的实数.
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
例3
计算3阶实矩阵A
3 2
2 0
4 2
的 计算A 的特征多项式
的一个基础解系.
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
数).
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
3 2 4
f ( ) E A 2 2
4 2 3
( 8)( 1)2.
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
全部特征值.
第三步 求出 A 的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６ 方阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量与二次型
4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵的特征值与特征向量的应用
矩阵的特征值与特征向量的应用1. 介绍矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念。
特征值表示线性变换中的放缩因子，而特征向量表示在该放缩下不变的向量。
这两个概念的应用十分广泛，本文将介绍其中一些重要的应用。
2. 特征值与特征向量的定义首先，我们来回顾一下特征值与特征向量的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得下式成立：Av = λv其中，v被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
3. 矩阵的对角化对于一个n阶方阵A，如果它的特征值都存在且对应的特征向量线性无关，那么A可以被对角化，即可以找到一个对角阵D和一个可逆矩阵P，使得下式成立：A = PDP^-1其中，D是对角矩阵，其对角线元素为A的特征值，P是由A的特征向量构成的矩阵。
对角化的好处在于，通过对角变换，线性变换的计算可以简化为对角矩阵的乘法，大大提高了计算效率。
4. 特征值与特征向量在物理学中的应用特征值与特征向量在物理学中有着重要的应用。
以量子力学为例，量子力学中的物理量（如能量、动量等）被表示为线性变换的特征值，特征向量则表示对应的物理态。
量子力学中的薛定谔方程可以表示为一个本征值问题，即求解哈密顿算符的特征值和特征向量。
通过求解本征值问题，可以得到量子系统的能量本征值和相应的波函数，从而研究量子系统的性质和行为。
5. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中也有广泛的应用。
以图像压缩为例，可以利用矩阵的特征值和特征向量进行图像降维。
首先，将图像表示为一个矩阵，然后计算该矩阵的特征值和特征向量。
接着，根据特征值的大小选择最重要的特征向量，将图像压缩成较低维的形式，从而减少存储空间和传输带宽。
此外，特征值与特征向量还可以应用于图像识别、图像分割等领域。
通过计算图像矩阵的特征值和特征向量，可以提取图像的关键特征，从而实现图像的自动识别和分割。
6. 总结矩阵的特征值与特征向量在许多领域中都有重要的应用。
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注② 从定义 １ 、 ２ 可以看到 ， 矩阵Ａ的特征值 就是特 征方 程 的根 ， 所 以特 征值 又称 为特 征 根 ； 特 征方程在复数域 内恒 有根 ， 其个数 为方程 的次数 （ 重根按 重数 计 ） ，因此 ，／ ／ ， 阶矩 阵 Ａ在 复数 范 围 内
有ｎ 个 特 征值 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ６— ０ ９
是 关 于 Ａ的 多项式 ，
（ Ａ）＝ｎ ｍ Ａ ｍ＋… ＋口 １ ＋ 口 ０ Ｅ
是 矩 阵 的多项 式 ．
性 质 ４ 属 于不 同特征 值 的 特征 向量 是 线性 无
关 的． 性质 ５ 设 Ａ 。 、 Ａ ： 是 矩 阵 的两个 不 同 的特征
阵， Ｂ是 ｎ Ｘ ｍ矩 阵 ， 则Ａ Ｂ的特征 多项式 （ Ａ） 与 的特征 多项 式 （ Ａ） 有 如下关 系 Ａ （ ｈ ）＝ ｈ （ Ａ）
且 仍 是 矩 阵 、Ａ ，Ａ。和 Ａ 分 别 属 于 特 征 值
ｋ ｈ， ｈ ｍ ， Ａ— ｔ 和 的特征 向量 ．
＾
性质 ３ 设 Ａ是 矩 阵 Ａ的特 征 值 ， 则 （ Ａ） 是
（ Ａ ） 的特征值 ， 其中
基金项 目： 淮北师范大学校级教研项 目（ ｊ ｙ １ ４ １ ４ ９ ） ； 安徽省高等教育振兴计划重大教 学改革研究项 目（ ２ ０ １ ４ Ｚ Ｄ Ｊ Ｙ ０ ５ ８ ） 作者简介 ： 崇金凤 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ， 女， 安徽天长人 ， 硕士 ， 副教 授．研究方向 ： 信息安全 ．
方 阵 的 特 征 值 和 特 征 向量
崇金 凤 ，卓 泽朋
（ 淮北师范大学数学科学学院 ， 安徽淮北 ２ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
质．
要： 矩 阵的特征值和特征向量在方阵的对 角化 、微 分方程组 的求解和 工程技 术 中的振 动等 问题 中都有 着
重要应用．于是 ， 研 究特征值 和特征 向量的性质很 有意 义 ，文章 较为全 面地总 结 了特征值 和特征 值 向量的性
・
２４ ・
洛阳师范学院学报 ２ ０ １ ５年第 １ １ 期
（ Ａ）＝０ ｍ Ａ ｍ＋… ＋ａ １ Ａ＋ａ ｏ
Ａ与 对 角 阵 相 似 的充 分 而 非必 要 条 件 ．如 ，ｎ阶单
位矩 阵相 似 于对 角 矩 阵 ，但 是 它 的 ｎ个 特 征 值 全
相等 ． 性质 １ ０ （ １ ） （ Ｓ ｙ ｌ ｖ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ 公式） 设 Ａ是 ｍ ×ｎ矩
定义 １ … 设 Ａ是 ｎ阶矩 阵 ， 若 数 Ａ和 维非
＝Ａ ，
零列 向量 满 足
则数 Ａ称 为矩 阵 Ａ的特 征值 ， 非 零 向量 称为 的 属于／ 对应 于特征 值 Ａ的特 征 向量 ． 注① 特征 值是对 方 阵而言 ；特征 向量是 非零
∑Ａ ＝∑ｏ ； １ １ Ａ ： Ｉ Ａ Ｉ ， 其中∑口 是Ａ的主对角元之和， 称为矩阵Ａ的
关键词 ： 矩 阵 ；特征 值 ； 特 征 向 量
中图分类号： Ｏ １ ５ １ ． ２ １
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ９— ４ ９ ７ ０ （ ２ ０ １ ５ ） １ １ — ０ ０ ２ ４— ０ ３
本文所 用符 号及 术 语 均 同文 献 ［ １ ］ ，所 讨 论 的
矩 阵为实数 域上 的 凡阶矩 阵．
２ ０ １ ５年 １ １ 月 第３ ４卷 第 １ １ 期
洛 阳师范学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｕ ｏ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ Ｖ ．， ２０１ ５
Ｖ ｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ ． １ ｌ
２ 特征 值 和 特 征 向量 的 性 质
关于特 征 值 和 特 征 向量 的 性 质 ，我 们 总 结 如 下， 有关 的证 明 ，请参 阅文献 ［ １— ６ ］ ．
性质 １ 设 忍阶矩 阵 Ａ＝（ 口 ） 的 个 特征 值 为
Ａ ｌ ， Ａ ２ ， …， Ａ ， 贝 ０
１ 特征 值 和 特 征 向量 的 概 念 和性 质
迹， 记作 ｔ ｒ （ Ａ） ． 注③ 从 性 质 １可 以 看 到 ， Ａ可 逆 舒 Ｉ Ａ Ｉ ≠０
营 Ａ１ Ａ２ …Ａ ≠ ０车 Ａｉ ≠ ０， ｉ ＝ ｉ， ２， … ， ／ ７ ， ．
的； 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 ， 一 个特 征 向量 不能 属于 不 同的特征 值 ． 定义 ２ 设 ｎ阶矩 阵 Ａ＝ 征 向量 分别 为 ， 、 ， 则 ， ＋ 不 是
Ａ的特 征 向量 ． 性 质 ６ 相 似 的矩 阵有 相 同 的特 征 多项 式 和 相 同的特征 值 ．
或
Ａ Ｉ ｈ Ｅ 一 Ａ Ｂ ｌ ＝ ｈ ｌ ｈ Ｅ 一 Ｂ Ａ １ ． 特 别地 ，当 ｍ＝ ， 即 Ａ， Ｂ都是 ｎ阶矩 阵 时 ， 有 ｆ ｈ Ｅ— Ａ Ｂ ｌ ＝ｌ ｈ Ｅ— Ｂ Ａ Ｉ ， 所以Ａ Ｂ与 具有相同的
．
厂 （ Ａ ） ＝Ｉ ｈ Ｅ— Ａ Ｉ
ｈ一 ｌ １
。 。
性质 ２ 若 Ａ是 阶矩阵 Ａ的特征值 ， 是Ａ
—
的属 于 Ａ的特 征 向量 ， 则
１ ２
Ｃ ｇ ２ １
●
Ａ — ２ ２
●
（ １ ） 从 是 Ｍ 的特 征值 ， 这里 ｋ是任 意常 数 ； （ ２ ） ｈ 是 Ａ 的特 征 值 ，这 里 ｍ 是 任 意 正 整
数；
：
一
：
一
口ｎ １
ｎ
（ ３ ） 当Ａ可逆时， Ａ 是Ａ 的特征值 ；
（ ４ ） 当 可 逆时 ，
＾
称为矩 阵 Ａ的特 征多项式 ， ｈ Ｅ— Ａ称 为 Ａ的特征 矩 阵， 厂 （ Ａ ）＝ ０称为 的特征 方程 ． 是伴 随矩 阵 Ａ・ 的特征 值 ，