【精品】2016学年湖南省益阳市桃江一中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分）从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率A . 不都相等B . 都不相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为3. （2分）对于原命题“正弦函数不是分段函数”，陈述正确的是（）A . 否命题是“正弦函数是分段函数B . 逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C . 逆否命题是“分段函数是正弦函数”D . 以上都不正确4. （2分） (2019高二上·上海期中) 如果命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A . 曲线是方程的曲线B . 方程的每一组解对应的点都在曲线上C . 不满足方程的点不在曲线上D . 方程是曲线的方程5. （2分）下列说法中，不正确的是（）A . 两个变量的任何一组观测值都能得到线性回归方程B . 在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示两个变量的关系的图象叫做散点图C . 线性回归方程反映了两个变量所具备的线性相关关系D . 线性相关关系可分为正相关和负相关6. （2分）(2017·衡阳模拟) 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）若双曲线的渐近线与圆相切，则（）A .B .C .D .8. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分） (2016高二上·宝安期中) 下列命题正确的是（）A . 若ac＞bc⇒a＞bB . 若a2＞b2⇒a＞bC . 若D . 若10. （2分）椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）.A . 75°B . 60°C . 45°D . 30°11. （2分） (2020高二下·吉林期中) 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有（）A . 8种B . 9种C . 10种D . 12种12. （2分）设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则直线的倾斜角为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）命题“∀x∈R，x≥0”的否定是________．14. （1分） (2017高一上·陵川期末) 某同学先后投掷一枚骰子两次，所得的点数分别记为x，y，则点（x，y）落在函数y=2x的图象上的概率为________．15. （1分） (2016高二上·佛山期中) 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．16. （1分） (2020高一下·东阳期中) 已知平面向量、、满足：，，，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）(2020·锦州模拟) 某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为，向B靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.（1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望 .18. （10分）(2020·晋城模拟) 已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，点的坐标为，证明：为定值.19. （5分）对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下：甲273830373531乙332938342836（Ⅰ）求出甲、乙的平均速度；（Ⅱ）求出甲、乙的方差，并以此判断选谁参加某项重大比赛更合适．20. （5分） (2017高二上·延安期末) 已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．21. （5分）已知直线l：与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长．22. （10分） (2018高二上·赣榆期中) 已知椭圆C：．（1）若，椭圆C的一条准线方程为，求b的值（2）若椭圆C与直线l：交于点A，B，M为线段AB的中点，直线为原点的斜率为，又，求a，b的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2018年湖南省益阳市桃江一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（5’×12=60’）1．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥2．（5分）已知数列{}，则0.98是它的（）A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）已知三个向量共面，则x 的值为（）A．3 B．﹣9 C．22 D．216．（5分）正项数列{a n}满足：a1=2，a2=1，且=（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．7．（5分）△ABC中，若3a=2b，则的值为（）A．B．C．1 D．8．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）9．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．410．（5分）已知向量，，且与垂直，则k=（）A．B．C．D．11．（5分）直线y=x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右两支分别交于M、N两点，F为双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|=|MO|，则双曲线的离心率等于（）A．+B．+1 C．+1 D．2二、填空（5’×4=20’）12．（5分）命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是．13．（5分）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．14．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．15．（5分）已知点P（a，0），若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是．三、解答题（写出必要的解题过程）16．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值．17．（12分）设命题p：∀x∈R，x2﹣x＞a（a∈R）命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣a=0若“¬p”为假命题且“p∧q”为假命题，求a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对∀x∈R，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围（2）若对m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）如图，正方形ABCD与ABEF边长为1，且面ABCD⊥面ABEF，动点M，N分别在对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a（1）求MN的长（用a表示）及其最小值（2）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值．21．（12分）已知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（5’×12=60’）1．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥【解答】解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：C．2．（5分）已知数列{}，则0.98是它的（）A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【解答】解：由题意=0.98，解得n=7，所以0.98是数列的第7项．故选：A．3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x 0=x0+，解得x0=1．故选：A．5．（5分）已知三个向量共面，则x 的值为（）A．3 B．﹣9 C．22 D．21【解答】解：三个向量共面，∴存在实数m，n，使得=m，∴，解得m=﹣，n=，x=21．故选：D．6．（5分）正项数列{a n}满足：a1=2，a2=1，且=（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．【解答】解：由=（n≥2），可知：﹣=﹣，故数列为等差数列，于是=+（n﹣1）×=，所以a n=，于是a2016=，故选：D．7．（5分）△ABC中，若3a=2b，则的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，∴根据正弦定理可得===﹣1=．故选：D．8．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：D．9．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．10．（5分）已知向量，，且与垂直，则k=（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量，，∴=（1，2+2k，3k），=（1，﹣2，﹣6），∵与垂直，∴（）•（）=1﹣2（2+2k）﹣6×3k=0，解得k=﹣．故选：D．11．（5分）直线y=x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右两支分别交于M、N两点，F为双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|=|MO|，则双曲线的离心率等于（）A．+B．+1 C．+1 D．2【解答】解：∵直线y=x交双曲左右两支于M，N，且|OM|=|OF|，∴由tan∠NOF=，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，因此△ONF是以c为边长的等边三角形，得N（c，c），代入双曲线方程得﹣=1将e=和b2=c2﹣a2代入化简整理，得e2﹣=1，解之得e2=4±2，∴双曲线的离心率e=+1（因为双曲线离心率e＞1，舍去﹣1）故选：B．二、填空（5’×4=20’）12．（5分）命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是若a∈A，则b∉B．【解答】解：根据否命题的定义可知，命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是：若a ∈A，则b∉B．故答案为：若a∈A，则b∉B．13．（5分）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：414．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（﹣1）2=10，故答案为：10．15．（5分）已知点P（a，0），若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是a≤2．【解答】解：设点Q的坐标为（，y0），由|PQ|≥|a|，得y02+（﹣a）2≥a2．整理得：y02（y02+16﹣8a）≥0，∵y02≥0，∴y02+16﹣8a≥0，∴a≤2+，而2+的最小值为2，∴a≤2．故答案为：a≤2．三、解答题（写出必要的解题过程）16．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）∵．由正弦定理，可得sinAsin2B=sinBsinA∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴sinB≠0，sinA≠0∴2cosB=即cosB=．∴B=．（Ⅱ）由（Ⅰ）B=，，∴sinB=，sinA=那么：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=．17．（12分）设命题p：∀x∈R，x2﹣x＞a（a∈R）命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣a=0若“¬p”为假命题且“p∧q”为假命题，求a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2﹣x＞a（a∈R），则a＜，故p为真时，a＜﹣；命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣a=0，由△=4a2+4a≥0，解得：a≥0或a≤﹣1，若“¬p”为假命题且“p∧q”为假命题，则p真q假，则，解得：﹣1＜a＜﹣，即a∈（﹣1，﹣）．18．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对∀x∈R，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围（2）若对m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）对于x∈R，f（x）＜0恒成立，即有m=0时，﹣1＜0恒成立；当m＜0，且判别式△＜0即为m2+4m＜0，解得﹣4＜m＜0，综上可得，m的范围是（﹣4，0]；（2）∵f（x）＜﹣m+5，∴mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5，∴（x2﹣x+1）m﹣6＜0，∵对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，且x2﹣x+1＞0，∴只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．∴x的取值范围是（﹣1，2）．19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．20．（12分）如图，正方形ABCD与ABEF边长为1，且面ABCD⊥面ABEF，动点M，N分别在对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a（1）求MN的长（用a表示）及其最小值（2）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值．【解答】解（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．∴MN=PQ由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，CP=BQ=MN=PQ===，∵，∴a=，．（2）取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=．故所求二面角的余弦值为﹣．21．（12分）已知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设N（x，y），P（x0，y0），则M（x0，0），，由，得，∴…（3分）由于点P在圆O：x2+y2=6上，则有，即．∴点N的轨迹C的方程为．…（6分）（Ⅱ）设D（x1，y1），E（x2，y2），过点B的直线DE的方程为y=k（x﹣3），由消去y得：（2k2+1）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0，其中△＞0∴；…（8分）∴=…（10分）==∴k AD+k AE是定值﹣2．…（13分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【精品】2018学年湖南省益阳市桃江一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（）A．￢p：存在x0∈R，使cosx0≥1B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1C．￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1D．￢p：存在x∈R，使cosx＞12．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2﹣垂直，则k的值为（）A．B．1C．D．3．（5分）下列命题为真命题的是（）A．椭圆的离心率大于1B．双曲线﹣=﹣1的焦点在x轴上C．∃x∈R，sinx+cosx=D．∀a，b∈R，≥4．（5分）满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是（）A．B．C．4D．35．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里6．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50B．2C．1+lg5D．17．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．848．（5分）棱长均为3三棱锥S﹣ABC，若空间一点P满足（x+y+z=1）则的最小值为（）A．B．C．D．19．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3B．6C．9D．1210．（5分）设等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的正整数n都有=，则+=（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上）11．（5分）若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为．12．（5分）如图，已知B、C是二面角α﹣l﹣β棱上两点AB⊂α，AB⊥l，CD⊂β，CD⊥l，AB=BC=1，CD=，AD=2，则二面角α﹣l﹣β的大小是．13．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的第2项、第5项、第14项构成一个等比数列，则这个等比数列的公比是．14．（5分）命题“∃k∈R，使直线y=kx+1与椭圆+=1（b＞0）无公共点”为假命题，则实数b的取值范围是．15．（5分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则（1）（x+2）2+（y﹣2）2的最小值是；（2）|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．三．解答题（本大题共六个小题，共75分）。
(全优试卷)湖南省桃江县高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
桃江一中2016年上学期期中考试高二数学理科试题一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a+c >b+c ”不等价C ．“a 2+b 2=0,则a ,b 全为0”的逆否命题是“若a ,b 全不为0, 则a 2+b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2.已知条件p:12x +>，条件q:5x -6>x 2，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn, 若m>1, 且a m-1+ a m+1-2m a =0,21m S - =38, 则m 等于（ ） A 38B 20C 10D 94.已知M 为椭圆221259x y +=上一点，F 1为椭圆的一个焦点，且1MF =211()2ON OM OF =+，则ON 的长为 ( ) A ．4 B. 8 C. 2 D.125. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在 6. 若A 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74D ．2 7.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32 D ．2 8.在△ABC 中，B=4π，BC 边上的高等于13BC ,则cosA= ( )（A （B （C ） （D ）9. 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( )． A. 72 B ．172 C. 16136D. 410. 如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝1x m +＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，43C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，43D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43 11.设有4个数的数列为a 1,a 2,a 3,a 4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k 应满足( ) A. 4k<9B. 4k>9C. 4k=9D.其他条件12.△ABC 的三边长度分别是2，3，x ，由所有满足该条件的x 构成集合M ，现从集合M 中任取一个x 值，所得△ABC 恰好是钝角三角形的概率为（ ）A ．34B CD 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c，则角B 的值为________14.已知函数f (x )＝5(4)4(6)2(6)x a x x a x -⎧-+≤⎪⎨⎪>⎩ (a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 15.若a >0,b>0,且1121a b b +++=1,则a +2b 的最小值为 . 16.命题p:若xy ≠6，则x ≠2或y ≠3；命题q:在△ABC 中，“A>30°”是“sinA>12”的必要不充分条件，则下列结论错误的是 （填序号） ①“)(q p ⌝∨”为假命题；②“q p ∨⌝)(”为假命题； ③“)(q p ⌝∧”为真命题；④“q p ∧”为真命题；三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
【精品】2018学年湖南省益阳市桃江一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
20．（12分）如图，正方形ABCD与ABEF边长为1，且面ABCD⊥面ABEF，动点M，N分别在对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a
（1）求MN的长（用a表示）及其最小值
（2）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值．
16．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知 ．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若 ，求sinC的值．
17．（12分）设命题p：∀x∈R，x2﹣x＞a（a∈R）
命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣a=0
若“¬p”为假命题且“p∧q”为假命题，求a的取值范围．
18．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1
2018学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（5’×12=60’）
1．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（ ）
A． ＜ B． ≤ C． ＞ D． ≥
2．（5分）已知数列{ }，则0.98是它的（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）△ABC中，若3a=2b，则 的值为（ ）
A． B． C．1D．
8．（5分）函数 的定义域为（ ）
A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
9．（5分）若实数a，b满足 + = ，则ab的最小值为（ ）
A． B．2C．2 D．4
A． B．2C．2 D．4
【解答】解：∵ + = ，
【精】湖南省益阳十三中高二上学期期中数学试卷和解析
2018-2019学年湖南省益阳十三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）将120°化为弧度为（）A．B． C． D．2．（5分）sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=（）A．B．C．D．3．（5分）已知三点A（1，1）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），则确等于（）A．﹣2 B．﹣6 C．2 D．34．（5分）在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2＜b2﹣c2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3+a9=6，则S11=（）A．12 B．33 C．66 D．997．（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则8．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．29．（5分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）10．（5分）若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．[1，9） B．[2，+∞）C．（﹣∞，1]D．[2，9]二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=，B=60°，则c=．12．（5分）等差数列{a n}中，S10=10，S20=100，则S30=．13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=．14．（5分）当x＜0时，函数y=x+的值域是．15．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．三、解答题16．（15分）某地三所高中校A、B、C联合组织一项活动，用分层抽样方法从三所学校的相关人员中，抽取若干人组成领导小组，有关数据如下表（单位：人）：①求x，y；②若从B、C两校抽取的人中选2人任领导小组组长，求这二人都来自学校C的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+2a n﹣1，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2}的前n项和S n．20．（12分）解关于x的一元二次不等式：（1）x2+6x﹣16＞0；（2）12x2﹣ax＜a2．21．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．2018-2019学年湖南省益阳十三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）将120°化为弧度为（）A．B． C． D．【解答】解：120°=弧度=弧度．故选：B．2．（5分）sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=﹣（﹣sin34°sin26°+cos34°cos26°）=﹣cos（34°+26°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．3．（5分）已知三点A（1，1）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），则确等于（）A．﹣2 B．﹣6 C．2 D．3【解答】解：∵A（1，1）、B（﹣1，0）、C（3，﹣1），∴=（﹣2，﹣1），=（2，﹣2）∴=（﹣2）•2+（﹣1）•（﹣2）=﹣2故选：A．4．（5分）在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°【解答】解：∵a=，b=2，B=45°，∴由正弦定理，得可得sinA==∴A=30°或150°∵a＜b，可得A＜B，∴A=30°故选：D．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2＜b2﹣c2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：△ABC中，由a2＜b2﹣c2，可得a2+c2＜b2 可得cosB=＜0，故B为钝角，故△ABC的形状是钝角三角形，故选：C．6．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3+a9=6，则S11=（）A．12 B．33 C．66 D．99【解答】解：∵a3+a9=6=a1+a11，则S11==11×=33．故选：B．7．（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab ＞b2故对C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错故选：B．8．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．9．（5分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）【解答】解：不等式≥0⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1．即不等式的解集为：（﹣2，1]．故选：B．10．（5分）若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．[1，9） B．[2，+∞）C．（﹣∞，1]D．[2，9]【解答】解：当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，当m﹣1≠0，即m≠1时，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则，解得：1＜m＜9；故选：A．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=，B=60°，则c= 2．【解答】解：∵a=1，b=，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：3=1+c2﹣c，即（c﹣2）（c+1）=0，解得：c=2或c=﹣1（舍去），则c=2．故答案为：212．（5分）等差数列{a n}中，S10=10，S20=100，则S30=270．【解答】解：∵在等差数列中，S10=10，S20=100，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等差数列，即2（S20﹣S10）=S10+（S30﹣S20），∴2（100﹣10）=100+（S30﹣100）则S30=270．故答案为：270．13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2．【解答】解：由等比数列{a n}满足a3+a5=40，a2+a4=20，∴a2q+a4q=q（a2+a4）=20q=40，解得q=2．故答案为2．14．（5分）当x＜0时，函数y=x+的值域是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：∵x＜0，∴﹣x＞0，∴y=x+=﹣[（﹣x）+]．当且仅当x=﹣1时上式“=”成立．∴当x＜0时，函数y=x+的值域是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．15．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为0＜a≤1或a≥．【解答】解：如图，联立，解得A（）．当x+y=a过B（1，0）时，a=1；当x+y=a过A（）时，a=．∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则0＜a≤1或a≥．故答案为：0＜a≤1或a≥．三、解答题16．（15分）某地三所高中校A、B、C联合组织一项活动，用分层抽样方法从三所学校的相关人员中，抽取若干人组成领导小组，有关数据如下表（单位：人）：①求x，y；②若从B、C两校抽取的人中选2人任领导小组组长，求这二人都来自学校C的概率．【解答】解：①∵分层抽样即为按比例抽取，∴18：x=36：2，解得x=1 …2′同理可得54：y=36：2，解得y=3 …4′②设从B校抽取的2人为B1、B2，从C校抽取的3人为C1、C2、C3，从这5个人中选2人任组长的选法共有：（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3）10种．而两人都来自C校的有（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3）3种．…10′∴所求概率为．…12′17．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+2a n﹣1，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n，n≥2时，2S n﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1），…（2分）∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=2n∴a n=n（n≥2）…（4分）又n=1时，a1=1适合上式．∴a n=n…（6分）…（8分）∴…（10分）=．…（12分）19．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，则=，解得：d=1或d=0（舍去），a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，故{a n}的通项a n=n；（Ⅱ）由题意知=2n，由等比数列前n项和公式得S n=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2，数列{}的前n项和S n=2n+1﹣2．20．（12分）解关于x的一元二次不等式：（1）x2+6x﹣16＞0；（2）12x2﹣ax＜a2．【解答】解：（1）不等式x2+6x﹣16＞0化为（x+8）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣8或x＞2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）；（2）不等式12x2﹣ax＜a2化为（3x﹣a）（4x+a）＜0，即（x﹣）（x+）＜0；当a=0时，不等式化为x2＜0，此时无解；当a＜0时，＜﹣，不等式的解集为{x|＜x＜﹣}；当a＞0时，﹣＜，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．21．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．【解答】解：（I）当x=0时，C=8，因为，所以k=40，故C…（3分）∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和∴．…（6分）（II），…（9分）当且仅当时取得最小值．…（11分）即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
湖南省益阳市桃江一中高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高一（上）期中数学试卷一、选择题每小题5分，共60分，请将所选答案填在答卷对应题号的空格内.1．若A=，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}2．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．44．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，那么函数f（x2﹣1）的定义域是（）A．[0，2] B．[﹣1，1] C．[﹣2，2] D．[﹣，]5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f （﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f （﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）6．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称7．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（）A．.（1，2）B．（2，3） C．.（3，4）D．（4，5）8．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．设a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．已知函数f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（）A．﹣10 B．﹣18 C．﹣26 D．1011．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c=0时，f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；③f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多两个实根．其中正确的命题是（）A．①④ B．①③ C．①②③D．①②④12．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二、填空题每小题5分，共20分，请将答案填在答卷对应题号的横线上13．函数f（x）=的递增区间是．14．设x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是．15．已知t＞0，则函数的最小值为．16．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为．三、解答题共70分，解题要有推理过程或演算步骤17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．19．已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．20．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如表：运输工具途中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸时间（h）装卸费用（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 2000若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B两地距离为xkm（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为f（x）与g（x），求f（x）与g（x）；（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用）21．已知函数．（Ⅰ）当时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．22．如果一个函数的定义域是值域的真子集，那么称这个函数为“思法”函数．（1）判断指数函数、对数函数是否为思法函数，并简述理由；（2）判断幂函数y=xα（α∈Q）是否为思法函数，并证明你的结论；（3）已知是思法函数，且不等式2t+1+3t+1≤k（2t+3t）对所有的f t（x）都成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题5分，共60分，请将所选答案填在答卷对应题号的空格内.1．若A=，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选D【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知3x＞0恒成立，则真数3x+1＞1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．【解答】解：根据对数函数的定义可知，真数3x+1＞0恒成立，解得x∈R．因此，该函数的定义域为R，原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数．由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x＞0，所以，3x+1＞1，所以f（x）=log2（3x+1）＞log21=0，故选A．【点评】本题考查了对数复合函数的单调性，复合函数的单调性知识点，高中要求不高，只需同学们掌握好“同増异减“原则即可；本题还考查了同学们对指数函数性质（如：3x＞0）的掌握，这是指数函数求定义域和值域时常用知识．3．2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．【点评】本题主要考查对数的运算法则．4．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，那么函数f（x2﹣1）的定义域是（）A．[0，2] B．[﹣1，1] C．[﹣2，2] D．[﹣，]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，可得﹣1≤x2﹣1≤1，解出即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由﹣1≤x2﹣1≤1，解得．∴函数f（x2﹣1）的定义域是．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f （﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f （﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【考点】偶函数；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．【解答】解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|﹣2|＜|﹣3|＜π∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）故选A．【点评】本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．6．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．7．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（）A．.（1，2）B．（2，3） C．.（3，4）D．（4，5）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，而函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续；从而求零点的区间即可．【解答】解：方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续；且f（2）=ln2+4﹣6＜0；f（3）=ln3+6﹣6＞0；故方程lnx+2x=6的根属于区间（2，3）故选B．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．8．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】依题意，可得到绿化面积与原绿化面积之比的解析式，利用函数的性质即可得到答案．【解答】解：设某地区起始年的绿化面积为a，∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，∴经过x年，绿化面积g（x）=a（1+10.4%）x，∵绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）==（1+10.4%）x=1.104x，∵y=1.104x为底数大于1的指数函数，故可排除A，当x=0时，y=1，可排除B、C；故选D．【点评】本题考查函数的图象，着重考查指数函数的性质，考查理解与识图能力，属于中档题．9．设a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较；指数函数与对数函数的关系．【专题】计算题．【分析】对a、b、c三个数，利用指数、对数的性质，进行估算，和0、1比较即可．【解答】解：a=log0.70.8＞0，且a=log0.70.8＜log0.70.7=1．b=log1.10.9＜log1.11=0．c=1.10.9＞1．∴c＞1＞a＞0＞B、即b＜a＜c、故选C．【点评】本题考查对数值的大小比较，指数函数、对数函数的关系，是基础题．10．已知函数f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（）A．﹣10 B．﹣18 C．﹣26 D．10【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】令g（x）=x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值．【解答】解：令g（x）=x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）=g（x）﹣8，所以f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，得g（﹣2）=18，因为g（x）是奇函数，即g（2）=﹣g（﹣2），所以g（2）=﹣18，则f（2）=g（2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的应用，以及整体代换求函数值，属于基础题．11．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c=0时，f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；③f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多两个实根．其中正确的命题是（）A．①④ B．①③ C．①②③D．①②④【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；综合题．【分析】①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=﹣3，c=2即可判断错误．【解答】解：①c=0时，f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；取b=﹣1，c=0，则f（x）=x|x|﹣x=x（|x|﹣1）=0，x=0或x=±1，故④错误；b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确故选C【点评】本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大．12．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【考点】函数的值；偶函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A．【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．二、填空题每小题5分，共20分，请将答案填在答卷对应题号的横线上13．函数f（x）=的递增区间是．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=4﹣3x﹣x2＞0，求得﹣4＜x＜1，且f（x）=log0.5t，本题即求函数t在（﹣4，1）内的减区间．再利用二次函数的性质可得t在（﹣4，1）内的减区间．【解答】解：令t=4﹣3x﹣x2＞0，求得﹣4＜x＜1，且f（x）=log0.5t，故本题即求函数t在（﹣4，1）内的减区间．再利用二次函数的性质可得t在（﹣4，1）内的减区间为（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．设x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】探究型．【分析】可对幂函数的指数的情况进行讨论，分为指数为负数，指数大于1，指数小于1大于0进行讨论，找出符合条件的α的取值范围【解答】解：由幂函数的性质知：当α＜0时，幂函数y=xα的图象是下降的，故在x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方符合题意当α=0时，幂函数y=xα的图象在x∈（0，1）上是一个与y轴平行的线段，是直线y=1的一部分，故其图象在y=x的上方，符合题意当α∈（0，1）时，由底数x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在y=x的上方，符合题意当α＞1时，由底数x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在y=x的下方，不符合题意符合题意综上，符合条件的α的取值范围是（﹣∞，1）故答案为（﹣∞，1）【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是对幂函数的图象变化趋势即幂函数的单调性与幂指数的取值范围的关系比较熟悉，本题考查了分类讨论的思想，解题时遇到了不确定的情况往往要分类别进行讨论，变不确定为确定．15．已知t＞0，则函数的最小值为﹣2 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】将函数变为﹣4，用基本不等式求解即可．【解答】解：，当且仅当t=1时等号成立，故y min=﹣2．【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式．16．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为 1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况即可得到结论．【解答】解：若2|x|=1，则x=0．若2|x|=2，则x=1或x=﹣1，∵函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，∴若a=﹣1，则0≤b≤1，若b=1，则﹣1≤a≤0，即当a=﹣1，b=0或a=0，b=1时，b﹣a最小为1，当a=﹣1，b=1时，b﹣a的值最大为1﹣（﹣1）=2，故区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2﹣1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况是解决本题的关键．三、解答题共70分，解题要有推理过程或演算步骤17．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】解一元二次方程求得集合A，由B是A的非空子集，分类讨论，分别求出实数a的取值．【解答】解：由已知，A={﹣2，4}．∵B是A的非空子集，∴B={﹣2}或{4}或{﹣2，4}．若B={﹣2}，则有，解得：a=4；若B={4}，则有，解得a∈∅；若B={﹣2，4}，由韦达定理可得，解得a=﹣2综上，所求实数a的值为﹣2或4．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，一元二次方程的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知f（x）=1+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据对数的运算法则，化简g（x）=f2（x）+f（x2）=（log3x+2）2﹣2，其中1≤x≤3，看作关于log3x的二次函数，再利用二次函数性质求解．【解答】解：g（x）的定义域由确定，解得：1≤x≤3，g（x）=f2（x）+f（x2）=（1+log3x）2+（1+logx2）=（log3x+2）2﹣2，1≤x≤3，3令t=log3x，0≤t≤1，有：y=g（x）=（t+2）2﹣2，在[0，1]上为增函数，∴当t=0即x=1时，g（x）min=2；当t=1即x=3时，g（x）max=7．【点评】本题考查对数的运算性质、二次函数的性质，换元法．正确的求出g（x）的定义域是关键，也是本题极易出错的地方．19．已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数的图象．【专题】计算题；数形结合；转化思想；待定系数法．【分析】（1）由奇函数的定义，对应相等求出m的值；画出图象．（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的图象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，要使f（x）在[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3【点评】考查奇函数的定义，应用转化的思想求值；作函数的图象，求a的取值范围，体现了作图和用图的能力，属中档题．20．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如表：运输工具途中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸时间（h）装卸费用（元）汽车50 8 2 1000火车100 4 4 2000若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B两地距离为xkm（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为f（x）与g（x），求f（x）与g（x）；（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用）【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据表格，利用总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用，分别求出运输的总费用；（2）分类讨论，比较它们的大小，由此确定采用哪种运输工具较好【解答】解：（1）∵总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用∴用汽车运输的总费用为：用火车运输的总费用为：（2）由f（x）＜g（x）得由f（x）=g（x）得由f（x）＞g（x）得故当A、B两地距离小于时，采用汽车运输好；当A、B两地距离等于时，采用汽车或火车都一样；当A、B两地距离大于时，采用火车运输好【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查解不等式，解题的关键是正确运用表格中的数据21．已知函数．（Ⅰ）当时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）利用函数单调性的定义，设1≤x1＜x2，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可；（II）根据题意：“对任意恒成立”转化为“只需对任意x∈[1，+∞），x2+2x+a＞0恒成立”．再设g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞），利用二次函数的性质求出最小值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，=，…当，∵1≤x1＜x2，∴，恒成立∴△y＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴当x=1时，f（x）取得最小值为，∴f（x）的值域为．（Ⅱ），∵对任意，恒成立∴只需对任意x∈[1，+∞），x2+2x+a＞0恒成立．设g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞），∵g（x）的对称轴为x=﹣1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，∴a＞﹣3．【点评】本题主要考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法和步骤，作差法比较大小，代数变形能力，属中档题．22．如果一个函数的定义域是值域的真子集，那么称这个函数为“思法”函数．（1）判断指数函数、对数函数是否为思法函数，并简述理由；（2）判断幂函数y=xα（α∈Q）是否为思法函数，并证明你的结论；（3）已知是思法函数，且不等式2t+1+3t+1≤k（2t+3t）对所有的f t（x）都成立，求实数k的取值范围．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）根据指数函数、对数函数的图象和性质，结合思法函数的定义，可得结论；（2）根据幂函数y=xα（α∈Q）的图象和性质，分别讨论α=0，α＞0和α＜0三种情况下，函数的定义域和值域，结合思法函数的定义，可得结论；（3）根据是思法函数，令y=lnu，u=x2+2x+t．结合思法函数的定义及二次函数的图象和性质，由不等式2t+1+3t+1≤k（2t+3t）对所有的f t（x）都成立，构造关于k的不等式，可得实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵指数函数的定义域是R，值域（0，+∞）．∴指数函数不是思法函数对数函数的定义域是（0，+∞），值域R，故对数函数是思法函数．（2）幂函数y=xα（α∈Q）不是思法函数．证明如下：1）当α=0时，显然y=x0不是思法函数；2）当α＞0时，设（其中m，n是互质的正整数）．①若n为偶数，则m为奇数，定义域和值域都是[0，+∞），不是思法函数；②若n为奇数，当m为奇数时，定义域和值域都是R，不是思法函数；当m为偶数时，定义域R，值域是[0，+∞），不是思法函数．3）当α＜0时，设（其中m，n是互质的正整数）①若n为偶数，则m为奇数，定义域和值域都是（0，+∞），不是思法函数；②若n为奇数，当m为奇数时，定义域和值域都是（﹣∞，0）∪（0，+∞），不是思法函数；当m为偶数时，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（0，+∞），不是思法函数．综上所述；幂函数y=xα（α∈Q）不是思法函数．（3）令y=lnu，u=x2+2x+t．则u=（x+1）2+t﹣1①当△=4﹣4t＜0，即t＞1时，恒有u≥t﹣1＞0．故f t（x）的定义域为R，值域为[ln（t﹣1），+∞），f t（x）不是思法函数；②当△=4﹣4t≥0，即t≤1时，u=x2+2x+t能取（0，+∞）中的一切值，故f t（x）的值域为R．定义域不是R，f t（x）是思法函数．因此，f t（x）是思法函数⇔t∈（﹣∞，1]．又，令，则k≥g（t）max．∵在（﹣∞，1]上是增函数，故．所以．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，值域，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数、二次函数的图象和性质，是解答的关键．。
数学-高二-湖南省桃江县第四中学高二上学期期中考试数学(文)试题(A卷)
2016年下高二期中考试数学文科试卷（A ）考试时间：120分钟；满分：150；内容：必修5+简易逻辑+圆锥曲线；一、单项选择（每小题5分，共60分）1、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数2、“22a b >”是“ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（ ）A4、若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则 )A. B.2 C.3 D.5、在平面直角坐标系x y O 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ） A．2 6、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为R ，过抛物线C上一点P 作准线的垂线，垂足为Q ，若QRF △的面积为2，则点P 的坐标为（ ）A ．()12，或()12-，B ．()14，或()14-，C ．()12，D ．()14，7、在数列{}n a 中，11a =，，则4a 等于( ）A 8、数列{}n a 中，，9=n S ，则=n （ ）A.97B.98 C ．99 D ．100 9、已知0,0x y >>，若恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．4m ≥或2m -≤B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<<10、已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D 11、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a ＝3，，则b c +的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．3612、已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D.15,38⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“∀x ∈R ，有x 2+1≥x”的否定是 .14、已知点F 为抛物线2:4E y x =的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，则AF =___________．15、 数列{}n a 满足()121111,2n n a n N a a *+=+=∈,记2n n b a =,则数列{}1n n b b +前n 项和n S = ．16、如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据：CD 2=，C 23E =，D 45∠=，CD 105∠A =，C 48.19∠A B =，C 75∠B E =，60∠E =，则A 、B 两点之间的距离为 ．（其中cos 48.19取近似值23）三、解答题（共70分）17、已知a ∈R，设p ：函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是区间(1，＋∞)上的增函数，q ：方程x 2－ay 2＝1表示双曲线．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18、已知关于x 的函数（1）当),1(+∞∈x 时，求函数)(x f 的最小值，并求出相应的x 的值； （2）求不等式2)(-≥x f 的解集.19、过抛物线22x py =（p >0且为常数）的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A,B 两点，求证：线段AB 的长为定值．20、 在△ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为c b a ,,.已知向量，1-=⋅n m .（Ⅰ）求角A ABC 周长的取值范围。
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）给定下列两个命题：①“”为真是“”为假的必要不充分条件；②“，使”的否定是“，使”.其中说法正确的是（）A . ①真②假B . ①假②真C . ①和②都为假D . ①和②都为真2. （2分） (2015高二上·安庆期末) 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= ．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·长春期中) 下列各组向量中不平行的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·吴忠期中) 给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题．则，使；③“ ”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“ ，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）以下叙述中正确的个数有（）①为了了解高一年级605名学生的数学学习情况，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；②函数y=ex﹣e﹣x是偶函数；③线性回归直线方程=x+恒过（，），且至少过一个样本点；④若f（log2x）=x+2，则f（1）=2．A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°<θ<90°）的平面所截,截面是一个椭圆.当θ=30°时,这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）A . ①和②B . ①和③C . ③和④D . ①和④8. （2分） (2017高二上·正定期末) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若，则P的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）在空间四边形ABCD中，E,F分别为AC,BD的中点，若则EF与CD所成的角为（）A .B .C .D .10. （2分）设F为抛物线的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A . 36B . 24C . 16D . 1211. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A . 2B . 2C .D .12. （2分）已知分别是椭圆的左右焦点，过垂直与x轴的直线交椭圆于A，B两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）双曲线的离心率为________14. （1分）已知命题p：函数的值域为[0，+∞），命题q：对任意的x∈R，不等式|x|﹣|x+a|≤1恒成立，若命题p∧（¬q）为真命题，则实数a的取值范围是________ ．15. （1分） (2018高二下·大名期末) 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 .若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．16. （1分） (2018高二上·江苏月考) 双曲线的渐近线为，一个焦点为，则 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2019高三上·德州期中) 已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求的取值范围．18. （5分）已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．19. （10分）已知椭圆E:（a>b>0）的半焦距为c，原点0到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为c．（1）求椭圆E的离心率（2）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y-1)=的一条直径，若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程．20. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，， .（1）求向量与的夹角；（2）求及向量在方向上的投影.21. （10分） (2017高二上·太原期末) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=45°，BC=2 ，AB=2．（1）求AC的长；（2）若PC= ，点M在侧棱PB上，且 = ，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°．22. （10分）已知抛物线x2=8（y+8）与y轴交点为M，动点P，Q在抛物线上滑动，且 =0（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点A，B，C，D在W上，A，D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到AB，AC的距离为d1，d2，且d1+d2= |AD|，证明：△ABC为直角三角形．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17、答案：略18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
湖南省益阳市桃江四中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(理科)(b卷)(解析版)
2016-2017学年湖南省益阳市桃江四中高二（上）期中数学试卷（理科）（B卷）一、选择题1．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b=，则B=（）A．45°B．30°C．60°D．135°2．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．63．已知＜＜0，则下列结论错误的是（）A．a2＜b2B．C．ab＞b2D．lga2＜lgab4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{a n}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1 B．﹣1或2 C．﹣2 D．15．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2}B．{x|x＜﹣或x＞﹣}C．{x|﹣＜x＜﹣}D．{x|﹣3＜x＜﹣2}6．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米8．在等差数列{a n}中，若a2+2a6+a10=120，则a3+a9等于（）A．30 B．40 C．60 D．809．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2=，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰或直角三角形 D．直角三角形10．数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．2111．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．24 B．8 C．D．12．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则等于（）A．B．C．D．二、填空题13．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=1：：3，则∠B的大小为．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=．15．不等式的解集为．16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．三．解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A；（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（n∈N*），且数列{b n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．19．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c=b，sinB=sinC．（1）求cosA的值；（2）求cos（A+）的值．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM 上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．已知数列{a n}满足a n=3a n+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95．﹣1（1）求a1，a2的值；（2）求实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N*）且{b n}为等差数列；（3）在（2）条件下求数列{a n}的前n项和S n．2016-2017学年湖南省益阳市桃江四中高二（上）期中数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题1．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b=，则B=（）A．45°B．30°C．60°D．135°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB==，由a=3＞b=，即可根据大边对大角求得B 的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=，∴B为锐角．∴B=45°故选：A．2．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．3．已知＜＜0，则下列结论错误的是（）A．a2＜b2B．C．ab＞b2D．lga2＜lgab【考点】不等关系与不等式．【分析】根据题目给出的不等式，断定出a、b的大小和符号，然后运用不等式的基本性质分析判断．【解答】解：由，得：b＜a＜0，所以有a2＜b2，所以A正确；因为b＜a＜0，所以，且，所以，所以B正确；因为a＞b，b＜0，所以ab＜b2，所以C不正确；因为a＞b，a＜0，所以a2＜ab，所以lga2＜lgab，所以D正确．故选C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{a n}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1 B．﹣1或2 C．﹣2 D．1【考点】等比数列的前n项和．【分析】S5、S4、S6成等差数列，可得：2S4=S5+S6成等差数列．当q=1时，不成立，舍去．当q≠1时，0=2a5+a6，解出即可得出．【解答】解：∵S5、S4、S6成等差数列，∴2S4=S5+S6成等差数列，∴当q=1时，不成立，舍去．当q≠1时，0=2a5+a6，∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2．则数列{a n}的公比为q=﹣2．故选：C．5．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2}B．{x|x＜﹣或x＞﹣}C．{x|﹣＜x＜﹣}D．{x|﹣3＜x＜﹣2}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，∴，解得a=﹣1，b=﹣6；∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣；∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}．故选：C．6．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故选：C．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8．在等差数列{a n}中，若a2+2a6+a10=120，则a3+a9等于（）A．30 B．40 C．60 D．80【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6，从而可求a6，而a3+a9=2a6代入可求【解答】解：由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6=120，∴a6=30∵a3+a9=2a6=60故选C9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2=，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰或直角三角形 D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosA=，又根据余弦定理得：cosA=，∴=，∴b2+c2﹣a2=2b2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选D．10．数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当S n取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．11．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．24 B．8 C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y=3，再求的最小值即可．【解答】解：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化简得2x+3y=3，∴=（+）×（2x+3y）=（6+++6）≥（12+2）=8，当且仅当2x=3y=时，等号成立；∴的最小值是8．故选：B．12．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．【解答】解：∵S9==9a5，T n==9b5，∴a5=S9，b5=T9，又当n=9时，==，则===．故选B二、填空题13．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=1：：3，则∠B的大小为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sinA：sinB：sinC=1：：3，由正弦定理可得：a：b：c=1：：3，不妨取a=1，b=，c=3．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=1：：3，由正弦定理可得：a：b：c=1：：3，不妨取a=1，b=，c=3．∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=3：4．【考点】等比数列的前n项和．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，∴S15：S5=3：4，故答案为：3：4．15．不等式的解集为[﹣3，1] ．【考点】其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】把变为2﹣1，然后利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依题意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化为：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是194．【考点】归纳推理．【分析】注意数字排列的规律，每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，每行中相邻的数字为连续正整数，求出第20行最左边的一个数即可求出所求．【解答】解：由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，故前n﹣1行共有：1+2+…+（n﹣1）=个整数，故第n行的第一个数为： +1，第20行的数字从左向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，第20行从左至右的第4个数字应是194．故答案为：194．三．解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A；（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosAsinA=sinA，从而可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．（2）由已知及余弦定理可得7=25﹣3bc，解得bc=6，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知及正弦定理可得：2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…2分可得：2cosAsin（B+C）=sinA，解得：2cosAsinA=sinA，即：cosA=，…5分由于：A∈（0，π），所以：A=…6分（2）由已知及余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccsoA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），…7分因为：a=，b+c=5，cosA=，所以：7=25﹣3bc，解得：bc=6，…10分=bcsinA=…12分所以：S△ABC18．已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=（n∈N*），且数列{b n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．【考点】数列的求和．【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）依题意，得，即，得d2+d﹣12=0．∵d＞0，∴d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）证明：∵，前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=，由T n递增，可得T n≥T1=，又T n＜，则．19．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1}…（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4}…．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c=b，sinB=sinC．（1）求cosA的值；（2）求cos（A+）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理得sinA﹣sinC=sinB=×sinC，即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，从而可由余弦定理求出cosA的值；（2）先求出sinA的值，再由两角和的余弦公式求出cos（A+）的值．【解答】解：（1）∵a﹣c=b，sinB=sinC．∴由正弦定理得，sinA﹣sinC=sinB=×sinC，即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，由余弦定理知，cosA====．（2）∵由（1）知，cosA=．A为三角形内角，sinA==，∴cos（A+）=cosAcos﹣sinAsin=．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM 上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵，∴∴由S AMPN＞32得又x＞0得3x2﹣20x+12＞0解得：0＜x＜或x＞6即DN的长取值范围是（Ⅱ）矩形花坛的面积为当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．22．已知数列{a n }满足a n =3a n ﹣1+3n ﹣1（n ∈N*，n ≥2）且a 3=95． （1）求a 1，a 2的值；（2）求实数t ，使得b n =（a n +t ）（n ∈N*）且{b n }为等差数列； （3）在（2）条件下求数列{a n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）当n=2时，a 2=3a 1+8，当n=3时，a 3=3a 3+33﹣1=95，可得a 2=23，代入即可求得a 1=5；（2）由等差数列的性质可知：b n ﹣b n ﹣1=（a n +t ）﹣（a n ﹣1+t ）=（a n +t ﹣3a n ﹣1﹣3t ）=（3n ﹣1﹣2t ）．可知：1+2t=0，即可求得t 的值；（3）由等差数列的通项公式可得b n =+（n ﹣1）=n +，求得a n =（n +）3n +，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{a n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）当n=2时，a 2=3a 1+8，当n=3时，a 3=3a 3+33﹣1=95，∴a 2=23，∴23=3a 1+8，∴a 1=5；（2）当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=（a n +t ）﹣（a n ﹣1+t ）=（a n +t ﹣3a n ﹣1﹣3t ）=（3n ﹣1﹣2t ）．要使{b n }为等差数列，则必须使1+2t=0，∴t=﹣，即存在t=﹣，使数列{b n }为等差数列．（3）∵当t=﹣，时，数列{b n }为等差数列，且b n ﹣b n ﹣1=1，b 1=，∴b n =+（n ﹣1）=n +，∴a n =（n +）3n +，于是，S n =×3+32+…+•3n +×n ，令S=3×3+5×32+…+（2n +1）•3n ，①3S=3×32+5×33+…+（2n+1）•3n+1，②①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+2•3n﹣（2n+1）•3n+1，②化简得S=n•3n+1，∴S n=+=，数列{a n}的前n项和S n，S n=．2017年1月6日。
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第1页（共17页） 2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（ ） A．￢p：存在x0∈R，使cosx0≥1 B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1 C．￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1 D．￢p：存在x∈R，使cosx＞1 2．（5分）已知函数y=f（x）在点P（1，f（1））的切线方程为y=2x+1，则f′（1）=（ ） A．2 B．3 C． D．﹣ 3．（5分）若a∈R，则“a=3”是“a2=9”的（ ）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
4．（5分）满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是（ ） A． B． C．4 D．3 5．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ） A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 6．（5分）已知抛物线y=﹣x2的焦点为F，则过F的最短弦长为（ ）
A． B． C．4 D．8 7．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ） A．21 B．42 C．63 D．84 第2页（共17页）
8．（5分）下列命题为真命题的是（ ） A．椭圆的离心率大于1
B．双曲线﹣=﹣1的焦点在x轴上 C．∃x∈R，sinx+cosx= D．∀a，b∈R，≥ 9．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．（5分）设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的正整
数n都有=，则+=（ ） A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上） 11．（5分）若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为 ． 12．（5分）等比数列{an}中，a4=4，则a2•a6等于 ． 13．（5分）函数f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）的单调减区间为 ． 14．（5分）已知直线y=kx与双曲线4x2﹣y2=16有两个不同公共点，则k的取值范围为 ． 15．（5分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则 （1）（x+2）2+（y﹣2）2的最小值是 ； （2）|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 ．
三．解答题（本大题共六个小题，共75分） 16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； 第3页（共17页）
（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且asinA+bsinB﹣csinC=asinB （1）确定∠C的大小； （2）若c=，△ABC的面积为，求a+b的值． 18．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围． 19．（13分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20， （1）求u=lgx+lgy的最大值； （2）求的最小值． 20．（13分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
21．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、
D两点，且满足=，求直线l的方程． 第4页（共17页）
2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（ ） A．￢p：存在x0∈R，使cosx0≥1 B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1 C．￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1 D．￢p：存在x∈R，使cosx＞1 【解答】解：∵已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1， ∴￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1， 故选：C．
2．（5分）已知函数y=f（x）在点P（1，f（1））的切线方程为y=2x+1，则f′（1）=（ ） A．2 B．3 C． D．﹣ 【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率． 可得在点P（1，f（1））的切线斜率为2，即f′（1）=2． 故选：A．
3．（5分）若a∈R，则“a=3”是“a2=9”的（ ）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【解答】解：已知a∈R，则a=3⇒a2=9； ∵a2=9，可得a=±3，当a=﹣3时，满足a2=9，推不出a=3， ∴“a=3”是“a2=9”的充分而不必要条件， 故选：A． 第5页（共17页）
4．（5分）满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是（ ） A． B． C．4 D．3 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
， 令z=x+3y得：y=﹣x+，
由图象得：直线y=﹣x+过（0，）时，z最大， 故z的最大值是：， 故选：A．
5．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ） A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°， AB=20，从而∠ACB=45°． 在△ABC中，由正弦定理， 得． 故选：A． 第6页（共17页）
6．（5分）已知抛物线y=﹣x2的焦点为F，则过F的最短弦长为（ ） A． B． C．4 D．8 【解答】解：由抛物线y=﹣x2可得：焦点F（0，﹣1）． ∴当AB与y轴垂直时，通径长最短，|AB|=2p=4． 故选：C．
7．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ） A．21 B．42 C．63 D．84 【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21， ∴， ∴q4+q2+1=7， ∴q4+q2﹣6=0， ∴q2=2， ∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42． 故选：B．
8．（5分）下列命题为真命题的是（ ） A．椭圆的离心率大于1
B．双曲线﹣=﹣1的焦点在x轴上 C．∃x∈R，sinx+cosx= D．∀a，b∈R，≥ 【解答】解：因为椭圆的离心率小于1，所以A不正确； 双曲线的焦点坐标的y轴，所以B不正确； 第7页（共17页）
sinx+cosx=，所以C正确； ∀a，b∈R，≥，不满足基本不等式的条件，显然不正确； 故选：C．
9．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：， 抛物线的准线方程为：x=﹣2， 由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． |AB|=6． 故选：B．
10．（5分）设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的正整数n都有=，则+=（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得+ =+===
==== 第8页（共17页）
故选：A． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上） 11．（5分）若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为 6 ． 【解答】解：设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ（λ≠0）， 将P（5，﹣2）代入，得λ=9， ∴x2﹣4y2=9，∴a=3，实轴长2a=6， 故答案为：6．
12．（5分）等比数列{an}中，a4=4，则a2•a6等于 16 ． 【解答】解：∵等比数列{an}中 ∴a2•a6=a42=16 故答案为16
13．（5分）函数f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）的单调减区间为 （﹣2，﹣1）（或闭区间） ． 【解答】解：∵函数f（x）=（x2+x+1）ex， ∴f′（x）=（2x+1）ex+ex（x2+x+1）=ex（x2+3x+2） 要求其减区间， 令f′（x）＜0，可得ex（x2+3x+2）＜0， 解得，﹣2＜x＜﹣1， ∴函数f（x）的单调减区间为（﹣2，﹣1）， 故答案为（﹣2，﹣1）．
14．（5分）已知直线y=kx与双曲线4x2﹣y2=16有两个不同公共点，则k的取值范围为 （﹣2，2） ． 【解答】解：由题意直线y=kx恒过原点，双曲线4x2﹣y2=16的渐近线为：y=±2x，﹣2＜k＜2